【文档说明】江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题含解析.docx，共(26)页，2.023 MB，由管理员店铺上传

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南京师大附中2022-2023学年度第2学期高二年级期中考试数学试卷（总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的

位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第I卷（选择题共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题绘出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的）1.已知向量()()21,3,1,2,,a

mmbmm=+−=−，且a//b，则实数m的值为（）A.0或32B.32C.0或2−D.2−【答案】D【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标表示分析运算.【详解】显然0,0abrrrr，若a//b，则()2,,akbkkmkm==−rr，可得22131kmkmkm

m=+=−=−，解得322km=−=−.故选：D.2.已知两平面的法向量分别为(0,1,1)m=，(1,1,1)n=，则两平面所成的二面角的正弦值为（）A.63B.33C.13D.223【答案】B【解析】【分析】根据题意求得6cos,3mn=，设两平面

所成的二面角为，求得3sin3=，即可求解.【详解】由两平面的法向量分别为(0,1,1)m=，(1,1,1)n=，可得0111116cos,323mnmnmn++===，设两平面所成的二面角为，其中[0,]，可得23sin1cos3=

−=.即两平面所成的二面角的正弦值为33.故选：B.3.如图，用4种不同的颜色给图中,,,ABCD四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）A.48B.72C.84D.108【答案】C【解析】【分析】根据,AD区域同色和不同色分类讨论即可得.【详

解】,AD区域同色的方法数为43336=,AD区域不同色的方法数为432248=，总的方法数为364884+=．故选：C．4.将边长为1的正方形11AAOO（及其内部）绕1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC长为

23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧.则异面直线1BC与1AA所成的角的大小为（）A.6B.4C.3D.2【答案】B【解析】【分析】以O为坐标原点，OA、1OO所在直线分别为y、z轴建立空间直角坐标系Ox

yz−，利用空间向量法可计算出异面直线1BC与1AA所成的余弦值，即可得解.【详解】以O为坐标原点，OA、1OO所在直线分别为y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则()0,1,0A、()10,1,1A、131,,122B、31,,022

C−.所以()10,0,1AA=，()10,1,1BC=−−，则()()211001111AABC=+−+−=−，所以11111112cos,212AABCAABCAABC−===−.因此，异面直线1BC与

1AA所成的角为4.故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角的大小，考查计算能力，属于中等题.5.2023年五一假期，小明同学外出去某超市购物，获得了该超市的一次抽奖机会，小明需从9个外观完全相同的盲盒中，随机抽取3个，已

知这9个盲盒中有3个盲盒各装有1支完全相同的钢笔，另外6个盲盒中各装有不同的1个小饰品，则拆开选取的3个盲盒后，小明收获奖品的所有情形的种类有（）A.84B.86C.42D.44【答案】C【解析】【分析】根

据装有相同钢笔的3个盲盒抽取的个数分类讨论可得.【详解】由题意装有相同钢笔的3个盲盒抽取的个数分别为0,1,2,3,因此小明收获奖品的所有情形的种类个数为32106666CCCC42+++=.故选：C．6.如图，在三棱柱111ABCABC-

中，1BC与1BC相交于点O，1160AABAAC==，90BAC=，13AA=，2AB=，4AC=，则线段AO的长度为（）A.472B.47C.382D.38【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的数量积求模即可.【详解】由图形易得()()111122AOABACABACAA=+=

++，所以()222211112224AOABACAAABACABAAACAA=+++++，()1474169224cos90223cos60243cos6044=+++++=即472AO=.故选：A7.已知函数2e,0()241,0xxfxxxx=−++

若方程()0fxkx+=恰好有三个不等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.()1,0eB.1,e−−C.(e,0)−D.(),e−−【答案】D【解析】【分析】题意说明直线ykx=−与曲线(

)yfx=有三个交点，由0x时，它们一定有且只有一个交点，因此直线ykx=−与e(0)xyx=有两个交点，求出它们相切时的k−值后可得结论．【详解】作出函数()fx的图象（示意图），如图，作直线ykx=−，0x时，2()241fxxx=−++是增函数，且(0)1f=，由图可知直线y

kx=−与2241(0)yxxx=−++始终有一个交点，即()0fxkx+=对任意k值都有一个负根，由题意直线ykx=−与e(0)xyx=有两个交点，设直线ykx=−与曲线exy=的切点为00(,)xy，exy=的导函数为exy=，由00000eexxyxx==得01x=，0e

y=，所以ek−=，由图形知ek−，即ek−，故选：D．8.已知正方形ABCD的中心在坐标原点，四个顶点都在函数()3fxxbx=+的图象上．若正方形ABCD唯一确定，则实数b的值为（）A.2−B.2−C.22−D.4−【答案】C【解析】【分析】法一：设直线AC的方程为()0y

kxk=，则直线BD的方程为1=−yxk，讨论得到0b不合要求，即0b，分别联立曲线方程，得到21xkb=−，221xbk=−−，再根据OAOB=得到21120kbkkk−−−+=，换元后必有220tbt−+=有两个相等的实数

根，由280b=−=，解得22b=−，检验后得到答案.法二：设出π,02AOx=，表达出()()cos,sinsin,cosArrBrr−，代入曲线方程，得到2tan2tan2b=−+，由

基本不等式得到b的范围，并结合题意得到实数b的值.【详解】法一：因为四边形ABCD为正方形，O为其中心，所以AC⊥BD于点O，且OAOBOCOD===，不妨设直线AC的方程为()0ykxk=，则直线BD的方程为1=−yxk，设点

()11,Axy，()22,Bxy，则()()1122,,,CxyDxy−−−−，当0b时，()230fxxb=+，()fx在R上单调递增，与1=−yxk仅有1个交点为原点，不合题意，当0b时，联立直线AC与曲线方程，得到3111xbxkx+=，解得21

xkb=−，联立直线BD与曲线方程，得到32221xbxxk+=−，解得221xbk=−−，因OAOB=，所以()()221111kkbbkk+−=+−−，整理得22110kbkkk+−−=

，即21120kbkkk−−−+=，设()()10tkkkk=−，该函数在()0,+上单调递增，值域为R，要使符合题意的正方形只有1个，则必有220tbt−+=有两个相等的实数根，即280b=−=

，解得22b=−，正根舍去，此时122kk−=−，解得622k−=，负根舍去，所以22b=−；法二：不妨设点A第一象限，且,,,ABCD四点逆时针排布，为在设π,02AOx=，OAOBOCODr====，则()()ππcos,sin,cos,sinsin,cos

22ArrBrrrr++=−，由题意得两点存在曲线()3fxxbx=+上，所以3333sincoscoscossinsinrrbrrrbr=+=−−①②，由①得23sincoscosbr−

=，由②得23cossinsinbr+=−，联立两式得444433322sincos1tan2tan1tansincossincostantan1tan2tanb+++===−−−−()222222221tan2tan1tan2tantan2tan222tan2t

an2tan−+−=−=−+212tan221tan2tan2tan2=−+=−+，因为23sincos0cosbr−=，23cossin0sinbr+=−，故sincos0b

−，cossin0b+，又sin0,cos0>>，所以只有0b时，才能使得两式恒成立，故tan20，由基本不等式可得22tan22tan222tan2tan2b=−+−=−，当且仅当2tan

2tan2=，即tan22=时，等号成立，由题意，有唯一解，故22b=−.故选：C【点睛】正方形ABCD唯一性转化为根的个数问题，再结合问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等）进行求解，需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，较为

复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

选错的得0分1）9.若211877CCCxxx−−=+，则正整数x的值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】AC【解析】【分析】由组合数的性质得到2188CCxx−=，列出方程，求出答案.【详解】因为1778CCCxxx−+=

，所以2188CCxx−=，即21xx−=或218xx−+=，解得1x=或3，经检验均满足要求.故选：AC10.有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）A.6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B.6人站成一

排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C.6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D.6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种【答案】ACD【解析】【分析】A选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排

法；B选项，利用倍缩法求解；C选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分组，再进行全排列，得到答案.【详解】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有44A24=种排法，再将甲

、乙两人插空，有25A20=种排法，则共有2420480=种不同的排法，A正确；B选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即6633A120A=种不同的站法，B错误；C

选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有2223642333CCCA90A=种不同的安排方法，C正确；D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们

一组，共有13C3=种分法；若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有2131CC3=种分法；共有6种分组方法，D正确.故选：ACD11.初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次有理运算及有限次的复合产生的，且能用一个解析式表示的函数，如函数2

()(0)fxxx=，我们可作变形：()lnlneexxxxxfxx===，所以()xfxx=可看作是由函数()etpt=和()lngxxx=复合而成的，即()(0)xfxxx=为初等函数，已知初等函

数()(0)xfxxx=，1()(0)xgxxx=，则（）A.()(0)xfxxx=极小值点为1ex=B.1()(0)xgxxx=极小值为1C.()()fxgxD.直线:lyx=是曲线()yfx=与()ygx=的一条公切线【答案】ACD【解析】【分析】根据

复合函数的求导法则以及导数的几何意义判断．【详解】()xfxx==lnexx，设lntxx=，即()etfx=，则()(e)e1ln)(1ln)ttxfxtxxx==+=+（，1ln()exxxgxx==，同理12(1ln)()xxxgx

x−=，10ex时，()0fx，()fx单调递减，1ex时，()0fx，()fx单调递增，所以1ex=是()fx的极小值点，A正确；的0ex时，()0gx，()gx单调递增，ex时，()0gx，()gx单调递增，

所以()gx有极大值为1e(e)eg=，无极小值，B错误；21(1)lnlnlnxxxxxxx−−=，01x时，210x−，ln0x，2(1)ln0xxx−，1lnlnxxxx；1x=时，1lnln0xx

xx−=，即1lnlnxxxx=；1x时，210x−，ln0x，2(1)ln0xxx−，所以0x时，1lnlnxxxx，所以()()fxgx，C正确；由C知(1)(1)1fg==，又(1)(1)1fg==，所以直线11yx

−=−即直线yx=是曲线()yfx=的切线也是曲线()ygx=的切线，即为它们的一条公切线，D正确．故选：ACD．12.如图①，在矩形ABCD中，22ABAD==，E为CD的中点将CBE沿直线BE翻折至1CBE△的位置，使得平面1CBE

⊥平面ABED，如图②所示，下列说法法正确的有（）A.平面1CAE⊥平面1CBEB.异面直线1CA与BE所成角余弦值为66C.点B到平面1CAD的距离为33D.二两角1DCAE−−的正弦值为3311【答案】ABD【解析】【分析】对于A项，通过勾股定理证得

AEBE⊥，再结合面面垂直的性质定理证得⊥AE平面1CBE，再运用面面垂直的判定定理证得平面1CAE⊥平面1CBE.建立空间直角坐标系，运用异面直线所成角公的式、点到面的距离公式及二面角公式计算可分别判定B项、C项、D项.【详解】对于A

项，如图所示，在RtADE△中，1ADDE==，所以2AE=，在1RtBCE△中，111BCCE==，所以2BE=，又因为2AB=，所以222AEBEAB+=，所以AEBE⊥，又因为平面1CBE⊥平面ABED，平面1CBE平面ABEDBE

=，AE平面1CBE，所以⊥AE平面1CBE，又因为AE平面1CAE，所以面1CAE⊥平面1CBE，故A项正确；对于B项，取BE中点M，AB中点N，连接1CM、MN，则1CMBE⊥，//MNAE，由A项知，⊥AE平面1CBE，所以MN

⊥平面1CBE，所以以点M为原点，分别以MN、MB、1MC为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0M，12(0,0,)2C，2(2,,0)2A−，2(0,,0)2B，2(0,,0)2E−，2(,2

,0)2D−所以122(2,,)22CA=−−，(0,2,0)BE=−，所以111||16|cos,|6||||112222CABECABECABE===++，所以异面直线1CA与BE所成角的余弦值为66，故B项正确；对于C项，因为122(2,,)22

CA=−−，122(,2,)22CD=−−，122(0,,)22CB=−，设平面1CAD的一个法向量为1111(,,)nxyz=，则111111111122200220222022xyznCAnCDxyz−−==

=−−=，取11x=，则11y=−，13z=，所以1(1,1,3)n=−，所以点B到平面1CAD的距离为111232||||2222211||119CBndn−−===++，故C项错误；

对于D项，由C项知，平面1CAD的一个法向量为1(1,1,3)n=−，设平面1CAE一个法向量为2222(,,)nxyz=，又122(0,,)22CE=−−，则2222121222220022022022xyznCAnCEyz−−===

−−=，取21y=，则21z=−，20x=，所以2(0,1,1)n=−，所以12121213222cos,11||||1192nnnnnn−−−===++，所以2121233sin,1cos,11nnnn=−=，所以二面角1DCAE−−的正弦值为3311，故D项正

确.故选：ABD.第II卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代

北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联:“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为:“回文数”.如44，585，2662等，那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为_____

__.【答案】36【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：①4位“回文数”中数字全部相同，②4位“回文数”中有2个不同的数字，求出每种情况下4位“回文数”的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：

①4位“回文数”中数字全部相同，有6种情况，即此时有6个4位“回文数”；②4位“回文数”中有2个不同的数字，有2630A=种情况，即此时有30个4位“回文数”；则一共有63036+=个4位“回文数”；故答案为：36．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类

计数原理的应用，关键是理解“回文数”的定义，属于基础题．14.有一道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经过C、D点到达B点的最短路径有___________种.【答案】24【解析】【分析】根据已知，要想避开C、D点，需分步考虑.得到每一

步的方法种类，用分步计数原理乘起来即可得出答案.【详解】如图，由已知可得，应从A点，先到E点，再到F点，最后经点G到B点即可.第一步：由A点到E点，最短路径为4步，最短路径方法种类为1343CC4=；第二

步：由E点到F点，最短路径为3步，最短路径方法种类为1232CC3=；第三步：由F点经点G到B点，最短路径为3步，最短路径方法种类为111121CCC2=.根据分步计数原理可得，最短路径有43224=种.故答案为：24.15.在正方体1111ABCDABCD−中，点E是棱1CC的中点

，P是侧面11BCCB上的动点，满足1PC//平面1AED，若该正方体的棱长为1，则点P到直线AE的距离的最小值为__________.【答案】13【解析】【分析】根据线面平行分析可得：点P在线段1BC上，结合异面直线的距离以及垂直关系分析运算.【详解】因为AB//1

1CD，11ABCD=，所以11ABCD为平行四边形，则1AD//1BC，1BC平面1AED，1AD平面1AED，可得1BC//平面1AED，故点P在线段1BC上（点1C除外），点P到直线AE的距离的最小值为异面直线1,AEBC之间的距离，如图，

以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()111,0,0,1,1,0,0,1,1,0,1,2ABCE，可得()111,1,,1,0,12AEBC=−=−uuuruuur，设1,AMAEBNBC==uuuruuuruuuruuur，可得()1

1,,,1,1,2MN−−，则1,1,2MN=−−−uuur，令()()()1111022102MNAEMNBC=−−+−+−==−−+−=，解得8923==，即

212,,999MN=uuur，此时1,MNAEMNBC⊥⊥uuuruuuruuuruuur，符合题意，所以点P到直线AE的距离的最小值为22221219993MN=++=uuur.故答案为：13.16.若关于x的不等式e(2)ln0xxax

ax−+−恒成立，则实数a的取值范围是_____.【答案】()30,e.【解析】【分析】令extx=，不等式转化为ln20tata−+在(0,)t+恒成立，令()ln2fttata=−+，求得()taftt−=，当0a时，得到()ft单调递增，结合0t→时，

()ft→−，不符合题意；当0a时，求得函数单调性和最小值()3lnfaaaa=−，得到3ln0aaa−，即可求解.【详解】令extx=，由0x时，可得0t，则lnlnelnxtxxx==+

，则不等式()e2ln0xxaxax−+−，即为ln20tata−+在(0,)t+恒成立，令()ln2fttata=−+，可得()1atafttt−=−=，当0a时，可得()0ft，可得()ft单

调递增，因为0t→时，()ft→−，不符合题意，舍去；当0a时，令()0ft=，可得ta=，当(0,)ta时，()0ft，()ft单调递减；当(,)ta+时，()0ft，()ft单调递增，所以当ta=时，函数()ft取得极小值，即为最

小值()ln23lnfaaaaaaaa=−+=−，因为不等式()e2ln0xxaxax−+−恒成立，即为()0ft恒成立，则满足3ln0aaa−，即3ln0a−，解得30ea，所以实数a的取值范围是()30,e.故答案为：()30,e.三、解答

题（本大题共5小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列{}na满足15a=，123nnnaa+−=（*nN）.记3nnnba=−.（1）求证：{}nb等比数列；（2）设nncnb=

，求数列{}nc的前n项和.【答案】（1）证明见解析（2）()1212nn++−【解析】【分析】（1）由等比数列定义证明1nnbqb+=即可；（2）使用错位相减法求和即可.【小问1详解】由已知，∵123nnnaa+−=，∴132nnnaa+=+，∵3nnnba=−，∴()111332332232

32nnnnnnnnnnnbaaaab+++=−=+−=−=−=，又∵15a=，∴1113532ba=−=−=，∴易知数列{}nb中任意一项不为0，∴12nnbb+=，∴数列{}nb是首项为2，公比为2的等比数列.【小问2详解】由第（1）问，1222nnnb−=

=，∴2nnncnbn==，∴设数列{}nc的前n项和为nS，则1231222322nnSn=++++①，①2得，是234121222322nnSn+=++++②，①−②得，2341222222nnnSn+−=+++++−，∴()11

1212222212nnnnnSnn+++−−=−=−+−−，∴()1212nnSn+=+−.∴数列{}nc的前n项和为()1212nn++−.18.如图，在四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，PACD⊥，1AD=，4CD

=.（1）证明：AD⊥平面PCD；（2）若3PD=，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）61025【解析】【分析】（1）由线线垂直证线面垂直即PDAD⊥，ADDC⊥即可证明结论；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空

间向量计算即可.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD，ADDC、平面ABCD，所以PDAD⊥，PDDC⊥，又PACD⊥，PA、PD平面PAD，PAPDP=，所以CD⊥平面PAD，而AD平面PAD，所以CDAD⊥，

DC、PD平面PAD，DCPDD=，所以AD⊥平面PCD；【小问2详解】由（1）知PD、DA、DC两两垂直，如图所示以D为中心建立空间直角坐标系，则()()()()1,0,01,4,00,4,00,0,3ABCP

、、、，()()()1,0,31,4,30,4,3PAPBPC=−=−=−、、，设面PBC的一个法向量为(),,nxyz=，则有00PBnPCn==，即430430xyzyz+−=−=，令3y=，则4,0zx==，即()0,3,4n=设直线PA与平面PBC

所成角为，则12610sincos,25510nPAnPAnPA====.19.已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且3a=，3sin(1cos)BbA=−.（1）求角A的大小；（2）若3AC=，

点D满足3CBCD=，点E满足DEAD=，求sinBEC.【答案】（1）π3（2）32114【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到3sin1cosAAa=−，因为3a=，求得3cossin322AA=，

进而求得3tan23A=，即可求得A的大小；（2）在ABC中，由余弦定理求得23AB=，再由1233ADABAC=+，根据向量的数量积的运算公式，求得2AD=，再在ABD中，求得3cos2BAD=，得到π6BAD=，进而得到π6CAD=，分别在ABE和ACE△中，求得

2BE=，7CE=，利用余弦定理求得1cos27BEC=，进而求得sinBEC的值.【小问1详解】解：因为3sin(1cos)BbA=−，可得3sin1cosBAb=−，由正弦定理得sinsina

bAB=，可得3sin1cosAAa=−，又因为3a=，可得3sin1cos3AA=−，则223sincos2sin3222AAA=，因为π0(),22A，所以sin02A，可得3cossin322AA

=，所以3tan23A=，又因为π0(),22A，可得π26A=，所以π3A=.【小问2详解】解：在ABC中，因为3,3aBCAC===且π3A=，由余弦定理得2222cosBCABACABACA=+−，即2193232ABAB=+−，

即2360ABAB−−=，解得23AB=或3AB=−（舍去），设,ABaACb==，因为3CBCD=，可得12123333ADABACab=+=+，所以222214412124π36233cos499999939ADA

Dabab==++=++==，所以2AD=，即2AD=，又因为DEAD=，所以2DEAD==，所以4AE=，在ABD中，可得2223cos22ABADBDBADABAD+−==，可得π6BAD=，因为π3

A=，所以π6CAD=，在ABE中，可得222π32cos12162234462BEABAEABAE=+−=+−=，所以2BE=，在ACE△中，可得222π32cos316234762CEACAEACAE=+−=+−=，所以7CE=，在BCE中，可得222

4791cos222727BECEBCBECBECE+−+−===，所以321sin1cos14BECBEC=−=20.如图，已知在三棱柱111ABCABC-中，11AB=，15AA=，2ABBC==，30BAC=

，平面11ABBA⊥平面ABC.（1）求1AA与BC所成角的余弦值；（2）在棱1AA上是否存在一点E，使得二而角1EBCB−−的余弦值为51326−？若存在，求出1AEAA的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）55；（2）存在，且

113AEAA=．【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成的角；（2）假设存在点E满足题意，设1AEAA=（(01)，由空间向量法求二面角得值，从而得出结论．

【小问1详解】因为11AB=，15AA=，2ABBC==，30BAC=，所以22211AAABAB=+，所以1ABAB⊥，120ABC=，30ACB=，以BA为x轴，平面ABC内，过B与AB垂直的直线为y轴，1BA为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A，(0,

0,0)B，(1,3,0)C−−，1(0,0,1)A，1(2,0,1)AA=−，(1,3,0)BC=−−，11125cos,552AABCAABCAABC===，所以1AA与BC所成角的余弦值是55；【小问2详解】假设存在点E满足题意，设1AEAA=（(01)，则(2,0,)AE=

−，(22,0,)BEAEBA=+=−，11(2,0,1)BBAA==−，设平面EBC的一个法向量是111(,,)mxyz=，则1111(22)030mBExzmBCxy=−+==−−=，取11y=−，则13x

=，123(1)z−=，23(1)(3,1,)m−=−，设平面11BCCB的一个法向量是222(,,)nxyz=，则221223020nBCxynBBxz=−−==−+=，取21y=，则23x=−，223z=−，即(3,1,23)n

=−−，2212(131513cos,2612(1)133112mnmnmn−−−−===−++++，解得13=或76=（舍去），由图可知当13=，二面角1EBCB−−是钝二面角，满足题意，此时113AE

AA==．21.已知()esin1xfxxax=+−−，a为实数．（1）若(0)0f=，求a的值，并讨论()fx的单调性；（2）若0x时，()0fx，求实数a的取值范围；（3）当ea=时，若12π,0,,2xx12()()fxfx=，且()fx在xt=

处取极值，求证：122.xxt+【答案】（1）2a=，()fx的减区间是(,0)−，增区间是(0,)+；（2）(,2]−；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出()fx，由(0)0f=得2a=，再利用()0fx得减区间，()0fx得增区间，（2）由(0)

0f=，()0fx在0x时恒成立得存在00x，在0(0,)x上()fx单调递增，即()0fx恒成立，由此(0)0f，得必要条件2a，然后证明其也是充分条件即可得参数范围；（3）利用导数确定

()fx的单调性与极值，得π02t，不妨设12xx有12π02xtx，从而12πttx−，因此问题转化为只要证11()(2)fxftx−，构造函数()()(2)hxfxftx=−−(0)x

t，利用导数证明()0hx（需要多次求导），从而得出证明．【小问1详解】由题意()ecosxfxxa=+−，(0)110fa=+−=，2a=，即()ecos2xfxx=+−，显然0x时，()0fx，()fx单调递减，令()()ecos2xgxfxx==+−

（0x），则()esinxgxx=−，易知0x时，()0gx，()gx单调递增，()(0)0fxf=，所以()fx单调递增，所以()fx的减区间是(,0)−，增区间是(0,)+；【小问2详解】()ecosxfxxa=+−，(0)0f=，因此由题意知存在00x，在0(0,)x

上()fx单调递增，即()0fx恒成立，从而(0)0f，所以2a，下证2a时，0x时，()0fx恒成立，由（1）知2a=时，0x时，()0fx恒成立，2a时，由0x得esin1esin21xxxaxxx+

−−+−−，因此()0fx恒成立，综上，a的取值范围是(,2]−；【小问3详解】ea=，()esine1xfxxx=+−−，()ecosexfxx=+−，由（1）知()fx在[0,+）上是增函数，(0)2e0f=−，π2ππ()ecose022

f=+−，所以存在π(0,2t），使得()0ft=，在(0,)t上()0fx，()fx单调递增，在π(,)2t即在(,)t+上，()0fx，()fx单调递增，xt=是()fx的极值点（极小值点），()ft=e

cose0tt+−=．(0)0f=，则()0ft，又π2π()e1e102f=+−−，因此在π(,)2t时存在0x，值得0()(0)0fxf==，所以由12()()fxfx=，不妨设12xx，则12π02xtx，要证122xxt+，即证212xtx−

，因为10xt，所以122πttxt−，由()fx在(0,)+上单调递增，且12()()fxfx=，因此只要证11()(2)fxftx−，设()()(2)hxfxftx=−−(0)xt，2()esineesin(2)e(2)xtxhxxxtxtx−=+−−−−+−，2()e

ecoscos(2)2extxhxxtx−=+++−−，令()()xhx=(0)xt，则2()eesinsin(2)xtxxxtx−=−−+−，设2()()eesinsin(2)xtxxxxtx−==−−+−(0)xt，则2()eecoscos(2)xtxxxtx

−=+−−−0，()x是增函数，即()x是增函数，()()0xt=，所以()x即()hx是减函数，()()0hxht=，所以()hx是增函数，从而()()0hxht=，所以()(2)f

xftx−，即11()(2)fxftx−成立，综上，122.xxt+【点睛】方法点睛：证明与函数的极值点、方程的根有关的不等式的方法，一般利用导数确定极值点t的范围，确定相应方程根12,xx的存在性与范围，同时不妨设12xx，本题中得出12π02xtx，这样要证明的不等式变

形为212xtx−，结合21,2xtx−在()fx的单调增区间上，因此不等式转化为函数不等式21()(2)fxftx−，然后由方程根转化为11()(2)fxftx−，达到了消元的目的，然后再构造函数

()()(2)hxfxftx=−−，利用导数证明()0≤hx成立，从而得出结论．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com