【文档说明】湖南省名校2024-2025学年高三上学期10月联考试题 数学 Word版含解析.docx，共(18)页，319.060 KB，由小赞的店铺上传

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2024年高三10月联考卷数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答

题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合𝐴

={𝑥|ln(𝑥−1)≥0}，集合𝐵={𝑥|𝑥2−3𝑥<0}，则𝐴∪𝐵=（）A．(0,2]B．[2,3)C．(0,+∞)D．[2,+∞)2．已知i为虚数单位，复数𝑧满足|𝑧+1|=|𝑧+i|=√5，则|𝑧|的值为（）A．1B．√2C

．√2或2√2D．1或√23．已知向量𝑎⃗=(2,0)，𝑏⃗⃗=(𝜆,√32)，若向量𝑏⃗⃗在向量𝑎⃗上的投影向量𝑐⃗=(12,0)，则|𝑏⃗⃗|=（）A．√3B．√7C．√104D．14．已知函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥

)，且在区间[1,+∞)上单调递减.设𝑎=𝑓(−ln1.1)，𝑏=𝑓(20.4)，𝑐=𝑓(log25)，则（）A．𝑎>𝑏>𝑐B．𝑏>𝑐>𝑎C．𝑐>𝑏>𝑎D．𝑏>𝑎>𝑐5．已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（

）A．√33𝑅B．√63𝑅C．12𝑅D．13𝑅6．已知函数𝑓(𝑥)的图象如图所示，则不等式(𝑥+1)𝑓′(𝑥)<0的解集为（）A．(−∞,−1)∪(12,2)B．(−∞,−1)∪(2,+

∞)C．(−1,1)∪(3,+∞)D．(−∞,−12)∪(2,+∞)7．若正项等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛𝑎𝑛+1=22𝑛(𝑛∈𝐍*)，则数列{𝑎𝑛}的前4项的和𝑆4的值是（）A．15√2B

．15√24C．8√2D．6√2+68．已知小明射箭命中靶心的概率为35，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（）A．36625B．925C．144625D．216625二、选择

题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9．如图，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1

中，𝐴𝐴1=2，𝐴𝐵=𝐵𝐶=1，∠𝐴𝐵𝐶=120°，侧面𝐴𝐴1𝐶1𝐶的对角线交点𝑂，点𝐸是侧棱𝐵𝐵1上的一个动点，下列结论正确的是（）A．直三棱柱的侧面积是4+2√3B．直三棱柱的外接球表面积是4πC．三棱锥𝐸−

𝐴𝐴1𝑂的体积与点𝐸的位置无关D．𝐴𝐸+𝐸𝐶1的最小值为2√210．已知△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（）A．若𝑎2tan𝐵=𝑏2tan𝐴，则𝑎=𝑏B．若cos2𝐴2=𝑏+𝑐2𝑐，则

此三角形为直角三角形C．若𝑎=3,𝑏=4,𝐵=𝜋6，则解此三角形必有两解D．若△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形，则sin𝐴+sin𝐵＞cos𝐴+cos𝐵11．已知数列{𝑎𝑛}的首项为𝑎1=1，且9𝑎𝑛𝑎

𝑛+1=𝑎𝑛−4𝑎𝑛+1，数列{1𝑎𝑛}、数列{4𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+1}、数列{𝑛𝑎𝑛1+3𝑎𝑛}的前𝑛项和分别为𝑆𝑛、𝑅𝑛、𝑇𝑛，则（）A．𝑎𝑛+1𝑎𝑛<15B．𝑆𝑛<4�

�+13−4C．𝑅𝑛<13D．𝑇𝑛<49−𝑛+14𝑛+1三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）12．已知𝑥>1，𝑦>0，且𝑥+2𝑦=2，则1𝑥−1+𝑦的最小值是．13．已知函数�

�(𝑥)=sin(2π𝜔𝑥)(𝜔>0)在区间[0,18]上有且仅有5个零点，则𝜔的取值范围是．14．设函数𝑓(𝑥)={|𝑥+𝑚|,𝑥<0,−√2𝑚2√𝑥,𝑥≥0.给出下列四个结论：①当𝑚=0时，函数𝑓(𝑥)在

(−∞,+∞)上单调递减；②若函数𝑓(𝑥)有且仅有两个零点，则𝑚>0；③当𝑚<0时，若存在实数𝑎,𝑏，使得𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)，则|𝑎−𝑏|的取值范围为(2,+∞)；④已知点𝑃(−𝑚,0)，函数𝑓(𝑥

)的图象上存在两点𝑄1(𝑥1,𝑦1),𝑄2(𝑥2,𝑦2)(𝑥1<𝑥2<0)，𝑄1,𝑄2关于坐标原点𝑂的对称点也在函数𝑓(𝑥)的图象上．若|𝑃𝑄1|+|𝑃𝑄2|=3√2

2，则𝑚=1．其中所有正确结论的序号是．四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑆5=62，𝑆10

=2046，数列{𝑏𝑛}满足𝑏1+2𝑏2+⋯+𝑛𝑏𝑛=𝑛(𝑛+1)(4𝑛−1)6．(1)求数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的通项公式；(2)令𝑐𝑛=𝑎𝑛(1+𝑏𝑛)2，求{𝑐𝑛}的前

𝑛项和𝑇𝑛．16．（15分）如图，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝐴1，𝐵1，𝐶1分别是侧棱𝑃𝐴，𝑃𝐵，𝑃𝐶的中点，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴1𝐶⊥平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶.(1)求证：平面𝐴1𝐵1𝐶

⊥平面𝐴1𝐵1𝐶1；(2)如果𝐴1𝐶=𝐵1𝐶，𝐴𝐵=𝐵𝐶=4，求二面角𝐴1−𝐵𝐵1−𝐶的余弦值.17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了𝐴,𝐵

两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从𝐴,𝐵两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择𝐴健身中心健身的概率分别为12,13,23，求这三

人中这一周恰好有一人选择𝐴健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择𝐴健身中心的概率为12.若丁周六选择𝐴健身中心，则周日仍选择𝐴健身中心的概率为14；若周

六选择𝐵健身中心，则周日选择𝐴健身中心的概率为23.求丁周日选择𝐵健身中心健身的概率；(3)现用健身指数𝑘(𝑘∈[0,10])来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定𝑘值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽

取一人，其𝑘值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过𝑛.若抽取次数的期望值不超过23，求𝑛的最大值.参考数据：0

.9829≈0.557,0.9830≈0.545,0.9831≈0.535.18．（17分）已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>1>𝑏>0)的离心率为√32，过点𝑀(1,0)的直线𝑙交椭圆𝐶于点𝐴,𝐵，且当𝑙⊥𝑥轴时，|

𝐴𝐵|=√3.(1)求椭圆𝐶的方程；(2)记椭圆𝐶的左焦点为𝐹，若过𝐹,𝐴,𝐵三点的圆的圆心恰好在𝑦轴上，求直线𝑙的斜率.19.对于四个正数m、n、p、q，若满足mqnp，则称有序数对(),

mn是(),pq的“下位序列”．（1）对于2、3、7、11，有序数对()3,11是()2,7的“下位序列”吗？请简单说明理由；（2）设a、b、c、d均为正数，且(),ab是(),cd的“下位序列”，试判断ab、cd

、acbd++之间的大小关系；（3）设正整数n满足条件：对集合02024,Nmmm内的每个m，总存在正整数k，使得(),2024m是(),kn的“下位序列”，且(),kn是()1,2025m+的“下位序列”，求正整数n的最小值

．数学参考答案1．【答案】C【解析】由ln(𝑥−1)≥0可得：𝑥≥2，所以𝐴=[2,+∞)，由𝑥2−3𝑥<0可得：0<𝑥<3，所以𝐵=(0,3)，所以𝐴∪𝐵=(0,+∞).故选：C.2．【答案】C【解析】设𝑧

=𝑎+𝑏i，𝑎,𝑏∈𝐑，则𝑧+1=(𝑎+1)+𝑏i，𝑧+i=𝑎+(𝑏+1)i，因为|𝑧+1|=|𝑧+i|=√5，所以{(𝑎+1)2+𝑏2=5𝑎2+(𝑏+1)2=5，⇒{𝑎=1𝑏=1或{𝑎=−2𝑏=−2当𝑎=𝑏=1时，|𝑧|=√2；当𝑎=𝑏=

−2时，|𝑧|=2√2.故选：C3．【答案】D【解析】解：由已知可得，𝑏⃗⃗在𝑎⃗上的投影向量为𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗|𝑎⃗⃗|⋅𝑎⃗⃗|𝑎⃗⃗|=2𝜆2×2𝑎⃗=𝜆2𝑎⃗=(𝜆,0)，又𝑏⃗⃗在𝑎⃗上的投影向量𝑐⃗

=(12,0)，所以𝜆=12.所以|𝑏⃗⃗|=√𝜆2+(√32)2=√(12)2+(√32)2=√14+34=1，D正确．故选：D.4．【答案】D【解析】由𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)，得到对称轴为𝑥=1，则𝑎=𝑓(−ln1.1)=𝑓(2+ln

1.1)，而1<20.4<2+ln1.1<log25，又𝑓(𝑥)在[1,+∞)上单调递减，则𝑓(20.4)>𝑓(2+ln1.1)>𝑓(log25)，得𝑏>𝑎>𝑐.故选：D5．【答案】B【解析】设圆

锥的底面半径为𝑟，高为ℎ，则𝑟2+ℎ2=𝑅2，可得𝑟2=𝑅2−ℎ2,ℎ∈(0,𝑅)，则圆锥的体积𝑉(ℎ)=13π𝑟2ℎ=13π(𝑅2−ℎ2)ℎ=13π(𝑅2ℎ−ℎ3)，则𝑉′=13π(𝑅2−3ℎ2)，当0<ℎ

<√33𝑅时，𝑉′(ℎ)>0；当√33𝑅<ℎ<𝑅时，𝑉′(ℎ)<0；则𝑉(ℎ)在(0,√33𝑅)上单调递增，在(√33𝑅,𝑅)内单调递减，可知当ℎ=√33𝑅，即𝑟=√63𝑅时，圆锥的体积取到最大值.故选：B.

6．【答案】A【解析】由函数𝑓(𝑥)的图象可得：当𝑥∈(−∞,12)时，函数单调递增，则𝑓′(𝑥)>0，当𝑥∈(12,2)时，函数单调递减，则𝑓′(𝑥)<0．当𝑥∈(2,+∞)时，函数单调递增，则𝑓′(𝑥)>0，由(𝑥+1)𝑓′(𝑥)<0⇔{𝑓′(𝑥)>0𝑥

+1<0①或{𝑓′(𝑥)<0𝑥+1>0②解①得，𝑥<−1，解②得，12<𝑥<2，综上，不等式(𝑥+1)𝑓′(𝑥)<0的解集为(−∞,−1)∪(12,2).故选：A．7．【答案】A【解析】设正项等比数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞>0，

因为𝑎𝑛𝑎𝑛+1=22𝑛(𝑛∈N∗)，所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛+2𝑎𝑛𝑎𝑛+1=22(𝑛+1)22𝑛=4=𝑞2，解得𝑞=2，所以𝑎𝑛2×2=22𝑛(𝑎𝑛>0)，所以𝑎𝑛=

22𝑛−12，所以𝑎1=22−12=√2，所以𝑆4=√2(1−24)1−2=15√2，所以数列{𝑎𝑛}的前4项的和𝑆4的值为15√2.故选：A.8．【答案】D【解析】由已知命中的概率为35，不命中的概率为25，射击4次，命中两次，故概率𝑃=C42(35)2×(25)2=2

16625.故选：D.9．【答案】ACD【解析】A.△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=√12+12−2×1×1×(−12)=√3，所以直棱柱的侧面积为(1+1+√3)×2=4+2√3，故A正确；B.△𝐴𝐵𝐶外接圆的半径𝑟=𝐴�

�2sin120∘=1，所以直棱柱外接球的半径𝑅=√𝑟2+(𝐴𝐴12)2=√2，则直三棱柱外接球的表面积𝑆=4π𝑅2=8π，故B错误；C.因为𝐵𝐵1//𝐴𝐴1，且𝐵𝐵1⊄平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶，𝐴𝐴1⊂平

面𝐴𝐴1𝐶1𝐶，所以𝐵𝐵1//平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶，点𝐸在𝐵𝐵1上，所以点𝐸到平面𝐴𝐴1𝐶1𝐶的距离相等，为等腰三角形𝐴𝐵𝐶底边的高为12，且△𝐴𝐴1𝑂的面积为12×2×√32=√32，则三棱锥�

�−𝐴𝐴1𝑂的体积为定值13×√32×12=√312，与点𝐸的位置无关，故C正确；D.将侧面展开为如图长方形，连结𝐴𝐶1,交𝐵𝐵1于点𝐸，此时𝐴𝐸+𝐸𝐶1最小，最小值为√22+(1+1)2=2√2，故D正确.故选：ACD10．【

答案】BD【解析】对于A：因为𝑎2tan𝐵=𝑏2tan𝐴，由正弦定理可得sin2𝐴tan𝐵=sin2𝐵tan𝐴，则sin2𝐴sin𝐵cos𝐵=sin2𝐵sin𝐴cos𝐴,又𝐴,𝐵∈(0,𝜋)，则sin𝐴≠

0，sin𝐵≠0，2𝐴,2𝐵∈(0,2𝜋)，可得sin𝐴cos𝐵=sin𝐵cos𝐴，整理得sin2𝐴=sin2𝐵，又因为𝐴+𝐵∈(0,𝜋)，可得2𝐴=2𝐵或2𝐴+2𝐵=𝜋，即𝐴=𝐵或𝐴+

𝐵=𝜋2，所以𝑎=𝑏或𝑎2+𝑏2=𝑐2，故A错误；对于B：因为1+cos𝐴2=𝑏+𝑐2𝑐=sin𝐵+sin𝐶2sin𝐶，则2sin𝐶+2cos𝐴sin𝐶=2sin𝐵+2sin𝐶，所以co

s𝐴sin𝐶=sin𝐵=sin[𝜋−(𝐴+𝐶)]=sin(𝐴+𝐶)=sin𝐴cos𝐶+cos𝐴sin𝐶，所以sin𝐴cos𝐶=0，在三角形中，sin𝐴＞0，所以cos𝐶=0，所以𝐶=𝜋2，则此三角形为直角三角形，故B正确；对于C：因为�

�=3,𝑏=4,𝐵=𝜋6，所以𝑎sin𝐵=32，所以𝑎sin𝐵＜𝑎＜𝑏，则解此三角形只有一解，故C错误；对于D：因为△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形，所以0＜𝐶＜𝜋2，所以𝜋2＜𝐴+𝐵＜𝜋，所以0＜𝜋2−𝐵＜𝐴＜𝜋2，所以sin(𝜋2−𝐵)＜sin

𝐴，即cos𝐵＜sin𝐴，同理cos𝐴＜sin𝐵，则sin𝐴+sin𝐵＞cos𝐴+cos𝐵，故D正确．故选：BD.11．【答案】BCD【解析】若数列{𝑎𝑛}中存在某项𝑎𝑘=0，由9𝑎𝑛𝑎𝑛+1=𝑎

𝑛−4𝑎𝑛+1可推得𝑎𝑘−1=𝑎𝑘+1=0，进而{𝑎𝑛}所有项均为0，与𝑎1=1矛盾，故数列{𝑎𝑛}均为非零项．由9𝑎𝑛𝑎𝑛+1=𝑎𝑛−4𝑎𝑛+1两边同时除以𝑎𝑛

𝑎𝑛+1，可得9=1𝑎𝑛+1−4𝑎𝑛，所以1𝑎𝑛+1+3=4(1𝑎𝑛+3),1𝑎1+3=4≠0，故数列{1𝑎𝑛+3}是以4为首项，公比为4的等比数列，所以1𝑎𝑛+3=4𝑛，即𝑎𝑛=14𝑛−3，对于A，因为𝑎𝑛=14𝑛−3，可得�

�2=113,𝑎3=161,𝑎3𝑎2=1361>15，矛盾，所以A错误；对于B，由𝑆𝑛=(41−3)+(42−3)+⋯+(4𝑛−3)=43(4𝑛−1)−3𝑛=4𝑛+13−43−3𝑛<4𝑛+13−1−3=4𝑛+13−4，

所以𝑆𝑛<4𝑛+13−4成立，所以B正确；对于C，由4𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+1=4𝑛(4𝑛−3)(4𝑛+1−3)=13(14𝑛−3−14𝑛+1−3)，所以𝑅𝑛=13[(1−142−3)+(142−3−143−3)+⋯+(14𝑛−3−14𝑛+1−3)]=13(1−14𝑛

+1−3)<13，所以C正确；对于D，因为𝑛𝑎𝑛1+3𝑎𝑛=𝑛4𝑛,𝑇𝑛=14+242+343+⋯+𝑛4𝑛，则14𝑇𝑛=142+243+344+⋯+𝑛4𝑛+1，错位相减得34𝑇𝑛=14+14

2+143+144⋯+14𝑛−𝑛4𝑛+1=14(1−(14)𝑛)1−14−𝑛4𝑛+1=13−13×4𝑛−𝑛4𝑛+1，则𝑇𝑛=49−43×(13×4𝑛+𝑛4𝑛+1)<49−44×(14×4𝑛+𝑛4𝑛

+1)=49−𝑛+14𝑛+1成立，所以D正确．故选：BCD12．【答案】3+2√2/2√2+3．【解析】由𝑥+2𝑦=2，得𝑥−1+2𝑦=1，因为𝑥>1，𝑦>0，所以𝑥−1>0,𝑦>0，所以1𝑥−1+𝑦=(𝑥

−1+2𝑦)(1𝑥−1+𝑦)=3+(𝑥−1)𝑦+2(𝑥−1)𝑦≥3+2√(𝑥−1)𝑦⋅2(𝑥−1)𝑦=3+2√2，当且仅当(𝑥−1)𝑦=2(𝑥−1)𝑦，即𝑥=√2，𝑦=2+√2

时，等号成立，所以1𝑥−1+𝑦的最小值是3+2√2．故答案为：3+2√2．13．【答案】19≤𝜔<536【解析】因为𝑓(𝑥)=sin(2π𝜔𝑥)，所以函数𝑓(𝑥)的最小正周期𝑇=2π2π𝜔=1𝜔(𝜔>0)．因为𝑓(𝑥)在区间[0,18]上有5个零点，所以2𝑇

≤18<52𝑇，即2𝜔≤18<52𝜔，可得19≤𝜔<536；故答案为：19≤𝜔<536.14．【答案】②③④【解析】当𝑚=0时，𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=0，故在(−∞,+∞)上不是单调递减，①错误；对于②，当𝑚=0显然不

成立，故𝑚≠0，当𝑥≥0时，令𝑓(𝑥)=0，即−√2𝑚2√𝑥=0，得𝑥=0，𝑥<0,|𝑥+𝑚|=0⇒𝑥=−𝑚，要使𝑓(𝑥)有且仅有两个零点，则−𝑚<0，故𝑚>0，②正确，对于③

,当𝑚<0时,𝑓(𝑥)={−𝑥−𝑚,𝑥<0,−√2𝑚2√𝑥,𝑥≥0.,此时𝑓(𝑥)在(−∞,0)单调递减，在[0,+∞）单调递增，如图：若𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)，由−𝑚=−√2𝑚2√𝑥⇒𝑥=2，故|𝑎−𝑏|>2

，所以|𝑎−𝑏|的取值范围为(2,+∞)；③正确对于④,由①③可知：𝑚≤0时，显然不成立,故𝑚>0，要使𝑄1(𝑥1,𝑦1),𝑄2(𝑥2,𝑦2)(𝑥1<𝑥2<0)，𝑄1,𝑄2关于坐标原点𝑂的对称点也在函数𝑓(𝑥)的图象上，则只需要𝑥>0,𝑦=−|𝑥−�

�|的图象与𝑥≥0,𝑓(𝑥)=−√2𝑚2√𝑥有两个不同的交点，如图：故𝑥1<−𝑚<𝑥2<0，|𝑃𝑄1|+|𝑃𝑄2|=√2|−𝑚−𝑥1|+√2|𝑥2+𝑚|=−√2(𝑚+𝑥1)+√2(𝑥2+𝑚)=3√22⇒𝑥2−𝑥1=32，由对称可得𝑓(−𝑥1)=−√

2𝑚2√−𝑥1=−|−𝑥1−𝑚|=𝑥1+𝑚，化简可得𝑥1+𝑚+√2𝑚2√−𝑥1=0，故(√−𝑥1)2−√2𝑚2√−𝑥1−𝑚=0⇒√−𝑥1=√2𝑚2±√12𝑚2+4𝑚

2，𝑓(−𝑥2)=−√2𝑚2√−𝑥2=−|−𝑥2−𝑚|=−𝑥2−𝑚，化简得(√−𝑥2)2+√2𝑚2√−𝑥2−𝑚=0所以√−𝑥2=−√2𝑚2±√12𝑚2+4𝑚2由于−𝑥1,−𝑥2均大于0，所

以√−𝑥1=√2𝑚2+√12𝑚2+4𝑚2，√−𝑥2=−√2𝑚2+√12𝑚2+4𝑚2，因此𝑥2−𝑥1=(√−𝑥1)2−(√−𝑥2)2=(√2𝑚2+√12𝑚2+4𝑚2)2−(−√2𝑚2+√12𝑚2+4𝑚2)2=√2𝑚2√12𝑚2+4𝑚=√22√12�

�4+4𝑚3由于𝑚>0，𝑓(𝑚)=12𝑚4+4𝑚3为(0,+∞)单调递增函数，且𝑓(1)=92，此时𝑥2−𝑥1=√22√12𝑚4+4𝑚3=32，因此𝑚=1，④正确，故答案为：②③④15．【解析】（1）由题意知

，{𝑆5=62𝑆10=2046，即{𝑎1(1−𝑞5)1−𝑞=62𝑎1(1−𝑞10)1−𝑞=2046，解得{𝑎1=2𝑞=2，所以𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛−1=2𝑛；由𝑏1+2𝑏2+⋯+(𝑛−1)𝑏𝑛−1+𝑛𝑏𝑛=𝑛(𝑛+1)(4𝑛−

1)6，得𝑏1+2𝑏2+⋯+(𝑛−1)𝑏𝑛−1=(𝑛−1)𝑛(4𝑛−5)6(𝑛≥2)，两式相减，得𝑛𝑏𝑛=𝑛(𝑛+1)(4𝑛−1)6−(𝑛−1)𝑛(4𝑛−5)6=𝑛(2𝑛−1)，所以𝑏𝑛=2𝑛−1，当𝑛=1时，𝑏1=1满足上式，故𝑏𝑛=

2𝑛−1.（2）由（1）知，𝑎𝑛=2𝑛，𝑏𝑛=2𝑛−1，所以𝑐𝑛=𝑎𝑛(1+𝑏𝑛)2=2𝑛⋅(2𝑛)2=𝑛⋅2𝑛，𝑇𝑛=1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+(𝑛−1)⋅2𝑛−1+𝑛⋅2𝑛，2𝑇𝑛=1⋅22+2⋅23+3

⋅24+⋯+(𝑛−1)⋅2𝑛+𝑛⋅2𝑛+1，两式加减，得−𝑇𝑛=21+22+23+⋯+2𝑛−𝑛⋅2𝑛+1=2(1−2𝑛)1−2−𝑛⋅2𝑛+1=(1−𝑛)⋅2𝑛+1−2，所以𝑇𝑛=(𝑛−1)⋅2𝑛+1+

2.16．【答案】(1)证明见解析；(2)2√3417【解析】（1）因为𝐴1，𝐵1，𝐶1分别是侧棱𝑃𝐴，𝑃𝐵，𝑃𝐶的中点，所以𝐴1𝐵1//𝐴𝐵,𝐵1𝐶1//𝐵𝐶，因为𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，所以𝐴1𝐵1⊥𝐵1𝐶1，因

为𝐴1𝐶⊥平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶，𝐵1𝐶1⊂平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶，所以𝐴1𝐶⊥𝐵1𝐶1，又𝐴1𝐶∩𝐴1𝐵1=𝐴1,𝐴1𝐶,𝐴1𝐵1⊂平面𝐴1𝐵1𝐶，所以𝐵1𝐶1⊥平面𝐴

1𝐵1𝐶，又因为𝐵1𝐶1⊂平面𝐴1𝐵1𝐶1，所以平面𝐴1𝐵1𝐶⊥平面𝐴1𝐵1𝐶1；（2）因为𝐴1𝐶⊥平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶，𝐵𝐶,𝐵1𝐶⊂平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶，所以𝐴1𝐶⊥�

�1𝐶,𝐴1𝐶⊥𝐵𝐶，因为𝐴𝐵=𝐵𝐶=4，所以𝐴1𝐵1=𝐵1𝐶1=2，所以𝐴1𝐶=𝐵1𝐶=√2，因为𝐵1𝐶1⊥平面𝐴1𝐵1𝐶，𝐵1𝐶1//𝐵𝐶，所以𝐵𝐶⊥平面𝐴1𝐵1𝐶，又𝐵1𝐶⊂平面𝐴1𝐵1𝐶，所以�

�𝐶⊥𝐵1𝐶，所以𝐶𝐴1,𝐶𝐵,𝐶𝐵1两两垂直，如图，以点𝐶为原点，建立空间直角坐标系，则𝐵(4,0,0),𝐶(0,0,0),𝐴1(0,0,√2),𝐵1(0,√2,0)，故𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=

(0,√2,−√2),𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,0,−√2)，设平面𝐴1𝐵𝐵1的法向量为𝑛⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则有{𝑛⃗⃗⋅𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√2𝑦−√2𝑧=0𝑛⃗⃗⋅𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4𝑥−√2𝑧

=0，可取𝑛⃗⃗=(1,2√2,2√2)，因为𝐴1𝐶⊥平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶，所以𝐶𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,√2)即为平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶的一条法向量，故cos⟨𝑛⃗⃗,𝐶𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩=𝑛⃗⃗⋅𝐶𝐴

1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑛⃗⃗||𝐶𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√17×√2=2√3417，所以二面角𝐴1−𝐵𝐵1−𝐶的余弦值2√3417.17．【解析】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择𝐴健身中心健身的概率𝑃=12×(1−13)×(1−23)+(1−12)×13×

(1−23)+(1−12)×(1−13)×23=718.（2）记事件𝐶：丁周六选择𝐴健身中心，事件𝐷：丁周日选择𝐵健身中心，则𝑃(𝐶)=𝑃(𝐶̅)=12,𝑃(𝐷|𝐶)=1−14=34,𝑃(𝐷|𝐶̅)=

1−23=13，由全概率公式得𝑃(𝐷)=𝑃(𝐶)𝑃(𝐷|𝐶)+𝑃(𝐶̅)𝑃(𝐷|𝐶̅)=12×34+12×13=1324.故丁周日选择𝐵健身中心健身的概率为1324.（3）设从全校学生中随机抽取

1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为𝑝，则𝑝=0.02，设抽取次数为𝑋，则𝑋的分布列为𝑋123⋯𝑛−1𝑛𝑃𝑝(1−𝑝)𝑝(1−𝑝)2𝑝⋯(1−𝑝)𝑛−2𝑝(1−𝑝)𝑛−1故𝐸(𝑋)=𝑝+(1−𝑝)𝑝×2+(1−𝑝

)2𝑝×3+⋯+(1−𝑝)𝑛−2𝑝×(𝑛−1)+(1−𝑝)𝑛−1×𝑛，又(1−𝑝)𝐸(𝑋)=(1−𝑝)𝑝+(1−𝑝)2𝑝×2+(1−𝑝)3𝑝×3+⋯+(1−𝑝)𝑛−1𝑝×

(𝑛−1)+(1−𝑝)𝑛×𝑛，两式相减得𝑝𝐸(𝑋)=𝑝+(1−𝑝)𝑝+(1−𝑝)2𝑝+⋯+(1−𝑝)𝑛−2𝑝+(1−𝑝)𝑛−1𝑝，所以𝐸(𝑋)=1+(1−𝑝)+(1−𝑝)2+⋯+(1−𝑝)𝑛−2+(1−𝑝)𝑛−1=1−(1−𝑝)𝑛1−(1

−𝑝)=1−(1−𝑝)𝑛𝑝=1−0.98𝑛0.02，所以𝐸(𝑋)=1−0.98𝑛0.02在𝑛∈N∗时单调递增，可知当𝑛=29时，𝐸(𝑋)=1−0.98290.02≈1−0.5570.02=22.15

；当𝑛=30时，𝐸(𝑋)=1−0.98300.02≈1−0.5450.02=22.75；当𝑛=31时，𝐸(𝑋)=1−0.98310.02≈1−0.5350.02=23.25.若抽取次数的期望值不超过23，则𝑛的最大值为30.18．【解析

】（1）椭圆𝐶的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1，当𝑙⊥𝑥轴时，|𝐴𝐵|=√3，所以点(1,±√32)在椭圆上，依题意{𝑒=𝑐𝑎=√321𝑎2+34𝑏2=1𝑐2+𝑏2=𝑎2，解得𝑏=1，𝑎=2，𝑐=√3，∴椭圆𝐶的方程为

𝑥24+𝑦2=1；（2）设圆心𝑃(0,𝑚),𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),𝐹(−√3,0),显然直线𝑙的斜率存在，设𝑙:𝑦=𝑘(𝑥−1)，由|𝑃𝐴|2=|𝑃𝐵|2=|𝑃𝐹|2，

则𝑥12+(𝑦1−𝑚)2=𝑚2+3，又𝑥12=4(1−𝑦12)，代入得到：3𝑦12+2𝑚𝑦1−1=0，同理可得3𝑦22+2𝑚𝑦2−1=0，则𝑦1,𝑦2分别是3𝑦2+2𝑚𝑦−1=

0的两根，由韦达定理可得𝑦1𝑦2=−13，又联立𝑙:𝑦=𝑘(𝑥−1)与𝑥24+𝑦2=1，得(4𝑘2+1)𝑥2−8𝑘2𝑥+4𝑘2−4=0，∴𝑥1+𝑥2=8𝑘24𝑘2+1,𝑥1𝑥2=4𝑘2−44𝑘2+1，所以𝑦1𝑦2=

𝑘2[𝑥1𝑥2−(𝑥1+𝑥2)+1]=𝑘2(4𝑘2−44𝑘2+1−8𝑘24𝑘2+1+1)=−3𝑘24𝑘2+1,故−3𝑘24𝑘2+1=−13解得𝑘=±√55，直线𝑙的斜率为𝑘=±√55，19.【解析】（1）37112

，(3,11)是(2,7)的"下位序列"；（2）(),ab是(),cd的“下位序列”，adbc，a，b，c，d均为正数，故0()acabcadbdbbdb+−−=++，即0acabdb+−+，acabdb++，同理a

ccbdd++，综上所述：aaccbbdd++；（3）由已知得2024(1)2025mnkmnk+，因为,,mnk为整数，故1202412025mnkmnnk++−，2024(1)202420252025(1)mnnkmn+−+，40492024nm−，该式对

集合02024mm内的每一个Nm的每个正整数m都成立，4049404920242023n=−，所以正整数n的最小值为4049.