【文档说明】广东省2022届高三上学期开学阶段性质量检测数学试题 含答案.doc，共(17)页，1.661 MB，由小赞的店铺上传

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1广东省2022届高三开学阶段性质量检测数学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时150分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B

铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}02

3|{2+−=xxxA，+=111|xxB，则=)(BCARA．),2()1,0(+B．),2(]1,(+−−C．),2()1,0()1,(+−−D．),2()1,0()1,(+−−2．已知i311=−+zz，则zA

．i2321+B．i2321+−C．i2321−−D．i2321−3．已知圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的轴截面面积为A．952B．922C．95D．924．下列区间中，函数−=)23sin3)(xxf单调递增的区间是A．4,0

B．2,4C．43,2D．,435．若2tan−=，且2,23，则=+cossinA．553B．55C．55−D．553−6．已知直线l过抛物线xyC4:2=的焦点F，与抛物线C交于BA,

两点，且|||,||,|BFAFAB成等差数列，则直线l的斜率=k2A．1B．2C．2D．227．若过点)0)(,(aba可以作曲线xxy33−=的三条切线，则A．ab3−B．aaba333−−C．aab33−D．ab3−=或

aab33−=8．甲、乙、丙、丁等六名退休老党员相约去观看党史舞台剧《星火》，《星火》的票价为50元／人，每人限购一张票，甲、乙、丙三人各带了一张50元钞，其余三人各带了一张100元钞，他们六人排成一列到售票处买票，而售票处一开始没有准备50元零钱，那么他们六人共有多少种不同

排队顺序能使购票时售票处不出现找不出钱的状态．A．720B．360C．180D．90二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得

2分，有选错的得0分．9．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为．17cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2．下列说法中

正确的是A．男生样本量为30B．每个女生人样的概率均为52C．所有样本的均值为166cmD．所有样本的方差为22.2cm210．已知1||21||===OBOAOBOA，点P满足),(RyxOByOAxOP+=，则下列

说法中正确的是A．当1=+yx时，||OP的最小值为1B．当122=+yx时，1||=OPC．当21=x时，ABP的面积为定值D．当21=y时，||||BPAP=11．已知点P在圆5)5()4(:22=−+−yxC上，点)0,4(A，)2,0(B，则下列说法中正确的是A．点P到直

线AB的距离小于6B．点P到直线AB的距离大于2C．APBcos的最大值为54D．APB的最大值为212．已知函数axxxf−+=1ln)(有两个零点)(,2121xxxx、，则A．a的取值范围为)1,(−B．121

21−+xxxxC．221+xxD．21121+xx三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数)1,0(13)(=+=aaaxfxx是偶函数，则)(xf的最大值为.314．已知椭圆)0(1:22

22=+babyaxC的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且ABF是等腰三角形，则椭圆C的离心率为.15．102)123(++xx的展开式中，2x项的系数为.16．将正三角形(1)的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角

形，然后去掉底边，得到图(2)：将图(2)的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图(3)；如此类推，将图（n）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图(n+1)．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪

花曲线．若图(1)中正三角形的边长为1，则图（n）的周长为，图(n)的面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列}{na满足11=a，),2(2

*1Nnnnaann=+−.(1)记nnab2=，求数列}{nb的通项公式；(2)求数列}{na的前n项和nS.18．（12分）有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是9%.王某被确诊为新冠病毒感染者后，

当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．(1)设X为这78名密切接触者中被感染的人数，求X的数学期望；(2)核酸检测并不是100%准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即

漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为98%（即假阴性率为2%），特异度为99%（即假阳性率为1%）．已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）．19．(12分)已知A

BC中，3=ABC，ABC的平分线交AC于点D，32=BD.(1)若DCAD2=，求AC的长度；(2)求ABC面积的最小值．420．(12分)如图，在三棱锥ABCP−中，侧面PAC是等边三角形，PBPABCAB=⊥,.(1)证明：平面⊥PAC平面ABC(2

)若ABAC2=，点M在棱PC上，且二面角CABM−−的大小为45°，求PCPM.21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到点)0,2(F的距离与它到直线23=x的距离之比为332.记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点F作两条互相垂直的直线121,ll

l交曲线C于BA,两点，2l交曲线C于TS,两点，线段AB的中点为M，线段ST的中点为N.证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．22．（12分）已知函数xxfalog)(=，其中10a.(1)若不等式xxf−1)(恒成立，

求实数a的值；(2)讨论方程xaxf=)(的解的个数．5数学参考答案选择题（1-8小题每题5分，共40分；9-12题每小题5分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）题号123456答案DABCCD题号7

89101112答案BCACADBCDBCD6789填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．【答案】2114．【答案】213−15．【答案】21016．【答案】1343−n；1942033532−−n10解答题（本题共6小题，共70分

。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（10分）(1)依题意，412=+aa，故321==ab.………………………………1分因为441222+=+++naann，24212+=++naann，所以)()(2

1212222221nnnnnnnnaaaaaabb+−+=−=−+++++2)24()44(=+−+=nn．…………………………………3分因此，}{nb是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为12+=nbn．…………5分(2)解法一：因为naann4122=+−．

由(1)知124212−=−=−nanann.………．6分当)(2*Nkkn=时，)()(2421231kknaaaaaaS+++++++=−)1253()1231(+++++−+++=kk2)121(2)12

1(kkkk+++−+=…………7分)22(+=kk2)2(+=nn.当)(12*Nkkn−=时，11++−=nnnaSS)2(2)3)(1(+−++=nnn…………9分21)2(−+=nn.11因此，+−+=.,2)2(,,21)

2(为偶数为奇数nnnnnnSn…………10分解法二：当)(2*Nkkn=时，)()()(2124321kknaaaaaaS++++++=−k484+++=2)44(kk+=…………7分)22(+=kk2)2(+=nn.当)(12*Nkkn

+=时，)()()(12254321++++++++=kknaaaaaaaS)24(1061+++++=k2)246(1kk+++=1)42(++=kk…………9分12)3)(1(++−=nn21)2(−+=nn由

于2131111−===aS也满足上式，故+−+=.,2)2(,,21)2(为偶数为奇数nnnnnnSn…………10分18．【答案】（12分）(1)依题意，)09.0,78(~BX，………………………………………………………2分故02.709.078)(

==XE.……………………………………………………4分(2)设事件A为“核酸检测结果为阳性”，事件B为“密切接触者被感染”．依题意，09.0)(=BP，98.0)|(=BAP，01.0)|(=BAP.……………………6分12所以)()(BAAB

PAP=)()(BAPABP+=)|()()|()(BAPBPBAPBP+=…………………．9分01.091.098.009.0+=0973.0=，.906.00973.098.009.0)()

|()()()()|(===APBAPBPAPABPABP………11分因此，已知密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性的条件下，他被感染的概率为90.6%．……………………………………………………………………………12分19．【答案】（12分）(1)因为2===B

CABSSDCADBCDABD，设aBC=，则aAB2=.………………2分在ABC中，由余弦定理，22223cos2aABCBCABBCABAC=−+=，…3分由222BCACAB+=，可得2=ACB，故6=−−=ACBABCBAC．……………………………

4分又621===ABCCBDABD，………………………………………………5分所以32==BDAD，3323==ADAC.……………………………………6分(2)设=656ADB，则−=CDB，−=6

5BAD，6−=BCD.在ABD中，由正弦定理，BADBDADBAB=sinsin，故+=6sinsin32AB.…7分在BCD中，由正弦定理，BCDBDBDCBC=sinsin，故

−=6sinsin32BC.…8分因此，ABCBCABSABC=sin2113−+=6sin6sinsin332−+=cos21sin23

cos21sin23sin332222cos41sin43sin33−=………………………10分41sinsin3322−=−+=1sin411332−+14113334=，当且仅当1sin=即2=时取等号，故A

BC面积的最小值为34.…………12分20．【答案】（12分）(1)设AC中点为O，连接BOPO,.在等边三角形PAC中，有ACPO⊥.………………………………………………1分在直角三角形ABC中，有OCOBOA==.又PCPBPA==，所以POCPOBPOA

，进而有==90POAPOB，即OBPO⊥.…………………………………………………………………………3分又OOBAC=，AC平面ABC，OB平面ABC，所以⊥PO平面ABC.……………………………………………4分又PO平面PAC，所以平面⊥PAC平面ABC.………………………

………5分14(2)不妨设4=PA.在直角三角形ABC中，===6021cosCABACABCAB．在底面ABC内作ACOD⊥，则由(1)可知OPOCOD,,两两垂直．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.……………………………………………………………6分

则)0,2,0(−A，)0,1,3(−B，)0,2,0(C，)32,0,0(P，)0,1,3(=AB，)0,4,0(=AC，)32,2,0(=AP，)32,2,0(−=PC.………7分设)10)(32,2,0(−==PC

PM，则))1(32),1(2,0(−+=+=PMAPAM.设平面MAB的法向量为),,(zyxn=，则=+==−++=.03,0)1(32)1(2yxABnzyAMn………………………………………………………………8分令1−=x，则)1),1(3

,1(−−−−=n.……………………………………10分又)32,0,0(=OP是平面ABC的一个法向量，所以222)1()1(3)1(1,cos45cos++−+−+===nOPnOPnOP，……………11分解

得31=，即31=PCPM.……………………………………………………………12分21．【答案】（12分）(1)设),(yxP，依题意，33223)2(22=−+−xyx，……………………………………2分化简整理得曲线C的方程为1322

=−yx.…………………………………………4分15(2)设),(),,(2211yxByxA.①若直线21,ll都存在且不为零，设直线1l的方程为)2(−=xky，则直线2l的方程为)2(1−−=xky.由=−−=13)2(22yx

xky消去y，整理得031212)13(2222=++−−kxkxk.当0132=−k时，这个方程变为074=+−x，只有一解，直线1l与曲线C只有一个交点，不合题意；当0132=−k时，0)1(12)312)(13(41442224+=+−−=kkkk直线1l与曲线C恒有两个交点

．由韦达定理，13122221−=+kkxx，……………………………………………………．5分故线段AB的中点为−−132,136222kkkkM.……………………………………………6分同理，线段

PQ的中点为−−−2232,36kkkN.………………………………………7分(i)若1=k，则)1(323613632132222222kkkkkkkkkkMN−=−−−−+−=，…………………

…………8分直线MN的方程为−−−=−+22236)1(3232kxkkkky，即)3()1(322−−=xkky.………………………………………………………………9分此时，直线MN恒过点)0,3(.(ii)若1=k，

则)1,3(M，)1,3(−N或)1,3(),1,3(NM−，直线MN的方程为3=x.此时，直线MN也过点)0,3(.………………………………………………………10分②若直线21,ll中其中一条的斜率为0，另一条的斜率不

存在，不妨设1l的斜率为0，则0:1=yl，2:2=xl．此时，直线MN的方程为0=y.16此时，直线MN也过点)0,3(.………………………………………………………11分综上，直线MN过定点)0,3(.………………………………………………………12分22．【答

案】（12分）(1)令1log)1()()(−+=−−=xxxxfxga，则0)1(=g，1ln1)(+=axxg.…1分当−nax11,0时，0)(xg；当+−,

ln1ax时，0)(xg.所以)(xg在−aln1,0单调递减，在+−,ln1a单调递增．…………………2分①若ea1=，则1ln1=−a，0ln1)(=−agxg，符合题意：……………3分②若ea10

，则1ln10−a，0)1(ln1=−gag，不合题意：………4分③若11ae，则1ln1−a，0)1(ln1=−gag，不合题意：…………．5分综上，ea1=.…………………………………………………………………………6分(2)令xaxhaxl

og)(−=，则axaxanaxaaxhxxln1ln11ln)(2−=−=.………………7分令1ln)(2−=axaxx，当10a时，0lna，)(xh与)(x异号．由于)ln1(ln)(2axaaxx+=

.x−aln1,0aln1−−aln1,0)(x+0-)(x↗1ln−−ea↘)(x的最大值为1lnln1−−=−eaa.………………………………………8分①当1−aee时，01lnln1−−=

−eaa，故0)(0)(xhx，此时)(xh17是增函数，又因为01)(−=aaah，0)1(=ah，所以)(xh有唯一零点)1,(0ax.…………………………………………………………9分②当eea−0时，01)0(−=，01lnln1−

−=−eaa，1ln)1(2−=aa.令1ln)(2−=aaa，则0)2(ln)(+=haaa，)(a是增函数，故当eea−0时，01)()(2−=−−eeeea，即01ln)1(2−=aa．因此，)(x有且只有两个零点−axln1,01，

−1,ln12ax．结合)(x的单调性，可得x(0，xl)xl(x1，x2)x2（x2,+∞）h′(x)+0-0+h(x)↗极大值↘极小值↗−=−−=−−=−−aaaeaaaheaaaealnlogln1lo

g1ln1log)ln1(1log令aaareln)(1−=，则)0(0)(ln1)(11eeeaeaaear−−+−=，故当eea−0时，1)()(=−eerar，进而0)11(−nah，0ln1lnln11log1111+=+=−=aa

aaaeaeheeae.由于)(1xh是)(xh在区间−aln1,0内的最大值，)(2xh是)(xh在区间−1,ln1a内的最小值，且)1ln1lnln0(1,ln11eaeaeaeaaee−−−−−，故0ln1)(1−ahxh

，01)(2ehxh.……………………………10分又因为01)(−=aaah，0)1(=ah，所以)(xh有且只有三个零点),(13xax，),(214xxx，)1,(25xx.………

…．11分综上，当1−aee时，方程xaxf=)(有且仅有1个解；当eea−0时，方程xaxf=)(有且仅有3个解．………………………………………………………12分