【文档说明】浙江省杭州师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷含答案.docx，共(23)页，155.431 KB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年浙江省杭州师大附中高二（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。1.“𝑎3+𝑎9=2�

�6”是“数列{𝑎𝑛}为等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知抛物线𝑦=14𝑥2，则它的焦点坐标是()A.(0,116)B.(116,0)C.(1,0)D.(0,1)3.两

个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如𝑥→0𝑙𝑖𝑚𝑒𝑥−1𝑥=𝑥→0𝑙𝑖𝑚(𝑒𝑥−1

)′𝑥′=𝑥→0𝑙𝑖𝑚𝑒𝑥1=1，则𝑥→1𝑙𝑖𝑚𝑙𝑛𝑥+𝑥−1𝑥2+𝑥−2=()A.12B.23C.1D.24.2022年11月30日，神舟十四号字航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准

备在天河核心舱合影留念.假设6人站成一排，要求神舟十四号三名航天员互不相邻，且神舟十五号三名航天员也互不相邻，则他们的不同站法共有种．()A.72B.144C.36D.1085.设函数𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)在𝑅上的导数存在，且𝑓′(𝑥)>𝑔′(𝑥)，则当𝑥∈(𝑎,𝑏)时()A

.𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)B.𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)C.𝑓(𝑥)+𝑔(𝑏)<𝑔(𝑥)+𝑓(𝑏)D.𝑓(𝑥)+𝑔(𝑎)>𝑔(𝑥)+𝑓(𝑎)6.若7𝑎=5，8𝑏=6，𝑒2𝑐

=2+𝑒2，则实数𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为()A.𝑎>𝑐>𝑏B.𝑐>𝑏>𝑎C.𝑏>𝑐>𝑎D.𝑏>𝑎>𝑐7.三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，平面𝑃𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝑃𝐶=𝜋2.若三棱锥𝑃−𝐴𝐵�

�的外接球体积的取值范围是(32𝜋9√3,32𝜋3)，则∠𝐵𝐴𝐶的取值范围是()A.(0,𝜋3)B.(𝜋3,𝜋2)C.(𝜋2,2𝜋3)D.(𝜋3,2𝜋3)8.过抛物线𝛤：𝑥2=4𝑦的焦点𝐹作斜率分别为𝑘1，𝑘2的两条

不同的直线𝑙1，𝑙2，且𝑘1+𝑘2=2，𝑙1与𝛤相交于点𝐴，𝐵，𝑙2与𝛤相交于点𝐶，𝐷.分别以𝐴𝐵、𝐶𝐷为直径的圆𝑀、圆𝑁(𝑀,𝑁为圆心)的公共弦记为𝑙，则点𝑀到直线𝑙的距离的最小值为()A.7√520B.5√720

C.7√522D.5√7229.下列命题中正确的是()A.已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50%分位数是7.5B.样本相关系数𝑟的绝对值|𝑟|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强C.已知随机变量𝑋～𝐵(10,12)，则𝐸(𝑋)=52D.已知经验回归方

程𝑦̂=−2𝑥+3，则𝑦与𝑥具有负线性相关关系10.如图，在棱长为2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝐸，𝐹，𝐺分别为𝐴1𝐵1，𝐵1𝐶1，𝐵1𝐵的中点，若点𝑃在线段𝐸𝐹上运动，则下列结论正确的为()A.𝐴𝐶1与𝐸𝐹为共面直

线B.平面𝐴𝐶𝐷1//平面𝐸𝐹𝐺C.三棱锥𝑃−𝐴𝐷1𝐶的体积为定值D.𝐴𝐶1与平面𝐴1𝐵𝐶所成角的正切值为√311.已知双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，过�

�2的直线交𝐶的右支于点𝐴，𝐵，若𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=35|𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，则()A.𝐴𝐵⊥𝐵𝐹1B.𝐶的渐近线方程为𝑦=±√62𝑥C.|𝐴𝐹2|=|�

�𝐹1|D.△𝐴𝐹1𝐹2与△𝐵𝐹1𝐹2面积之比为2：112.已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑎𝑖=1或𝑎𝑖=2的概率均为12(𝑖=1,2,3,…,𝑛).设𝑆𝑛能被3整除的概率为𝑃𝑛，则()A.𝑃2=1B.𝑃3=14C.𝑃11=

3411024D.当𝑛≥5时，𝑃𝑛<1313.已知随机变量𝑋～𝑁(2,𝜎2)，且𝑃(𝑋>3)=0.3，则𝑃(1<𝑋<2)=______．14.(1+1𝑥2)(1+𝑥)6展开式中𝑥2的系数为______．15.期中考卷有8道单选题，小明对

其中5道题有思路，3道题完全没思路.有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为______．16.若函数𝑓′(𝑥)是函数𝑓(𝑥)的导函数，且满足𝑓(0)=1，3𝑓(𝑥)=�

�′(𝑥)−3，则不等式4𝑓(𝑥)>𝑓′(𝑥)的解集为______17.𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，已知𝑎𝑛>0，𝑎𝑛2+2𝑎𝑛=4𝑆𝑛+3(𝐼)求{𝑎𝑛}的通项公式；(Ⅱ)设𝑏𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和．18.

已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−92𝑥2+6𝑥−𝑎．(1)若𝑎=0，求𝑦=𝑓(𝑥)在(1,𝑓(1))处的切线方程；(2)若方程𝑓(𝑥)=0有且仅有一个实数根，求实数𝑎的取值范围．19.杭师大附中三重门的樱花是师附校友心中最美的记忆.每年樱花季，在樱花树下流连超10小

时的称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从调查结果中随机抽取50人进行分析，得到数据如表所示：樱花迷非樱花迷合计男2026女14合计50(1)补全2×2列联表，根据小概率值𝛼=0.01的独立性检验，能否认

为是否为“樱花迷”与性别有关联？(2)现从抽取的“樱花迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“樱花迷”的人数为𝑋，求𝑋的分布列和数学期望．附：参考公式：𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐

)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．𝛼0.100.050.010.0050.001𝑥𝛼2.7063.8416.6357.87910.82820.如图，三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧面𝐴𝐶

𝐶1𝐴1为矩形，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶且𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，𝐷为𝐵1𝐶1的中点，𝐴𝐴1=𝐵1𝐶=2√2．(1)证明：𝐴𝐶1//平面𝐴1𝐵𝐷；(2)求平面𝐴𝐵1𝐶与平面𝐴𝐴1𝐷的夹角的余弦值．21.已知椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎

>𝑏>0)的左焦点为𝐹，𝐶上任意一点𝑀到𝐹的距离最大值和最小值之积为3，离心率为12．(1)求𝐶的方程；(2)若过点𝑃(𝑛,0)(𝑛<−2)的直线𝑙交𝐶于𝐴，𝐵两点，且点𝐴关于𝑥轴的对称点落在直线𝐵𝐹上，求

𝑛的值及△𝐹𝐴𝐵面积的最大值．22.已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥−1．(1)讨论函数的单调性；(2)若𝑔(𝑥)=𝑥+𝑒𝑎𝑥⋅𝑓(𝑥)(𝑎>0)有两个不同的零点𝑥1，

𝑥2，(0<𝑥1<𝑥2)，不等式𝑥1⋅𝑥22>𝑒𝑚恒成立，求实数𝑚的取值范围．答案和解析1.【答案】𝐵【解析】解：如果数列{𝑎𝑛}是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有𝑎3+𝑎9=2𝑎6，反之𝑎3+𝑎

9=2𝑎6成立，不一定有数列{𝑎𝑛}是等差数列，所以“𝑎3+𝑎9=2𝑎6”是“数列{𝑎𝑛}为等差数列”的必要不充分条件．故选：𝐵．根据等差数列的性质，结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案．本题主要考查了等差数列的性质，

考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．2.【答案】𝐷【解析】解：抛物线𝑦=14𝑥2化为𝑥2=4𝑦，∴𝑝=2，∵抛物线𝑥2=4𝑦开口向上，焦点在𝑦轴正半轴，∴焦点为(0,𝑝2)，即(0,1)．故选：𝐷．将抛物线化为标准方

程，确定焦点位置，即可得出答案．本题考查抛物线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．3.【答案】𝐵【解析】解：𝑥→1𝑙𝑖𝑚𝑙𝑛𝑥+𝑥−1𝑥2+𝑥−2=𝑥→1𝑙𝑖𝑚(

𝑙𝑛𝑥+𝑥−1)′(𝑥2+𝑥−2)′=𝑥→1𝑙𝑖𝑚1𝑥+12𝑥+1=23．故选：𝐵．利用洛必达法则直接求解即可．本题主要考查极限及其运算，属于基础题．4.【答案】𝐴【解析】解：由题知，不妨先将神舟十四号三名航天员全排为：𝐴33=6，

再将神舟十五号三名航天员插入到神舟十四号三名航天员中，因为神舟十四号三名航天员互不相邻，故先将神舟十五号三名航天员中选出两名插到神舟十四号三名航天员中间空出的两个位置上，进行排列：𝐴32=6，最后一位神舟十五号航天员在首和尾中

选一个位置站下，共𝐴21=2，故不同站法有：𝐴33×𝐴32×𝐴21=6×6×2=72种．故选：𝐴．不相邻问题进行插空，先将神舟十四号三名航天员全排，再将神舟十五号三名航天员插入，由于神舟十四号三名航天员互不相邻，神舟十四号三名航天员之间有两个空需要有人插入，故将神舟十五号

三名航天员中选出两名插到神舟十四号三名航天员中间即可满足，写出式子，计算结果即可．本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】𝐶𝐷【解析】解：对于𝐴𝐵，不妨设𝑓(𝑥)=2𝑥，𝑔(𝑥)=1，则𝑓′(𝑥

)=2，𝑔′(𝑥)=0，满足题意，若𝑥=1∈(𝑎,𝑏)，则𝑓(𝑥)=2>1=𝑔(𝑥)，故A错误(排除)，若𝑥=0∈(𝑎,𝑏)，则𝑓(𝑥)=0<1=𝑔(𝑥)，故B错误(排除

)；对于𝐶𝐷，因为𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)在𝑅上的导函数存在，且𝑓′(𝑥)>𝑔′(𝑥)，令ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)，则ℎ′(𝑥)=𝑓′(𝑥)−𝑔′(𝑥)>0，所以ℎ(𝑥)在𝑅上单调递增，因为𝑥∈(𝑎,𝑏)，即𝑎<𝑥<𝑏，所以ℎ(𝑎)<ℎ

(𝑥)<ℎ(𝑏)，由ℎ(𝑥)<ℎ(𝑏)得𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)<𝑓(𝑏)−𝑔(𝑏)，则𝑓(𝑥)+𝑔(𝑏)<𝑔(𝑥)+𝑓(𝑏)，故C正确；由ℎ(𝑎)<ℎ(𝑥)得𝑓(𝑎)

−𝑔(𝑎)<𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)，则𝑓(𝑥)+𝑔(𝑎)>𝑔(𝑥)+𝑓(𝑎)，故D正确．故选：𝐶𝐷．对于𝐴𝐵，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于𝐶𝐷，构造函数ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)，利用导数与函数单调性的

关系证得ℎ(𝑥)在𝑅上单调递增，从而得以判断．本题考查导数的应用，构造新函数，借助单调性比较大小是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6.【答案】𝐵【解析】解：由已知可得，𝑎=𝑙𝑜𝑔75=𝑙𝑛5𝑙𝑛7，𝑏=𝑙𝑜𝑔86=�

�𝑛6𝑙𝑛8，由𝑒2𝑐=2+𝑒2可得，2𝑐=ln(𝑒2+2)，所以𝑐=2ln(𝑒2+2)=𝑙𝑛𝑒2ln(𝑒2+2)．设𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥ln(𝑥+2),𝑥>1，则𝑓′(�

�)=(𝑥+2)ln(𝑥+2)−𝑥𝑙𝑛𝑥𝑥(𝑥+2)ln2(𝑥+2),𝑥>1，因为𝑥>1，故𝑥+2>𝑥>1，ln(𝑥+2)>𝑙𝑛𝑥>0，所以(𝑥+2)ln(𝑥+2)−𝑥𝑙𝑛𝑥>0即𝑓′(𝑥)>0，所以𝑓(�

�)在(1,+∞)上为增函数，又𝑎=𝑓(5)，𝑏=𝑓(6)，𝑐=𝑓(𝑒2)，又𝑒2>6>5，所以𝑐>𝑏>𝑎．故选：𝐵．根据指数与对数式的互化以及换底公式，可得𝑎=𝑙𝑛5𝑙𝑛7，𝑏=𝑙𝑛6𝑙𝑛8，𝑐=�

�𝑛𝑒2ln(𝑒2+2)，设𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥ln(𝑥+2),𝑥>1，利用导数判断函数的单调性，即可得出答案．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．7.【答案】𝐷【解析】解：取𝐵𝐶的中点𝑀，

连接𝐴𝑀，𝑃𝑀，因为𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，则𝐴𝑀⊥𝐵𝐶，平面𝑃𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶，平面𝑃𝐵𝐶∩平面𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶，𝐴𝑀⊂平面𝐴𝐵𝐶，所以𝐴𝑀⊥平面𝑃𝐵𝐶，且∠𝐵𝑃𝐶=𝜋2，则𝑀为𝑅𝑡△�

�𝐵𝐶的外接圆的圆心，所以𝑃−𝐴𝐵𝐶的外接球的球心𝑂在直线𝐴𝑀上，连接𝑂𝐶，设∠𝐵𝐴𝑀=𝜃∈(0,𝜋2)，𝑃−𝐴𝐵𝐶的外接球的半径为𝑅，则32𝜋9√3<43�

�𝑅3<32𝜋3，解得2√33<𝑅<2，则𝐴𝑀=2𝑐𝑜𝑠𝜃，𝐶𝑀=𝐵𝑀=2𝑠𝑖𝑛𝜃，𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝑅，𝑂𝑀=|2𝑐𝑜𝑠−𝑅|，因为𝑂𝐶2=𝐶𝑀2+𝑂𝑀2，即𝑅2=4𝑠𝑖𝑛2𝜃+(2𝑐𝑜�

�𝜃−𝑅)2，解得𝑅=1cos𝜃，可得2√33<1cos𝜃<2，即12<𝑐𝑜𝑠𝜃<√32，注意到𝜃∈(0,𝜋2)，则𝜃∈(𝜋6,𝜋3)，所以∠𝐵𝐴𝐶=2𝜃的取值范围是(𝜋3,2𝜋3)．故选

：𝐷．根据面面垂直的性质定理可得𝐴𝑀⊥平面𝑃𝐵𝐶，根据外接球的性质可得，结合外接球体积的取值范围可得𝑅=1cos𝜃，进而结合外接球半径的取值范围，运算求解即可求解．本题考查球的体积以及三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】𝐴【解析

】解：由题意得焦点𝐹(0,1)，设直线𝑙1：𝑦=𝑘1𝑥+1，联立{𝑦=𝑘1𝑥+1𝑥2=4𝑦，整理得𝑥2−4𝑘1𝑥−4=0，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则𝑥1+𝑥2=4𝑘1,𝑦1+𝑦2=𝑘1(𝑥1+𝑥2)+2=4𝑘12+

2，由抛物线的定义得|𝐴𝐵|=𝑦1+𝑦2+2=4𝑘12+4，由题知𝑀为𝐴，𝐵的中点，则𝑥𝑀=𝑥1+𝑥22=2𝑘1,𝑦𝑀=𝑦1+𝑦22=2𝑘12+1，∴𝑀(2𝑘1,2𝑘12+1)，∴

圆𝑀的标准方程为(𝑥−2𝑘1)2+(𝑦−2𝑘12−1)2=(|𝐴𝐵|2)2=(2𝑘12+2)2，即𝑥2+𝑦2−4𝑘1𝑥−2(2𝑘12+1)𝑦−3=0，同理可得圆𝑁的方程为𝑥2+𝑦2−4𝑘2𝑥−2(2𝑘22+1)𝑦−3=0，联立{𝑥2+𝑦2−

4𝑘1𝑥−2(2𝑘12+1)𝑦−3=0𝑥2+𝑦2−4𝑘2𝑥−2(2𝑘22+1)𝑦−3=0，∴圆𝑀与圆𝑁的公共弦所在的直线𝑙的方程为(𝑘2−𝑘1)𝑥+(𝑘22−𝑘12)𝑦=0，由题知𝑘2≠𝑘1，𝑘2+𝑘1=2，则直线𝑙的方程为𝑥+2𝑦=0，∴点

𝑀到直线𝑙的距离为：𝑑=|2𝑘1+2(2𝑘12+1)|√5=4|(𝑘1+14)2+716|√5≥7√520，当𝑘1=−14时，取得最小值，故点𝑀到直线𝑙的距离的最小值为7√520．故选：𝐴．根据抛物线的性质以及已知条件求出圆𝑀、圆𝑁的标准方程，然后

联立求出公共弦所在的直线，最后利用点到直线的距离公式写出表达式，利用二次函数性质求最小值，即可得出答案．本题考查抛物线的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】𝐴𝐵𝐷【解析】解：对于𝐴选项，由6×50%

=3，所以第3个和第4个数的平均数为7+82=7.5，故A正确；选项B样本相关系数𝑟的意义可知，样本相关系数𝑟的绝对值|𝑟|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故选项B正确对于𝐶选项，由𝑋～𝐵(10,12)，则𝐸(𝑋)=𝑛

𝑝=10×12=5，故C错误；对于𝐷选项，由−2<0，可得𝑦与𝑥具有负线性相关关系，可知D正确．故选：𝐴𝐵𝐷．𝐴选项由百分位数的定义计算即可；𝐵选项根据样本相关系数的意义判断即可；𝐶选项根据二项分布的期望公式计算；𝐷选项由回归直线的斜率正负判断线性相关关系．本题主要考查命题

的真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题．10.【答案】𝐵𝐶【解析】解：对于𝐴：连接𝐴1𝐶1，如图所示：∵𝐸，𝐹分别为𝐴1𝐵1，𝐵1𝐶1的中点，∴𝐸𝐹//𝐴1𝐶1，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴1𝐶1//𝐴𝐶，∴𝐸𝐹//𝐴𝐶

，∴𝐴𝐶1∩𝐸𝐹=𝐴，故A错误；对于𝐵：连接𝐵𝐶1，∵点𝐹，𝐺分别为𝐵1𝐶1，𝐵1𝐵的中点，∴𝐹𝐺//𝐵𝐶1，由选项A得𝐸𝐹//𝐴𝐶，∵𝐸𝐹⊂平面𝐸𝐹𝐺，𝐹𝐺⊂平面𝐸𝐹𝐺，

𝐸𝐹⊄平面𝐴𝐶𝐷1，𝐹𝐺⊄平面𝐴𝐶𝐷1，∴𝐸𝐹//平面𝐴𝐶𝐷1，𝐹𝐺//平面𝐴𝐶𝐷1，又𝐸𝐹∩𝐹𝐺=𝐹，∴平面𝐴𝐶𝐷1//平面𝐸𝐹𝐺，故B正确；对于𝐶：由选项B得𝐸𝐹//平面𝐴𝐶𝐷1，∵点𝑃在线

段𝐸𝐹上运动，∴点𝑃到平面𝐴𝐶𝐷1的距离等于点𝐸到平面𝐴𝐶𝐷1的距离，且为定值，又△𝐴𝐷1𝐶的面积为定值，则三棱锥𝑃−𝐴𝐷1𝐶的体积为定值，故C正确；对于𝐷：建立以𝐷为原点的

空间直角坐标系𝐷−𝑥𝑦𝑧，如图所示：则𝐷(0,0,0)，𝐴(2,0,0)，𝐵(2,2,0)，𝐴1(2,0,2)，𝐶1(0,2,2)，𝐶(0,2,0)，∴𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2,2)，𝐶𝐴1⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−2,2)，𝐵𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−2,2)，设平面𝐴1𝐵𝐶的一个法向量为𝑛⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑛⃗⃗⋅𝐶𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥−2𝑦+2𝑧=0𝑛⃗⃗⋅𝐵𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2

𝑦+2𝑧=0，取𝑦=1，则𝑧=1，𝑥=0，∴平面𝐴1𝐵𝐶的一个法向量为𝑛⃗⃗=(0,1,1)，设𝐴𝐶1与平面𝐴1𝐵𝐶所成角为𝛼，∴𝑠𝑖𝑛𝛼=|cos<𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗>|=|𝑛⃗⃗⋅𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗|⋅|𝐴𝐶1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=42√3×√2=√63，∴𝑐𝑜𝑠𝛼=√1−sin2𝛼=√33，∴𝑡𝑎𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛼cos𝛼=√2，故D错误．故选：𝐵𝐶．根据棱柱的结构特征可得𝐸𝐹//𝐴𝐶，即可判断𝐴；利用线面平行和面面平行的判定定理即可判断𝐵；由题意得点𝑃到平

面𝐴𝐶𝐷1的距离等于点𝐸到平面𝐴𝐶𝐷1的距离，且为定值，即可判断𝐶；建立以𝐷为原点的空间直角坐标系𝐷−𝑥𝑦𝑧，利用向量法，即可得出答案．本题考查棱柱的结构特征、直线与平面平面判定定理和面面平行判定定理，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推

理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】𝐴𝐵𝐶【解析】解：由𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠𝐴𝐹1𝐵=35|𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐹1𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，得cos∠𝐴𝐹1𝐵=35，又由𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=|𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=35|𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，得|𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=35|𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗|，不妨设|𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3𝑚,|𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=5𝑚，在△𝐴𝐹1𝐵中，由余弦定理得|𝐴𝐵|2=|𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−2|𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||

𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠𝐴𝐹1𝐵=16𝑚2，∴|𝐴𝐵|=4𝑚，∴|𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+|𝐴𝐵|2=|𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2，即𝐴𝐵⊥𝐵𝐹1，故A正确；在𝑅𝑡△𝐵𝐹

1𝐹2中，由双曲线定义得|𝐵𝐹1|−|𝐵𝐹2|=2𝑎，∴|𝐵𝐹2|=3𝑚−2𝑎，在△𝐴𝐹1𝐹2中，由双曲线定义得|𝐴𝐹1|−|𝐴𝐹2|=2𝑎，∴|𝐴𝐹2|=5𝑚−2𝑎，∵|𝐴𝐵|=|𝐴𝐹2|+|𝐵𝐹2|=8𝑚−4𝑎=

4𝑚，∴𝑚=𝑎，∴|𝐵𝐹1|=3𝑎，|𝐵𝐹2|=3𝑎−2𝑎=𝑎，在𝑅𝑡△𝐵𝐹1𝐹2中，|𝐵𝐹1|2+|𝐵𝐹2|2=|𝐹1𝐹2|2，即9𝑎2+𝑎2=4𝑐2，∴10𝑎2

=4(𝑎2+𝑏2)，∴𝑏2𝑎2=32，即𝑏𝑎=√62，∴渐近线方程为𝑦=±√62𝑥，故B正确；|𝐴𝐹2|=|𝐴𝐵|−|𝐵𝐹2|=4𝑎−𝑎=3𝑎，|𝐵𝐹1|=3𝑎，则|𝐴𝐹2|=|𝐵𝐹1|，故C正确；𝑆△𝐵𝐹1𝐹2=12|𝐵𝐹1|⋅|

𝐵𝐹2|=32𝑎2,𝑆△𝐹1𝐴𝐵=12|𝐴𝐵|⋅|𝐵𝐹1|=6𝑎2，𝑆△𝐴𝐹1𝐹2=𝑆△𝐹1𝐴𝐵−𝑆△𝐵𝐹1𝐹2=92𝑎2，∴△𝐴𝐹1𝐹2与△𝐵𝐹1𝐹2面积之比为3：1，故D错误，故选：𝐴𝐵𝐶．根据𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⋅𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=35|𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|可得cos∠𝐴𝐹1𝐵=35，|𝐹1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=35|𝐹1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，利用余弦定理求出|𝐴𝐵|，即可判断𝐴，根据双曲线的定义结合|𝐴𝐵|的值可

求出|𝐴𝐹1|，|𝐴𝐹2|，|𝐵𝐹1|，|𝐵𝐹2|，可确定𝐶，从而在直角三角形𝐵𝐹1𝐹2中可得𝑎，𝑐的齐次式，可求渐近线方程确定𝐵，根据直角三角形的面积公式可确定𝐷．本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.

【答案】𝐵𝐶【解析】解：由题可知，𝑆𝑛被3整除的余数有3种情况，分别为0，1，2，𝑆𝑛能被3整除的概率为𝑃𝑛，𝑆𝑛被3整除的余数分别为1，2的概率为1−𝑃𝑛2，∴𝑃𝑛+1=0×𝑃𝑛+12×1−𝑃𝑛2

+12×1−𝑃𝑛2=1−𝑃𝑛2，∴𝑃𝑛+1−13=−12(𝑃𝑛−13)，且𝑃1=0，∴{𝑃𝑛−13}为首项为−13，公比为−12的等比数列，∴𝑃𝑛−13=−13(−12)𝑛−

1，即𝑃𝑛=−13(−12)𝑛−1+13，∴𝑃2=−13×(−12)+13=12，A错误；𝑃3=−13×(−12)2+13=14，B正确；𝑃11=−13×(−12)10+13=3411024，C正确；当𝑛≥5，且�

�为偶数时，𝑃𝑛>13，D错误．故选：𝐵𝐶．由已知可得𝑃𝑛+1=12(1−𝑃𝑛)，利用递推关系求出𝑃𝑛，逐项分析可得答案．本题考查等比数列的性质与概率的求法，是中档题．13.【答案】0.2【解析】解

：𝑃(1<𝑋<2)=𝑃(2<𝑋<3)=0.5−𝑃(𝑋>3)=0.2．故答案为：0.2．由正态分布的对称性得出概率．本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．14.【答案】30【解析】【分析】本题考查了二项式定理的运用，属于基础题．

关键是明确展开式得到𝑥2的两种情况．分析展开式中𝑥2的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数．【解答】解：当(1+1𝑥2)选择1时，(1+𝑥)6展开式选择𝑥2的项为𝐶62𝑥2；当(1+1𝑥2)选择1𝑥2时，(1+𝑥)6展开式选择为𝐶64𝑥4，所以(1+1𝑥2)(1+𝑥

)6展开式系数为𝐶62+𝐶64=30；故答案为30．15.【答案】2132【解析】解：设事件𝐴表示“考生答对”，设事件𝐵表示“考生选到有思路的题”，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：𝑃(𝐴)=�

�(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)+𝑃(𝐵−)𝑃(𝐴|𝐵−)=58×0.9+38×0.25=2132．故答案为：2132．根据全概率公式求解即可．本题主要考查了全概率公式的应用，属于基础题．16.【答案】(𝑙𝑛23,+∞)【解析】解：∵3𝑓(�

�)=𝑓′(𝑥)−3，∴𝑓′(𝑥)=3𝑓(𝑥)+3；可设𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑏𝑥+𝑐，由𝑓(0)=1，∴𝑎+𝑐=1；又3𝑓(𝑥)=𝑓′(𝑥)−3，∴3𝑎𝑒𝑏𝑥+3𝑐=𝑎𝑏𝑒𝑏𝑥−3，即(3𝑎−𝑎�

�)𝑒𝑏𝑥=−3−3𝑐，∴{3𝑎−𝑎𝑏=0−3−3𝑐=0，解得𝑏=3，𝑐=−1，𝑎=2；∴𝑓(𝑥)=2𝑒3𝑥−1，𝑥∈𝑅；又4𝑓(𝑥)>𝑓′(𝑥)，∴8𝑒3𝑥−4>6𝑒3𝑥，即𝑒3𝑥>2，解得𝑥>𝑙𝑛23，所求不等式的解集为

(𝑙𝑛23,+∞)．故答案为：(𝑙𝑛23,+∞)．根据题意，设函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑏𝑥+𝑐，由𝑓(0)=1得𝑎+𝑐=1；再由3𝑓(𝑥)=𝑓′(𝑥)−3，得方程组；由此求出𝑓(𝑥)的解析式，再解不等式

4𝑓(𝑥)>𝑓′(𝑥)即可．本题考查了函数的导数应用问题，也考查了构造函数与转化思想的应用问题，是难题．17.【答案】解：(𝐼)∵𝑎𝑛2+2𝑎𝑛=4𝑆𝑛+3，∴𝑎𝑛+12+2𝑎𝑛+1=4𝑆𝑛+1+3

，两式相减得：𝑎𝑛+12−𝑎𝑛2+2𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛=4𝑎𝑛+1，整理得：𝑎𝑛+12−𝑎𝑛2=2(𝑎𝑛+1+𝑎𝑛)，又∵𝑎𝑛>0，∴𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=2，又∵𝑎12+2

𝑎1=4𝑎1+3，∴𝑎1=3或𝑎1=−1(舍)，∴数列{𝑎𝑛}是以3为首项、2为公差的等差数列，∴𝑎𝑛=3+2(𝑛−1)=2𝑛+1；(Ⅱ)由(𝐼)可知𝑎𝑛=2𝑛+1，∴𝑏𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1(2

𝑛+1)(2𝑛+3)=12(12𝑛+1−12𝑛+3)，∴数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为：12(13−15+15−17+⋯+12𝑛+1−12𝑛+3)=12(13−12𝑛+3)=13⋅𝑛2𝑛+3．【解析】(𝐼)通过𝑎

𝑛2+2𝑎𝑛=4𝑆𝑛+3与𝑎𝑛+12+2𝑎𝑛+1=4𝑆𝑛+1+3作差可知𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=2，进而可知数列{𝑎𝑛}是以3为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；(Ⅱ)通过(

𝐼)可知𝑎𝑛=2𝑛+1，裂项可知𝑏𝑛=12(12𝑛+1−12𝑛+3)，并项相加即得结论．本题考查数列的通项及前𝑛项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18.【答案】解：(1)当𝑎=0时，𝑓(𝑥)=𝑥3−92𝑥2+6𝑥

，∴𝑓′(𝑥)=3𝑥2−9𝑥+6，∴切线的斜率为𝑓′(1)=3×12−9×1+6=0，又𝑓(1)=13−92×12+6×1=52，∴𝑦=𝑓(𝑥)在(1,𝑓(1))处的切线方程为𝑦−52=0×(𝑥−1)，即𝑦=52．(2

)若方程𝑓(𝑥)=0有且仅有一个实数根，即𝑥3−92𝑥2+6𝑥−𝑎=0有一根，即ℎ(𝑥)=𝑥3−92𝑥2+6𝑥,𝑔(𝑥)=𝑎两个函数图像只有一个交点，∵ℎ′(𝑥)=3𝑥2−9𝑥+6，令ℎ′(𝑥)>0

，可得3𝑥2−9𝑥+6>0，∴𝑥>2或𝑥<1，∴ℎ(𝑥)在(2,+∞)和(−∞,1)上单调递增，令ℎ′(𝑥)<0，可得3𝑥2−9𝑥+6<0，∴1<𝑥<2，∴ℎ(𝑥)在(1,2)上单调递减，∴ℎ(𝑥)的极大值为ℎ(1)=52，极小值为ℎ(2)=2，

如图所示：由图可知当𝑎>52或𝑎<2时，ℎ(𝑥)，𝑦=𝑔(𝑥)=𝑎两个函数图像只有一个交点，故方程𝑓(𝑥)=0有且仅有一个实数根，实数𝑎的取值范围为(52,+∞)⋃(−∞,2)．【解析】(1)对函数求导数，求出在点(1,

𝑓(1))处的斜率，最后求切线方程即可；(2)方程𝑓(𝑥)=0有且仅有一个实数根，等价于ℎ(𝑥)=𝑥3−92𝑥2+6𝑥,𝑔(𝑥)=𝑎只有一个交点，利用函数导数求出极值，再结合图像求出𝑎的取值范围即

可．本题考查利用导数求函数的切线，利用导数研究函数的单调性与极值，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．19.【答案】解：(1)2×2列联表如下表所示：樱花迷非樱花迷合计男20626女101424合计302050∴𝜒2=50(20×14−10×6)230×20×24

×26≈6.46<6.635，故根据小概率值𝛼=0.01的独立性检验，不能认为“樱花迷”与性别有关联．(2)由20：10=2：1可得，抽取的6人中男生为4人，女生为2人．则𝑋的所有可能取值为0，1，2，又𝑃(𝑋=0)=𝐶22𝐶62=115,𝑃(𝑋=1)=𝐶41𝐶21𝐶62=8

15,𝑃(𝑋=2)=𝐶42𝐶62=25．∴𝑋的分布列如下表：𝑋012𝑃11581525∴𝐸(𝑋)=0×115+1×815+2×25=43．【解析】(1)补全列联表，计算卡方，进行独立性检验；(2)由超几何分布概率公式计

算𝑋的所有可能取值对应的概率，进而得出分布列和数学期望．本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．20.【答案】解：(1)连接𝐴𝐵1与𝐴1𝐵交于点𝑂，连接𝑂𝐷，∵三棱柱𝐴

𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1为三棱柱，∴𝐴𝐵𝐵1𝐴1为平行四边形，点𝑂为𝐴𝐵1的中点，又∵𝐷为𝐵1𝐶1的中点，则𝐴𝐶1//𝑂𝐷，又∵𝑂𝐷⊂平面𝐴1𝐵𝐷，𝐴𝐶1⊄平面𝐴1𝐵𝐷，∴𝐴�

�1//平面𝐴1𝐵𝐷．(2)∵𝐶𝐴⊥𝐴𝐵，𝐶𝐴⊥𝐴𝐴1，𝐴𝐵∩𝐴𝐴1=𝐴，∴𝐶𝐴⊥面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，∵𝐴𝐵1⊂面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，∴𝐶𝐴⊥𝐴𝐵1，∴𝐴𝐵1=√�

�𝐵12−𝐴𝐶2=√(2√2)2−22=2，∵𝐴𝐵=2,𝐴𝐵1=2,𝐵𝐵1=2√2，∴𝐴𝐵2+𝐴𝐵12=𝐵𝐵12，即𝐴𝐵⊥𝐴𝐵1，以𝐴为坐标原点，𝐴𝐵，𝐴𝐵1，𝐴�

�所在直线分别为𝑥轴，𝑦轴，𝑧轴建立空间直角坐标系，𝐴(0,0,0)，𝐴1(−2,2,0)，𝐵(2,0,0)，𝐵1(0,2,0)，𝐶1(−2,2,2)，𝐷(−1,2,1)，∴𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2,0),𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=

(1,0,1)，∵𝐴𝐵⊥𝐴𝐵1，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，𝐴𝐵1∩𝐴𝐶=𝐴，∴𝐴𝐵⊥面𝐴𝐵1𝐶，则平面𝐴𝐵1𝐶的一个法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(1,0,0)，设平面𝐴𝐴1𝐷的法向量为𝑛2⃗⃗⃗⃗=(𝑥,�

�,𝑧)，则{𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛2⃗⃗⃗⃗=0𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛2⃗⃗⃗⃗=0，即{−2𝑥+2𝑦=0𝑥+𝑧=0，令𝑥=1，𝑦=1，𝑧=−1，∴𝑛2⃗⃗⃗⃗=(1,1,−1)，设平面𝐴𝐵1𝐶与平面𝐴𝐴1𝐷的夹角为𝜃，∴𝑐𝑜𝑠𝜃=|

𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗|=|1×1+0×1+0×(−1)|1×√1+1+(−1)2=1√3=√33，∴平面𝐴𝐵1𝐶与平面𝐴𝐴1𝐷的夹角的余弦值是√33．【解析】(1)连接𝐴𝐵1与𝐴1𝐵交于点𝑂，连接

𝑂𝐷，则𝐴𝐶1//𝑂𝐷，利用线面平行的判定定理即可证明；(2)由已知条件得𝐶𝐴⊥面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，则𝐶𝐴⊥𝐴𝐵1，由𝐴𝐵2+𝐴𝐵12=𝐵𝐵12得𝐴𝐵⊥𝐴𝐵1.以𝐴为坐标原点，𝐴𝐵，𝐴𝐵1，

𝐴𝐶所在直线分别为𝑥轴，𝑦轴，𝑧轴建立空间直角坐标系，由𝐴𝐵⊥面𝐴𝐵1𝐶得平面𝐴𝐵1𝐶的一个法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(1,0,0)，设平面𝐴𝐴1𝐷的法向量为𝑛2⃗⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦

,𝑧)，由{𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛2⃗⃗⃗⃗=0𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛2⃗⃗⃗⃗=0，求得𝑛2⃗⃗⃗⃗=(1,1,−1)，然后利用向量夹角公式求解即可．本题考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想

象和数学运算等核心素养，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可得，𝑀(𝑥0,𝑦0)，𝐹(−𝑐,0)，|𝑀𝐹|=√(𝑥0+𝑐)2+𝑦02=√(𝑥0+𝑐)2+(1−𝑥02𝑎2)𝑏2=√(𝑐𝑎𝑥0+𝑎)2=𝑐𝑎�

�0+𝑎，又因为−𝑎≤𝑥0≤𝑎，|𝑀𝐹|𝑚𝑎𝑥=𝑎+𝑐，|𝑀𝐹|𝑚𝑖𝑛=𝑎−𝑐，由已知可得𝑎2−𝑐2=3，即𝑏2=3，又𝑒=𝑐𝑎=12，所以𝑎=2𝑐，则𝑎2−𝑐2=3𝑐2=3，解得𝑐=1，所以𝑎=2，所以椭圆𝐶的方程

为𝑥24+𝑦23=1；(2)设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，又𝐹(−1,0)，因为∠𝑃𝐹𝐴+∠𝑃𝐹𝐵=𝜋，所以𝑘𝐴𝐹+𝑘𝐵𝐹=0，即𝑥1𝑦2+𝑦2+𝑥2𝑦1+𝑦1=0①．设直线

𝑙：𝑥=𝑚𝑦+𝑛(𝑚≠0)，联立方程{𝑥=𝑚𝑦+𝑛𝑥24+𝑦23=1，得(3𝑚2+4)𝑦2+6𝑚𝑛𝑦+3𝑛2−12=0，𝛥=(6𝑚𝑛)2−4(3𝑚2+4)(3𝑛2−12)=48(3𝑚2−𝑛2+4)>0，可得𝑛2<3𝑚2+4②，由韦达定理，可得�

�1+𝑦2=−6𝑚𝑛3𝑚2+4，𝑦1⋅𝑦2=3𝑛2−123𝑚2+4③，将𝑥1=𝑚𝑦1+𝑛，𝑥2=𝑚𝑦2+𝑛代入①，可得2𝑚𝑦1𝑦2+(𝑛+1)(𝑦1+𝑦2)=0④，再将③代入④，可得6𝑚(𝑛2−4)3𝑚2

+4=6𝑚𝑛(𝑛+1)3𝑚2+4，解得𝑛=−4，所以直线𝑙的方程为𝑥=𝑚𝑦−4，且由②可得，3𝑚2+4>16，即𝑚2>4，由点𝐹(−1,0)到直线𝑙的距离𝑑=3√1+𝑚2，|𝐴𝐵|=√1+𝑚2⋅√(𝑦1+𝑦2)2−4𝑦1𝑦2=12√1+𝑚2⋅√𝑚

2−43𝑚2+4，所以𝑆△𝐹𝐴𝐵=12|𝐴𝐵|⋅𝑑=12×12√1+𝑚2⋅√𝑚2−43𝑚2+4⋅3√1+𝑚2=18√𝑚2−43𝑚2+4，令√𝑚2−4=𝑡,𝑡>0，则𝑆△𝐹𝐴�

�=18𝑡3𝑡2+16=183𝑡+16𝑡≤182√3×16=3√34，当且仅当3𝑡=16𝑡时，即𝑡2=163=𝑚2−4，𝑚=±2√213等号成立，所以△𝐹𝐴𝐵面积𝑆最大值为3√34．【解析】(1)由已知|𝑀𝐹|=𝑐𝑎𝑥0+𝑎，根据−

𝑎≤𝑥0≤𝑎，可得|𝑀𝐹|𝑚𝑎𝑥=𝑎+𝑐，|𝑀𝐹|𝑚𝑖𝑛=𝑎−𝑐.根据已知得到𝑏2=3，𝑎2−𝑐2=3，根据离心率值即可求出𝑎，𝑐的值；(2)设𝐴(𝑥1,𝑦

1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，由已知可得𝑘𝐴𝐹+𝑘𝐵𝐹=0，即𝑥1𝑦2+𝑦2+𝑥2𝑦1+𝑦1=0.联立直线与椭圆方程，根据𝛥>0，得到𝑛2<3𝑚2+4.根据韦达定理求出𝑛=−4，𝑚2>4.根据坐标表示出弦长|𝐴𝐵|以及点𝐹(−1,0)到直线

𝑙的距离𝑑，即可得出𝑆△𝐹𝐴𝐵=18√𝑚2−43𝑚2+4.进而根据基本不等式，结合𝑚的范围换元即可求出面积的最小值．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．

22.【答案】解：(1)函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥−1，定义域为(0,+∞)，𝑓′(𝑥)=1𝑥−𝑎，当𝑎≤0时，𝑓′(𝑥)>0恒成立，𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增；当𝑎>0时，𝑓′(𝑥)>0解得0<𝑥<1𝑎，𝑓′(𝑥)<

0解得𝑥>1𝑎，𝑓(𝑥)在(0,1𝑎)上单调递增，在(1𝑎,+∞)上单调递减．(2)𝑔(𝑥)=𝑥+𝑒𝑎𝑥(𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥−1)有两个不同零点𝑥1，𝑥2(0<𝑥1<𝑥2)，由𝑥+𝑒𝑎𝑥(𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥−1)=0，可得

𝑥𝑒𝑎𝑥+(𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥)−1=𝑒𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥+(𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥)−1=0，构造函数𝑢(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥−1，𝑢′(𝑥)=𝑒𝑥+1>0，所以𝑢(𝑥)为(−∞,+∞)

上的增函数，且𝑢(0)=0，即𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥=0有两个不等实根𝑥1，𝑥2(0<𝑥1<𝑥2)，则{𝑎𝑥1=𝑙𝑛𝑥1𝑎𝑥2=𝑙𝑛𝑥2，令𝑙𝑛𝑥1𝑙𝑛𝑥2=𝑥1𝑥2=𝑡，

(0<𝑡<1)，由𝑥1=𝑡𝑥2，可得𝑙𝑛𝑥1=𝑙𝑛𝑥2+𝑙𝑛𝑡，又𝑙𝑛𝑥1=𝑡𝑙𝑛𝑥2，所以𝑡𝑙𝑛𝑥2=𝑙𝑛𝑥2+𝑙𝑛𝑡，则𝑙𝑛𝑥2=1𝑡−1𝑙𝑛𝑡，𝑙𝑛𝑥1=𝑡𝑡−1𝑙𝑛𝑡，故𝑙𝑛𝑥1+2𝑙�

�𝑥2=𝑡+2𝑡−1𝑙𝑛𝑡，而𝑥1⋅𝑥22>𝑒𝑚两边取对数，可转化为𝑙𝑛𝑥1+2𝑙𝑛𝑥2>𝑚，即𝑡+2𝑡−1𝑙𝑛𝑡>𝑚，设𝑣(𝑥)=𝑥+2𝑥−1𝑙𝑛𝑥(0<𝑥<1)，则𝑚<𝑣

(𝑥)在(0,1)上恒成立，𝑣′(𝑥)=1(𝑥−1)2(−3𝑙𝑛𝑥+𝑥2+𝑥−2𝑥)，设𝜙(𝑥)=−3𝑙𝑛𝑥+𝑥−2𝑥+1，𝜙′(𝑥)=(𝑥−1)(𝑥−2)𝑥2，𝜙′(𝑥)>0在(0,1)上恒成立，𝜙(𝑥

)在(0,1)递增，𝜙(1)=0，𝜙(𝑥)<0在(0,1)上恒成立，得𝑣′(𝑥)<0在(0,1)上恒成立，则𝑣(𝑥)在(0,1)递减，所以𝑣(𝑥)的最小值接近极限值𝑥→1𝑙𝑖𝑚(𝑥+2)𝑙𝑛𝑥𝑥

−1，设𝑝(𝑥)=(𝑥+2)𝑙𝑛𝑥，则𝑝′(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+𝑥+2𝑥，𝑥→1𝑙𝑖𝑚(𝑥+2)𝑙𝑛𝑥𝑥−1=𝑥→1𝑙𝑖𝑚𝑝(𝑥)−𝑝(1)𝑥−1=𝑝′(1)=3，所以𝑣(𝑥)的最小值无限接近3，即得𝑚的取值范围

为(−∞,3]．【解析】(1)通过分类讨论，利用导数求函数的单调区间；(2)𝑔(𝑥)=𝑥+𝑒𝑎𝑥(𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥−1)有两个不同零点，构造函数𝑢(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥−1，则𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥=0有两个不等实根，令𝑙𝑛𝑥1𝑙𝑛𝑥

2=𝑥1𝑥2=𝑡，设𝑣(𝑥)=𝑥+2𝑥−1𝑙𝑛𝑥(0<𝑥<1)，由𝑣(𝑥)的值域可得𝑚的取值范围为(−∞,3]．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与运算求

解能力，属于难题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com