【文档说明】广东省中山大学附中2019-2020学年高二下学期期中线上考试数学试题 【精准解析】.doc，共(18)页，1.455 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-229c9865f6c28a63bd08d759e3379f36.html

以下为本文档部分文字说明：

-1-2019-2020第二学期中大附中高二数学期中线上考试一、单选题（本题共12小题，每小题5分.共60分）1.复数2izi−+=(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简

求出z的值，根据复数的几何意义可得结果．【详解】∵()()22212iiiziii−+−−+===+−，∴复数2izi−+=在复平面内对应的点的坐标为()1,2，在第一象限，故选A.【点睛】本题主要考

查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知复数z满足，(34)5izi+=，则||z=()A.15B.5C.15D.5【答案】C【解析】【分析】运用复数代数形式的除法运算求出复数z，然后求模即可.【详解】4535(

355(34)34)(34)254iziiiiii+++==−=−，22(35)(45)55125255z+===.故选：C【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的模，属于基础题.3.若满足()2211(1)()aaiiaR−++=+，则a=()-2-A

.0B.1C.1−D.【答案】B【解析】【分析】首先求出2(1)2ii+=，按照复数相等的充要条件列出方程组即可求得a.【详解】()2211()21iaaii−++==+，21=0112aaa−==+.故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，复数相等的充要条

件，属于基础题.4.一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为()A.4B.44C.24D.48【答案】C【解析】【分析】4个学校进行排列，直接利用排列数公式计算即可.【详解】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序

种数为44=432124A=.故选：C【点睛】本题考查简单的排列计数问题，属于基础题.5.已经知道函数32()2fxxx=−在[1,3]−上，则下列说法不正确．．．的是()A.最大值为9B.最小值为3−C.函数()fx在区间[

1,3]上单调递增D.0x=是它的极大值点【答案】C【解析】【分析】求出函数导数并判断导数符号，可推出当[1,0)x−，4(,3]3时函数()fx单调递增，当-3-4(0,)3x时函数()fx单调递减，即可逐项判断正误.【详解】2()34fxxx=−，令2()340fxxx=−，解

得0x或43x，所以当[1,0)x−，4(,3]3时，()0fx，函数()fx单调递增，当4(0,)3x时，()0fx，函数()fx单调递减，C错误；所以0x=是它的极大值点，D正确；因为(0

)0,(3)27299ff==−=，所以函数()fx的最大值为9，A正确；因为4641632(1)123,()2327927ff−=−−=−=−=−，所以函数()fx的最小值为3−，B正确.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及利用导数判断函数的单调性、极值点及求解最值，

属于中档题.6.若8280128(1),xaaxaxaxxR−=++++，则()A.00a=B.01a=−C.8012382aaaaa+++++=D.123481aaaaa++++=−【答案】D【解析】【分析】通过对x进行赋值可求得0a及012348aaaaaa++++

+.【详解】令0x=可得01a=，令1x=可得0123480aaaaaa+++++=，因为01a=，所以123481aaaaa++++=−.故选：D【点睛】本题考查二项式定理展开式的项的系数和系

数和，一般采用通项公式和赋值法，属于基础题.7.若离散型随机变量X的分布列如下，则ab的最大值为()-4-X01020P12abA.116B.14C.12D.1【答案】A【解析】【分析】根据概率和为1列出等式，

再利用基本不等式即可得解.【详解】由概率的性质可得112ab++=，且0,0ab，则122abab+=，所以116ab，当且仅当14ab==时取等号，所以ab的最大值为116.故选：A【点睛】本题考查概率的基本性质，基本不等式求积的最大值，属于基础题.8.若(2)nx−的展

开式中二项式系数最大的项只有第6项，则展开式的各项系数的绝对值．．．之和为()A.111B.102C.103D.113【答案】C【解析】【分析】根据二项展开式中只有第6项的二项式系数最大知10n=，再令1x=−即可求得可得展开式

的各项系数的绝对值之和.【详解】根据题意知(2)nx−的展开式共有11项，10n=，1001001919910101010101022(2)2CxCxCxxxC=−+−+−，令1x=−可得展开式的各项系数的绝对值之和为103.故选：C【点睛

】本题考查二项展开式各项的系数和，属于中档题.-5-9.已知函数21()cos,()2fxxxfx=+是()fx的导函数，则函数()yfx=的图象可能为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出函数()fx的导函数(

)sinfxxx=−+，令()singxxx=−+，利用导数判断函数()gx在(0,)2上的单调性即可排除CD，再根据(0)0g=排除A.【详解】()sinfxxx=−+，令()singxxx=−+，则()1cosgxx=−，当(0,)2x时，()1cos0gxx=−，(

)gx单调递增，即函数()yfx=单调递增，排除CD；当0x=时，(0)0g=，(0)0g=，排除A，选B.故选：B【点睛】本题考查函数与导函数图象的综合问题，导数在研究函数中的应用，属于中档题.10.有红、黄、蓝三个小球放到7个不

同的盒子里，每个盒子最多放两个球，放到同一个盒子的两球不考虑顺序，则不同的放法数为()A.336B.320C.240D.216-6-【答案】A【解析】【分析】分3个球分别放到不同盒子里及3个球中有2个球放到同一个盒子里两种情况

求出放法种数，再根据分类加法规则相加即可得解.【详解】3个球分别放到不同盒子里的放法有37=765=210A种；3个球中有2个球放到同一个盒子里的放法有2237=376=126CA种，所以总共有336种放

法.故选：A【点睛】本题考查分类加法计数原理，简单的排列组合，属于基础题.11.()fx是定义在(0,)+上的减函数，且满足：()fx的导函数存在，且()()fxxfx，则下列不等式成立的是()A.2021(2018)2018(2021)ffB.2021(2018)2018(2021

)ffC.2021(2021)2018(2018)ffD.2021(2021)2018(2018)ff【答案】B【解析】【分析】根据题意可得()0fx，则()()fxxfx，构造函数()()fxgxx=，利用导数证明函数()gx在(0,)+上单调递增，从而可

得(2021)(2018)gg，整理所得不等式即可得解.【详解】因为()fx是定义在(0,)+上的减函数，所以()0fx，因为()()fxxfx，所以()()fxxfx，令()()fxgxx=，则2()(

)()0xfxfxgxx−=，函数()gx在(0,)+上单调递增，所以(2021)(2018)gg，即2021(2018)2018(2021)ff.故选：B【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，一般的函数值比较大小可根据数的特点和题

设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，利用新函数的单调性比较函数值的大小，本题-7-属于中档题.12.设函数32()22fxxxaxa=−−+.若只存在唯一非负整数0x，使得()00fx，则实数a取值范围为()A.[0,1)B.(0,1]C.(,1)−D.(,

1]−【答案】A【解析】【分析】令32()2gxxx=−，()2hxaxa=−，作出函数()gx图象，数形结合、分类讨论当0a、0a=、0a时满足条件的a的取值范围.【详解】令32()2gxxx=−，()2hxaxa=−，则()(

)()fxgxhx=−，2()34gxxx=−，令()0gx，解得0x或43x，所以函数()gx在(,0)−，4(,)3+上单调递增，在4(0,)3上单调递减；函数()2hxaxa=−恒过点(2,0)，作出函数图象如图所示：①

当0a时，()2hxaxa=−单调递增，若()0fx，则只存在唯一非负整数0x，使得()000()()0fxgxhx=−，则(1)(1)gh即1a−−，解得1a，所以(0,1)a；②当0a=时，32()()2fxgxxx==−，由图可知仅存

在唯一非负整数1使得(1)0f，满足题意；③当0a时，()2hxaxa=−单调递减，(0)20fa=，(1)10fa=−，不满足题意；综上所述[0,1)a.-8-故选：A【点睛】本题考查函数图象的综合应用

，利用导数判断函数单调性，考查分类讨论、数形结合的思想，属于较难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分.共20分）13.5(1)(2)xx−+的展开式中，3x的系数为___________.（用数字作答）【答案】40【解析】【分析】求出5(2

)x+的展开式的通项，即可求得5(1)(2)xx−+的展开式中含3x的项.【详解】5(2)x+的展开式的通项为5152rrrrTCx−+=，所以5(1)(2)xx−+的展开式中含3x的项为3232323552240xCxCxx−=，3x的系数为40

.故答案为：40【点睛】本题考查二项展开式中特定项的系数，属于中档题.14.已知函数2()xfxxe−=，则(1)f=_____.【答案】2e−−【解析】【分析】根据导数运算法则求出函数()fx的导数，令1x=即可求得

(1)f.【详解】2()(12)xfxex−=−，2(1)fe−=−【点睛】本题考查导数运算法则，属于基础题.15.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书记载.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉三角迟393

年.那么，第15行第13个数是_____.（用数字作答）-9-【答案】455【解析】【分析】将第1、2、3、4行中的数写为组合数形式，观察可得第n行第r(0)rn个数为1rnC−，则第15行第13个数为121

5C.【详解】第1行：01=1C，11=1C，第2行：012222=1=2=1CCC，，，第3行：01233333=1=3=3=1CCCC，，，，第4行：0123444444=1=4=6=4=1CCCCC，，，，，观察可得第n行第r(11)rn+

个数为1rnC−，所以第15行第13个数为1215151413==45532C.故答案为：455【点睛】本题考查杨辉三角中所包含的二项式定理的性质，合情推理，属于中档题.16.若函数2()2lnfxxax=−++在21,ee上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为__

___.【答案】441,1(]e+【解析】【分析】将问题转化为22lnaxx=−在21,ee上有两个解，令2()2lngxxx=−，利用导数判断()gx的单调性及最值，数形结合即可求得a的范围.-10-【详解】令()0fx

=可得22lnaxx=−，令2()2lngxxx=−，则2222()2xgxxxx−=−=，因为当211xe剟时，()0gx„，当1xe„时，()0gx，所以()gx在21,1e上单调递减，在(1,]e上单调递增，所以当

1x=时()gx取得最小值(1)1g=，又224114,()2ggeeee=+=−，所以21()ggee，因为()agx=在21,ee上有两个解，所以4114ae+„.故答案为：4

41,1(]e+【点睛】本题考查函数的零点、利用导数求函数的最值，考查等价转化思想和数形结合思想，属于中档题.三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其它每题均12分.共70分）17.已知曲线32()fxxaxbx=++在点(2,(2))f处的切线方程为58yx=−.（1）求(2)f的值，以

及a和b的值；（2）求此函数的单调区间.【答案】(1)(2)2f=;2,1ab=−=;(2)单调递增区间为1(,),(1,)3−+，单调递减区间为1(,1)3.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由(

2)f等于切线的斜率及点(2,(2))f在直线上列出方程组即可求得a，b；（2）解导函数不等式即可求解单调区间【详解】（1）2()32fxxaxb=++，因为()fx在点(2,(2))f处的切线方程为58yx=−，-11-所以(2)12+4+b5fa==

①，又点(2,(2))f在直线上，所以(2)8421082fab=++=−=②，联立①②可得2,1ab=−=；（2）2()341=−+fxxx，令()0fx解得13x或1x，所以函数()fx在1(,),(1,)3−+上单调递增，在1(,1)3上单调递减.

【点睛】本题考查已知曲线在某点处的切线方程求参数，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.【分析】18.盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.（1）全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻．．．．．的排法有多少种？（2）从中任取6个球，白球的个数不比．．黑球个数少的取法有多少种？（3）若取一个白球

记2分，取一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于．．．7分的取法有多少种？【答案】(1)14400;(2)28;(3)56.【解析】【分析】（1）首先5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则3个黑球两两不相邻的排法有5356AA；（2）从中

任取6个球，白球的个数不比．．黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个白球、3个黑球和3个白球；（3）从中任取5个球，使总分不少于．．．7分的取法有4类：5个白球、4个白球1个黑球、3个白球

2个黑球、2个白球3个黑球.【详解】（1）首先5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则3个黑球两两不相邻的排法有53565432165414400AA==种；（2）从中任取6个球，白球的个数不比．．黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球

和4个白球、3个黑球和3个白球，共有15243335353528CCCCCC++=种；（3）从中任取5个球，使总分不少于．．．7分的取法有4类：5个白球、4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球，

共有5142332535353556CCCCCCC+++=种.-12-【点睛】本题考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理，排列与组合，属于基础题.19.已知函数2()(1)3lnfxxxx=−++.（1）求此函数的极大值，并请直接．．写出此函数的零点个数．

．．．；（2）若函数()()lngxfxax=+，且此函数()gx在区间[1,3]内单调递增，求实数a的取值范围.【答案】(1)极大值(2)3ln22f=−；2个零点；(2)2[,)3+.【解析】【分析】（1）利用导数判断函数

单调性从而确定极大值，由(1)223ln10f=−+=，且()fx在(2,)+上单调递减知()fx在定义域内有两个零点；（2）由题意得()0gx对任意的[1,3]x恒成立，则23axx+−，利用导数求出函数2()3hxxx=+−的最大值即可求得a的范围.【详解】（1

）函数()fx的定义域为(0,)+，2223(1)(2)()1xxfxxxx−−=−−+=−，令()0fx，解得12x，所以函数()fx在(0,1),(2,)+上单调递减，在(1,2)上单调递增，则()fx在2x

=处取得极大值(2)3ln220f=−，因为(1)223ln10f=−+=，所以1x=为函数的一个零点，又(2)0f，2222()(1)60feee=−++，且()fx在(2,)+上单调递减，所以(

)fx在(2,)+上有一个零点，所以函数()fx在定义域内有两个零点；（2）2()(1)(3)lngxxaxx=−+++，则22223(3)2()1axaxgxxxx+−++=−−+=−，若函数()gx在区间[1,3]内单调递增，则()0

gx对任意的[1,3]x恒成立，即2(3)20xax−++−对任意的[1,3]x恒成立，23axx+−，令2()3hxxx=+−，故()222xhxx−=，-13-当12x时，()0hx，当23x时，()0hx，所以()hx在(1,2)上单调递

减，在(2,3)上单调递增，且2(1)0,(3)3hh==，所以当[1,3]x时，max2()(3)3hxh==，所以23a.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及利用导数研究函数的单调性、极值及最值、函数的零点，属于中档题.20.某社团现有5名女生，5名男生，其中3名学生来自

同一个班，另外7名学生分别来自不同的班级.现要随机选3名学生参加活动.（1）求“选出的3名学生中，至多．．有2名来自同一班级”的概率；（2）设选出的3名学生中女生的人数为随机变量X，求X的分布列.【答案

】(1)119120；(2)X0123P112512512112【解析】【分析】(1)设选出的3名学生中至多有2名来自同一班级为事件A，则A表示3名学生均来自同一班级，()1()PAPA=−；（2）=0

,1,2,3X，355310()(0,1,2,3)kkCCPXkkC−===列出随机变量X的分布列即可.【详解】(1)设选出的3名学生中至多有2名来自同一班级为事件A，则A表示3名学生均来自同一班级，所以33310119()

1()1120CPAPAC=−=−=；(2)=0,1,2,3X，353101(0)12CPXC===，12553105(1)12CCPXC===，-14-21553105(2)12CCPXC===，353101(3)12CPXC===，X的分布列为X0123P1125125121

12【点睛】本题考查利用古典概型概率公式求概率，常见分布列的求解，属于中档题.21.某学校科技节需要同学设计一幅矩形纸板宣传画，要求画面的面积为22560cm（如图中的阴影部分），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白.（1）如何设

计画面的高与宽的尺寸，才能使整个宣传画所用纸张面积最小？（2）如果按照第一问这样制作整个宣传画，在科技节结束以后，这整个宣传画纸板可再次作为某实验道具，并要求从整个宣传画板的四个角各截取一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器.问截下的小正方形的边长（也就是该容器的高）是

多少时，该容器的容积最大？【答案】(1)当画面高为64cm、宽为40cm时整个宣传画所用纸张面积最小为24000cm;(2)当小正方形的边长为10cm时该容器的容积最大为180003cm.【解析】【分析】（1）设画面的高为x(cm)，宽为kx(cm)，求出宣传画所用纸张面积S的表达式，利用2

2560kx=将表达式转化为关于k的函数，利用基本不等式即可得解；（2）设该容器的高为xcm，求出容器体积的表达式，利用导数研究函数的单调性从而求函数最大值.-15-【详解】（1）设画面的高为x(cm)，宽为kx(cm)，则22560kx=，宣传画所用纸张

面积为2(16)(10)(1610)160Sxkxkxkx=++=+++1610102720(1016)27201610161027203210164000kkkkkk=++=+++=当且仅当58k=时取等号，此时24096

64xx==，所以当画面高为64cm、宽为40cm时整个宣传画所用纸张面积最小为24000cm.（2）设该容器的高为xcm，则容器的底面长为802x−cm，宽为502x−cm，(025)x该容器的体积为32()(802)(502)42604000Vxxxxxxx=

−−=−+(025)x2()125204000Vxxx=−+，令()010Vxx或1003x，所以函数(x)V在(0,10)上单调递增，在(10,25)上单调递减，max()(10)4000260004000018000VxV==−+=，即当小正方形的边

长为10cm时该容器的容积最大为180003cm.【点睛】本题考查函数的应用，涉及基本不等式求和的最小值，利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，属于中档题.22.已知函数121()2ln,()(21)lnxaxfxxaxgxxeaxxx+=−++=−+++.（1）讨论()fx的单调性；（2）若在

区间(0,)+存在一个x，使得()()fxgx成立，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)1(,)2+.【解析】【分析】(1)求出()fx的导数，令2()21hxxax=−+−，分2=440a−、0=、三

种情况讨论导数的符号从而确定()fx的单调区间；(2)由()()fxgx整理得ln2xxexxa−−，令()ln(0)xxxexxx=−−，设函数()x的零点为0x可得001xxe=，分析()x的单调性从-16-而求出最小值，根据不等式成立的充要条件即可求得a的取值范围

.【详解】(1)2221221()1axaxfxxxx−+−=−−+=，令2()21hxxax=−+−，2=44a−，①若2=440a−即11a−，则二次函数2()21hxxax=−+−开口

向下且与x轴无交点，当(0,)x+时，()0hx即()0fx，函数()fx在(0,)+上单调递减；②若0=即1a=，当1a=时，2()21hxxx=−+−开口向下且对称轴为1x=，当(0,)x+时，()0≤hx即()0fx，函数()fx在(0,)+上单

调递减；当1a=−时，2()21hxxx=−−−开口向下且对称轴为1x=−，当(0,)x+时，()0hx即()0fx，函数()fx在(0,)+上单调递减；③若即1a−或1a，方程2

21=0xax−+−的根为21xaa=−，当1a−时，因为2()21hxxx=−−−开口向下，22110aaaa−−+−，所以当(0,)x+时，()0hx即()0fx，函数()fx单调递减；当

1a时，因为22011aaaa−−+−，所以当2(0,1)xaa−−，2(1,)aa+−+时，()0hx即()0fx，函数()fx单调递减；-17-当22(1,1)xaaaa−−+−时，()0hx即()0fx，函数()fx单调递增；综上所述，当(,1]a−时，()fx

在(0,)+上单调递减；当(1,)+a时，()fx在区间22(1,1)aaaa−−+−上单调递增，在区间2(0,1)aa−−，2(1,)aa+−+上单调递减.(2)根据题意，若()()fxgx，则1212ln(21

)lnxaxxaxxeaxxx+−++−+++，化简得ln2xxexxa−−，令()ln(0)xxxexxx=−−，1()(1)()xxxex=+−，令()=0x可得1xex=即1xxe=，设函数()x的零点为0x，则0000001,llnn0xxxexexx==

+=，由1xyex=−在(0,)+单调递增，所以0(0,)xx时，()0x，()x单调递减；0(,)xx+时，()0x，()x单调递增，0max0000()()ln1xxxxexx==−−=，所以1212aa.【点睛】本题考查导数在研究函数的性质中的应用，二次

函数的图象与性质，不等式成立求参数的取值范围，涉及利用导数研究函数的单调性及求函数的最值，属于较难题.-18-