【文档说明】北京市通州区2023届高三考前查漏补缺数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.050 MB，由小赞的店铺上传

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通州区2023年高三年级查漏补缺试题数学试卷2023年5月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选

项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合lg(1)Axyx==−，3Bxx=Z，则AB=（）A.(1,3)B.[1,3)C.2D.1,2【答案】C【解析】【分析】分别求出集合,AB，再根据交集的运算即可得出答案.【详解】lg(1)101

Axyxxxxx==−=−=，3332,1,0,1,2Bxxxx==−=−−ZZ，所以2AB=.故选：C.2.已知复数()212iz=−，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第

二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法运算，求得34iz=−−，由此可确定答案.【详解】由题意可得()2212i14i4i34iz=−=−+=−−，则复数z在复平面内对应的点()3,4Z−−位于第三象限,故选：C.3.设ln0.

2a=，e0.2b=，0.2ec=，则（）A.abcB.acbC.cbaD.b<c<a【答案】A【解析】【分析】利用函数的单调性估算,,abc的范围，即可比较大小.【详解】因为lnyx=在(0,)+上单调递增，且2110.2ee，所以211lnln0.2lnee，化简得2

1a−−；因为0.2xy=在R上单调递减，且2e3，所以3e20.20.20.2，化简得0.0080.04b；因为exy=在R上单调递增，且00.21，所以00.21eee，化简得1ec

；综上，可知abc.故选：A4.若()62345601234561xaaxaxaxaxaxax−=++++++，则246aaa++=（）A.64B.33C.32D.31【答案】D【解析】【分析

】给x分别赋值011−，，，即可得到一系列方程组，通过对方程组的解决，问题即可得到解决.【详解】因为()62345601234561xaaxaxaxaxaxax−=++++++，所以令0x=可得01a=①，令1x=可得01245

630aaaaaaa+++++=+②，令=1x−可得012345662aaaaaaa−+−+=−+③，②+③可得502462aaaa++=+①，将①代入④可得52462131aaa++=−=.故选：D5数列na中，121124(2)nnnaaaaan−+===，，，则2023a=（）A.14

B.12C.2D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，分别求得345,,aaa，即可得到数列na的周期，从而得到结果.【详解】因为121124(2)nnnaaaaan−+===，，，令2n=，则132aaa=，求得32a=，令3n=，则243aaa=，求得412a=，令4n=，则

354aaa=，求得514a=，令5n=，则465aaa=，求得612a=，令6n=，则576aaa=，求得72a=，令7n=，则687aaa=，求得84a=，，所以数列na的周期为6，则202312aa==.故选：C6.等比数列{na}的首项为1a，公比为

q，前n项和为nS，则“10a”是“{nS}是递增数列”的（）A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】取11a=，1q=−可判断充分性；由nS是

递增数列，结合等比数列通项公式可得10a成立，即可判断必要性.【详解】在等比数列na中，取11a=，1q=−，此时()11nna−=−，na为摆动数列，2110SS==,故充分性不成立；若等比数列na的公比为q，且nS是

递增数列，11,0nnnnSSSS−−−12121312,0,0,0,nnnaaqaaqaaq−===则10a，所以，数列nS为递增数列时，10a成立，故必要性成立.所以，“10a”是“数列nS为递增数列”

的必要而非充分条件.故选：B..7.已知1F，2F分别为双曲线：22221(0,0)yxabab−=的上，下焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若12PFPF⊥，121tan3PFF=，则双曲线的离心率为（）A.53B.54C.45D.35【答案

】B【解析】分析】由题可得2122POFPFF=，然后利用二倍角公式结合条件可得34ba=，然后根据离心率公式即得.【详解】因为12PFPF⊥，O为12FF的中点，所以1FOOP=，121PFFFPO=，所以2122POFPFF=，又121tan3PFF=，

2tanPOFba=，所以212334113ba==−，所以2295e11164cbaa==+=+=.故选：B.8.等腰三角形的屋顶，是我国古代建筑中经常采用的结构形式.一般说来等腰三角形底边是一定值，假设雨水与屋顶

面间摩擦阻力不计，要使雨水从屋顶上流下所需的时间最短，等腰三角形的底角应设计为（）【A.30B.45C.60D.72【答案】B【解析】【分析】雨滴从屋顶下淌时作初速度为零的匀加速直线运动，该物理模型和物块从斜面顶端沿斜面下

滑一样，然后根据匀变速直线运动规律求解即可.【详解】设屋檐的底角为，底边为L，屋顶的坡面长度为s，雨滴下滑时加速度为a，对水滴做受力分析（如图），水滴只受重力mg和屋顶对水滴的支持力N，垂直于屋顶方向：cosmgN=，平行于屋顶方向：sinmgma=，水滴的加速度为：sinag=，根据三角

关系判断屋顶坡面的长度：2cosLs=，水滴的运动距离为：2cosLs=，由位移--时间公式得：2211sin2cos22Lsatgt===，则2sincossin2LLtgg==，故当

45=时，使雨水能以最短的时间从屋顶瓦面流下.故选：B9.过直线yx=上的一点P作圆()()22512xy−+−=的两条切线1l，2l，切点分别为,AB，当直线1l，2l关于yx=对称时，线段PA的长为（）

A.4B.22C.6D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点P的连线垂直于直线yx=，利用这一关系即可得到切线的长.【详解】如图所示，圆心(5,1)C，连接CP，因为直线1l，2l关于yx=对称，所以CP垂直于直线yx=，故51222CP−==，而2

AC=，所以226PACPAC=−=.故选：C10.函数()fx的定义域为D，若存在闭区间,abD，使得函数()fx同时满足：()fx在,ab上是单调函数且()fx在,ab上的值域为[,](0)kakbk，则称区间,ab为()fx的“k

倍值区间”.现有如下四个函数：①()1exfx=，②()22fxx=，③()()3ln1fxx=+，④()4ππsin,,22fxxx=−.那么上述四个函数中存在“2倍值区间”的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答

案】B【解析】【分析】根据所给定义得到方程组，再构造函数利用导数说明函数的单调性，即可判断函数的零点，从而得解.为【详解】①()1exfx=为增函数，若函数()1exfx=存在“2倍值区间”,ab，则()

()11e2e2abfaafbb====，令()e2xgxx=−，则()e2xgx=−，所以当ln2x时()0gx，当ln2x时()0gx，所以()gx在(),ln2−上单调递减，在()ln2,+上单调递增，又(

)ln2ln2e2ln222ln20g=−=−，所以()0gx恒成立，即()e2xgxx=−无零点，所以()1exfx=不存在“2倍值区间”，故①错误；对于②()22fxx=在)0,+上单调递增，若函数()2fxx=存在“

2倍值区间”,ab，则),,0ab+，所以()()222222faaafbbb====，解得02ab==.所以函数()22fxx=存在“2倍值区间”0,2，故②正确；对于③()()3ln1fxx=+函数定义域()1,−+上单调递增，

若函数()()3ln1fxx=+存在“2倍值区间”,ab，则()()()()33ln12ln12faaafbbb=+==+=，令()()ln12hxxx=+−，则()121211xhxxx−−=−=++，所以当112x−−时()0hx，当12x

−时()0hx，所以()hx在11,2−−上单调递增，在1,2−+上单调递减，又111ln12ln210222h−=−+−−=−+，()00h=，()()()()1010101010101

0e1lne112e1lne2e1102e282e0h−−−−−−−−=−+−−=−−=−−+=−−，所以()hx在101e1,2−−−上存在一个零点，所以()hx在定义域上存在两个零点，方程

()()()()33ln12ln12faaafbbb=+==+=有解，其中0b=，101e1,2a−−−，在所以函数()()3ln1fxx=+存在“2倍值区间”，故③正确；对于④()4ππsin,,22fxxx=−

，函数在ππ,22−上单调递增，若函数()4ππsin,,22fxxx=−存在“2倍值区间”,ab，则()()44sin2sin2faaafbbb====，令()sin2mxxx=−，ππ,22x−

，则()cos20mxx=−，所以()mx在ππ,22−上单调递减，故()mx在ππ,22−上不可能存在两个零点，所以函数()4ππsin,,22fxxx=−不存在“2倍值区间”，故④错误；故选：B第二部分（非选择题共11

0分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知log2,log3aamn==，则2mna−=__________．【答案】43【解析】【详解】∵log2,log3aamn==，∴2,3mnaa==，∴2222433mmnnaaa−===．答案：4312.有两台车床加工同一

型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为______.【答案】0.046【解析】【分析】根

据全概率公式即可求解.【详解】记“任取一件零件是次品”为事件B.记iA为“第i台车床加工的零件”，根据全概率公式1122()()()()()PBPAPBAPAPBA=+40%4%60%5%=+0.046=.故答案为：

0.046.13.已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，则BPCQAP−CB=___________.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量基本定理并借助圆心和圆内,A

PAQ向量互为相反向量即可求解.【详解】−BPCQAPCB()()++()BAAPCAAQAPABAC=−−BACABAAQAPCAAPAQAPABAPAC=+++−+BACABAAPAPCAAPAPAPABAPAC=−+−−+2cos601BA

CABAAPAPCAAPABAPCA=−+−−−212212ABAPAPCAAPABAPCA=++−−−()()212212ABAPAPABAPCAAPCA=−+−+−212212=−1=.故答案为:1.14.在△ABC中，若4AB=，ACm

=，2cos3B=，若△ABC中存在且唯一，则△ABC面积的最小值为______；此时m的值为______.【答案】①.1659②.453【解析】【分析】根据余弦定理及三角形唯一存在建立方程求解边长，利用同角函数基本关

系求出sinB，代入面积公式求解即可.【详解】设BC=a，△ABC面积为S，由余弦定理得22222162cos283acbamBaca+−+−===，所以223164830aam−+−=①，由题意△ABC中存在且唯一，所以方程①有唯一解，所以22Δ(16)43(

483)0m=−−−=，解得453m=或453m=−（舍去），代入方程①得83a=，由2cos3B=及0πB得25sin1cos3BB=−=，所以1185165sin422339SacB==

=，此时三角形的三边为4，83，453，满足三角形成立条件，且453m=.故答案为：1659，45315.在棱长为1正方体111ABCDABCD−中，点P满足1BPBCBB=+，其中0,1，[0,1]，给出下列四个结论：①所有满足条

件的点P组成的区域面积为1；②当1=时，三棱锥1PABC−的体积为定值：③当1=时，点P到AB距离的最小值为1；④当12=时，有且仅有一个点P，使得1AB⊥平面1ABP则所有正确结论的序号为________

___.【答案】①②③【解析】【分析】对于①，可得点P在正方形11BCCB内，即可判断；对于②，由题意可得所以P在线段11BC上，从而得P点到平面1ABC的距离为定值，1RtABC△的面积为定值，即可判断；对于③，由题意可得P在线段1CC上，连接BP，则有当P与C

重合时，BP最小，从而即可判断；对于④，由题意可得P在线段EF上，当1AB⊥平面1ABP时，可得AE∥1AB，与AE1ABA=矛盾，从而即可判断.【详解】解：如图所示：对于①，因为1BPBCBB=+，0,1，[0,1]，所以点

P在正方形11BCCB内，而正方形11BCCB的面积为1，故正确；对于②，当1=时，1BPBCBB=+，即1BPBBBC−=，1BPBC=，所以P在线段11BC上，由题意可知11BC∥平面1ABC，所以11BC上的点到平面1ABC的距离处处相等，又因为1RtABC△

的面积为定值221211122+=，所以三棱锥1PABC−的体积为定值，故正确；对于③，当1=时，1BPBCBB=+，即1BPBCBB−=，1CPBB=，所以P在线段1CC上，连接BP，由题意可知AB⊥平面11BC

CB，BP平面11BCCB，所以AB⊥BP，所以BP的长为点P到AB的距离，当P与C重合时，BP最小，为1，故正确；对于④，当12=时，112BPBCBB=+，取1BB中点E，1CC中点F，则P在线段EF上，

易知11ABAB⊥，如果1AB⊥平面1ABP，AP平面1ABP，则必有1AB⊥AP，又因为PE⊥平面11ABBA，1AB平面11ABBA，所以PE⊥1AB，APPEP=，所以1AB⊥平面APE，则

有1AB⊥AE，又因为11ABAB⊥，所以AE∥1AB，与AE1ABA=矛盾，故错误.故答案为：①②③【点睛】方法点晴：在对立体几何的判断题中，对于正面判断较困难的选项，可以采用反证进行判断.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过

程.16.已知函数()()πsin(0,)2fxx=+，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()fx的解析式唯一确定.（1）求()fx的解析式：（2）设函数()()π6gxfxfx=++，求()gx在区间π0,4上的最

大值.条件①：()fx为奇函数：条件②：()fx图像上相邻两个对称中心间的距离为π2：条件③：()fx图像的一条对称轴为π4x=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）()sin2fxx=（2）3【解析】【分析】（1）可以选择条件①②或条件②③，先由周期计算，再计

算即可；（2）先求出π26x+整体的范围，再结合单调性求最大值即可.【小问1详解】选①②:由①()fx为奇函数，所以()fx关于原点对称，sin0=，解得πZkk=，又π2，所以0=.由条件②得2ππT==，解得2=所以()sin2fxx=；选②③由条件②得2ππT==，解得

2=.由条件③中一条对称轴为π4x=，可得ππ2π42k+=+，Zk，解得πk=，Zk，又π||2，所以0=，所以()sin2fxx=【小问2详解】()πsin2sin26gxxx

=++ππsin2sin2coscos2sin33xxx=++33sin2cos222xx=+π3sin26x=+..因为π04x，所以ππ2π2663x+，所以当ππ262x+

=时，即π6x=时()gx取得最大值，最大值为317.如图，在三棱锥ABCD−中，平面ABD⊥平面BCD，,⊥=ABADABAD，O为BD的中点.（1）证明：OACD⊥.（2）若BCD△是等腰直角三角形，90BDC=，2CD=，点E在棱AD上（与A，D不重合），若二面角

EBCD−−的大小为45，求点D到面BCE的距离.【答案】（1）证明见解析.（2）1.【解析】【分析】（1）根据给定条件证明AOBD⊥，再根据面面垂直性质定理及线面垂直性质定理推理出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用

给定二面角确定E点坐标，在借助空间向量求出点到平面距离.小问1详解】证明：因为ABAD=，O为BD的中点，所以AOBD⊥，又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCDBD=，AO平面ABD，所以AO⊥平面BCD．又因为CD平面BCD，所以AOC

D⊥.【小问2详解】【设BC的中点为F，则//OFCD，又因为90BDC=，所以OFBD⊥.以O为坐标原点，以OF，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为BCD△是等腰直角三角形，90BDC=，2CD=，所以2BD=，又因为,⊥=ABADA

BAD，O为BD的中点，根据直角三角形性质可得，112OAOBODBD====，则()0,0,0O，()0,0,1A，()0,1,0B−，()2,1,0C，()0,1,0D，设()01AEAD=，则()0,,1E−.由题意可知OA是平面BCD的一个法向量，()0,0,

1OA=，设平面BCE的一个法向量为(),,nxyz=r，()2,2,0BC=，()0,1,1BE=+−，则有00nBCnBE==，即()()220110xyyz+=++−=，令1x=，则1y=−，11z+=−，则平面BCE的一个法向量为1,1

11,n=−+−.根据二面角EBCD−−的大小为45可得，2121cos,cos4521111nOAnOAnOA+−====+++−，解得121+=−，即()1,1,2n=−，又因为()2,0,0CD=−，所以点D到平面B

CE的距离21112nCDdn===++.18.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建党100周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组频数

)75,802)80,856)85,9016)90,951495,1002高二规定成绩不低于90分为“优秀”.（1）估计高一年级知识竞赛的优秀率：（2）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率.在高一、高二

年级学生中各选出2名学生，记这4名学生中成绩优秀的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列；（3）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X，Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数.写出方差()(),DXDY的大小关系.（只需写出结论）【答案】（1）30%；（2）分布列见解析；（3）()

()DXDY.【解析】【分析】（1）先计算样本的优秀率，从而可解；（2）根据分布列的求解步骤即可求解；（3）根据两点分布的方差计算公式即可判断.【小问1详解】高一年级知识竞赛的优秀率为()0.040

.0250.3+=，所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%.【小问2详解】在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为310，选中成绩不优秀学生的概率为710；在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为25，选中成绩不优秀学生的概率为35.的所有可能取值为0，1，2，3，4；()22

7344101052500P===，()2211223737239661CC1010510552500P==+=，()22221122333723727812CC1051010551052500P

==++=，()2211223233722763CC1055101052500P==+=，()22323641052500P===

，所以随机变量ξ的分布列为：P01234ξ4412500966250078125002762500362500【小问3详解】显然,XY均符合两点分布，且(0)0.7,(1)0.3,(0)0.6,(1)0.

4PXPXPYPY========，()()0.30.70.21,0.60.40.24DXDY====，所以()()DXDY.19.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，椭圆C截直线2x=所得线段的长度为2.（1）求椭圆C的方程（2）动直线():0lykxmm=

+交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，D为线段AB的中点，点N是M关于O的对称点，以N点为圆心的圆过原点O，直线DF与⊙N相切于点F，求||NDNF的最大值【答案】（1）22142xy+=（2）2【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和,b,

ca关系并代入点坐标即可求解；（2）根据直线和椭圆联立，中点坐标公式，相切关系，换元法和对号函数即可求解.【小问1详解】由椭圆的离心率为22，得()2222aab=−.又当2x=时，22222byba=−得22221bba−=，所以2242ab==，因此椭圆方程为22

142xy+=.【小问2详解】设A（1x，1y），B（2x，2y）.联立方程2224ykxmxy=++=，得()222214240kxxkmxm+++−=由0得2242mk+（*）且122421kmxxk+=+，因此122221myyk+=+，所以222,2121kmmDkk−

++又N（0，-m），所以222222||2121kmmNDmkk=−++++整理得：()()224222413||21mkkNDk++=+，因为NFm=所以()()()422222222431||831

||2121kkNDkNFkk+++==+++令2833tkt=+故21214tk++=所以()222||1616111||12NDtNFttt=+=++++因为1ytt=+上单调递增，因此1103ytt=+等号当且仅当3t=时成立，此时22||134||NDNF

+=，|NDNF最大值为2.20.已知函数()ln(0)afxaxxax=−−（1）已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为1yx=−，求实数a的值；（2）已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的

取值范围.（3）已知()()agxfxx=+有两个零点1x，2x，求实数a的取值范围并证明212exx.【答案】（1）1a=（2）12a（3）10ea，证明见解析【解析】【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有()11f=，解方程即得实数a的值；（2）

依题意()0fx在（0，+∞）上恒成立.，分参求解即可；（3）求出函数()gx的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析法要证明212exx，只需证12112221ln1xxxxxx−+，构造函数()()21ln1tHttt−=−+即可证得【小

问1详解】因为()lnafxaxxx=−−，所以()21afxaxx=+−.所以()121fa=−，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为1yx=−，所以()1211fa=−=，解得1a=..【小问2详解】f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，所以()

210afxaxx=+−在（0，+∞）上恒成立.即220axxax−+恒成立.()21axx+，即21xax+，令()21xgxx=+，所以()()()()()2222211111xxxgxxx+−−==++，(0,1)x时()0gx

，(1,)x+时()0gx，所以()gx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，所以()()min112gxg==，即12a.【小问3详解】()lngxaxx=−定义域为()()110,axgxaxx−+=−=，当0a时，()0gx，所以()gx在（

0，+∞）上单调递减，不合题意.当0a时，()11axgxaxx−=−=()gx在（0，1a）上单调递减，在1,a+上单调递增，所以()gx的最小值为111lngaa=−

，函数()gx存在两个零点的必要条件是111ln0gaa=−，即10ea，又()10ga=，所以()gx在（1，1a）上存在一个零点（11a）.当x→+时，()gx→+，所以()

gx在（1a，+∞）上存在一个零点，综上函数()gx有两个零点，实数a的取值范围是10ea.不妨设两个零点210xx由()()120gxgx==，所以1122lnlnxaxxax==，，所以()1212lnlnxxaxx−=

−，所以1212lnlnxxaxx−=−，要证212exx，只需证()12ln2xx，只需证12lnln2xx+，由()()121212121212lnlnlnlnxxxxaxaxaxxxxxx−+=+=+=+−，只需证121212l

nln2xxxxxx−−+，只需证()1212122lnlnxxxxxx−−+，只需证12112221ln1xxxxxx−+，令()1201xttx=，只需证()21ln1ttt−+，令()()2

1ln1tHttt−=−+，()()()()()()22222141140111tttHttttttt+−−=−==+++，∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴()()10HtH=，即()21ln1ttt−+成立，所以212exx成立.【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造

的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代换的技巧.21.已知：正整数列na各项均不相同，*nN，数列nT的通项公式1212nnaaaTn+++=+++（1）若53T=，写出一个满足题意的正整数列

na的前5项：（2）若121,2,nnaaaTn===，求数列na的通项公式；（3）证明若*Nk，都有kan，是否存在不同的正整数i，j，使得iT，jT为大于1的整数，其中2nij.【答案】（1）123453,691215aaaaa=====,,,（2）nan=（3）证明见

解析【解析】【分析】（1）可取123453,691215aaaaa=====,,,，根据定义可证明.（2）由题设条件可得()112nnSna=+，利用前n项和与通项的关系可证nan为常数列，从而可求通项.（3）假设存在不同的正整数i，j满足题设要求，利用不等式放缩后可得13i

T，从而2iT=，故可得()()11ijSiiSjj=+=+，，结合na的性质可得矛盾.【小问1详解】取123453,691215aaaaa=====,,,，则536912154531234515T++++===++++，符合题设要求.【小问2详解】设12nnSaaa=+++，由已知

得()122121nnnnaaaSaTnnnn+++===++++即()112nnSna=+，当1n=时，111aS==；当2n时有()1111122nnnnnaSSnana−−=−=+−，整理得11nnaann−=−，所以数列nan

为常数列，又11a=，22a=，所以有21121aa==，所以1nan=，所以nan=.【小问3详解】1212iiaaaTi+++=+++，设存在不同的正整数i，j，使得iT，jT为大于1的整数.设12iiaaaS+++=，因为na为正整数数列且各不相同，所以()()12

11iiSnnni++++−++−+，故()()12122iiiiniS+−+，而()12iiSTii=+，所以()21111inTi+−+.因为2ni，所以()()21214441113312212nnnninn+++−−=−=−++++.又因为i

T为大于1的整数，所以iT的可能取值为2，同理jT的可能取值为2.所以()()11ijSiiSjj=+=+，，()()1jiSSjiji−=−++，又因为()()121122jiiijjijiiiSSaaaj++−−++++++==++++，故()

()()()112jijijiij−++−++，因为0ji−，故10ji++，而2nij，故10ji++不成立，故不存在不同的正整数i，j，使得iT，jT为大于1的整数.【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是通过等比数列的前n项和公式得到()()12122iiiiniS+−+，再计算

得()()()()112jijijiij−++−++，结合0ji−，故10ji++，而2nij，则证明出不存在不同的正整数i，j，使得iT，jT为大于1的整数.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

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