【文档说明】06（2024新题型）-备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用） Word版含解析.docx，共(15)页，2.137 MB，由小赞的店铺上传

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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）黄金卷06（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知数据

141x+，241x+，…，1041x+的平均数和方差分别为4，10，那么数据1x，2x，…，10x的平均数和方差分别为（）A．1−，52B．1，52C．1，32D．34，58【答案】D【解析】设数据1x，2x，…，10x的平均数和方差

分别为和2s，则数据141x+，241x+，…，1041x+的平均数为414+=，方差为22410s=，得3=4，25=8s，故选：D．2．大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象

，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡儿积，又称直积，记为AB．即(

),ABxyxA=且yB．关于任意非空集合MNT，，，下列说法一定正确的是（）A．MNNM=B．()()MNTMNT=C．()MNT()()MNMTD．()()()MNTMNMT=【答案】D【解析】对于A，

若121,,MN==，则()()()()1,1,1,2,1,1,2,1,MNNMMNNM==，A错误；对于B，若1,2,3MNT===，则()()()()1,2,

1,2,3MNMNT==，而()()()()()1,2,3,MNTMNTMNT=，B错误；对于C，若1,2,3MNT===，则()()()1,2,1,3MNT=，()1,2MN=，()1,3MT=，()()

()MNTMNMT=，C错误；对于D，任取元素()(),xyMNT，则xM且yNT，则yN且yT，于是(),xyMN且(),xyMT，即()()(),xyMNMT，反之若任取元素()(

)(),xyMNMT，则(),xyMN且(),xyMT，因此xMyN，且yT，即xM且yNT，所以()(),xyMNT，即()()()MNTMNMT=，D正确.故选：D3．已知圆O的半径为2，弦MN的长为23，若2MPPN=，则M

OOP=（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】如图，设MN的中点为Q，连接OQ，则OQMN⊥.由2NOMO==，23MN=，得3,1MQOQ==，所以π6OMQ=，233MP=，所以33PQ=，所以π6POQ=，所以π23,63POMOP==，所以π233c

os22632MOOPOMOPOMOP=−=−=−=−.故选：B.4．下表数据为20172021年我国生鲜零售市场规模（单位：万亿元），根据表中数据可求得市场规模y关于年份代码x的线性回归方程为

0.34yxa=+，则a=（）年份20172018201920202021年份代码x12345市场规模y4.24.44.75.15.6A．1.01B．3.68C．3.78D．4.7【答案】C【解析】由题意得，3x=，4.8y=，所以4.80.3433.78aybx=−=−=.故选：C.5

．复数izxy=+（,,ixyR为虚数单位）在复平面内对应点(,)Zxy，则下列为真命题的是（）．A．若|1||1|zz+=−，则点Z在圆上B．若|1||1|2zz++−=，则点Z在椭圆上C．若|1||1|2zz+−−=，则点Z在

双曲线上D．若|1||1|xz+=−，则点Z在抛物线上【答案】D【解析】()2211zxy+=++表示点(),xy与()1,0−之间的距离，()2211−=−+zxy表示点(),xy与()1,0之间的距离，记()11,0F−，()21,0F，对于A，11zz+

=−，表示点(,)Zxy到1F、2F距离相等，则点Z在线段12FF的中垂线上，故A错误；或由()()222211++=−+xyxy，整理得0x=，所以点Z在0x=，故A错误；对于B，由|1||1|2zz++−=得12122+==ZFZFFF，

这不符合椭圆定义，故B错误；对于C，若|1||1|2zz+−−=，12122−==ZFZFFF，这不符合双曲线定义，故C错误；对于D，若|1||1|xz+=−，则()()22211xxy+=−+，整理得2

4yx=，为抛物线，故D正确.故选：D.6．比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结论在圆柱中也适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含

边界）有一点A，若平行光与桌面夹角为30，球的半径为R，则点A到球与桌面切点距离的最大值为（）A．()43R−B．3RC．23RD．()23R+【答案】D【解析】解：由题意，如图所示，则30,15,15BACBAOAOB===，所以A到球与桌面切点距离的最大值为：()tan7

5tan3045ABRR==+，tan45tan301tan45tan30R+=−，()31323313RR+==+−，故选：D7．已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为()0rr的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃

球接触到杯底（盛酒部分），则r的取值范围是（）A．(0,2]B．1,22C．10,2D．10,4【答案】C【解析】解：以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球的轴截面的

方程为2(xy+()22)0rrr−=．因为抛物线的通径长为1，则抛物线的方程为2yx=，代入圆的方程消元得：22(12)0xxr+−=，所以原题等价于方程22(12)0xxr+−=在[,]rr−上只有实数解0x=．因为由22(12)0xxr+−

=，得0x=或221xr=−，所以需210r−或221rr−，即12r或2(1)0r−．因为0r，所以102r，故选：C．8．如图，圆锥的高3SO=，底面直径2,ABC=是圆O上一点，且1AC=，若SA与BC所成角为，则22sincos22−=（）A

．134B．34−C．58D．134−【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系得：()()0,1,0,0,1,0AB−，()310,0,3,,,022SC−，而,ASBC的夹角为π,02又()330,1,3,,,022ASBC

==−，则3cos4ASBCASBC==，由于223sincoscos224−=−=−，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错

的得0分．9．已知复数113iz=−，()222iz=−，3810i1iz+=+，则（）A．1247izz+=+B．123,,zzz的实部依次成等比数列C．21102zz=D．123,,zzz的虚部依次成等差数列【答案】ABC【解析】因为()2234i2iz−==−，()()()()3810i1

i810i9i1i1i1iz+−+===+++−，所以1247izz+=−，所以1247izz+=+，故A正确；因为1z，2z，3z的实部分别为1，3，9，所以1z，2z，3z的实部依次成等比数列，故B正确；因为1z，2z，3z的虚部分别为3−，4−，1，所以1

z，2z，3z的虚部依次不成等差数列，故D错误；1210101922510zz=+===，故C正确.故选：ABC.10．函数()sin2πfxx=与函数()gx的图象关于点1,012对称，()()()Fxfxgx=+，则（）A．函数()gx的图象可由函数cos2πyx=向右平

移56个单位长度得到B．函数()gx的图象向右平移112个单位长度为偶函数的图象C．函数()Fx的图象关于直线43x=对称D．()()3315Fxx=−−的所有实根之和为2【答案】BCD【解析】由题意知()1ππ

sin2πsin2π633gxfxxx=−−=−−=−，又函数cos2πyx=向右平移56个单位长度得到5πππcos2πcos2πsin2π333yxxx=−=+−，所以A错误；函数()gx的图象向右平移112个单位长度得

到πsin2πcos2π2yxx=−=−，由于cos2πyx=−是偶函数，所以B正确；()()()()ππsin2πsin2π3sin2π36Fxfxgxxxx=+=+−=−，令ππ2ππ,Z62xkk−=+

，解得Z1,23kkx=+，当2k=时，43x=，所以C正确；当0k=时，可得()Fx的图象关于13x=对称，曲线()3315yx=−−也关于13x=对称，()Fx与曲线()3315yx=−−的简图如下，733F=

,7331533y=−−=,当13x时，()Fx的图象与曲线()3315yx=−−有三个交点，所以方程()()3315Fxx=−−的所有实根之和为2323=，所以D正确．故选：BCD．11．已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且24CACBAB===.设E为空

间内任一点，且,,,,ABCDE五点在同一个球面上，则（）A．ABCD⊥B．四面体ABCD的体积为214C．当AE23=时，点E的轨迹长度为4πD．当三棱锥EABC−的体积为146时，点E的轨迹长度为32π【答案】AC【解析】对于A，依题意，可知4,2DA

CBDBACDCAB======，设F为AB的中点，连接,CFDF，则,CFABDFAB⊥⊥，而,,CFDFFCFDF=平面CFD，故AB⊥平面CFD，CD平面CFD，故ABCD⊥，A正确；对于B，将四面体ABCD

放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为,,xyz，则2222224,16,16xyxzyz+=+=+=，解得2,14xyz===，由于14z=，即异面直线AB和CD的距离为14，且AB⊥平面CFD，

，所以四面体ABCD的体积为11121421423323DCFSAB==，B错误；对于C，由以上分析可知，四面体ABCD的外接球半径为2223222xyz++=，由AE23=，知点E的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为r，则2222932(23)22rr+−+=

，解得2r=，所以E的轨迹长度为2π4πr=，C正确；对于D，由题意可得2154115,sin4CFABC=−==,故ABC的外接圆半径为515421418=，所以球心到ABC所在平面的距离为22328721530−=，设三棱锥EA

BC−的高为h，由三棱锥EABC−的体积为146时，可得2111142232641ABCShh−==，故730h=，又由3272230，故E点轨迹为外接球上平行于平面ABC且到平面ABC的距离为730的两个截面圆，其中一个圆为

外接球的大圆，所以点E的轨迹长度大于322π32π2=，D错误，故选：AC.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设非空集合QM，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单

元素时和为元素本身），称Q是M的偶子集，若集合1,2,3,4,5,6,7=M，则其偶子集Q的个数为.【答案】63【解析】集合Q中只有2个奇数时，则集合Q的可能情况为：1,3、1,5、1,7、3,5、3,7、5,7，

共6种，若集合Q中只有4个奇数时，则集合1,3,5,7Q=，只有一种情况，若集合Q中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q中只含2个偶数，则集合Q可能的情况为2,4、2,6、4,6，共3种情况；若集合Q中只含3个偶数，则集合

2,4,6Q=，只有1种情况.因为Q是M的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q的个数为7；若集合Q中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q中的元素是2个奇数1个偶数，共6318=种；若集合Q中的元素

为2个奇数2个偶数，共6318=种；若集合Q中的元素为2个奇数3个偶数，共616=种；若集合Q中的元素为4个奇数1个偶数，共133=种；若集合Q中的元素为4个奇数2个偶数，共133=种；若集合Q中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满

足条件的集合Q的个数为771818633163+++++++=.故答案为：63.13．第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有种（用数字作答

）.【答案】105【解析】由题意可得恰有两名女生人选的选法有2254CC60=种，恰有3名女生人选的选法有3154CC40=种，恰有4名女生人选的选法有4054CC5=种，所以至少有两名女生人选的选法有6

0405105++=（种），故答案为：10514．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形（如图1）.现由毕达哥拉斯树部分图形作出图2，ABC为锐角三角形，面积为π1,6ACB=，以ABC的三边为边长的正方形中心分别为123,,

MMM，则222122331MMMMMM++的最小值为.【答案】2243−【解析】由题意知，π1,6ABCSACB==，又1sin2ABCSabACB=，即11122ab=，得4ab=，由余弦定理，得2

22222cos43cababACBab=+−=−+，在23MAM中，232322π,,222AMbAMcMAMBAC===+，由余弦定理可得22222231122π2cossin222222bcMMcbcbBACbcBAC+=+

−+=+，又1sin12ABCSbcBAC==，所以sin2bcBAC=，则223MM2222bc+=+.同理22222212312,222abacMMMM++=+=+，故()2222222212233162643MMMMMMabcab++=+++=++−.因为222

8abab+=，当且仅当2ab==时等号成立，故2221223312243MMMMMM++−.故答案为：2243−.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数32()fxxaxbx

c=+++在=1x−和3x=处取得极值.(1)求,ab的值及()fx的单调区间；(2)若对任意[1,5]x，不等式2()fxc恒成立，求c的取值范围.【解析】（1）()232fxxaxb=++，函数32

()fxxaxbxc=+++在=1x−和3x=处取得极值．(3)2760fab=++=，()1320fab−=−+=，联立解得：3a=−，9b=−．()23693(3)(1)fxxxxx=−−−=+，令()0f

x=，解得3x=和=1x−，(,1)x−−时，()0fx¢>，函数()fx单调递增；(1,3)x−时，()0fx，函数()fx单调递减；(3,)x+时，()0fx¢>，函数()fx单调递增．故=1x−和3x

=是()fx的极值点，故函数()fx单调递增区间为(,1)−−，(3,)+；函数()fx单调递减区间为(1,3)−．（2）由（1）知32()39fxxxxc=−−+在()1,3单调递减，在()3,5单调递增，

要使得对任意[1,5]x，不等式2()fxc恒成立，则需2(1)fc且2(5)fc，故2(1)11fcc=−+且2(5)5fcc=+，解得1212c+，或1212c−，c的取值范围是(−,121121)(22−+,)+．16．某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展

罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为23，罚不进的概率为13，每次罚球相互独立．(1)若该队员罚点球4次，记积分为X，求X的分布列与数学期望；(2)记点球积n分的概率为np．（ⅰ）求123,,ppp的值；（ⅱ）求n

p．【解析】（1）由题意得，X的所有可能取值为4，5，6，7，8，()()()43221244112182184,5C,6C38133813327PXPXPX=========，()()34342

1322167C,83381381PXPX======，X的分布列为X45678P18188182732811681()1883216204567881812781813EX=++++=．（2）（ⅰ）由题意得，2312312

1721113,,2333933327ppp==+==+=．（ⅱ）由题意得，要得n分，必须满足以下情形：先得1n−分，再点1个球不进，此时概率为113np−，或先得2n−分，再点1个球进球，此时概率为223np−，这两种情况互斥，()12

112122,333nnnnnnnppppppp−−−−−=+−=−−，1nnpp+−是首项为21714939pp−=−=，公比为23−的等比数列，114293nnnpp−+−=−，()()()112211nnnnnpppppppp−−−=−+

−++−+23424241322939393553nnn−−=−+−+++=+−，322553nnp=+−．17．如图，AB，CD是圆锥底面圆O的两条互相垂直的直径，过

CD的平面与PB交于点E，若45BOE=，点F在圆O上，PAPB⊥.(1)求证：PB⊥平面CDE；(2)若30ABF=，2PA=，求三棱锥FBOE−的体积.【解析】（1）连接PO，则PO⊥圆O所在平面，而CD在圆O所在平面内，∴POCD⊥，又CDAB⊥，ABPOO

=，AB，PO平面PAB，∴CD⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴PBCD⊥，由PAPB⊥，且PAPB=可得PAB45=，又45BOE=，∴//OEPA，∴E为PB的中点，且BEOE⊥，又OECDO

=，OE，CD平面CDE，∴PB⊥平面CDE；（2）由题意得，2PAPB==，22AB=，由30ABF=可得2AF=，6BF=，∴12632ABFS==△，1322BOFABFSS==△△，点E到底面的距离等

于点P到底面距离的一半，即为22，∴三棱锥FBOE−的体积132632212FBOEEBOFVV−−===.18．已知椭圆C：2214xy+=的左、右顶点分别为M，N，点()00,Pxy（00y）在椭圆C上，若点()6,

EEy−，()6,FFy−分别在直线MP，NP上.(1)求MPMFkk的值；(2)连接FM并延长交椭圆C于点Q，求证：E，N，Q三点共线.【解析】（1）∵点()00,Pxy在椭圆C上，∴220014xy+=.又直线MP的斜率为002

yx+，直线NP的斜率为002yx−，∴直线NP的方程为()0022yyxx=−−，令6x=−，则0082yyx−=−，∴点F的坐标为0086,2yx−−−，∴直线MF的斜率为0000822622yxyx

−−=−+−，∴20200022000021422122442MPMFxyyykkxxxx−====−+−−−.（2）设直线MP的斜率为k，则()2ykx=+，令6x=−，则4yk=−，可得()6,4Ek−−.而直线MF的斜率为12k−，∴直线M

F的方程为()122yxk=−+.联立2244022xyxky+−==−−，可得()22120kyky++=，易得Q点的纵坐标为221kk−+，将其代入回直线22xky=−−，可得221kyk−=+，∴222222,11kkQkk−−++，∴直线

NQ的斜率为22220122221kkkkk−−+=−−+，直线NE的斜率为40622kk−−=−−，∴NQNEkk=，∴E，N，Q三点共线.19．欧拉函数()*()Nnn的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（互质是公约数只有1的两个整数），例

如：(1)1=，(4)2=.(1)求()25，()35，()5n；(2)若数列na满足()155nnnaa−−=，且15a=，求数列na的通项公式和前n项和nS.【解析】（1）()

2255520=−=，()332555100=−=，()1155545nnnn−−=−=.（2）∵11545nnnaa−−−=，∴114555nnnnaa−−−=∵115a=，∴数列na是以

1为首项，以45为公差的等差数列.∴4411(1)555nnann+=+−=，∴1(41)5nnan−=+，01215595135(41)5nnSn−=+++++，12155595(43)5(41)5nnnSnn−=+++−++，

∴12145454545(41)5nnnSn−−=++++−+45455(41)515nnn−=+−+−555(41)5nnn=−+−+45nn=−