【文档说明】专题09 反比例函数【考点精讲】（解析版）-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）.docx，共(23)页，1.143 MB，由管理员店铺上传

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考点1：反比例函数图象与性质1．图象的特征：反比例函数xky=的图象是一条双曲线，它关于坐标原点成中心对称。2．反比例函数xky=(k≠0,k为常数)的图象和性质:函数图象所在象限性质xky=(k≠0，k为常数)k>0一、三象限(x，y同号

)在每个象限内，y随x增大而减小k<0二、四象限(x，y异号)在每个象限内，y随x增大而增大【例1】（2021·山西）已知反比例函数6yx=，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一，第三象限B．图象必经过点34,2C．图象不可能与坐标轴相交D．

y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．【详解】解：A、反比例函数6yx=，0k＞，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；专题09反比例函数知识导航知识精讲B、将点34,2代入6yx=中，等式成立，故此选项正确，不符合题意

；C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；故选：D．【例2】如图，函数xky=与y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】

根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．【详解】解：在函数xky=和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数xky=的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象

限，故选项A、D错误，选项B正确，当k＜0时，函数xky=的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，故选：B．（1）当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小;（2）当k<0时，函数图象

的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.1．（2021·江苏宿迁市）已知双曲线ky(0)kx=过点(3，1y)、(1，2y)、(-2，3y)，则下列结论正确的方法技巧针对训练是（）A．312yyy＞＞B．321yyy＞＞C．213

yyy＞＞D．231yyy＞＞【分析】利用分比例函数的增减性解答即可．【详解】解：∵ky(0)kx=∴当x＞0时，y随x的增大，且y＜0；当x＜0时，y随x的增大，且y＞0；∵0＜1＜3，-2＜0∴y2＜y1＜0，y3＞0∴312yyy＞＞．故选A．2．（2021·

湖南娄底市）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数xyax=+（a为常数且0,0ax）的性质表述中，正确的是（）①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③01y；④01yA．①③B．①④C．②③D．②

④【分析】该函数可改写为=1=+1xxaaaayaxaxaxax+−−==−++++（a为常数且0,0ax），此时可以类比反比例函数的性质进行判断，或者利用赋值法也可快速进行选择，选择正确的选项即可．【详解】解：=1=+1xxaaaayaxaxaxax+−−==−++++，又∵0,0ax

，∴随着x的增大，a+x也会随之增大，∴aa+x随着x的增大而减小，此时aa+x越来越小，则1aax−+越来越大，故随着x的增大y也越来越大．因此①正确，②错误；∵0,0ax，∴1aa+x0＜＜，∴11aax−+0＜＜，故01y，因此③正确，④错误；综上所述，A选项符合．故

选：A．3．（2021·福建）若反比例函数kyx=的图象过点()1,1，则k的值等于_________．【分析】结合题意，将点()1,1代入到kyx=，通过计算即可得到答案．【详解】∵反比例函数kyx=的图象过点()1,1∴11k=，即1k=故答案为：1．考点2：确定反比例关系式1．反比例函数的解

析式的确定求反比例函数的解析式跟求一次函数一样，也是待定系数法。2．反比例函数xky=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数xky=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图：【例3】（2021·内蒙古呼和浩特市）正比例

函数1ykx=与反比例函数2kyx=的图象交于A，B两点，若A点坐标为(3,23)−，则12kk+=__________．【分析】将A点坐标为(3,23)−分别代入正比例函数1ykx=与反比例函数2kyx=的解析式中即可求解．【详解】1yk

x=和2kyx=过点A(3,23)−12323k−==−23(23)6k=−=−12(2)(6)8kk+=−+−=−故答案为8−．【例4】如图直线y＝mx与双曲线xky=交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△A

MB＝2，则k的值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM＝2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．【详解】解：由题

意得：S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM=12|k|＝1，则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故选：B．求函数解析式关键在于掌握利用待定系数法求函数的解析式。即解设求该函数解析式为xky=(k≠0,k为常

数)，再将函数上一个点坐标代入即可解得。1．（2021·江苏苏州市）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点已知实数0k，一次函数3yxk=−+的图像经过点C、D，反比例函数方法技

巧针对训练()0kyxx=的图像经过点B，求k的值．【分析】先根据一次函数3yxk=−+求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，再代入反比例函数()0kyxx=即可求得点B的坐标，再结合点D为AB的中点可得

点D的坐标，最后将点D坐标代入一次函数3yxk=−+即可求得答案．【详解】解：把0y=代入3yxk=−+，得3kx=．∴,03kC．∵BCx⊥轴，∴点B横坐标为3k．把3kx=代入kyx=，得3y=．∴,33kB．∵点D

为AB的中点，∴ADBD=．∴,36kD．∵点,36kD在直线3yxk=−+上，∴336kk=−+．∴6k=．2．（2021·河南）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数kyx=的图象与大正方形的一边交于点A(1，

2)，且经过小正方形的顶点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）反比例函数的解析式为2yx=；（2）阴影部分的面积为8．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等

，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．【详解】解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y=kx的图象上，∴122k==，∴反比例函数的解析式为2yx=；（2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，

设B(a，a)，则有2kaa==，∴2a=，即B(2，2)，∴小正方形的边长为22，∴小正方形的面积为()2228=，大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为4，∴大正方形的面积为2416=，∴图中阴影部分的面积为

16-8=8．3．已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，并且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1．（1）y与x的函数表达式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求得比例

系数即可求得其解析式；（2）代入x的值即可求得函数值．【答案】解：（1）设y1=𝑎𝑥，y2＝b（x﹣2），则y=𝑎𝑥−b（x﹣2），根据题意得{𝑎3−𝑏(3−2)=5𝑎1−𝑏(1−2)=−1，解得{𝑎=3𝑏=−4，所以y关于x的函数关系式为

y=3𝑥+4（x﹣2）；（2）把x＝﹣1代入y=3𝑥+4（x﹣2）；得y＝﹣3+4×（﹣1﹣2）＝﹣15．考点3：反比例函数的综合运用反比例函数的实际问题是中考命题的热点，与生活联系，与物理学相联系的问题在中考中所占的比重较大。【例5】（2021·四川自贡市）已知蓄电池

的电压为定值，使用蓄电池时，电流O（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）A．函数解析式为13IR=B．蓄电池的电压是18VC．当10AI时，3.6RD．

当6R=时，4AI=【分析】将将()4,9代入UIR=求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．【详解】解：设UIR=，将()4,9代入可得36IR=，故A错误；∴蓄电池的电压是36V，故B错误；当10AI时，3.6R，该项正

确；当当6R=时，6AI=，故D错误，故选：C．【例6】（2021·湖南常德市）如图，在RtAOB中，AOBO⊥．ABy⊥轴，O为坐标原点，A的坐标为(),3n，反比例函数11kyx=的图象的一支过A点，反比例函数22kyx=的图象的一

支过B点，过A作AHx⊥轴于H，若AOH△的面积为32．（1）求n的值；（2）求反比例函数2y的解析式．【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可；（2）证明AOEABO，求出BE的长即可得出结论．【详解】解：（1）∵A(),3n，且AHx⊥轴∴AH=3，OH=n又AOH△的面积

为32．∴1322AHOH=,即13322n=解得，1n=；（2）由(1)得，AH=3，OH=1∴AO=2如图，∵AOBO⊥，ABy⊥轴，∴90AEOAOB==，四边形AHOE是矩形，∴AE=OH=1又BAOOAE=∴AOEABO∴AOAEABAO=，即：

2112BE=+解得，BE=3∴B(-3,1)∵B在反比例函数22kyx=的图象上，∴2313k=−=−∴23yx=−．利用反比例函数解决实际问题，要做到①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；②注意在自

变量和函数值的取值上的实际意义；③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明.【失分警示】1．利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；2．利用出数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义。方法技巧针对训练1．（2021·浙江丽水市）一杠杆装置如图，杆的一端

吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力FFFF丁乙甲丙、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若FFFF甲丁丙乙，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A．甲同学

B．乙同学C．丙同学D．丁同学【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，根据题意，∵FFFF甲丁丙乙

，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，故选：B．2．（2021·江苏扬州市）如图，点P是函数()110,0kykxx=的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数()22

0,0kykxx=的图像于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中12kk，下列结论：①//CDAB；②122OCDkkS−=；③()21212DCPkkSk−=，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①【分析】设P（m，1km），分别求出A，B，C，

D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断PDPB和PCPA的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用OCDOAPBOBDOCADPCSSSSS=−−−△△△△计算△

OCD的面积，可判断②．【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在1kyx=上，点C，D在2kyx=上，设P（m，1km），则C（m，2km），A（m，0），B（0，1km），令12kkmx=，则21kmxk=，即D（21kmk，1km），∴PC=12kkmm−=12kkm−

，PD=21kmmk−=()121mkkk−，∵()121121mkkkkkPDPBmk−−==，121211kkkkPCmkPAkm−−==，即PDPCPBPA=，又∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBC，∴CD∥AB，故①正确；

△PDC的面积=12PDPC=()1212112mkkkkkm−−=()21212kkk−，故③正确；OCDOAPBOBDOCADPCSSSSS=−−−△△△△=()112221222112kkkkkk−−−−=()2121122kkkkk−−−=()

()21121112222kkkkkkk−−−=()22112211222kkkkkk−−−=221212kkk−，故②错误；故选B．3．（2021·浙江宁波市）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的

任意一点(),Axy，我们把点11,Bxy称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为()3,0，顶点E在y轴上，函数()20=yxx的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则OBC的面积为_________．【分析】根

据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出OBC的面积即可．【详解】解：根据题意，∵点11,Bxy称为点(),Axy的“倒数点”，∴0x，0y，∴点

B不可能在坐标轴上；∵点A在函数()20=yxx的图像上，设点A为2(,)xx，则点B为1(,)2xx，∵点C为()3,0，∴3OC=，①当点B在边DE上时；点A与点B都在边DE上，∴点A与点B的纵坐标相同，即22xx=，解得：2x=，经

检验，2x=是原分式方程的解；∴点B为1(,1)2，∴OBC的面积为：133122S==；②当点B在边CD上时；点B与点C的横坐标相同，∴13x=，解得：13x=，经检验，13x=是原分式方程的解；∴点B为1(3,)6，∴OBC的面积为：1113

264S==；故答案为：14或32．考点4：一次函数与反比例函数的综合运用【例7】（2021·山东威海市）已知点A为直线2yx=−上一点，过点A作//ABx轴，交双曲线4yx=于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为_________

____．【分析】设点A坐标为(2)xx−，，则点B的坐标为(2)xx−−，，将点B坐标代入4yx=，解出x的值即可求得A点坐标．【详解】解：∵点A为直线2yx=−上一点，∴设点A坐标为(2)xx−，，则点B的坐标为(2)xx−−，，∵点B在双曲线4yx=上

，将(2)xx−−，代入4yx=中得：42xx−=−，解得：2x=，当2x=时，222yx=−=−，当2x=−时，222yx=−=，∴点A的坐标为(222)−，或(222)−，，故答案为：(222)−，或(222)−，．【例8】（2021·四川凉山彝

族自治州）如图，AOB中，90=ABO，边OB在x轴上，反比例函数(0)kyxx=的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，912,2AOBSAN==．（1）求k的值；（2）求直线MN的解析式．【分析】（1）设点A坐标为（m，

n），根据题意表示出点B，N，M的坐标，根据△AOB的面积得到24mn=，再根据M，N在反比例函数图像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M点坐标，代入反比例函数表达式，即可求得k值；（2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出

MN的解析式．【详解】解：（1）设点A坐标为（m，n），∵∠ABO=90°，∴B（m，0），又AN=92，∴N（m，92n−），∵△AOB的面积为12，∴1122mn=，即24mn=，∵M为OA中点，∴M（12m，12n），∵M和N在反比例函数图像上，∴911

222mnmn−=，化简可得：39042mnm−=，又24mn=，∴3924042m−=，解得：4m=，∴6n=，∴M（2，3），代入kyx=，得6k=；（2）由（1）可得：M（2，3），N（4，32），设直线MN的表达式为y=ax+b，则32342abab=+=+，解

得：3492ab=−=，∴直线MN的表达式为3942=−+yx．1．解答本考点的有关题目需要注意以下要点：反比例函数与一次函数的交点问题，可以利用待定系数法.2．反比函数图像常见的辅助线作法：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线段构成三角形或四边形，求面积

。方法技巧针对训练1．（2021·贵州安顺市）已知反比例函数(0)kykx=的图象与正比例函数()0yaxa=的图象相交于,AB两点，若点A的坐标是()1,2，则点B的坐标是（）A．()1,2−B．()1,2−C．()1,2−−D．()2,1【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中

心对称性，可得,AB关于原点中心对称，进而即可求解．【详解】解：∵反比例函数(0)kykx=的图象与正比例函数()0yaxa=的图象相交于,AB两点，∴,AB关于原点中心对称，∵点A的坐标是()1,2，∴点B的坐标是()

1,2−−．故选C．2．（2021·山东菏泽市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且2OA=，4OC=，连接OB．反比例函数1kyx=（0x）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数2ykxb

=+的图象经过E、F两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P是x轴上一动点，当PEPF+的值最小时，点P的坐标为______．【分析】（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点D，求出点D的坐标，代入1kyx=即可，由矩形的性质可得E、F坐标，代入2ykxb=+即可求出解

析式；（2）“将军饮马问题”，作F关于x轴的对称点F，连接EF,直线EF与x轴交点即为所求．【详解】（1）四边形OABC是矩形，2OA=，4OC=(4,2)BD为线段OB的中点(2,1)D将(2,1)

D代入1kyx=，得12k=2yx=//,//ABOCAOBC2,4EFyx==1(1,2),(4,)2EF将1(1,2),(4,)2EF，代入2ykxb=+，得：222142kbkb=+=+，解得21252kb=−

=1522yx=−+（2）如图：作F关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点PPEPFPEPFEF+=+当,,EFP三点共线时，PEPF+有最小值EF1(4,)2F1(4,)2F−

，设直线EF的解析式为ymxn=+将1(1,2),(4,)2EF−，代入ymxn=+，得2142mnmn=+−=+，解得56176mn=−=51766yx=−+令0y=，得751x=17(,0)5P3．（2021·山东东营市）

如图所示，直线1ykxb=+与双曲线2kyx=交于A、B两点，已知点B的纵坐标为3−，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点()0,2D−，5OA=，1tan2AOC=．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，OC

P△的面积是ODB△的面积的2倍，求点P的坐标；（3）直接写出不等式21kkxbx+的解集．【分析】（1）过点A作AEx⊥轴于点E，根据三角函数的性质，得点A()2,1−，将点A()2,1−代入2kyx=，得2yx=−；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）连接OB、PC、PO，结合

（1）的结论，得点B2,33−；结合题意得OCPSV；把0y=代入322yx=−−，得点C4,03−；设点P的坐标为(),xy，通过计算即可得到答案；（3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案．【

详解】（1）如图，过点A作AEx⊥轴于点E，∵1tan2AOC=，5OA=，∴1AE=，2OE=，∴点A()2,1−，∴双曲线的解析式为2yx=−，把()2,1A−，()0,2D−分别代入1ykxb=+，得：1212kbb−+==−，解得：1322kb=−=−，∴直线

AB的解析式为322yx=−−；（2）如图，连接OB、PC、PO把3y=−代入322yx=−−，得23x=，∴点B2,33−，∴1222233ODBS==，∴423OCPODBSS==，把0y=代入322yx=−−，得43x=−，

∴点C4,03−设点P的坐标为(),xy，∵144233OCPSy==∴2y=，∵2yx=−，∴点P的坐标为()1,2-；（3）根据（1）和（2）的结论，结合点A()2,1−、点B2,33

−∴20x−或23x．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com