【文档说明】2023届高考数学模拟试题分类汇编：数列 Word版无答案.doc，共(9)页，698.666 KB，由小赞的店铺上传

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2023届优质模拟试题分类汇编（新高考卷）数列一．基本原理1.数列求通项类型1.等差数列：相邻两项递推形式：ddaann，（=−−1为常数，+Nnn且2）或者相邻三项递推形式：)2(211++−=+Nnnaaannn且.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解

决！类型2.等比数列：相邻两项递推：)2,0,0(1+−=Nnnaqqaannn且且或qaann=−1.或者相邻三项递推：)2(211=+−+nNnaaannn且.注2：在等比数列应用中，

有一类比较特殊的递推类型，即++=Nnmaaanmmn,,，我们可以对其赋值得到一个等比数列.类型3.)(1nfaann=−−累加型类型4.)(1nfaann=−(2+nNn且)累乘型.类型5.dcaann+=−1型（待定系数法）一般形式：1(,nnacadcd−=+为常数，0,1

,0)ccd，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数1dxc=−，1()nnaxcax−+=+，令nnbax=+，则nb为等比数列，求出nb，再还原到na，1)1(11−−−+=−cdccdaann.类型6.nnnbmqaa+=+1型类型7.)1)((1

+=+pnfpaann型.方法1.数学归纳法.方法2.1111)()(+++++=+=nnnnnnnpnfpapanfpaa，令nnnpab=，则11)(++=−nnnpnfbb，用累加法即可解决！类型8.)0(1+=+qpqpataannn型类型9.已知

nS与na关系，求na.解题步骤：第1步：当1=n代入nS求出1a；第2步：当2n，由nS写出1−nS；第3步：1−−=nnnSSa（2n）；第4步：将1=n代入na中进行验证，如果通过通项求出的1a跟实际的1a相等，则na为整个数列的通项

，若不相等，则数列写成分段形式，.)2()1(1==nanaann类型9：已知前n项积求na.类型10.特征方程法（强基层次）：nnnbaaaa+=++12型.求解方程：02=−−ba，根据方程根的情况，可分为：（1）若特征方程有两个相等的根，则nnxbAna0)(+=（

2）若特征方程有两个不等的根，则nnnBxAxa21+=2.数列求和类型1．倒序相加法类型2．公式法求和：用等差（等比）数列求和公式.类型3．裂项相消求和1.分母是等差数列相邻两项乘积，则：111111().nnnnaadaa++=−，则：1223111111111......()nnnaa

aaaadaa+++++=−.2.有理化后求和：11−+=nnan=1−−nn.3.指对式裂相求和：121121)12()12(211+−+=++++nnnnn，一般地，指数型：babababaaannnnn+−+=++−++1111))(()1(对数型：nanannaa

aaalogloglog11−=++类型4：错位相减法型如)1}(){(+qqbknn的数列求和，其基本解题步骤如下：Step1：由题可得：=nnbaStep2：故nnnbabaT++=11①，121+++=nnnbabaTq②St

ep3：由①－②得：()1)1(1111−−+−=−+qqqdbbabaTqnnnnStep4：化简：=nT.类型5.分组求和适用对象：主要适用于通项是由两部分不同的形式构成的数列，其次还适用于一些几项放在一起可以化简的数列.例如

：}{nnba+型，可分别单独求出}{},{nnba的前n项和再求和.类型6.并项求和在处理一些非等差，等比数列时，我们可以通过项的关系（相邻两项等），将其看成一个小组来计算，例如)()1(bknn+−型，分奇偶后相邻两项之差就是一个

公差，即常数列求和.3.数列放缩类型1.利用单调性放缩类型2.先求和再放缩类型3.先放缩通项再求和这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的

结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.1．常见的裂项公式：例如：nnnnn)1(11)1(12−

+或者12112−+++nnnnn等2.一个重要的指数恒等式：n次方差公式123221()().nnnnnnnababaabababb−−−−−−=−+++++这样的话，可得：1)(−−−nnnababa，就放缩出一个

等比数列.3.糖水不等式：设0,0cmn，则cncmnm++.类型4.基于递推结构的放缩1.nnnaaa+=+11型：取倒数加配方法.2.二次递推型：rqapaannn++=+21.12121211+++++=−+=−++=nnnnnnnnnnnaarpaaqarpaqaarq

apaa，然后裂项即可完成放缩，以2015浙江卷为例.4．数列中的计数问题的基本形式如下：记数列}{na落在区间)](,0(kg的个数为kb，讨论数列}{kb的性质.这种问题的关键就是利用数列自变量n的计数功能，通过不等式nkgan)(0，由

于n为正整数，从而实现对自变量n的计数，当然，这里面需要一丝丝取整背景，需要读者注意.进一步：目前的题目的计算背景主要分布在去解下面三个不等式：①．1++mmqbknq②．1+mnmtqt③．biktqbtkn+++)(5．欧拉函数及应用1.

定义：欧拉函数()m是一个定义在正整数集上的函数,()m的值等于1,2,,1m−中与m互素的数的个数.2.计算公式：（1）若p为素数，则1)(−=pp（2）若p为素数，且1)1(1)(−−=−

==kkkpppppnpn，形成了一个等比数列.证明：即证1)(−−=aaappp.由)(a的定义知)(ap等于从ap减去ap，，...1中与ap不互质的数的个数；亦即等于从ap减去ap，，...1中与p不互质的数的个数.由于p是质数

，故)(ap等于从ap减去ap，，...1中被p整除的数的个数.由于ap，，...1中被p整除的数的个数是1−=aappp，故1)(−−=aaappp.（3）已知正整数n的素因数分解式1212,ssnppp

=其中素数12sppp,1.i证明：12111()(1)(1)(1).snnppp=−−−二．试题汇编例1.（2023届武汉9月调研）记数列na的前n项和为nS，已知*1,(21,N)2,(2,N)2nnnkkSnnkk+−=+==（1）求数列na的

通项公式；（2）求数列11nnaa+的前n项和nT.例2.（福建省部分地市2023届高三第一次质量检测）已知正项数列na的前n项和为nS，且()()()413nnnSaan=−+N．（1）求数列na的通项公式；（2）将数列na和数列2n中所有的项，按照从小到大的

顺序排列得到一个新数列nb，求nb的前50项和．例3（福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一）已知数列na各项均为正数，且22111222nnnnaaaaa++=−+=，．（1）求na的通项公式（2）设()1nnnba=−，求12120bbbb++++

．例4（广东省深圳市2023届高三第一次调研）记nS，为数列na的前n项和，已知212nnaSn=++，*nN．（1）求12aa+，并证明1nnaa++是等差数列；（2）求nS．例5（广州市2023届高三一模）已知等差数列na的前n项和为nS

，且()*6324,21nnSSaan==+N.（1）求数列na的通项公式；（2）设12nnnba−=，求数列nb的前n项和nT.例6（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研）记数列}{na的前n项和为

nS，对任意正整数n，有nnnaS=2，且32=a.（1）求数列}{na的通项公式；（2）对所有正整数m，若12+kmkaa，则在ka和1+ka两项中插入m2，由此得到一个新数列}{nb，求}{nb的前40项和.例7.（江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试）已知数列na是

公差不为0的等差数列，其前n项和为nS，且满足__________，__________.在①124,,SSS成等比数列，②4222aa=+，③8472SSS=+−这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.

（1）求na的通项公式；（2）求12233411111nnaaaaaaaa+++++.注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.例8（山东省济南市23届高三上学期期末数学试题）定义:在数列na中,若存在正整数k,使得*Nn

,都有nknaa+=,则称数列na为“k型数列”.已知数列na满足111nnaa+=−+.（1）证明:数列na为“3型数列”;（2）若11a=,数列nb的通项公式为21nbn=−,求数列nnab的

前15项和15S.例9（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试）各项均为正数的数列na，其前n项和记为nS，且满足对n+N，都有22nnnSaa=+．（1）求数列na的通项公式；（2）设22221231111nnTaaaa=++++，证明

：74nT．例10（温州市2023届高三一模）已知数列na是等差数列，11a=，且1a，2a，51a−成等比数列．给定*kN，记集合*2,knnkanN∣的元素个数为kb．（1）求1b，2b的值；（2）求最小自然数n的值，使得12

2022nbbb+++．例11（长沙市2023届高三上学期新高考适应性考试）已知数列na为等差数列，数列nb为等比数列，满足1122ba==，222ab=，3311+=ab．（1）求数列na，nb的通项公式；（

2）求数列nnab的前n项和nS．例12．（2023·福建福州·统考二模）欧拉函数(n)(n∈*N)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：φ(1)=1，(4)=2．（1）求()23，()33；（

2）令()132nna=，求数列3lognnaa的前n项和．例13．（2023·广东汕头·统考一模）已知nT为正项数列na的前n项的乘积，且13a=，21nnnTa+=．（1）求数列n

a的通项公式；（2）设11nnnaba−=+，数列nb的前n项和为nS，求2023S（x表示不超过x的最大整数）．例14．（2023·山东临沂·统考一模）已知数列na为等比数列，131,1aa=+是2a与4a的等差中项，nS为na的前n项和．（1）求na的通项

公式及nS；（2）集合A为正整数集的某一子集，对于正整数k，若存在正整数m，使得2logkmaS=，则kA，否则kA．记数列nb满足2log,?1,?nnanAbnA=−，求nb的前20项和20T．例15．（2023·山东日照·统考一模）在数列na中，23122

341naaaannn++++=++.（1）求na的通项公式；（2）证明：()121213424nnaana++++.例16．（2023·云南·统考一模）记数列na的前n项和为nT，且111,(2)nnaaTn−==．（1）求数列n

a的通项公式；（2）设m为整数，且对任意*nN，1212nnmaaa+++，求m的最小值．