【文档说明】专题1-6 圆锥曲线中的10个常考二级结论与模型（原卷版）.docx，共(22)页，1.533 MB，由小赞的店铺上传

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专题1-6圆锥曲线中的10个常考二级结论与模型导语：每当谈到数学的学习，我们总是避不开这样一个话题，教材上没有、但考试要考，而且是有效的解题利器，那就是——二级结论其实以上想依靠现推来解题的想法不过是在偷懒，很多非常实用的二级

结论的推导需要极其巧妙的手法，在高度紧张的环境中，着实很难想到，不如就先记住并熟练掌握。再者，高考题越来越新、越来越活，很多题放在那里你都不一定知道该用什么结论，更何况你如果不熟练呢？不过话说回来，并不是说记忆就够了，也并不是在抹黑理解

与应用，我只想说死记硬背其实是第一步，千万不要忽视.知识点梳理题型一点差法与第三定义（常规篇）题型二点差法（提高篇）题型三椭圆与双曲线第三定义（提高篇）题型四抛物线焦半径与焦点弦结论题型五焦点弦被焦点分成定比题型六双曲线焦点三角形内切圆模型题型七阿基米德三角形题

型八椭圆双曲线焦点弦与焦半径公式题型九椭圆双曲线大题·面积相关问题（韦达化处理与弦长公式）题型十平移+齐次化解决定点与斜率和积定值问题知识点梳理一、点差法（弦中点）椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆()2222=10xy

abab+上任意2点，且弦AB不平行x轴，M为线段AB中点，则有222=1ABOMbkkea=−−证明（点差法）：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则1212,22xxyyM++，

1212OMyykxx+=+，1212AByykxx−=−，22122212ABOMyykkxx−=−∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得221122=1xyab+①222222=1xyab+②两式相减得：2222121222=0xxy

yab−−+，整理得2221222212=yybxxa−−−∴222=1ABOMbkkea=−−OxyABMABOMkk=？二、椭圆双曲线第三定义那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其

实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点1(,0)Aa−，2(,0)Aa的斜率乘积等于常数21e−的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点

．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时2221bea−=−；当常数大于0时为双曲线，此时2221bea−=．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点()Amn，，()Bmn−−，的斜率乘积等于常数21e−的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时

为椭圆，此时2221bea−=−；当常数大于0时为双曲线，此时2221bea−=．【证明】,AB是椭圆()2222=10xyabab+上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有222=1PAPBbkkea=−−证明（点差法）：设()11,Pxy，22(,)A

xy，22(,)Bxy−−，1212PAyykxx−=−，1212PByykxx+=+，22122212PAPByykkxx−=−∵P，A在椭圆上，代入坐标得OxyABPOxyABPOxyABPPAPBkk=？221122=1xyab+①222222=1xy

ab+②两式相减得：2222121222=0xxyyab−−+，整理得2221222212=yybxxa−−−∴22221222212=1PAPByybkkexxa−==−−−法二：通过椭圆的垂径定理转换中点弦和第

三定义本质上是一样的222=1PAPBOMPBbkkkkea==−−三、抛物线的焦点弦常见结论：设AB是过抛物线()022=ppxy焦点F的弦，若()11,yxA，()22,yxB，则(1)221212,.4pxxyyp==−OxyABPM(2

)焦半径12||1cosAFxpp−+==，22||1cosBFxpp++==(α为弦AB的与x轴夹角)(3)弦长1222||sinpABxxp=++=(α为弦AB的倾斜角)．(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．(5

)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．(6)112AFBFp+=（定值）.(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.四、焦点弦被焦点分成定比若AB是过焦点的弦，且(1)AFBF=，则1cos1e−=+（其中θ不是倾斜角，而是AB与

焦点所在轴的夹角，抛物线离心率为1）五、阿基米德三角形（1）阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）性质1：MF⊥AB性质2：MA⊥MB性质3：MN∥x轴性质4：S△ABM最小值为p²对于点A，B:①抛物线焦点弦与抛物线的交点②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切

点对于点M③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”（2）阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）OxyABMPF【性

质1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点()00,Cxy，则点P的轨迹为直线00()yypxx=+记11(,)Axy，22)(,Bxy，()00,Cxy，M为弦AB的中点，点

C为抛物线内部的定点半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则1212,22PPyyyyxyp+==，则00()yypxx=+，下略【性质3】若P点轨迹为直线0axbyc++=，且该直线与抛物线没有公共点，则定点,cbpCaa−

.设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为38ap.【性质5】PFAPFB=，²PFAFBF=六、椭圆，双曲线焦半径与焦点弦夹角公式已知双曲线(

)2222=10xyabab−，求出2种情况下的焦半径1AF,1BF以及焦点弦AByxF1F2θPOQ情况1：：AB两点同一支上，直线AB与x轴夹角为α21cosbAFca=−，21cosbBFca=+，22222

cosabABac=−情况2：AB两点不在同一支上，直线AB与x轴夹角为β21cosbAFac=−，21cosbBFac=+，22222cosabABac=−题型一点差法与第三定义（常规篇）1．（2023上·广东佛山·高二统考期末）过

点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2．已知双曲线22:184xyC−=的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为________3．已知椭圆方程为，其右焦点为

，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．4．（2022上·广东深圳·高二校考期末）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为，证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值.5．

已知P是椭圆E：221123xy+=，若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为82,55−，求AB的值．()2,1M()222210,0yxabab−=62322222221(0)xyabab+=()4,0FFAB

AB()1,1-2215236xy+=221204xy+=221248xy+=221259xy+=222:9(0)Cxymm+=lOlCABABMOMl6．已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.(1)求椭圆的标准方程

；(2)若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.题型二点差法（提高篇）7．设A，B为双曲线2219yx−=上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）A．()1,1B．()1,2-C．()1,3D．()1,4−−8．已知斜率为k的直线l与椭圆22:143xyC+=交于A，B两点，线

段AB的中点为(1,)Mm（0m），那么k的取值范围是（）A．12k−B．1122k−C．12kD．12k−，或12k()2222:10xyCabab+=ClCABAB11,45l题型三椭圆与双曲线第三定义（提高篇）9．椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左

顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线,APAQ的斜率之积为14，则C的离心率为（）A．32B．22C．12D．1310．已知双曲线221:12010xyC−=的左､右顶点分别为,AB，抛物线22:4Cyx=与双曲线1C交于,CD两点，记直线

AC，BD的斜率分别为12,kk，则12kk为.11．已知A，B是椭圆22221(0)xyabab+=的左右顶点，P是双曲线22221xyab−=在第一象限上的一点，直线PA，PB分别交椭圆于另外的点M，N．若直线M

N过椭圆的右焦点F，且tan3AMN=，则椭圆的离心率为．12．已知A、B是椭圆()222210xyabab+=与双曲线()222210,0xyabab−=的公共顶点，P是双曲线上一点，PA，PB交椭圆于M，N.若MN过椭圆的焦点F，且tan3AMB=−，则双曲线的离心率为

（）A．2B．3C．2D．23313．设椭圆2222:1(0)xyabab+=的右焦点为(,0)Fc，点(3,0)Ac在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为

12−，则椭圆的离心率为（）A．12B．22C．32D．13题型四抛物线焦半径与焦点弦结论14．已知抛物线22yx=的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则4AFBF+的最小值是.15．已知抛物线()220ypxp=，过焦点F的弦交抛物线于A，B两

点，且有3AFFB=，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为1A，则当四边形1CFAA的面积为123时，p的值为．16．（多选）已知抛物线24yx=的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（

）A．111AFBF+=B．弦AB的长度最小值为lC．以AF为直径的圆与y轴相切D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切17．已知,AB是抛物线2:4Cyx=上两动点，F为抛物线C的焦点，则直线AB过焦点F时，AB最小值为________，直线AB过焦点F且倾

斜角为60时（点A在第一象限），AFBF=________，若AB中点M的横坐标为3，则AB最大值为_______.18．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则11||||MFNF+=__________；||49||NFMF−的最小值为

__________.19．已知F为抛物线2:4Cyx=的焦点，过F作两条互相垂直的直线12,ll，直线1l与C交A，B两点，直线2l与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为.题型五焦点弦被焦点分成定比20．已知椭圆C：

22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F且倾斜角为60的直线l与C交于A，B两点．若12AFF△的面积是12BFF△面积的2倍，则C的离心率为．21．已知过抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F，斜率为33的直线交抛物线于1(Ax，1)y，2(

Bx，2)y两点，且||16AB=，则p=；若直线(1)ykx=+与抛物线C相交于M，N两点，满足||2||FMFN=，则k=．22．已知椭圆C：221(0)95xyab+=的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F且倾斜角为120的直线l与C交于A，B两点（A在B点左侧）．若1212AFFBF

F△△SS=．题型六双曲线焦点三角形内切圆模型23．双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左，右焦点分别为1F，2F，右支上有一点M，满足1290FMF=，12FMF△的内切圆与y轴相切

，则双曲线C的离心率为．24．已知点12,FF分别为双曲线22:145xyC-=的左､右焦点，过点1F的直线l交双曲线C的右支第一象限于点P，若12FPF△的内切圆的半径为1，则直线l的斜率为（）A．513B．512C．1D．3重庆市巴蜀中学20

23届高考适应性月考（七）数学试题25．已知双曲线22221(00)xyabab−=，的左、右焦点分别为12FF，，过2F作直线与双曲线的右支交于PQ，两点，若12PFF内切圆1O与12QFF内切圆2O的半径的乘积为2a，则双曲线的离心率为

（）A．2B．3C．2D．326．（多选）双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别是12FF，，过2F的直线与双曲线右支交于,AB两点，记12AFF△和12BFF△的内切圆半径分别为1r和2r，则（

）A．12AFF△和12BFF△的内切圆圆心的连线与x轴垂直B．1r2r为定值C．若212rra=，则C的离心率2e=D．若21212rrb=，则C的渐近线方程为22yx=题型七阿基米德三角形27．（黄冈中学月考）设抛物线2:6Cyx=的焦点为F

,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线1l，2l，若1l与2l交于点P，且满足||23PF=，则|AB|=()A.5B.6C.7D.828．（武汉市武昌区五月质检）已知抛物线22(0

)Cypxp=：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则2214||||AFBF+的最小值为_____29．已知点()1,0M，从抛物线24xy=的准线l上一点P引抛物线的

两条切线PA，PB，且A，B为切点，则点M到直线AB的距离的最大值是（）A．2B．3C．2D．330．（成都七中月考）过点()1,Mm−作抛物线()2:2,0Cypxp=的两条切线，切点分别为()11,Axy和()22,Bxy，又直线AB经过抛物线C的焦点F，那么12MAMByykk=.

31．（多选）过抛物线24yx=焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（）A.AB的最小值为4B.NFAB⊥C.△NA

B面积的最小值为6D.若直线AB的斜率为3，则3AFFB=uuuruur32．（多选）已知抛物线()2:20Cxpyp=的焦点F到准线的距离为4，直线l与C交于P、Q两点，且2PQPR=，()4,6R

，若过点P、Q分别作C的两条切线交于点A，则下列各选项正确的是（）A．42AF=B．12PQ=C．PQAF⊥D．以PQ为直径的圆过点A33．（2024届·广东省四校第一次联考）过(),2Pm−向抛物线24xy=引

两条切线,PQPR，切点分别为,RQ,又点()0,4A在直线QR上的射影为H，则焦点F与H连线的斜率取值范围是.34．（2023·深圳市二模）（多选）设抛物线C：2yx=的焦点为F，过抛物线C上不同的两

点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（）A．PQx⊥轴B．PFAB⊥C．PFAPFB=D．2AFBFPF+=题型八椭圆双曲线焦点弦与焦半径公式35．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,FF.若1F关于直线2yx=的

对称点P恰好在C上，且直线1PF与C的另一个交点为Q，则12cosFQF=__________.36．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点分别为12,FF，离心率为e，点P在椭圆上，连接1PF并延长交C于点Q，连接2QF，若存在点P使2PQQF=成立，

则2e的取值范围为.37．过双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左､右两支分别交于点,MN，若3MQQN=，则双曲线的离心率是___________.2023届·山东

省新高考3月联合质量测评38．过双曲线221xy−=的左、右焦点作两条相互平行的弦ABCD，，其中AB，在双曲线的左支上，AC，在x轴上方，则12AFCF的最小值为．当AB的倾斜角为3时，四边形12AFFC的面积为．（提示：参考焦半径公式与焦点弦公式）2023届·青

岛三模T8——2个二级结论39．已知O为坐标原点，双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左，右焦点分别为12,FF，过C的右焦点2F且倾斜角为3的直线交C于A，B两点，AB中点为W，22

2FWab=+，则离心率e＝________；1FAB的周长等于12，则a＝________．题型九椭圆双曲线大题·面积相关问题（韦达化处理与弦长公式）40．已知椭圆C：的离心率为，且椭圆长轴长为．()222210xyabab+=2222(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线l（不过原

点O）与C交于AB，两点，求面积的最大值．41．已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的焦距为4，且经过点()2,2，过点()0,1P且斜率为k的直线l与x轴相交于点G，与椭圆C相交于A，B两点.(1)求椭圆C

的离心率；(2)若APGB=，求k的值.42．（2023上·福建龙岩·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)是否存在过点的直线l与曲线C交于不同的两点A、B﹐满足．若存在，求直线l的方程；若

不存在，请说明理由．()0,2POAB()()12121,0,1,0,22FFMFMF−+=1F23OABS=43．（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中为原点.(1)求抛物线的方程；(2)若，求面积的最小值.2:2Cy

px=()2,2,PAB､COOCOAOB⊥AOB44．已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.(1)求的方程；(2)若斜率存在且不为0的直线经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过x轴上的定点.45．（2023上·湖北·高二校联考期

末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，．(1)求双曲线的方程；(2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．C()222210xyabab+=()11,1P−()20,3P331,2P431,2P−CCl()2222

10,0xyabab−=1F2FP()0,Qb21PF=160FPQ=Cl2FCAB1FAB62l46．（2023上·福建宁德·高二统考期末）在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆过点，离心率.(1)求椭圆的方程

；(2)设直线与椭圆相交于两点，求的面积最大值.题型十平移+齐次化解决定点与斜率和积定值问题47．已知椭圆2214xy+=，设直线l不经过2(0,1)P点且与C相交于A，B两点．若直线2PA与直线2PB的斜率的和为1−

，证明：l过定点．48．如图，椭圆22:12xEy+=，经过点(1,1)M，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点(0,1)A−，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．49．如图，已知抛物线C：22yx=，圆E：()222

4xy−+=，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于2−，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为．xOyC31,232e=Cyxm=+C,ABAOB(2,1)Q−50．已知椭圆：的离心率为，

椭圆的短轴长等于4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为．①求证：为定值；②求证：直线过定点.E22221(0)xyabab+=33EE22164xy+=()

0,1A−()0,2BA1klEMNBMBNC()2211xy+−=BPQPQ2kBMBN34kk，34kkPQ