【文档说明】小题压轴题专练33—椭圆3—2022届高三数学一轮复习.docx，共(14)页，1.269 MB，由管理员店铺上传

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小题压轴题专练33—椭圆3一．单选题1．直线1(0)xyabab+=与椭圆22221xyab+=相交于两点M、N，点P使得PMN的面积为21||2ab−，则这样的点P在椭圆上的个数有()A．0个B．2个C．

3个D．4个2．点1F，2F为椭圆22:143xyC+=的两个焦点．点P为椭圆C内部的动点．则△12PFF周长的取值范围为()A．(2,6)B．[4，6)C．(4,6)D．[4，8)3．设椭圆22221(0)xyabab+=的焦点为1F，2F，P是椭圆上

一点，且123FPF=，若△12FPF的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当4Rr=时，椭圆的离心率为()A．45B．23C．12D．154．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度小，已知椭

圆2222:1(0)xyCabab+=上点0(Px，0)y处的曲率半径公式为3222200244()xyRabab=+．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为()A．12B

．22C．32D．1445．已知1F，2F是椭圆22221(0)xyabab+=的两个焦点，过2F的直线与椭圆交于A、B两点，若11||:||:||3:4:5AFABBF=，则该椭圆的离心率为()A．32B．2

3−C．312−D．226．已知1F，2F是椭圆22143xy+=的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则△12AFF的内切圆的半径的最大值是()A．1B．12C．13D．337．设椭圆222:1(1)xCyaa+=，已知点(0,1)A，点P

为曲线C上的点，若||AP的最大值为2，则a的取值范围为()A．(1，2]B．(1，2]C．[2，2)D．(2，2]8．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为F，经过点F的直线l的倾斜角为45，且直线l交该椭圆于A，B两点，若2AFFB=，则该椭圆的

离心率为()A．33B．22C．23D．32二．多选题9．已知点P是椭圆22:16xCy+=上的动点，Q是圆221:(1)5Dxy++=上的动点，点11(,)23M，则()A．椭圆C的离心率为306B．

椭圆C中以M为中点的弦所在直线方程为624110xy+−=C．圆D在椭圆C的内部D．PQ的最小值为25510．椭圆22:14xCy+=的左、右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，则()A．过点2F的直线与椭圆C交于A，B两点，则1

ABF的周长为4B．椭圆C上存在点P，使得120PFPF=C．椭圆C的离心率为12D．P为椭圆C上一点，Q为圆221xy+=上一点，则点P，Q的最大距离为311．若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的

距离之比为2:1，则称该椭圆为“倍径椭圆”，则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是()A．2211615xy+=B．22189xy+=C．2212521xy+=D．2213336xy+=12．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，

B的一点．设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当239(3)(||||)32alnmlnnbmnmn−+++取最小值时，椭圆C的离心率不可能是()A．223B．45C．32D．15三．填空题13．直线l与椭圆22143xy+=交于A

，B两点，若线段AB的中点为(1,1)，则直线l的方程为．14．已知椭圆：22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，P为椭圆上的一点，2PF与椭圆交于Q．若△1PFQ的内切圆与线段1PF在其中点M处相切，与PQ切于2F，则椭圆的离心率

为．15．设椭圆方程22143xy+=的两个焦点为1F，2F，点P为椭圆上任意一点，则212||||PFPF的最大值为．16．已知椭圆22:14xEy+=，P为E的长轴上任意一点，过点P作斜率为12的直线l与E交于M，N两点，则22||||PMPN+的值为．小题压轴题专练33—椭圆3答案1．

解：因为点P在椭圆上，设点P的坐标为(cos,sin)ab，其中[0，2)，不妨设(,0)Ma，(0,)Nb，因为PMN的面积为21||2ab−，22||MNab=+，设P点到直线MN的距离为h，则

()222112PMNabSMNhhab−==+①直线10xybxayabab+=+−=，所以22|cossin|abababhab+−=+②，①②联立得|2sin()1|214+−=−，即2sin()1214+−=−，或2sin()1124+−

=−，又即sin()14+=，或sin()214+=−，数形结合可知共有3个解，所以P点共有3个．故选：C．2．解：设椭圆C的半焦距为c，椭圆22:143xyC+=，2a=，3b=，431c=−=，即12||22FFc==，△12PFF周长为1212||||||PFPFFF++

，当P在12FF之间时，12||||PFPF+最小值为2，但此时构不成三角形，故1212||||||224PFPFFF+++=，当P在椭圆上时，12||||22PFPFa+==，△12PFF周长取得最大值，但点P为椭圆C内部的动点．故1212|||||

|226PFPFFFa+++=，△12PFF周长的取值范围为(4,6)．故选：C．3．解：椭圆的焦点为1(,0)Fc−，2(,0)Fc，12||2FFc=，根据正弦定理可得1212||2432sin3sin3FFccRFPF===，233cR=，1346crR==

．设1||PFm=，2||PFn=，则2mna+=，由余弦定理得，2222242cos()3433cmnmnmnmnamn=+−=+−=−，224()3acmn−=，122213()sin233FPFacSmn−=

=，又1213()(2)26FPFcacSmncr+=++=，223()3()36accac−+=，即22230acac−−=，故2320ee+−=，解得：23e=或1e=−（舍)．故选：B．4．解：点P在椭圆上，则2200221xyab+=，即222002(1)xyba=−，222222

2022000004444422211bbxxyxxaxabababab−+=+=+−22220002222242111()xxcxaabbbab=−+=−，20[0x，2]a，2200442211[,]xyabab+，则322002443311()[,]xyabab+

，22[,]baRab，曲率半径的最大值是最小值的8倍，228abba=，整理得2ab=，则椭圆的离心率为2131()142cbeaa==−=−=，故选：C．5．解：设2||AFt=，1||3AFx=，则||4ABx=，1||5BFx=，由椭圆的定义可得，12||||2AFAFa+

=，12||||2BFBFa+=，所以35(4)txxxt+=+−，解得3tx=，3ax=，因为11||:||:||3:4:5AFABBF=，所以1ABF是以A为直角的直角三角形，故12||322FFxc==，则322cx=，故离心率为22cea==．故选：D．6．解：由椭圆

22143xy+=，得24a=，23b=，2221cab=−=，则1c=，如图，1212121211||||(||||||)22AFFASFFyAFAFFFr==++，2||(22)Acyacr=+，则1||3Ary=，要使△12PFF内切圆半径

最大，则需||Ay最大，||3Ayb=„，△12PFF内切圆半径的最大值为33．故选：D．7．解：以(0,1)A为圆心，半径为2的圆的方程为22(1)4xy+−=，联立22(1)4xy+−=与2221xya+=方程可得：222(1)230ayya−−−+=，又(0,1)A是椭圆的一个短轴端点，

即短轴刚好为2，当△0=，即2a=时，||AP的最大值为2，当2a时，22(1)4xy+−=与2221xya+=的交点不止一个，||AP的最大值大于2，不合题意，12a„．故选：A．8．解：由题意知，(

,0)Fc，直线AB的方程为yxc=−，其中c为椭圆C的半焦距，联立222222yxcbxayab=−+=，得22222222()20abxacxacab+−+−=，设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，则2

12222acxxab+=+，2221222()acbxxab−=+，2AFFB=，1(cx−，12)2(yxc−=−，2)y，即2123xxc+=，221223acbcxab−=+，222223acbcxab+=+，22222221222222233()acb

cacbcacbxxababab−+−==+++，化简得422222222229()(2)(2)acaccacaac−−=−−，cea=，2222229(1)(21)(2)eeeee−−=−−，令21te=，可将上式整理为329201320ttt−+−=，即2(1)(92)0t

t−−=，解得1t=或29，229e=，即23e=，所求椭圆的离心率为23．故选：C．9．解：对于A，2216xy+=，6a=，1b=，225cab=−=，离心率53066cea===，故A正确，对于B，设以M为中点的

弦交椭圆于1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，11(,)23M，12122xx+=，12123yy+=，221116xy+=，222216xy+=，两式相减可得，12121212()()()()06xxxxyyyy−++−+=，121214yyxx−=

−−，即斜率为14−，直线方程为111()342yx−=−−，即624110xy+−=，故B正确，对于C，设(Px，)(66)yx−剟，则2222225641||(1)(1)1()66555xPDxyxx=++=++−=++，所以圆D在椭圆C

的内部，故C正确，对于D，由C选项可得，||PQ的最小值为415555−=，故D错误．故选：ABC．10．解：对于A，因为1F，2F分别为椭圆22:14xCy+=的左、右焦点，过点2F的直线与椭圆C交于A，B两点，由椭圆

的定义可得1212||||||||24AFAFBFBFa+=+==，因此1ABF的周长为111212||||||||||||||48AFBFABAFAFBFBFa++=+++==，故选项A错误；对于B，设点(,)Pxy为椭圆22:14xCy+=

上的任意一点，则点P的坐标满足2214xy+=且22x−剟，又12(3,0),(3,0)FF−，所以12(3,),(3,)PFxyPFxy=−−−=−−，因此2222123(3)(3)12244xxPFP

Fxxyx=−−−+=+−−=−，因为120PFPF=，则23204x−=，解得26[2,2]3x=−，所以椭圆C上存在点P，使得120PFPF=，故选项B正确；对于C，因为24a=，21b=

，则2413c+−=，所以3c=，故离心率32cea==，故选项C错误；对于D，设点(,)Pxy是椭圆22:14xCy+=的任意一点，由题意可得，点(,)Pxy到圆221xy+=的圆心的距离为22222||4443POxyyyy=+=−+=−，因为

11y−剟，所以||||14013maxmaxPQPO=+=−+=，则点P，Q的最大距离为3，故选项D正确．故选：BD．11．解：假设12||2||PFPF=，在椭圆中，12222||||2||||3||2PFPFPFPFPFa+

=+==，即22||3aPF=，14||3aPF=；椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2:1，则称该椭圆为“倍径椭圆”，等价于满足23aac−…，即3ac„．对于选项A，D，上述条件下的数量关系都不能保证．故选：BC．12．解：(,0)Aa−，(,0)Ba，设0(Px，0)y，

则222002()byaxa=−，则00ynxa=−，00ymxa=+，2202220ybmnxaa==−−，则222322222392392(3)(||||)(3)()3()3932323aaaaba

aaalnmlnnlnlnbmnmnbbbabbbb−+++=+−+=−+−，令322()3393fttttlnt=−+−，(1)t，229(3)(23)()263ttfttttt−+=−+−=，故3t=时，()ft取最小值，椭圆C的离心率为22

21()3bea=−=．故选：BCD．13．解：设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，点(1,1)是线段AB的中点，122xx+=，122yy+=，此两点在椭圆上，22113412xy+=，22223412xy+=．121212

123()()4()()0xxxxyyyy+−++−=，212134yykxx−==−−，直线l的方程为31(1)4yx−=−−，化为3470xy+−=．故答案为：3470xy+−=．14．解：M为

1PF的中点，111||||||2PMMFPF==，△1PFQ的内切圆与线段1PF在其中点M处相切，与PQ切于2F，由内切圆的性质可得，2||||PMPF=，P为椭圆上的一点，12||||2PFPFa+=，2||3

PMa=，22||3PFa=，14||3PFa=，设△1PFQ的内切圆与1FQ切于C，结合内切圆的性质可得，112||||3FCFMa==，2PF与椭圆交于Q，21||||2QFQFa+=，C，2F为切点，由内切圆的性质可得，2||||QCQF=，又12||3FCa==

，22||||3QCQFa==，△1PFQ为等边三角形，34223ac=，33cea==．故答案为：33．15．解：22143xy+=，2,3ab==，221cab=−=，设1PFt=，则224(13)PFattt=−=−剟，故2212||||4PFtPFt=−，令

2()4tftt=−，求导228()(4)ttftt−=−，当[1t，3]时，()0ft恒成立，即()ft在[1，3]上单调递增，()maxftf=（3）9=，212||||PFPF的最大值为9．故答案为：9．16．解：椭圆22:14xEy+=，P为E的长轴上任意一点(,0)t

，过点P作斜率为12的直线1:()2lyxt=−，[2t−，2]，联立221()214yxtxy=−+=，消去y并化简可得：221202xtxt−+−=，设：1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，可得12xxt+=，212122xxt=−，2222221122||

||()()PMPNxtyxty+=−++−+2221212555()()422xxtxxt=+−++22121212555[()2]()422xxxxtxxt=+−−++5=．故答案为：5．