【文档说明】陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期4月学情质量检测数学（理）试题【精准解析】.doc，共(14)页，1.120 MB，由小赞的店铺上传

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商丹高新学校2019-2020学年度第二学期高二年级学情检测数学（理）试题一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A.B.△C.●D.○【答案】A【解析】【分析】根据表格中每一行或每一列的三个图形分别是三角形、圆、长方形，黑色图形可得【详解】表格中前两行三个图形分别

是三角形、圆、长方形，两个是黑色图形，因此第三行安全可靠处应是长方形，黑色．故选：A．【点睛】本题考查归纳推理，从已知图形中寻找一定的规律，根据这个规律确定所缺图形．2.设()()0ln,2fxxxfx==，则0x=（）A.2eB.eC.ln22D.ln2【答案】B【解析】【分析】求得导函数()

'fx，由此解方程()02fx=求得0x的值.【详解】依题意()'1lnfxx=+，所以()0001ln2,fxxxe=+==.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.3.若抛物线22ypx=的焦点与椭圆22162

xy+=的右焦点重合，则p的值为（）A.4B.2C.6D.8【答案】A【解析】【分析】求出椭圆的右焦点坐标，再根据抛物线的焦点坐标公式可得．【详解】由题意椭圆中，622c=−=，右焦点为(2,0)，∴22p=，4p=．故选：A．【点睛】本

题考查椭圆与抛物线的焦点坐标，属于基础题．4.函数()lnfxaxx=+在1x=处取得极值，则a的值为（）A.0B.1−C.12−D.12【答案】B【解析】试题分析：()()1,0,afxxx=++有题意函数在1x=处取得极值，则令

()10f=，可得1a=−考点：函数的极值5.等比数列na中，259,243,aa==则na的前4项和为（）A.81B.120C.168D.192【答案】B【解析】【分析】根据352aqa=

求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出.【详解】35227aqa==,3q=，又29,a=所以21139,3aaa===，4414(1)3(13)120113aqSq−−===−−.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比

数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于基础题.6.已知三次函数()()()322141152723fxxmxmmx=−−+−−+在R上是增函数，则m的取值范围是()A.m<2或m>4B.－4<m<－2C.2<m<4D.2≤m≤4【

答案】D【解析】()()22'2411527fxxmxmm=−−+−−，由题意得()2224115270xmxmm−−+−−恒成立，()()2244141527mmm=−−−−226432460828mmmm=−+−++()24680mm=−+，2

4m，故选D.7.已知函数()fx的导函数()fx的图象如图所示，那么函数()fx的图象最有可能的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】当()fx大于等于0，()fx在对应区间上为增函数；()fx小于等于0，()fx在对应区间上为减函数，由此可以求解．【详解】解：2

x−时，()0fx，则()fx单调递减；20x−时，()0fx，则()fx单调递增；0x时，()0fx，则f（x）单调递减．则符合上述条件的只有选项A．故选A．【点睛】本题主要考查了函数单调性与导函数

的关系，重点是理解函数图象及函数的单调性．8.设f(n)＝1＋12＋13＋…＋131n−(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.132n+B.13n＋131n+C.131n+＋132n+D.13n＋131n+＋132n+【答案】D【解析】由题意可得：(

)()()111111111233112331111.33132fnfnnnnnn+−=++++−+++++−−=++++本题选择D选项.9.若f(x)=21ln(2)2xbx−++在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是()A.[-1，

+∞]B.（-1，+∞）C.（-∞，-1]D.（-∞，-1）【答案】C【解析】由题意可知()02bfxxx+=−+，在(1,)x−+上恒成立，即(2)bxx+在(1,)x−+上恒成立，由于1x−，所以1b−，故Ｃ为正确答案．10.如图，已知正方体ABC

DABCD−，点E是AC的中点，点F是AE的三等分点，且12AFEF=，则AF=（）A.1122AAABAD++B.111222AAABAD++C.111266AAABAD++D.111366AAAB

AD++【答案】D【解析】【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】∵点E是AC的中点，点F是AE的三等分点，且12AFEF=，∴111111()333236AFAEAAAEAAACAAAC==+=+=+11()36AAABAD=++111366A

AABAD=++，故选：D．【点睛】本题考查空间空间向量线性运算，掌握空间向量的加减法、数乘运算是解题基础．11.双曲线22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦点分别是12FF，，过1F作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的

离心率为（）A.6B.3C.2D.33【答案】B【解析】【详解】由双曲线的定义，借助直角三角形和半通径通，易知22bMFa=，，注意到倾斜角222222322236bbcaabcaaaa==+==．故选B.12.已知

f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有()．A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)【答案】A【解析】因为xf′(x)≤－f(x

)，f(x)≥0，所以()fxx′＝2'()()xfxfxx−≤22()fxx−≤0，则函数()fxx在(0，＋∞)上单调递减．由于0<a<b，则()()fafbab，即af(b)≤bf(a)二、填空

题13.曲线lnyx=在点(,1)Me处的切线的斜率是__________；切线方程为_________．【答案】(1).1e(2).0xey−=【解析】【分析】利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程.【详解】由题得11(),fxkxe==，所以切线的斜率为1e，所以切线的方程为1

1(),0yxexeye−=−−=故答案为10xeye−=；【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.设等差数列na的前n项和为nS，若535aa=则95SS=.【答案】9【解析】试题分析：由等差

数列na，且535aa=，则：919551539()9295()52SaaaSaaa+===+考点：等差数列的求和及性质．15.直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是________．【答案】(－2,2)【解析】试题分析：结合函数图象，a介

于f(x)的极大值和极小值之间．因为，()fx＝x3－3x，所以，f’(x)=3x²－3,令f'(x)=0，得：x=－1，x=1f(－1)=2，f(1)=－2所以，－2<a<2，故答案为(－2,2)．考点：数形结合思想，转化与

化归思想，利用导数研究函数的极值．点评：简单题，利用数形结合法，将问题转化成利用导数研究函数的极值．16.已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值_____

__.【答案】72【解析】【分析】根据抛物线的定义，将||||PAPF+转化为P到A的距离与P到准线的距离之和，由平面几何知识，可得当直线PA与准线垂直时，这个距离之和达到最小值，由此计算即得。【详解】将3x=代入抛物

线方程22yx=，解得6y=，由62可得点(3,2)A在抛物线张口以内，抛物线的焦点1(,0)2F，准线1:2lx=−，设抛物线上的点到准线l的距离为d，则有||||||PAPFPAd+=+，如图，可得当PAl⊥时，|

|PAd+最小，最小值为173()22−−=，故||||PAPF+的最小值为72.故答案为：72【点睛】本题考查利用抛物线的定义求最小值，是常考题型。三、解答题17.设函数32()23(1)68fxxaxax=−+++，其中aR,已知()fx在3x=处取得极值．（1

）求()fx的解析式；（2）求()fx在点()1,16A处的切线方程．【答案】（1）()32212188fxxxx=−++;（2）16y=．【解析】分析：求出原函数的导数，根据()fx在3x=处取得极值，得

到()30f=，由此求得a的值值，则函数的解析式可求；（2）由（1）得到()262418fxxx=−+，求得()10f=，所以()fx在点(1,16)A处的切线方程可求.详解：（1）()()26616fxxaxa=+−+因为()fx在3x=处取得极值，所以()()36961

36=0faa+=−+，解得3a=，所以()32212188fxxxx=−++.（2）A点在()fx上，由（1）可知()262418fxxx=−+，()1624180f=−+=，所以切线方程为16y=.点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题需要

注意的是函数的极值点处的导数等于零，但导数为零的点不一定是极值点，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.18.已知等差数列na满足：37a=，5726aa+=．na的前n项和为nS．（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）令211nnba=−（nN+）,求数列

nb的前n项和nT．【答案】（Ⅰ）21,(2)nnanSnn=+=+;（Ⅱ）4(1)nn+．【解析】试题分析：（1）设等差数列na的公差为d，由已知3577,26aaa=+=可得1127{21026adad+=+=解得1,ad，则na及nS可

求；（2）由（1）可得111()41nbnn=−+，裂项求和即可试题解析：（1）设等差数列na的公差为d，因为37a=，5726aa+=，所以有1127{21026adad+=+=，解得13,2ad==，所以32(1)21nann=+−=+，2(1)3222nnn

Snnn−=+=+.（2）由（1）知，21nan=+，所以22111111()1(21)14(1)41nnbannnnn====−−+−++，所以11111111(1)(1)42231414(1)nnTnnnn=−+−++−=−=+++，即数列nb的前n项和4(1)

nnTn=+.考点：等差数列的通项公式，前n项和公式．裂项求和19.如图，在直三棱柱中111ABC-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，1AA=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线1AB与1CD所成角的余弦值；（2）求平面1ADC与1ABA所成二面角的正弦值．【答案】（1）；（

2）.【解析】【详解】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，1(2,0,4)AB=−uuur，1(1,1,4)CD=−−uuuur，，异面直线与所成角的余弦值为．（2）设平面的法向量为1(,,)nxyz=，，1110,0nADnAC==，即且，令，则，是平面的一

个法向量，取平面的一个法向量为2(0,1,0)n=，设平面与平面夹角的大小为，由121222cos391nnnn===，得，故平面与平面夹角的正弦值为．20.已知函数32()fxxaxbxc=+++在1x=−与2x=处都取得极值．（1）求,ab的值及函数()fx的单调区间；（2）

若对[2,3]x−，不等式23()2fxcc+恒成立，求c的取值范围．【答案】（1）3{26ab=−=−，()fx的减区间为(1,2)−，增区间为(,1)−−，(2,)+；（2）7(,1)(,)2−−+．【解析】试题分析：（1）求出()'fx并令其0=得

到方程，把1x=−和2x=代入求出,ab即可；（2）求出函数的最大值为()1f−，要使不等式恒成立，既要证()2312fcc−+，即可求出c的取值范围.试题解析：（1）()232fxxaxb=++，由题意得：()()10{20ff−==即320{1240abab−+=++=

，解得3{26ab=−=−∴()32362fxxxxc=−−+，()2336fxxx=−−．令()0fx，解得12x−，令()0fx，解得1x−或2x∴()fx的减区间为()1,2−，增区间为(),1−−，()2,+．

（2）由（1）知，()fx在(),1−−上单调递增；在()1,2−上单调递减；在()2,+上单调递增．∴2,3x−时，()fx的最大值即为()1f−与()3f中的较大者．()712fc−=+，()932fc=−+，∴当1x=−时，()fx取得最大值，要使()232fxcc+，

只需()2312cfc−+，即2275cc+，解得1c−或72c．∴c的取值范围为()7,1,2−−+．21.在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(03)−，，(03)，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直

线1ykx=+与C交于A，B两点．k为何值时OA⊥OB？此时AB的值是多少？【答案】（Ⅰ）曲线C的方程为2214yx+=．（Ⅱ）12k=时OA⊥OB，46517AB=．【解析】【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆

定义可知，点P的轨迹C是以(03)(03)−，，，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴222(3)1b=−=，故曲线C的方程为2214yx+=．（Ⅱ）设1122()()AxyBxy，，，，其坐标满足221{41.yxykx+==+，消去y并整理得2

2(4)230kxkx++−=，故1212222344kxxxxkk+=−=−++，．OAOB⊥，即．而2121212()1yykxxkxx=+++，于是222121222223324114444kkkxxyykkkk−++=−−−+=++++．所以12k=时，，故OAOB⊥．当12k=时，1

2417xx+=，121217xx=−．2222212121()()(1)()ABxxyykxx=−+−=+−，而22212112()()4xxxxxx−=+−23224434134171717=+=，所以46517

AB=．【详解】请在此输入详解！22.已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋lnx<23x3

.【答案】（1）a＝4；（2）见解析.；（3）见解析.【解析】【分析】（1）由f′(2)=0即可求出a＝4．（2）由题可得f(x)的定义域为x>0．求出f′(x)=x－ax，当a≤0时f′(x)>0恒成立．故f(

x)在(0，＋∞)单调递增；当a>0时，令f′(x)>0解得即为f(x)的单调増区间，令f′(x)<0解得即为f(x)的单调减区间．（3）构造函数g(x)＝23x3－12x2－lnx，利用导数得出g(x)在(1，＋∞)上为单调递增．易得g(x)>0恒成立，进而可得到结论．

【详解】(1)解：f′(x)＝x－ax，因为x＝2是一个极值点，所以2－2a＝0，所以a＝4.(2)解：因为f′(x)＝x－ax，f(x)的定义域为x>0，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．当a>0时，f′(x)＝x－ax＝2xax−＝()()xaxax−

+，令f′(x)>0，得x>a，所以函数f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)；令f′(x)<0，得0<x<a，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，a)．(3)证明：设g(x)＝23x3－12x2－lnx，则g′(x)＝2x2－x－1x，因为当x>1时，g′(x)＝()()

2121xxxx−++>0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．所以g(x)>g(1)＝16>0.所以当x>1时，12x2＋lnx<23x3.【点睛】本题主要考察导数的零点与与原函数极值点的关系，利用导数求原函数的单调区间以及利

用导数求函数最值进而证明函数恒成立问题．属于较难题．