【文档说明】《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题09 相似三角形中的定点问题专练（原卷版）.docx，共(9)页，206.367 KB，由管理员店铺上传

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1专题09相似三角形中的定点问题专练班级：___________姓名：___________得分：___________一、解答题1.如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=5，现有一点D，满足∠𝐵𝐷𝐶=

∠𝐵𝐴𝐶，且𝐷𝐵=𝐶𝐵．(1)请用尺规作图的方法确定点D的位置(保留作图痕迹，不需写作法)(2)连接CD交AB于点E，找出图中与△𝐵𝐶𝐸相似的三角形，并求出BE的长．2.如图1所示，在图中作出两条直线，就能使它们将圆面四等分．研究图1中的思想方法解

决以下问题：(1)如图2，M是正方形ABCD内一定点，请在图2中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点𝑀)，使它们将正方形ABCD的面积四等分，不必说明理由；(2)如图3，在四边形ABCD中，𝐴𝐵

//𝐶𝐷，𝐴𝐵+𝐶𝐷=𝐵𝐶，点P是AD的中点．如果𝐴𝐵=𝑎，𝐶𝐷=𝑏，且𝑏>𝑎，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说2明理由．3.定义：如图

1，点M、N把线段AB分割成AM，MN和BN三段，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直接三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．图1图2图33⑴如图2所示，已知点C是线段AB上的一定点，过C作直线l⊥AB，在直线l上截取CE=CA，连接BE，BE的

垂直平分线交AB于点D，求证：点C、D是线段AB的勾股分割点．⑵已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，NM=3，求BN的长；⑶如图3，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，记𝐴𝑀=𝑎，𝐵𝑁=𝑏，𝑀𝑁=𝑐，且a<c，b<c，△AMC，△MND和△NBE均是

等边三角形，AE分别交CM、DM、DN于点F、G、H，若H是DN的中点．①证明：𝑎=𝑏；②试猜想S△𝐴𝑀𝐹，S△𝐵𝐸𝑁和S四边形𝑀𝑁𝐺𝐻的数量关系(不需说明理由)4.如图，在平面直角坐标系中，直线�

�=𝑘𝑥−4𝑘+4与抛物线𝑦=14𝑥2−𝑥交于A、B两点．(1)直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；4(2)点P在抛物线上，当𝑘=−12时，解决下列问题：①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得

△𝑃𝐴𝐵的面积等于20；②连接OA，OB，OP，作𝑃𝐶⊥𝑥轴于点C，若△𝑃𝑂𝐶和△𝐴𝐵𝑂相似，请求出点P的坐标．5.如图，已知动⊙𝑃始终经过定点𝐴(0,3)，圆心P在抛物线𝑦=16𝑥2上运动，BC为⊙𝑃在x轴上截得的弦(点B在C左侧)．(1)当𝑃(

3√2,𝑚)时，求m的值及弦BC的长；(2)当⊙𝑃的圆心P运动时，判断弦BC的长度是否发生变化？若变化，请举例说明；若不变，请说明理由；(3)连接AB，AC，当△𝐴𝑂𝐵与△𝐴𝑂𝐶相似时，

求点B的坐标．56.抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点𝐴(−1,0)、𝐶(0,−3)，顶点为E．(1)求抛物线的解析式；(2)若过抛物线顶点E作𝐸𝐹⊥𝑥轴于F，𝑀(𝑚,0)是x轴上一动点

，N是线段EF上一点，若∠𝑀𝑁𝐶=90°，求m的取值范围；(3)将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线𝑦=𝑘𝑥+2(𝑘>0)与抛物线相交于点P，𝑄(点P在点Q左边)，过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变

时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标.7.如图1，点P在正方形ABCD的对角线AC上，正方形的边长是a，𝑅t𝛥𝑃𝐸𝐹的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、𝑁.(1)操作发现：如图2，固定点P，使𝑅t

𝛥𝑃𝐸𝐹绕点P旋转，当𝑃𝑀⊥𝐵𝐶时，四边形PMCN是正方形．①当𝐴𝑃=2𝑃𝐶时，四边形PMCN的边长是6②当𝐴𝑃=𝑛𝑃𝐶时(𝑛是正实数)，四边形PMCN的面积是(2)验证猜想：如图3，改变四边形ABCD的形状为矩形𝐴𝐵

=𝑎,𝐵𝐶=𝑏，点P在矩形ABCD的对角线AC上，𝑅t𝛥𝑃𝐸𝐹的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N，固定点P，使𝑅t𝛥𝑃𝐸𝐹绕点P旋转，则𝑃𝑀𝑃𝑁=(3)拓展探究：如图4，当四边形ABCD满足条件：𝐴𝐵=5，𝐵𝐶=8，𝐶𝐷

=3，𝐴𝐷=4，∠𝐵+∠𝐷=1800,∠𝐸𝑃𝐹=∠𝐵𝐴𝐷时，点P在AC上，PE、PF分别交BC，CD于M、N点，固定P点，使𝛥𝑃𝐸𝐹绕点P旋转，请探究𝑃𝑀𝑃𝑁的值，并说明理由.7

8.问题提出：(1)如图①，已知线段AB和BC，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=5，则线段AC的最小值为______；问题探究：(2)如图②，已知扇形COD中，∠𝐶𝑂𝐷=90°，𝐷𝑂=𝐶𝑂=6，点A是OC

的中点，延长OC到点F，使𝐶𝐹=𝑂𝐶，点P是𝐶𝐷⏜上的动点，点B是OD上的一点，𝐵𝐷=1．(𝑖)求证：△𝑂𝐴𝑃～△𝑂𝑃𝐹；(𝑖𝑖)求𝐵𝑃+2𝐴𝑃的最小值；问题解决：(3)如图③，有一个

形状为四边形ABCD的人工湖，𝐵𝐶=9千米，𝐶𝐷=4√3千米，∠𝐵𝐶𝐷=150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P，且𝐵𝑃=3千米，为方便游客观光，从C、D分别建小桥PD，𝑃𝐶.已知建桥PD每千米的造价是3万元，

建桥PC每千米的造价是1万元，建桥PD和PC的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P的位置并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．(桥的宽度忽略不计)89.如图，抛物线𝑦1=−169𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑏为常数)与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为𝑦2

=89𝑥+83．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)直接写出：当𝑦1<𝑦2时，x的取值范围是________；(3)已知点𝑀(𝑚,0)在线段OA上，过点M作x轴的垂线1分别与直线AB和抛物线交于对称轴左侧的D、E两点．若𝐷𝐸=329，求m的值．(4)在(3)问条件下，将OM绕原点O顺

时针旋转得到𝑂𝑁(旋转角在0°到90°之间)；探究：线段OB上是否存在定点𝑃(𝑃不与O、B重合)，无论ON如何旋转，𝑁𝑃𝑁𝐵始终保持不变，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；10.阅若把关于x的二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)记为𝑓(�

�)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，则𝑓(2𝑥)=𝑎(2𝑥)2+𝑏(2𝑥)+𝑐=4𝑎𝑥2+2𝑏𝑥+𝑐；𝑓(12𝑥)=𝑎(12𝑥)2+𝑏(12𝑥)+𝑐=14𝑎𝑥2+12�

�𝑥+𝑐；……9已知关于x的二次函数𝑓(𝑥)=−𝑥2+6𝑥−5，则设𝑓(𝑘𝑥)(𝑘>0)与x轴交点为A、𝐵(点A在点B的左侧)．(1)试说明𝑓(𝑘𝑥)必定经过一个定点C；(2)若𝑓(𝑘𝑥)的顶点为P，对称轴交x轴于点Q，过点P作x轴的平行

线交y轴于点H，当△𝑃𝑄𝐻与△𝐴𝑂𝐶相似时，求k的值；(3)当2≤𝑥≤3时，𝑓(𝑘𝑥)有最大值为2k，求k的值．