【文档说明】天津市和平区2021届高三上学期期末考试数学试卷【精准解析】.doc，共(22)页，2.339 MB，由小赞的店铺上传

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天津市和平区2020-2021学年高三上学期期末数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．第I卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：如果事件A、B互斥，那么()()()PAUBPAPB=+如果事件A、B相互独立，那么()()()·PABPAPB=棱柱的体积公式VSh=，

其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．球的体积公式343VR=，其中R表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1,0,1,2U=--，0A=，2|20Bxxx=+−，则()UAB=ð（）．A.1−B

.1C.1,1,2−D.2,1,1−−【答案】A【解析】【分析】化简集合B，根据补集和交集的概念运算可得结果.【详解】{2,1,1,2}UA=−−ð,{|21}Bxx=−,()UAB=ð{}1−．故选：A2.设xR，则“

11x”是“121x”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件．C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式，利用两个不等式的解集的包含关系可得答案.【详解】11x等价于110x−

等价于10xx−等价于(1)0xx−等价于0x或1x，121x等价于01122x等价于0x，因为{|0}xxÜ{|x0x或1x}，所以“11x”是“121x

”的必要不充分条件．故选：B【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p

是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含．3.函数sin2()xxxfxee−=+在[–],的大致图象是（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性排除C、D，根据(0,)x时，函数值的符号

排除B，故选A.【详解】因为sin2()xxxfxee−=+，所以()()()2sin2sinxxxxxxfxfxeeee−−−−==−=−++，所以()fx为[–],上的奇函数，其图象关于原点对称，故C、D不正确；当(0,)x时，sin0x，所以()0

fx，故B不正确;故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数的性质排除不正确选项是解题关键.4.已知某校一次数学测验所有学生得分都在[80,150]内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中a的值是（）．A.0.015B.0.020C.0.030D.0.040

【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，即可求得a的值.【详解】解：由频率分布直方图可知：()0.0030.0070.0080.0120.0302101a+++++=，解得：0.020a=.故选：B.5.已知正方体1111ABCDABCD−的所有顶点

都在球O的表面上，若球O的体积为36，则正方体1111ABCDABCD−的体积为（）．A.23B.33C.123D.243【答案】D【解析】【分析】先求出球O的半径，再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系，求出正方体的棱长，即可求出正方

体的体积.【详解】解：球O的体积为36，即34363R=，解得：3R=，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，由题意知：2222Raaa=++，即63a=，解得：23a=，正方体1111ABCDABCD−的体积()3232

43V==.故选：D.6.设0.813a−=，0.93b=，0.80.7logc=，则a，b，c的大小关系为（）．A.abcB.bacC.bcaD.cab【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,abc的大小关系.【详解】解：0.80.8013

313a−===，0.90.8331ba==，又0.80.70.70.7loglog1c==，cab.故选：D.7.已知抛物线2120xy=的焦点F与双曲线22221yxab−=（0a，0b）的一个焦点重合，且点F到双曲线的渐近线的

距离为4，则双曲线的方程为（）A.221916xy−=B.2211641xy−=C.2214116yx−=D.221916yx−=【答案】D【解析】【分析】由抛物线2120xy=，求得(0,5)F，得到5c=，再

由焦点(0,5)F到渐近线的距离为4，求得4b=，进而得到229acb=−=，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.【详解】由题意，抛物线2120xy=可化为220xy=，可得焦点坐标为(0,5)F，即双曲线22221yxab−=的焦点坐标

为(0,5)F，即5c=，又由双曲线22221yxab−=的一条渐近线的方程为ayxb=，即0axby−=，所以焦点(0,5)F到0axby−=的距离为22554()bbcab==+−，所以4b=，又由2222549acb=−=−=，所以双曲线的方程为221916yx−=.故选：D.【点睛】

本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.设函数()2sin()fxx=+，xR，其中0，||.若5()28f=，()08f=，且()fx的最小

正周期大于2，则A.23=，12=B.23=，12=−C.13=，24=−D.13=，724=【答案】A【解析】由题意125282118kk+=++=，其中12,kkZ，所以2142(2)33kk=−−，又2

2T=，所以01，所以23=，11212k=+，由得12=，故选A．【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()yAx=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据

图象的最高点或最低点确定A，再根据周期或12周期或14周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.9.已

知函数2(3),0()2,0kxxfxxkx+=−…，若函数()()()gxfxfx=−+有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）．A.(,4)−−B.(4,)+C.(,0)(4,)−+D.(,4)(4,)−+【答案】B【解析】【分析】判断可

得()gx为偶函数，所以()gx在(0,)+上有且仅有2个不同的零点，求出()gx在(0,)+上的解析式，根据二次函数知识列式可得解.【详解】因为()()()gxfxfx=−+，所以()()()()gxfxfxgx−=+−=，所以()g

x为偶函数，因为()gx有且只有四个不同的零点，所以()gx在(0,)+上有且仅有2个不同的零点，且()()02040gfk==−，即0k，当0x时，0x−，()(3)fxkx−=−+，2()2fxxk=−，所以()gx=2(3)2kxxk−++−2

xkxk=−+在(0,)+上有且仅有2个不同的零点，所以2(0)00240gkkk−−=−，解得4k.故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数

法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解第Ⅱ卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2．

本卷共1小题，共10S分．二、填空图、本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10.已知i是虚数单位，则531ii+=−______________．【答案】14i+【解析】【分析】根据复数的除法运算法则可得结

果.【详解】531ii+=−(53)(1)2814(1)(1)2iiiiii+++===+−+,故答案为：14i+.11.二项式612xx−的展开式中常数项为_________.【答案】60【解析】【分析】求出二项式的通项公式，再令x对应的幂指数为0即可求解【详解

】二项式612xx−的展开式的通项公式为366621661(2)2(1)rrrrrrrrTCxCxx−−−+=−=−,令3602r−=，解得4r=，所以该二项式展开式中常数项为464462(1)60C−−=，故答案为：60

【点睛】本题考查二项式中常数项的求解，属于基础题12.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线20xy−=的距离为255，若点()0,3M在圆C上，则圆C的方程为______________________．【答案】()2214xy−+=【解析】【分析】先由题意，设圆C的圆心为()(),00

Caa，由点到直线距离求出圆心坐标，再由圆上的点求出半径，进而可求出圆的方程.【详解】由题意，设圆C的圆心为()(),00Caa，因为圆心到直线20xy−=的距离为255，所以202555a−=，解得1a=，即圆心坐标为()1,0；又点()0,3M在圆C上，所以半径为()()

2210032r=−+−=，因此圆C的方程为()2214xy−+=.故答案为：()2214xy−+=.13.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，

则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为______________．【答案】910【解析】【分析】先列出从5种教学软件中随机选取3种的所有情况，然后计算出甲、乙、丙至多有2种的情况，再利用古典概型公式计算即可.【详解】解：从甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件随机选取3种，共有以下10种等可能的情

况：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，其中甲、乙、丙至多有2种被选取的有以下9种情况：甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，即所求概率为910，故答案为：910.14.已知0m，0n，且111223mn+=++

，则2mn+的最小值为________.【答案】362+【解析】【分析】先换元，令2sm=+，2tn=+，则1113st+=，226mnst+=+−；再采用“乘1法”，求出2st+的最小值即可得解．【详解】解：令2sm=+，2tn=+，则2s，2t，且1

113st+=，2(2)2(2)26mnstst+=−+−=+−，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)stststststtsts+=++=++++=+…，当且仅当2stts=，即2st=时，等号成立．2st+的最小值为3(322)+，2263(322)6

362mnst+=+−+−=+…．故答案为：362+．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．15.在菱形ABCD中，23πBAD=，2AB=，

点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足||||||||BMCNBCCD=，则AMAN的最小值为______________．【答案】32【解析】【分析】设||||||||BMCNBCCD=t=，01t，将AM和AN用AB、AD表示，再根据向量数量的运

算律进行求解可得结果.【详解】设||||||||BMCNBCCD=t=，01t，AM=ABBMAB+=+tBCABtAD=+，ANABBCCN=++uuuruuuruuuruuurABBCtCD=++(1)ABADtABtABAD=+−=−+，

所以AMAN=()()(1)ABtADtABAD+−+2(1)tAB=−2tAD+2(1)ttABAD++−214(1)4(1)22()2tttt=−+++−−2222tt=−+，因为01t，所以当12t=时

，2222tt−+取得最小值32，即AMAN的最小值为32.故答案为：32【点睛】关键点点睛：将AM和AN用AB、AD表示，再根据向量数量的运算律进行求解是解题关键.三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b

，c，且满足sin4sinaAbB=，2223()acabc=−−．（1）求cosA的值；（2）求()sin2BA+的值．【答案】（1）33−（2）26159−【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得2ab=，再结合余弦定理可得结果；（2）由3cos3A=−

求出sinA，由sin4sinaAbB=求出sinB，根据同角公式求出cosB，利用二倍角公式求出sin2,cos2BB，再根据两角和的正弦公式可求得结果.【详解】（1）由sin4sinaAbB=以及

正弦定理可得224ab=，得2ab=，由2223()acabc=−−得2223acbca+−=−23bc=−，所以222323bcabc+−=−，所以3cos3A=−.（2）由3cos3A=−得236sin1

33A=−−=，由sin4sinaAbB=得sinsin6sin426aAABb===，又A为钝角，所以B为锐角，所以2130cos1sin166BB=−=−=，所以6305sin22sincos2663BBB===，2230cos22cos1216BB=

−=−23=，所以()sin2BA+sin2coscos2sinBABA=+5326261533339−=−+=.【点睛】关键点点睛：利用正弦定理和余弦定理求解是解题关键.17.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ABAD

⊥，//BCAD，点M是棱PD上一点，且2ABBC==，4ADPA==．（1）若:1:2PMMD=，求证：//PB平面ACM；（2）求二面角ACDP−−的正弦值；（3）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为63，求MD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）63；（

3）22MD=【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点N，连接MN，证明//MNPB；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角正弦值；（3）设(01)MDPD=，用表示点M坐标，利用线面夹角，求得得值及MD得长.【详解】（1）证明：如图，连接BD交AC于点N，连接MN

，//BCAD，12BNBCBDAD==，又:1:2PMMD=，//MNPB，又MN平面ACM，PB平面ACM//PB平面ACM（2）如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(2,2,0)C，(0,4,0)D，(0,0,4)P(2,2,0)CD=−，(0

,4,4)PD=−，设平面PCD法向量(,,)nxyz=，220440xyyz−+=−=，令1x=，111xyz===，即(1,1,1)n=，又平面ACD的法向量(0,0,1)m=，13cos,33mn==，故二面角ACDP−−的正弦值为2361()

33−=.（3）设(01)MDPD=，()0,4,4MD=−，点(0,4,44)M−，(0,4,44)AM=−，由（2）得平面PCD法向量(2,2,2)n=，且直线AM与平面PCD所成角的正弦值为63224446cos,3(4

)(44)AMn+−==+−，解得12=，即12MDPD=，又224442PD=+=，故1222MDPD==.【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角

，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,mn分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,mn互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心

率为53，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为25．（1）求椭圆C的方程；（2）已知斜率为k的直线l经过点(,0)Aa−，且直线l与椭圆C交于点P（P不在x轴上），若点Q在y轴的负半轴上，APQ是等边三角形，求k的值．

【答案】（1）22194xy+=；（2）439【解析】【分析】（1）记椭圆的右焦点坐标为(),0c，根据题中条件，列出关于,,abc的方程组求解，即可得出,,abc，从而可确定椭圆方程；（2）先由（1）得()30A−,，则直线l的方程为

()3ykx=+，联立直线与椭圆方程，求出222271224,4949kkPkk−−++，设()()0,0Qtt，根据题中条件，得到coscos60APAQPAQ==，解方程组，即可求出结果.【详解】（1）记椭圆的右

焦点坐标为(),0c，因为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为53，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为25，所以有2225312252cabcabc===+，解得325abc===，因此椭圆C的方程为22194xy

+=；（2）由（1）可得()30A−,，则直线l的方程为()3ykx=+，因为直线l与椭圆C交于点P（P不在x轴上），所以0k，将()3ykx=+代入22194xy+=可得()22249336xkx++=，整理得()2222495481360kxkxk+++−=，则22813649PAkxxk

−=+，即228136349Pkxk−−=+，所以22271249Pkxk−=−+，因此()222271224334949PPkkykxkkk−=+=−+=++，即222271224,4949kkPkk−−++，则2

222227122424243,,49494949kkkAPkkkk−=−+=++++uuur所以22222222712242413494949kkAPkkk−+=−++=+++，又点Q在y轴的负半轴上，设()()0,0Qt

t，则()3,AQt=uuur，()()2223009AQtt=−−+−=+，又APQ是等边三角形，所以coscos60APAQAPAQPAQAPAQ===，即222222222419497224149492241

949ktktkkkktk+=+++++=+++则()2222222272241349492241241241494949tktkkkkkkkkk++++==++++++，所以()22121349ktkk+=++，则2221212122749kktkk+−−=+，整理得21

549ktk−=+，代入222241949ktk+=++可得()()()222222224122594949kkkk+=+++，则()()22226414925kkk+=++，整理得422711160kk+−=，解得216

27k=，所以439k=，又215049ktk−=+，所以0k，故439k=.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据APQ是等边三角形，列出方程组coscos60APAQPAQ==，结合直线与椭圆方程，已经两点间距离公式等，化简方程组，即可求解；此

类题目计算量较大，要求考生要具备较强的计算能力.19.已知等比数列na满足3210aa−=，123125aaa=．（1）求数列na的前n项和nS（2）若数列nb满足11b=，且*23111()23nnbb

bbbnnN++++−+=，①求nb的通项公式：②求211niiiab−=．【答案】（1）5(31)6n−（2）①nbn=②55(1)333nn−+【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据等比数列的求和公式可得结果；（2

）根据错位相减法可求得结果.【详解】（1）设等比数列na的公比为q，则211211110125aqaqaaqaq−==，解得1353qa==，所以15(13)(1)3113nnnaq

Sq−−==−−5(31)6n=−.（2）①因为*23111()23nnbbbbbnnN++++−+=，所以2n时，31211231nnbbbbbn−++++=−−，两式相减得1nnnbbbn+=−，即11nnbnb

n++=(2)n，又121bb=−，且11b=，所以22b=，1221bb=，所以11nnbnbn++=*()nN，即11nnbbnn+=+，所以数列{}nbn是常数数列，所以111nbbn==，即nbn=.②由（1）知111533nnnaaq−−==，令nT=211niiiab−

=11233521nnabababab−=++++，即nT=01215555133353(21)33333nn−++++−，即1215(13353(21)3)3nnTn−=++++−，所以2353(1

33353(21)3)3nnTn=++++−，所以()123152123333(21)33nnnTn−−=+++++−−，所以153(13)212(21)3313nnnTn−−−=+−−−，所以52(22)323

nnTn−=−−，所以55(1)333nnTn=−+，即211niiiab−=55(1)333nn=−+【点睛】关键点点睛：掌握等比数列的求和公式以及错位相减法是解决本题的关键.20.已知函数()21xfxea

x=−−，()()2ln1gxax=+，aR．（1）若()fx在点(0,(0))f处的切线倾斜角为4，求a的值；（2）求()fx的单调区间；（3）若对于任意[0,)x+，()()fxgxx+恒成立，求

a的取值范围．【答案】（1）0；（2）当0a时，()fx的单调递增区间为R；当0a时，()fx的单调递减区间是(,ln(2))a−，单调递增区间是(ln(2),)a+；（3）1,2−−【解析】【分析】（1）根据()fx在点(0,(0))f处的切线倾斜角为4

，得到()01f=，对()fx进行求导，再求解即可；（2）对函数进行求导，对参数进行分类讨论，即可求得函数的单调区间；（3）构造函数()()()xfxgxx=+−，将原式化为：对于任意[0,)x+，()mi

n0x恒成立，再利用1xex+进行适度放缩，从而判断()x的单调性，找到对应的参数范围即可.【详解】（1）由题意知：()2xfxea=−，()02120feaa=−=−，又()fx在点(0,(0))f的切线倾斜角为4，()fx在点(0,(0))

f的切线的斜率tan14πk==，即()1102fa=−=，解得：0a=；（2）由（1）知：()2xfxea=−，①当0a时，()0fx，()fx在R上为增函数；②当0a时，令()20xfxea=−=，解得：

()ln2xa=，当(,ln(2))xa−时，()0fx，()fx在(,ln(2))a−上为减函数，当(ln(2),)xa+时，()0fx，()fx在(ln(2),)a+上为增函数．综上所述，当0a时，()fx的单调递增区间为R；当0a时，()fx的单调递减区间是(

,ln(2))a−，单调递增区间是(ln(2),)a+；（3）对任意的[0,)x+，()()fxgxx+恒成立，即()()0fxgxx+−恒成立，将()(),fxgx代入，并整理得：e2[ln(1)](1)0xaxxx++−−+，设()=e

2[ln(1)](1)xxaxxx++−−+，则原式等价于对任意的[0,)x+，min()0x恒成立，则2()=e(21)1xaxax+−++，下面证明：1xex+，令()1xgxex=−−，则()1xgxe=

−，令()10xgxe=−=，解得：0x=，当(,0),()0xgx−，()gx单调递减；当(0,),()0xgx+，()gx单调递增；故()(0)0gxg=，即1xex+，2()=e(21)1xaxax+−++2

1(21)1axax++−++22212(21)(21)2=11xxaaaxxxaxxx+++−+−++−=++(12)=1xxax+−+，①当12a时，()0x在)0,+上恒成立，()x在)0,+上单调递增，min()(0)00

x==恒成立，即()()fxgxx+，对[0,)x+恒成立．②当12a时，1xex+，1xex−−，即11xex−，在0,1x成立，故当(0,1)x时，2()=e(21)1xaxax+−+

+12(21)11aaxx+−+−+22(21)(21)1axaxx+−−=−，21(0,)(0,1)21axa−+Q时，()0x，知()x在21(0,)21aa−+上为减函数，()(0)0x=，即在21(0,)21aa−+上，不存在a使得不等式()()fxgxx+对

任意0x恒成立．综上所述：实数a的取值范围是1,2−−．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对参数的分类讨论以及应用1xex+对函数进行放缩.