【文档说明】湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高二上学期入学自主检测数学试题.docx，共(5)页，72.915 KB，由小赞的店铺上传

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长沙市周南中学2024年秋季数学学科高二入学自主检测试题卷一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.下面四个条件中，使𝑎>𝑏成立的必要而不充分的条件是（）A.𝑎>𝑏+1B.𝑎>𝑏−1C.𝑎2>𝑏2D.𝑎3

>𝑏32.若某银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上输入密码时,忘记了密码的最后1位数字，如果某人记得密码的最后1位是偶数，那么这个人不超过2次就输对密码的概率为（）A.15B.14C.25D.5123.已知水平放置的△𝐴

𝐵𝐶的直观图△𝐴′𝐵′𝐶′（斜二测画法）是边长为√2𝑎的正三角形，则原△𝐴𝐵𝐶的面积为（）A.√2𝑎2B.√32𝑎2C.√62𝑎2D.√6𝑎24.已知向量𝑎⃗,𝑏⃗⃗为单位向量,𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=0,若�

�⃗=3𝑎⃗+4𝑏⃗⃗,求𝑐⃗与𝑏⃗⃗所成角的余弦值为()A.−45B.35C.45D.−355.纯电动汽车是以车载电源为动力,用电机驱动车轮行驶,符合道路交通、安全法规各项要求的车辆,它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影

响较小,逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量𝐶、放电时间𝑡和放电电流𝐼之间关系的经验公式：𝐶=𝐼𝜆𝑡，其中𝜆为与蓄电池结构有关的常数（称

为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A时，放电时间为30h；当放电电流为50A时，放电时间为7.5h，则该蓄电池的Peukert常数𝜆约为（）（参考数据：lg⁡2≈0.301,lg⁡3≈0.477)A.1.15B.2.88C.3.87D.5.56.降水量是

指水平地面上单位面积降雨水的深度，用上口直径为38cm，底面直径为24cm,深度为35cm的圆台形水桶（轴截面如图所示）来测量降水量,若在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的⁡27，则本次降雨的降水量为（精确到1mm）（）A.44mmB.23mmC.22mmD.

47mm7.在𝐑上定义的函数𝑓(𝑥)是偶函数,且𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)，若𝑓(𝑥)在区间[1,2]上是减函数，则𝑓(𝑥)()A.在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B.在区间[0,1]上是增函

数,在区间[3,4]上是减函数C.在区间[0,1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[0,1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数8.如右上图,在棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中,已知𝑃,𝑀分别为线段𝐵𝐷1,�

�𝐵1上的动点,𝑁为𝐵1𝐶的中点,则△𝑃𝑀𝑁的周长的最小值为（）A.1+√22B.√4+2√22C.1+√32D.√4+√32二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分）

9.一组样本数据𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥6,其中𝑥1是最小值,𝑥6是最大值,则()A.𝑥2,𝑥3,𝑥4,𝑥5的平均数等于𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥6的平均数B.𝑥2,𝑥3,𝑥4,𝑥5的第60百分位数等于𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥6的第60百分位数C.𝑥2,𝑥3,𝑥4,𝑥5的

标准差小于𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥6的标准差D.𝑥2,𝑥3,𝑥4,𝑥5的极差不大于𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥6的极差10.在棱长为2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中,M为𝐵𝐶边的中点,下列结论正确的有（）A.𝐴𝑀与𝐷1𝐵1所成角的余弦值为√1

010B.过三点𝐴、𝑀、𝐷1的截面面积为112C.四面体𝐴1𝐶1𝐵𝐷的内切球的表面积为𝜋3D.E是𝐶𝐶1边的中点,F是𝐴𝐵边的中点,过E、M、⁡F三点的截面是六边形.11.已知定义在𝐑上的奇函数𝑓(

𝑥)，当𝑥<0时，𝑓(𝑥)=𝑥ln⁡(−𝑥)，则下列说法正确的是（）A.𝑓(0)=0B.𝑥>0时,𝑓(𝑥)=𝑥ln⁡(𝑥)C.𝑓(𝑓(1e))=−1eD.函数𝑓(𝑥)有且只有3个零点三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知一个正六棱柱的底面边长是2√3,高为4,则这个正六棱柱的体积是・13.如图,在V𝐴𝐵𝐶中,𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线,𝐸为𝐴𝐷的中点,若𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则𝜆=・14.若𝑎co

s⁡(𝜋−𝐴)+𝑏sin⁡(𝜋2+𝐵)=0,内角𝐴,𝐵的对边分别为𝑎,𝑏,则三角形𝐴𝐵𝐶的形状为・四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.(本题共13分)如图,设𝑂𝑥,𝑂𝑦

是平面内相交成60∘角的两条数轴,𝑒⃗1,𝑒⃗2分别是x轴,y轴正方向同向的单位向量,若向量𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝑒⃗1+𝑦𝑒⃗2,则把有序数对(𝑥,𝑦)叫做向量𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗在

坐标系𝑥𝑂𝑦中的坐标,即𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦).(1)若𝑎⃗=(1,−1),求|𝑎⃗|的值;(2)若𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1),𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥2,𝑦2),证明𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥1

𝑥2+12(𝑥1𝑦2+𝑥2𝑦1)+𝑦1𝑦2.16.（本题共15分）如图所示，已知在四棱雉P−ABCD中，CD//AB,AD⊥AB,BC⊥PC，且𝐴𝐷=𝐷𝐶=𝑃𝐴=12AB=1.(1)求证:平面PBC⊥平面PAC;(2)若点𝑀是线段𝑃𝐵的中点,且𝑃𝐴⊥𝐴𝐵,求

四面体MPAC的体积.17.(本题共15分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−𝑏1+𝑥2是定义在⁡[−1,1]上的奇函数,且⁡𝑓(1)=−1.(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式;(2)判断𝑓(𝑥)在[−1,1]上的单调性,并用单调性定义证明;(3)解不等式𝑓(𝑡−

1)+𝑓(𝑡2)>𝑓(0).18.(本小题17分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,已知cos⁡𝐴1+sin⁡𝐴=sin⁡2𝐵1+cos⁡2𝐵.(1)若𝐶=2𝜋3，求𝐵；(2)求2𝑎2+𝑏2𝑐2的最小值

.19.(本小题17分)代数基本定理：任何一个𝑛(𝑛∈𝐍∗)次复系数多项式方程𝑓(𝑥)=0至少有一个复根.由此可得如下推论：推论一：任何一元𝑛(𝑛∈𝐍∗)次复系数多项式𝑓(𝑥)在复数集中可以分解为𝑛个一次因式的乘积；推论二

：一元𝑛次多项式方程有𝑛个复数根，最多有𝑛个不同的根。即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等。推论三：若一个𝑛次方程有不少于𝑛+1个不同的根，则必有各项的系数均为0。已知𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥2.

请利用代数基本定理及其推论解决以下问题:(1)求𝑓(𝑥)−2𝑥3−2𝑥2−𝑥=0的复根;(2)若∃𝑎,𝑏∈𝐑,使得关于𝑥的方程𝑓(3𝑎−𝑥)=𝑏−𝑓(𝑥)至少有四个不同的实根,求𝑎,𝑏的值;(3)若𝑓(𝑥)的图

像上有四个不同的点𝐴,𝐵,𝐶,𝐷,以此为顶点构成菱形𝐴𝐵𝐶𝐷,设𝐴(𝑎,𝑓(𝑎)),𝐵(𝑏,𝑓(𝑏)),求代数式(𝑎2+23𝑎−29)(𝑏2+23𝑏−29)的值