【文档说明】上海市金山区2021届高三下学期4月质量监控（二模）数学试题 含答案.doc，共(10)页，751.500 KB，由小赞的店铺上传

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金山区2020学年第二学期质量监控高三数学试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．已知集

合1,2,3,4A=，集合2,3,Bm=，若2,3,4AB=，则m=z=．2．若关于,xy的二元一次方程组的增广矩阵为204012，则xy−=z=．3．不等式xx−1≥0的解集为z=．4．若直线l的参数方程为224xtyt==−+（t为

参数，tR），则l在y轴上的截距为z=．5．若iii2+=+ba（a、bR，i为虚数单位），则a+b=z=．6．某圆锥的底面积为4，侧面积为8，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为．7．若正方形ABCD的边长为

1，记ABa=，BCb=，ACc=，则23abc+−=z=．8．一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3个球，则摸出的3个球中至少有一个是白球的概率为_______（结果用最简分数表示）．9．若首项为1、公比为13的无穷等比数列的各

项和为S，nS表示该数列的前n项和，则12lim()nnSSSnS→+++−的值为z=．10．函数1)3(log−+=xya（a>1且a≠1）的图像恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0，其中m>0，n>0，则nm

21+的最小值为．11．若函数20212021()(1sin)(1sin)fxxx=++−，其中6≤x≤32，则()fx的最大值为z=．12．已知向量a与b的夹角为60º，且2||2||==ab，若bac+=，其中22=+，则向量a在c上的投影的取值范围为z=．二、选择题（本大题共4小

题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．函数xy2cos2=（xR）的最小正周期为()．(A)2π(B)π(C)π2(D)π414

．下列命题为真命题的是()．(A)若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直(B)若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行(C)若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直(D)若直线l上的不同两点到平面α的

距离相等，则直线l与平面α平行15．设A、B为圆221xy+=上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x–4y–15=0上一动点，则||PAPB+的最小值为()．(A)3(B)4(C)5(D)616．已知定义在

实数集R上的函数()fx满足21(1)()()2fxfxfx+=+−，则(0)(2021)ff+的最大值为()．(A)12(B)32(C)212−(D)21+2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小

题满分5分，第2小题满分9分)随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A-B-C-A为某区的一条健康步道，AB、AC为线段，BC是以BC为直径的半圆，AB=32km，AC

=4km，6=BAC．(1)求BC的长度；(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A-D-C（B，D在AC两侧），其中AD，CD为线段.若3=ADC，求新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加多少长度？（精确到0.01km

）18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)在长方体1111ABCDABCD−中，2ABBC==，过1A、1C、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCDACD−，且这个几何体的体积为10．(1)求棱1AA的长；(2)求点D到平面11ABC

的距离．19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知抛物线2:8yx=的焦点为F，半径为1的圆M的圆心位于x轴的正半轴上，过圆心M的动直线l与抛物线交于A、B两点，如图所示．(1)若圆M经过抛物线的焦点F，且圆心位于焦点的右侧，ABCD1A1C1D求圆M的方程；(2

)是否存在定点M，使得11||||MAMB+为定值，若存在，试求出该定点M的坐标，若不存在，则说明理由．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)在数列{}na中，已知12a=，112nnnnaaaa++=−(*nN)．(1)证明：数列11na−

为等比数列；(2)记12nnnnaab+=，数列{}nb的前n项和为nS.求使得1.999nS的整数n的最小值；(3)是否存在正整数m、n、k，且mnk，使得ma、na、ka成等差数列？若存在，求出m、n、k的值；若不存在，请说明理由．21．(本题满分18分，

第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分)设m为给定的实常数，若函数()yfx=在其定义域内存在实数0x，使得00()()()fxmfxfm+=+成立，则称函数()fx为“()Gm函数”．(1)若函数()2xfx=为“(2)G函数”，求实数0x的值；(2)若函数2()lg1afxx=

+为“(1)G函数”，求实数a的取值范围；(3)已知()fxxb=+(bR)为“(0)G函数”，设()|4|gxxx=−.若对任意的12,[0,]xxt，当12xx时，都有2211()()2()()gxgxfxfx−−成立，求实数t的最大值．金山区2020学年第二学期期中考试高三数学试

卷评分参考答案(满分：150分，完卷时间：120分钟)一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．4；2．0；3．{x|0≤x<1}{或)1,0[}；4．–2；5．1；6．3；7．5；8．2120；9．43

−；10．8；11．22021；12．]1,21(−．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．B；14．B；15．C；16．D．三、解答题（本大题共有

5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分)解：(1)联结BC，在△ABC中，由余弦定理可得，2232cos1612242322BCACABACABBA

C=+−=+−=，…………………………3分所以BC==1221，即BC的长度为(km)；…………………………………………………5分(2)记AD=a，CD=b，则在△ACD中，由余弦定理可得：163cos222=−

+abba，即2216abab+−=，……………………………………………………7分从而221()166323ababab+++=+，所以21()164ab+，8ab+，当且仅当4ab==时，等号成立；……………………………11分新建健康步道ADC−−的最长路程为8(km)，又39

.1328−−(km),………………………13分故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加1.39(km)．…………14分18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)解：(1

)设，由题设111111111110ABCDACDABCDABCDBABCVVV−−−=−=，………………………………………2分得1111103ABCDABCShSh−=，即1122221032hh−=，解

得3h=．………………………5分故1AA的长为3；……………………………………………………………………………………………6分(2)以点D为坐标原点，射线DA、DC、1DD分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．由已知及（1），可知(0,

0,0)D，1(2,0,3)A，(2,2,0)B，1(0,2,3)C，……………………………………9分设(,,)nuvw=是平面11ABC的法向量，则1nAB⊥，1nCB⊥，其中1(0,2,3)AB=−，1(2,0,3)CB=−，则由1

10,0,nABnCB==即230,230.vwuw−=−=解得32vw=，32uw=，取2w=，得平面11ABC的一个法向量(3,3,2)n=，且||22n=；……………………………………………………12分在平面A1BC1上取点C1，可得向量

1(0,2,3)DC=，于是点D到平面11ABC的距离1||62211||nDCdn==．………………………………………………………………………………………14分注：若利用体积等积法来解，则相应给分．19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)解：(1)抛物线的焦点为(2,

0)F，则圆心M为(3,0)，……………………………………………4分故圆M的方程为22(3)1xy−+=，……………………………………………………………………6分(2)假设存在定点(,0)Mm(0m)满足题意，设直

线:lxmty−=，联立28xxmtyy=−=，消去x，得2880ytym−−=，………………………………………………9分设11(,)Axy、22(,)Dxy，则121288yytyym+==−，…………………………

…………………………10分22222211221222121212122222121212111111||||()()1||1||()4||||||6432.1||||1||1||18MAMBxmyxmytytyyyyyyyyytmtyytyytyy

tm+=+=+−+−++++−+−+====++++当且仅当6432m=，即2m=时，111||||2MAMB+=为定值，………………………………13分故存在(2,0)M，使得11||||MAMB+为定值．……………………………

………………………14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)(1)证明：由112nnnnaaaa++=−，得121nnnaaa+=+，从而11111222nnnnaaaa++==+

，11111111222nnnaaa+−=−=−，又021111−=−a，故数列11na−为等比数列；…………………………………………………4分(2)解：由(1)得，111111222nnna−

−=−=−，故221nnna=−，所以11112222(21)(21)2121nnnnnnnnnaab++++===−−−−−，……………………………………………6分1223112222222221212121212121nnnnS++=−+−++−=−

−−−−−−−，令1221.99921n+−−，则122001n+，解得2log200119.97n−，故使得1.999nS的整数n的最小值为10；………………………9分(3

)解：假设存在正整数m、n、k满足题意，则2nmkaaa=+，即2222212121nmknmk=+−−−，即12(21)(21)(21)(21)2(21)(21)nmmknkkmnm−+−−−=−−+

−−(1)……………………………12分由mnk得，2km−，21nm−+；所以(21)(21)nk−−为奇数，而12(21)(21)nmmk−+−−、2(21)(21)kmnm−−−均为偶数，故(1)式不能成立；即不存在正整数m、n、k，且m<n<k，使得ma、na、ka成等差数列.

…………………………16分21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分)解：(1)由()2xfx=为“(2)G函数”，得00(2)()(2)fxfxf+=+即0022222xx+=+，解得024log3

x=，故实数0x的值为24log3；…………………………………4分(2)由函数2()lg1afxx=+为“G(1)函数”可知，存在实数0x，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)，2200lglglg(1)112aaaxx=

++++，即22200(1)12(1)aaxx=+++；…………………………………………6分由201ax+，得0a,整理得200(2)2220axaxa−++−=.①当2a=时，012x=−，符合题意；②当2a时，由244(2)(22)0aaa=−−−，即2640aa−+

，解得3535a−+且2a；……………………………………………………………………8分综上，实数a的取值范围是[35,35]−+；…………………………………………………………9分(3)由()fxxb=+为“(0)G函数”，得00(0)()(0)fxfxf+=+，即(0)0f=，从而0

b=，()fxx=，………………………………………………………………10分不妨设12xx，则由2211()()2()()gxgxfxfx−−，即2112()()2gxgxxx−−，………………………………

…12分得1122()2()2gxxgxx−−，令()()2Fxgxx=−，则()Fx在区间[0,]t上单调递增，……………………………………………14分又22426,()|4|,24xxxxxFxxxxx−=−−−=,……………………………

………………………………16分如图，可知01t，故实数t的最大值为1.………………………………………………………18分