【文档说明】海南省北师大万宁附中2021高二上学期期中考试数学试卷 含答案.doc，共(13)页，1.105 MB，由小赞的店铺上传

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1北师大万宁附中2020-2021学年上学期高二期中考试数学试题（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分）1．已知215Axx=−，3,4,5,6B=，则AB=（）A．3B．C．

3,4,5,6D．4,5,62．若复数Z满足()12Zi+=，则Z=（）A．1i−B．2C．1i+D．23．已知直线(21)20axay++−=在两坐标轴上的截距相等，则实数a=（）A．13−B．1C．13−或1−D．1−4．命题“1a=”是命题“直线10

xay+−=和直线20axy++=平行”的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知(1,0,1)a=，(,1,2)bx=，且3=ab，则向量a与b的夹角为

（）A．56B．23C．3D．66．若圆22:5Cxym+=−与圆22:(3)(4)16Exy−+=−有三条公切线，则m的值为（）A．2B．3C．4D．67．若直线()2200,0axbyab−+=过圆222410xyxy++−+=的圆

心，则91ab+的最小值是（）A．10B．16C．233D．208．设函数()fx的定义域为R，满足(1)2()fxfx+=，且当(0,1]x时，()(1)fxxx=−.若对任意(,]xm−，都有8()9fx−，则m的取值范围是（）

A．9,4−B．7,3−C．5,2−D．8,3−2二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分）9．已知函数()2sin23fxx=−，xxxg+−=11ln)(则下列说法正确的是（）A．函数()fx的最小正周期为B．函数

()fx的对称中心为,062k+()kZC．函数)(xg的定义域为()(),11,−−+UD．函数)(xg是奇函数10．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋

各摸出一个球，下列结论正确的是（）A．2个球都是红球的概率为16B．2个球不都是红球的概率为13C．至少有1个红球的概率为23D．2个球中恰有1个红球的概率为1211．已知直线1:2310lxy+−=和2:4690lxy+−=，若直线l到直线1l的距离与到直线2l的距离之比为1:2，则直

线的方程为（）A．2380xy+−=B．4650xy++=C．69100xy+−=D．1218130xy+−=12．已知正四棱柱1111ABCDABCD−的底面边长为1，12AA=，则（）A．1//DC平面11ABCB．异面直线1AB与AC所成角的余弦值为45C．AC

⊥平面11BBDDD．点1B到平面11ABCD的距离为255三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．已知函数f(x)=3log,02,0xxxx，则19ff的值为.14．若点()1,1P为圆()2239xy−+=的弦MN的中点，则弦MN所在

直线方程为.315．已知tan2=，则cos22+=.16．已知圆221:2880Cxyxy++−+=，若圆2C与圆1C关于直线2yx=−+对称，且与直线:20lmxym++−=交于A

、B两点，则AB的取值范围是．四、解答题（共6题，17题10分，18—22题每题12分，共70分）17．（10分）已知两圆221:210240Cxyxy+−+−=和222:2280Cxyxy+++−=．（1）求圆1C和2C公共弦的长度；（2）求经过原点以及圆1C和圆2C交点的圆的方程．18．（1

2分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.（1）写出图（1）表示的

市场售价与时间的函数关系式()ft；写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式()gt；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天.）19．（12分）如图，在多边形ABPCD中（图1）．四边形ABCD为长方形

，BPC△为正三角形，3AB=，32BC=，现以BC为折痕将BPC△折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好是AD的中点（图2）．（1）证明：AB⊥平面PAD；（2）若点E在线段PB上，且13PEPB=，求二面角EDCB−−的余弦值．420．（12分）在①BcbCsin3)cos1(=+；②3

sincos3bCacB=−这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______.（1）求角C；（2）若7c=，13ab+=，求

ABC的面积.21．（12分）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kWh），并将得到数据按如下方式分为9组：[0,40)，[40,80)，…，[320,360]，绘

制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在[160,200)的用户数量；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民

缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数，范围用左开右闭区间表示）5（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0,40)和[320,360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，

求走访对象来自不同分组的概率.22．（12分）已知圆心在x轴的正半轴上，且半径为2的圆C被直线3yx=截得的弦长为13.（1）求圆C的方程；（2）若圆内有动弦AB过定点()2,0，O为坐标原点，试求OAB面积的最大值，并写出此时动弦AB所在的直线l

的方程.2020-2021学年度高二数学期中考试卷参考答案一、单选题12345678DBDADCBB二、多选题9101112ABDACDBDACD三、填空题13．1414．210xy−−=15．45−16．27,6四、解答题17．(10分

)已知两圆221:210240Cxyxy+−+−=和222:2280Cxyxy+++−=．（1）求圆1C和2C公共弦的长度；6（2）求经过原点以及圆1C和圆2C交点的圆的方程．【解析】（1）将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为240xy−+=．……………………………………1分将24xy=−代

入圆2C得220yy−=，有10y=，22y=．……………………3分∴1140xy=−=或220{2xy==，交点坐标为()4,−0和()0,2．…………………4分∴两圆的公共弦长为()()22400225−−+−=．………

……………5分（2）设经过原点以及圆1C和圆2C交点的圆的方程为222()()xaybr−+−=，圆1C和圆2C交点坐标为()4,−0和()0,2∴()()222222222{42abrabrabr+=++=+−=，……………………7分得215

abr=−==，……………………9分∴22(2)(1)5xy++−=……………………10分18．(12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市

时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.7（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式()ft；写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式()gt；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天）.【解析】（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为()300,02002300,200300ttfttt−=−……………………3分由图（2）可得种

植成本与时间的函数关系为()()21150100,0300200gttt=−+……………………5分（2）设t时刻的纯收益为()ht，则()()()htftgt=−即()2211175,020020022171025,20030020022ttthtttt−++

=−+−……………………7分当0200t时，配方得到()()2150100200htt=−−+当50t=时，()ht取得区间0,200上的最大值为()50100h=；……………9分当200300t时，配方整

理得到：()()21350100200htt=−−+当300t=时，()ht取得区间(200,300上的最大值为()30087.5h=…………11分综上所述，()ht在区间0,300上的最大值为100，此时50t=……………12分即从2月1日开始的第5

0天时，上市的西红柿纯收益最大.19．(12分)如图，在多边形ABPCD中（图1）．四边形ABCD为长方形，BPC△为正三角形，3AB=，32BC=，现以BC为折痕将BPC△折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好是

AD的中点（图2）．8（1）证明：AB⊥平面PAD：（2）若点E在线段PB上，且13PEPB=，求二面角EDCB−−的余弦值．【解析】（1）作AD的中点O，连接PO，由题知PO⊥平面ABCD．……………………1分因为ABAB

CD，所以POAB⊥，……………………2分又因为ABAD⊥，POABO=，,OPABPAB平面……………………4分所以AB⊥平面PAD．……………………5分（2）取BC的中点F，连接OF，则POOA⊥，PO

OF⊥，OAOF⊥，以O为坐标原点，以OA，OF，OP分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系．……………………6分9则13222OAODBC===，222322OPPBBFOF=−−=，32,0,02D−，32,3

,02C−，2,1,22E()22,1,2ED=−−−，()0,3,0DC=……………………8分设平面EDC的一个法向量为(),,nxyz=则有222030xyzy−−−==，令1x=，所以()1,0,2n=−…

…………………10分易知平面DCB的一个法向量为()0,0,1m=所以225cos,55mnmnmn−===−，……………………11分所以二面角EDCB−−的余弦值为255．……………………12分20．(

12分)在①BcbCsin3)cos1(=+；②3sincos3bCacB=−这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______.（1）求角C；（2）若7c=，1

3ab+=，求ABC的面积.【解析】（1）选择条件①：()1cos3sinCbcB+=，由正弦定理可得()1cossin3sinsinCBCB+=，……………………1分sin0B，1cos3sinCC+=，……………………2分103sincos1CC−=，即2sin16C−=

，所以，1sin62C−=，……………………4分0C，则5666C−−，……………………5分66C−=，解得3C=；……………………6分选择条件②：3sincos3bCacB=−，由正弦定理得3sinsinsinsincos3BCACB=−，

……………………1分()()sinsinsinsincoscossinABCBCBCBC=−+=+=+，…………2分上式可化简为3sinsinsincos3BCBC=，……………………3分sin0B，3sincostan33CCC==，…………………

…5分0C，3C=；……………………6分（2）由余弦定理2222coscababC=+−，可得2249abab+−=，……………………8分又由13ab+=，则()2349abab+−=，……………………10分()249403abab+−==，……………………11分因此，ABC的面积

为11032sinABCSabC==.……………………12分21．(12分)为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的11月均用电量（单位：kWh），并将得到数据按如下方式分为9组：[0,40)，[40,80)，…，[320,360]，绘制得到如下的频率

分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在[160,200)的用户数量；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量

的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数，范围用左开右闭区间表示）（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0,40)和[320,360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走

访对象来自不同分组的概率.【解析】（1）由直方图可得，样本落在[0,40)，[40,80)，[80,120)，[120,160)的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，落在[200,240)，[240,280)，[280,320)，[320,360]的频率分

别为0.09，0.06，0.04，0.01.……………………2分因此，样本落在[160,200)的频率为1(0.020.150.270.230.090.060.040.01)0.13−+++++++=…………………3分样本中用电量在[160

,200)的用户数为2000.1326=.…………………………4分（2）因为0.020.150.270.230.67+++=，0.020.150.270.230.130.8++++=，为了使75%的居民缴费在第一档，只需75%对应的用电量位于[160,200)内，于是0.750.67160401

850.80.67−+−，……………………………………6分12又0.020.150.270.230.130.090.060.95++++++=，所以95%对应的用电量为280.…………………………………………7分所以第二档的范围可确定为(185,280].……………………………8分

（3）由题可知，样本中用电量在[0,40)的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在[320,360]的用户有2户，设编号分别为a，b，则从6户中任取2户的样本空间为：()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4

,1,,1,,2,3,2,4,2,,2,,3,4,3,,3,,4,,4,,,ababababab=，共有15个样本点.…………………………………………………………10分设事件A=“走访对象来自不同分组”，则{(1,),(1,),(2,),(2,),(3,),(3,),(4,),(

4,)}Aabababab=，……………………11分所以()8nA=，从而()8()()15nAPAn==.……………………………………12分22．(12分)已知圆心在x轴的正半轴上，且半径为2的圆C被直线3yx=截得的弦长为13.（1）求圆C的方程；（2）若圆内有动弦AB过定点()2,

0，O为坐标原点，试求OAB面积的最大值，并写出此时动弦AB所在的直线l的方程【解析】（1）由题意，设圆C的方程为22()4xay−+=(0)a，……………………1分则圆心到直线3yx=的距离为32ad=

，……………………2分由圆的性质可得，弦长一半的平方与圆心到直线距离的平方之和等于半径的平方，即22313422a=+，解得1a=，……………………3分所以，圆C的方程为22(1)4xy−+=；………………

……4分（2）设过()2,0的直线为2xny=+，()11,Axy，()22,Bxy，……………………5分13由4)1(2{22=+−+=yxnyx消去x，得()222130nnyy+−+=，……………………6分则1221222131nyynyyn+=−

+=−+，()222116412120nnn=+++=，……………………7分则()()()()()22221212122222222121412441111nnnyyyyyynnnn+−=+−=+=+++++()()2222222244141122241

111nnnnn+−==−=−−+++++，…………………9分令(210,11tn=+，则()221224224yyttt−=−=−−+，显然()224yt=−−+在(0,1t上单调递增，…………………………10分所以当2111tn==+，即0n=时，(

)212224yyt−=−−+取最大值23，…………………………11分此时OAB面积最大，为12max12232Syy=−=；直线l的方程为：2x=.……………………………………………………12分