【文档说明】专题06 奔驰定理及四心的识别（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019必修第二册）.docx，共(13)页，491.036 KB，由管理员店铺上传

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专题06奔驰定理与三角形四心的识别题型一奔驰定理证明：已知O是ABC内的一点，AOBAOCBOC,,的面积分别为AS，BS，CS，求证：0=++•••OCSOBSOASCBA【解答】如图，延长OA与BC边相交于

点D则BCCODACDBODABDCODBODACDBDSSDCBDSSSSSSSSA=−−====ODBCDCOB+BCBDOC=CBBSSS+OB+CBCSSS+OCCBACOABOACODBODCOACODBOABO

DSSSSSSSSSSSOAOD+=++===CBASSSOD+−=OACBASSS+−OA=CBBSSS+OB+CBCSSS+OC0=++•••OCSOBSOASCBA推论:O是ABC平面内的一点，且0=++•••OCOBOAz

yx，则①::::BOCCOAAOBSSSxyz=②BOCABCSxSxyz=++△△【例题】OABCDOABC1、已知点P是ABC所在平面内一点，满足23PAPBPCAB++=，则ABP与ABC面积之比是【解析】（法1）：由23PAPBPCAB++=得，

23()PAPBPCPBPA++=−，即4220PAPBPC−+=，由结论推广得214222ABPABCSS==−+（法2）：由23PAPBPCAB++=得，23()PAPBPCPBPA++=−，即4220PAPBPC−+=，化简得20PAPBPC−

+=，由0PAPBPAPC−++=，得ABPAPC=+，设AB中点为D，则2ABPD=，所以点P在ABC的中位线上，所以12ABPABCSS=2、已知点P是ABC所在平面内一点，满足2530PAPBPC++=，ABCSs=，则PBCS=_______【解析】（法1）：

由结论推广可得，212535PBCABCSS==++，所以5PBCsS=（法2）：由2530PAPBPC++=可得2()3()0PAPBPBPC+++=，设AB，BC中点分别是D,E，得230PDPE+=，所以点P在中位线上，且32PDPE=，所

以22115525PBCDBCABCSSSs===【练习】1．点M在△ABC内部，满足2340MAMBMC++=，则:MNCMABSS=△△____________．【答案】342．设P为ABC△所在平面上一点，且满足34(0)PAPCmABm

+=．若ABP△的面积为8，则ABC△的面积为___________．【答案】14【解析】法一：共线系数和＋分点恒等式+等积变形34(0)777mPAPCABm+=，设H为线段AC上一点，且47AHAC=，则34=777mPAPCABAH+

=，∵PD∥AB，∴7=8144ABPABDABC==△△△SSS法二：奔驰定理推论：O是ABC平面内的一点，且0=++•••OCOBOAzyx，则①::::BOCCOAAOBSSSxyz=；②BOCABCSxSxyz=+

+△△∵()34340PAPCmABmPAmPBPC+=+−+=，∴4144437APCABCABCSSSmm==+−+=△△△题型二三角形四心的识别【四心的概念介绍】(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2)垂心：高线的交

点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。【重心】：若O为△ABC

重心（1）1:1:1::=AOBCOABOCSSS；（2）0OAOBOC++=；（3）动点P满足()OPOAABAC=++，(0)+，，则P的轨迹一定通过ABC△的重心（4）动点P满足sinsinABACOPOAABBACC=+

+，0+（，），则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心（5）重心坐标为：33ABCABCxxxyyy++++，.OCBAOCBA【垂心】：若O为△ABC垂心（1）OAOBOBOCOCOA==（2）222222OABCOBCAOCAB+=+

=+（3）动点P满足coscosABACOPOAABBACC=++，(0)+，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的垂心（4）::tan:tan:tanBOCCOAAOBSSSABC=△△△（

5）0tantantan=++•••OCCOBBOAA.OABCOABC【内心】：若O为△ABC内心（1）::::BOCCOAAOBSSSabc=△△△（2）•••0OAOBOCabc++=（3）动点P满足||||ABA

COPOAABAC=++，[0,),+则P的轨迹一定通过△ABC的内心（4）0||||||||||ACABBCBACACBOAOBOCACABBCCACBBA−=−=−=OCBACBOCBACB【外心】：若O为△ABC外心（1）22

2OAOBOC==；（2）动点P满足2coscosOBOCABACOPABBACC+=++，(0)+，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的外心；（3）若()()()0OAOBABOBOCBCOAOCAC+=+=+=

，则O是ABC△的外心；（4）::sin2:sin2:sin2BOCCOAAOBSSSABC=△△△；（5）02sin2sin2sin=++•••OCCOBBOAA.【奔驰定理与三角形四心向量式】OABCBCOA

BCBC1、O是ABC的重心1:1:1::=AOBCOABOCSSS0=++OCOBOA2、O是ABC的内心cbaSSSAOBCOABOC::::=0=++•••OCOBOAcba3、O是ABC的外

心CBASSSAOBCOABOC2sin:2sin:2sin::=02sin2sin2sin=++•••OCCOBBOAA4、O是ABC的垂心CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan::=0tantantan=++•••OCCO

BBOAA证明：如图O为三角形的垂心，DBCDBADCDA==tan,tanADDBBA:tan:tan==COABOCSS:ADDB:BASSCOABOCtan:tan:=同理得CBSSAOBCOAtan:tan:=，CASSAOBB

OCtan:tan:=CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan::=奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一OCABD【四心的识别相关训练】3．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点

，动点P满足||||ABACOPOAABAC=++，[0,),+则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B构造菱形4．若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△A

BC的三边，满足以下条件0aOAbOBcOC++=,则O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【答案】B奔驰定理5．若O在△ABC所在的平面内,且满足以下条件0||||||||||ACABBCBACACBO

AOBOCACABBCCACBBA−=−=−=,则O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【答案】B构造菱形【四心之垂心】6．已知O是平面上一定点，ABC，，是平

面上不共线的三个点，动点P满足coscosABACOPOAABBACC=++，(0)+，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的()．A．重心B．外心C．内心D．垂心【解析】原式为coscosABACAPABBACC=+等式两边同时乘BC，得coscosAB

BCACBCAPBCABBACC=+==0coscosABBCACBCBCBCABBACC+−，∴0APBCAPBC=⊥7．P是ABC△所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA=

=，则P是ABC△的()A．重心B．外心C．内心D．垂心【解析】()0PAPBPBPCPBPAPCPBCA=−=⊥，其它同理.8．若H为ABC△所在平面内一点，且222222HABCHBCAHCAB+=+=+则点H是ABC△的()A．重心B．外心

C．内心D．垂心【解析】()()22222222=HABCHBCAHABHHCHBCHHA+=+++++得0HAHBHCHAHACB==,即HACB⊥，同理可得,HBACHCBC⊥⊥【四心之重心】9．已知G是A

BC△所在平面上的一点，若0GAGBGC++=，则G是ABC△的()．A．重心B．外心C．内心D．垂心【解析】A重心的性质10．已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足()OPOAABAC=++，(0)

+，，则P的轨迹一定通过ABC△的().A．重心B．外心C．内心D．垂心【解析】()()OPOAABACAPABAC=++=+11．O是△ABC所在平面内一点，动点P满足sinsinABACOPOAABBACC

=++，0+（，），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．重心C．外心D．垂心【解析】nsinsiABACABAChhABBACC=++，h为BC边上的高∴()APABACh=+.【补充】——重心坐标为33ABCABCxxxyyy++++

，【四心之外心】12．已知O是ABC△所在平面上一点，若222OAOBOC==，则O是ABC△的()．A．重心B．外心C．内心D．垂心【解析】外心的性质13．已知O是平面上的一定点，ABC，，

是平面上不共线的三个点，动点P满足2coscosOBOCABACOPABBACC+=++，(0)+，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的()。A．重心B．外心C．内心D．垂心【解析】取BC中点M,则=2OBOCOD+，coscosABACOPODABBACC

−=+,移项后同乘BCcoscoscoscosABACABBCACBCDPDPBCABBACCABBACC=+=+()0DPBCBCBC=−+=，即DPBC⊥14．O是ABC△所在平面上一点，若

()()()0OAOBABOBOCBCOAOCAC+=+=+=，则O是ABC△的()．A．重心B．外心C．内心D．垂心【解析】记AB中点为D，()0OAOBABODAB+=⊥，其它同理