【文档说明】河北省邢台市部分学校2023届高三上学期12月月考数学试卷 含答案.docx，共(15)页，17.947 MB，由小赞的店铺上传

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高三年级数学试题说明：1.考试时间120分钟，满分150分.2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效.第I卷（选择题，共60分）一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.1.已知20221ii1iz+=−−，则在复平面内，其共轭复数z所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D2.已知非零向量,ab的夹角余弦值为13，且()3abb−⊥，则aba+=

（）A.2B.23C.32D.1【答案】A3.已知ABC中，点D为边AC中点，点G为ABC所在平面内一点，则“1233AGABAD=+”为“点G为ABC重心”（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不

必要【答案】C4.已知等差数列na的公差不为10,1a=且248,,aaa成等比数列，则下列选项中错误的是（）A.19232aaaa+=+B.()112nnnnaanaa+−C.12nSnn+=D.1112nSnn++=+【答案】

D5.已知函数()sinπ3cosπ(0)fxxx=−在0,1内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（）A.1023,36B.1023,36C.1713,63

D.1723,66【答案】B6.如图，圆内接四边形ABCD中，,45,2DAABDAB⊥==，22,6BCAD==，现将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（）A.()16216π+B.()2824π+C.()36236π+

D.()36240π+【答案】C7.如图，在平行四边形ABCD中，24==ADAB，120BAD=，动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上，则AMBD的最大值是（）A.33−B.33+C.1243+D.372+【答案】C8.已知函数()()()eln0xfxaaxaaa=−−+，若存在x使

得关于x的不等式()0fx成立，则实数a的取值范围（）A.()20,eB.()e0,eC.()2e,+D.()ee,+【答案】C二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列命题中真命题有（）A.集合2,1,2ABxax=−==∣，若ABB=，则实数a的取值集合为1,2−B.数列na的前n项和为nS，若()*11

1,3nnaaSn+==N，则11,134,2nnnan−==C.若定义域为R的函数()fx是奇函数，函数()1fx−为偶函数，则()20f=D.若230,,AOCABCOAOBOCSS++=分别表示,AOCABC的面积，则:1:6AOCABCSS=△△【答案】CD10.

已知,mn为两条不同的直线，,为两个不同的平面，下列说法错误的是（）A.线段AB为平面外的线段，若AB､两点到平面的距离相等，则ABB.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等C.若,mnn∥，则mD.若,mm⊥⊥，则∥【答案】ABC11.折扇又

名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形AOB，其中150AOB=，222OAOCOD===，点F在弧AB上，且120BOF=，点E在弧CD

上运动（包括端点），则下列结论正确的有（）A.OF在OA方向上的投影向量为32OAB.若OEOCOD=+，则1,62++C.13ODDA=−D.EFEB的最小值是3−【答案】ABD12.如图，在菱形AB

CD中，π2,,3ABABCM==为BC的中点，将ABM沿直线AM翻折到1ABM的位置，连接1BC和1,BDN为1BD的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（）A.面1ABM⊥面1BMCB.线段CN长度的取值范

围为1,3C.直线AM和CN所成的角始终为π6D.当三棱锥1BAMD−的体积最大时，点C在三棱锥1BAMD−外接球的外部【答案】AC第II卷（非选择题，共90分）三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知(),2a=，()3,5b=−，且a与b的夹角为锐

角，则的取值范围是_________________．【答案】10635−且14.在平行六面体1111ABCDABCD−中，以顶点A为端点的三条棱AB、AD、1AA两两夹角都为60，且2AB=，1AD=，12AA=，M、N分别为1BB、11BC的

中点，则MN与AC所成角的余弦值为__________.【答案】5715.已知双曲线221:12010xyC−=的左､右顶点分别为,AB，抛物线22:4Cyx=与双曲线1C交于,CD两点，记直线AC，BD的斜率分别为12,k

k，则12kk为__________.【答案】12−##0.5−16.如图，在棱长均为2的正四面体ABCD中，M为AC中点，E为AB中点，P是DM上的动点，Q是平面ECD上的动点，则APPQ+的最小值是__________.【答案】3336+四､解答题：本大

题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，满足π,33Ba==，6BABC=，过B作BDAC⊥于点D，点E为线段BD的中点.（1）求c；（2）求BEEA

的值.【答案】（1）4（2）10813【小问1详解】依题意，ππ3coscos3326,BABCBABcCac====解得4c=【小问2详解】由余弦定理得22π34234cos133b=+−

=，11sin22ABCSacBbBD==，1313413,222BD=解得6313BD=，所以()BEEABEEDDABEEDBEDA=+=+23631081313BEBEBE====.18.已

知数列na的前n项和为122nnS+=−，等差数列nb满足22322,3babS=+=+.（1）求数列,nnab的通项公式；（2）求数列nnab的前n项和nH.【答案】（1）2nna=，3nbn=（2

）()13326nnHn+=−+【小问1详解】当1n=时，211222aS==−=；当2n时，11(21)(21)2nnnnnnaSS+−=−=−−−=，当1n=时也符合，所以2nna=.由题意2222226ba=+=+=，324

39b=++=，设等差数列{}nb的公差为d，则323dbb=−=，123bbd=−=，故1(1)3nbbndn=+−=.综上2nna=，3nbn=【小问2详解】由（1）知：32nnnabn=，∵1

1223311nnnnnHababababab−−=+++++∴()123132629231232nnnHnn−=++++−+①()2341232629231232nnnHnn+=++++−+②∴−①②得

：123113(22222)32nnnnHn−+−=+++++−即：()()1111112233232232332612nnnnnnHnnn+++++−−=−=−−=−−−，∴()13326n

nHn+=−+.19.为了求一个棱长为2的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体11ACBD为棱长是2的正四面体，且有11111111111133BACBAABDCBCDDACDACBD

VVVVVVV−−−−=−−−−==四面体正方体正方体.（1）类比此解法，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为5,52,35，求此四面体的体积；（2）已知对棱分别相等的四面体称为等腰四面体.小明同学在研究等腰四面体ABCD（设,,ABCDxACB

DyADBCz======）时，给出如下结论：①等腰四面体的外接球半径为22222xyzR++=；②等腰四面体的四个面可以都为直角三角形.聪明的同学们，你认为小明同学研究的结论正确吗？给出理由.【答案】（1）24（2）①正确；②错误；理

由见解析【小问1详解】如图，长方体中的四面体11ABCD是对棱相等的四面体，其中115ADBC==，1152BDAC==，1135ABDC==，设ABa=，ADb=，1AAc=，则222222524525abacbc+=+=+=，解得：236a=，216b=，29c=，则6,4,3abc

===，11111111111111ABCDABCDABCDAABDCBCDBABCDACDVVVVVV−−−−−=−−−−1111116432433ABCDABCDV−===【小问2详解】设长方体同一顶点的三条棱长分别为,,abc，由（1）可知，()22

22222abcxyz++=++，即2222222xyzabc++++=，等腰四面体的外接球就是所在长方体的外接球，所以22222222xyzRabc++=++=，则22222222xyzRabc++=++=，故①正确；假设4个面都是直角三角形，设222xyz+=，则AD是直角三角形ABD

和ACD的斜边，取AD的中点O，连结,OBOC，则2zOBOC==，那么OBOCBC+=，,,OBC三点共线，此时ADBCO=，不能构成四面体，所以等腰四面体的四个面不能都是直角三角形，故②错误.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+

=的左､右顶点分别12,AA，上顶点为B，123cos,5ABAC=−的长轴长比短轴长大4.（1）求椭圆C的方程；（2）斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于,PQ两点（异于点1A），且1111APAQAPAQ

+=−，证明：直线l恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）221164xy+=（2）12(,0)5−证明过程见详解【小问1详解】由题意知：212113coscos22cos15ABAABOABO=

=−=−，因为1ABO为锐角，故15cos5ABO=，由题意知：2222255224babababc=+−==+，解得：4223abc===，故椭圆方程为221164xy+=.【

小问2详解】根据题意，设直线l的方程为,0ykxmk=+，将直线方程与椭圆方程221164xy+=联立可得：222(14)84160kxkmxm+++−=，则222(8)4(416)(14)0kmmk=−−+，即221640km−+.设112

2(,),(,)PxyQxy，则122814kmxxk−+=+，212241614mxxk−=+.因为1111APAQAPAQ+=−，根据向量加法与减法的几何意义可得：11APAQ⊥，则110APAQ=，因为111122(4,),(4,)APxyAQxy=+=+，所以

1112121212(4)(4)(4)(4)()()APAQxxyyxxkxmkxm=+++=+++++221212(1)(4)()160kxxkmxxm=++++++=，也即222224168(1)(4)1601414mkmkkmmkk−−+++++=+

+，整理化简可得：22532480mkmk−+=，解得：125km=或4mk=，此时均满足221640km−+，当125km=时，直线l的方程为1212()55kykxkx=+=+，过定点12(,0

)5−；当4mk=时，直线l的方程为4(4)ykxkkx=+=+，过定点(4,0)−，此时定点与1A点重合，故舍去，综上，直线l恒过定点，定点坐标为12(,0)5−.21.如图1，在边长为4的菱形ABCD中，60DAB=，点,MN分别是边BC，CD的中点，

1,ACBDOACMNG==.沿MN将CMN翻折到PMN的位置，连接,,PAPBPD，得到如图2所示的五棱锥PABMND−.（1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；（2）当四棱锥PMNDB−体积最大时，求点B到面PDG的距离；

（3）在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为2929？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）总有平面PBD⊥平面PAG，证明详见解析（2）4217（3）存在，Q是PA的中点，理由见解析.【小问1详解】折叠前

，因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD⊥，由于,MN分别是边BC，CD的中点，所以//MNBD，所以MNAC⊥，折叠过程中，,,,,MNGPMNGAGPGAGGPGA⊥⊥=平面PAG，所以MN⊥

平面PAG，所以BD⊥平面PAG，由于BD平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAG.【小问2详解】当平面PMN⊥平面MNDB时，四棱锥PMNDB−体积最大，由于平面PMN平面MNDBMN=，GP平面PMN，GPMN⊥，所以

GP⊥平面MNDB，由于AG平面MNDB，所以GPAG⊥，由此以G为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知()()()()()0,0,3,3,2,0,3,2,0,0,1,0,3,2,3PD

BNPB−−=−，设平面PDG的法向量为()111,,mxyz=，则11130320mGPzmGDxy===−=，故可设()2,3,0m=，所以P到平面PDG的距离为4342177mPBm==.【小问3详解】存在，理由如下：()33,0,

0A，()33,0,3PA=−，设()01PQPA=，则()()()0,0,333,0,333,0,33GQGPPQGPPA=+=+=+−=−，平面PMN的法向量为()11,0,0n=ur

，()()333,2,33,3,1,0DQDN=−−=−，设平面QDN的法向量为()2222,,nxyz=，则()()2222222333233030nDQxyznDNxy=−++−==−+=，故可设()21,33,31n=−−+，设平面QDN与平面

PMN所成角为，由于平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为2929，所以()()()1222212129cos2913331nnnn−===−+−++，解得12=或3=（舍去），所以当Q是PA的中点时，平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为2929.22.已知函数(

)()23ln,22,fxaxxgxxaxa=+=−+R.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若()120,,2,1xx+−−，使得()()122fxgx„，求实数a的取值范围.【答案】（1）单调性见解析（2

）(()2,2e0,−−+【小问1详解】由题意知：()fx的定义域为()0,+，()222axafxxxx=+=+，当0a时，()0fx¢>恒成立，()fx\在()0,+上单调递增；当0a时，令()0fx=有2ax=−，故当0,2ax−，

则()0fx；若,2ax−+，则()0fx¢>；()fx\在0,2a−上单调递减，在,2a−+上单调递增；综上所述：当0a时，()fx在()0,+上单调递增；当0a时，()fx在0,2a−上单调递减，

在,2a−+上单调递增.【小问2详解】当0a=时，()0,x+，()2220fxx=；2,1x−−，()3220gxx=+；()()122fxgx恒成立，不合题意；当0a时，取1

12212min,e2ax−=，21x=−，则()()11222111222ln22lne1afxaxxaagx−=++==，符合题意；当0a时，若()10,x+，22,1x−−，使得()()122fxgx，则()()minmax2fxgx≤

；由（1）知：()minln222aaafxfa=−=−−；()322gxxax=−+，()260gxxa=−，()gx在2,1−−上单调递增，()()max1gxga=−=，2ln2aaaa−−，即2l

n22aaa−，ln12a−，解得：22e−a；综上所述：实数a的取值范围为(()2,2e0,−−+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com