【文档说明】【4】2023高考数学基础强化专题训练（四）（参考答案）.doc，共(39)页，6.301 MB，由小赞的店铺上传

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2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案12023高考数学基础强化专题训练（四）函数与导数1.(2022·江苏常州期中)若过点(a，b)可以作曲线y＝lnx的两条切线，则A．eb＜aB．ea＜bC．0＜a＜ebD．0＜b＜ea【答案】C【考点】函数的切

线方程、导数的几何意义【解析】法一：由题意可设切点为(x0，lnx0)，则可得切线方程为y－lnx0＝1x0(x－x0)，因为切线方程过点(a，b)，所以有b－lnx0＝1x0(a－x0)，所以lnx0＋ax0－b－1＝0，所以可得到函数f(x)＝lnx＋ax－b－1有

两个零点，所以f′(x)＝1x－ax2＝x－ax2，令f′(x)＝0，解得x＝a，则函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)，则f(a)＜0，即lna－b＜0，即lna＜b，所以0＜a

＜eb，故答案选C．法二：由题意可知，作出曲线y＝lnx的图象，可得过点(a，b)可以作曲线y＝lnx的两条切线，则点(a，b)在曲线的上方，所以b＞lna，所以a＜eb，又因为曲线y＝lnx有渐近线，所以a＞0，则0＜a＜eb，故答案选C．2.(2022·江苏淮安协作体期中)函

数f(x)＝x2－cosx2x＋2－x部分图象可能为()ABCD2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案2【答案】D【考点】函数的图象识别与判断【解析】由题意可知，f(－x)＝x2－cosx2－x＋2x＝f(x)，则函数

f(x)为偶函数，则排除选项B，C，又f(0)＝0－11＋1＝－12＜0，则排除选项A，故答案选D．3.(2022·江苏淮安协作体期中)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x

)的导数，若方程f′(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若f(x)＝13x3－12x2＋3x－512，请你根据这一发现，求：(1)函数

f(x)的对称中心为；(2)计算f(12022)＋f(22022)＋f(32022)＋…＋f(20212022)＝．(两个全对给5分，对一个给3分)【答案】(12，1)；2021【考点】双空题：新情景问题下的函数的性质应用【解析】由题意可知，f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，令f″

(x)＝0，解得x＝12，且f(12)＝1，则函数f(x)的对称中心为(12，1)；由函数f(x)的对称中心为(12，1)可知，f(x)＋f(1－x)＝2，所以f(12022)＋f(22022)＋f(32022)＋…＋f(20212022)＝2×1

010＋1＝2021．4.(2022·江苏南通市区期中)设函数f(x)的定义域为R，f(x)为偶函数，f(x＋1)为奇函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝a·2x＋b，若f(0)＋f(1)＝－4，则f(72)＝．【答案】4－42【考点】函数的性质综合应用【解析

】由题意，因为f(x＋1)是奇函数，f(x)是偶函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，则x＝0时，f(1)＝－f(1)，2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案3则f(1)＝0，由

f(0)＋f(1)＝－4，可得f(0)＝－4，即f(2)＝－f(0)＝4，则f(1)＝2a＋b＝0f(2)＝4a＋b＝4，解得a＝2，b＝－4，所以f(72)＝f(72－4)＝f(－12)＝－f(－12＋2)＝－f(32)＝－(2×232－4)＝4－42．5

.(2022·江苏南通如东县期中)定义在R上的奇函数f(x)的图象光滑连续不断，其导函数为f′(x)，对任意正实数x恒有xf′(x)＞2f(－x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(log3(x2－1))＋g(－1)＜0的解集

是()A．(0，2)B．(－2，2)C．(－3，2)D．(－2，－1)∪(1，2)【答案】D【考点】函数与导数：构造新函数解不等式【解析】由题意可知，对任意正实数x恒有xf′(x)＞2f(－x)，即xf′(x)＞2f(－x)＝－2f(x)，则xf′(x)＋2f(x)＞0，

所以g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)+xf′(x)]＞0，又因为定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断且g(x)＝x2f(x)，∴函数g(x)是在R上单调递增的奇函数，由g(log3（x2－1))＋g(－1)＜0，所以g(

log3(x2－1))＜－g(－1)＝g(1)，所以log3(x2－1)＜1且x2－1＞0，解得：x∈(－2，－1)∪(1，2)，故答案选D．6.(2022·江苏南通如皋市期中)设x，y，z∈R，已知lnxx＝yey＝lnz

ez，若0＜x＜1，则A．x＞y＞zB．z＞x＞yC．x＞z＞yD．y＞z＞x【答案】C【考点】比较大小【解析】由题意可知，因为0＜x＜1，所以lnx＜0，则lnxx＝yey＝lnzez＜0，则y＜0，0＜z＜1，因为lnxx

＝lnzez，所以lnxlnz＝xez＜1，则lnx＜lnz，所以x＞z，则x＞z＞y，故答案选C．7.(2022·江苏泰州市泰兴期中)已知实数a，b满足e2021－a－a＝0，e2－lnb－lnb－2019＝0，则ab＝▲．【答案】e2【考点】构造新函数求

值【解析】由已知条件特点可构造新函数f(x)＝e2021－x－x，则f′(x)＝－e2021－x－1＜0，则函数2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案4f(x)在R上单调递减，而e2021－a－a＝f(a)，且f(lnb＋2019)＝e2－lnb－lnb－20

19，所以f(a)＝f(lnb＋2019)＝0，解得a＝lnb＋2019，所以e2－lnb＝a，则2－lnb＝lna，即lnab＝2，则ab＝e2．8.(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)已知函数f(x)＝ln1－x1＋x＋2，则关于x的不等式f(2x

－1)＋f(2x)＞4的解集为A．(0，14)B．(14，12)C．(－，14)D．(14，＋)【答案】A【解析】【分析】根据题意，设()1ln1xgxx−=+分析函数()gx的奇偶性以及单调性，据此可得()()

()()21221242121211121xxfxfxgxgxxx−−−+−−−−−−，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数()1ln21xfxx−=++，设()1ln1xg

xx−=+，则有101xx−+，解可得11x−，即函数的定义域为()1,1−，关于原点对称，又由()()11lnln11xxgxgxxx+−−==−=−−+，即函数()gx为奇函数，设11xtx−=+，则lnyt=，12111xtx

x−==−++，在()1,1−上为减函数，而ylnt=在()0,+上为增函数，故()1ln1xgxx−=+在区间()1,1−上为减函数，()()()()()()()()212212212442122121211,121xxfxfxgxgxgxgxgxgxxx−−−+=−+

+−−−−−−−−解可得：104x，即不等式的解集为10,4．故选：A9.(2022·江苏南师附中期中)2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案5已知函数f(x)＝xex，x≥ax，x＜a，若存在不相等的x1，x2，x3，满足f(x1)＝f

(x2)＝f(x3)，则实数a的取值范围是．【答案】(0，1)【解析】法一：g(x)＝xex，g'(x)＝1－xex＝0，解得x＝1，则g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g′(0)＝1，

则g(x)在(0，0)处切线为：y＝x，∴0＜a＜1时存在不相等的x1,x2,x3，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3).法二：∵(xex)′＝1－xex，所以xxx在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又x

ex＝x只有一解x＝0，观察到y＝x恰是xex在(0，0)处的切线画出草图可知a∈(0，1)．10.(2022·江苏常州期中)(12分)已知函数f(x)＝xex－1．(1)求函数f(x)的极大值；(2)设实数a，b互不相等，且aeb－

bea＝ea－eb，证明：ab＋a＋b＜0．【考点】函数与导数：函数的极大值、极值点偏移证明不等式【解析】(1)f′(x)＝1－xex－1＝0，x＝1，列表如下：x(－∞，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－f(x)增极大值减所以，当x＝1

时，函数f(x)的极大值为f(1)＝1．………………………4分(2)因为aeb－bea＝ea－eb，2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案6两边同除以ea＋b得：a＋1ea＝b＋1eb．令a＋1＝x1，b＋1＝x2，x1＜x2，转化成x1ex1－1＝x2ex2－1．

…………………5分由(1)知f(x)在(－∞，1)递增，(1，＋∞)递减，当x＞1时，f(x)＞0，当x≤0时，f(x)≤0，不妨设0＜x1＜1＜x2，令t＝x2x1＞1，则x2＝tx1，代入x1ex1－1＝x2ex2－1．解得，x1＝lntt－1，x2＝tl

ntt－1．令s(t)＝lnt－t－1t，有s′(t)＝1t－t－12t(t－1)t＝2－t－1t2t＜0，所以s(t)在(1，＋∞)递减．……………………………………………………10分s(t)max＝s(1)＝0，因为t＞1，所以s(t)＜0，所以t(ln)2＜(t－1)2，所以x1x2＜

1，即(a＋1)(b＋1)＜1，从而ab＋a＋b＜0．……………………12分11.(2022·江苏南京市第一中学期中)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnxx＋a，其中a∈R．(1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围；

(2)设g(x)＝f(x)＋1x，若对任意的x∈(0，＋∞)，都有g(x)≤ex恒成立，求a的取值范围．【考点】函数与导数：函数的零点问题、恒成立问题【解析】(1)令g(x)＝lnxx，则g′(x)＝1－lnxx2，当0＜x＜e时，g′(x)＞0；当x＞e时，g′(x)＜0，所以g(x)在(

0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，当x→0时，g(x)→－∞；当x＝e时，g(x)＝1e；当x→＋∞时，g(x)→0，所以当0＜－a＜1e，即－1e＜a＜0，f(x)有两个零点，∴f(x)有两个零点时，a的范围是(－1e，0

)．(2)∵对任意的x＞0，不等式g(x)≤ex恒成立，∴a≤xex－lnx－1x在(0，＋∞)上恒成立，令F(x)＝xex－lnx－1x(x＞0)，则F′(x)＝x2ex＋lnxx2，令h(x)＝x2ex＋lnx，则h′(x)＝(x2＋2

x)ex＋1x＞0，2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案7∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数，又h(1)＝e＞0，h(1e)＝e1ee2－1＝e1e－2－1＜0，∴∃x0∈(1e，1)，使得h(x0

)＝0，即x02ex0＋lnx0＝0，∴0＜x＜x0时，h(x)＜0，∴F′(x)＜0，∴F(x)在(0，x0)上单调递减；x＞x0时，h(x)＞0，∴F′(x)＞0，∴F(x)在(x0，＋∞)上单调递增，∴F(x)min＝F(x0)＝x0ex0－lnx0－1x0，由x02ex0

＋lnx0＝0，可得x0ex0＝－lnx0x0＝1x0ln1x0＝(ln1x0)eln1x0，令t(x)＝xex，则t(x0)＝t(ln1x0)，又t′(x)＝(x＋1)ex＞0，∴t(x)在(0，＋∞)上单

调递增，∴x0＝ln1x0，∴lnx0＝－x0，∴ex0＝1x0，∴x0ex0＝1，∴F(x)min＝F(x0)＝x0ex0－lnx0－1x0＝1＋x0－1x0＝1，∴a≤1，综上所述，满足条件的a的取值范围

是(－，1]．12.(2022·江苏镇江期中)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝kx2－2x(k∈R)．(1)若y＝f(x)在x＝1处的切线也是y＝g(x)的切线，求k的值；(2)若x∈(0，＋∞)

，f(x)≤g(x)恒成立，求k的最小整数值．【考点】函数与导数：函数的切线方程应用、函数的恒成立问题【解析】(1)由f(x)＝lnx，得f′(x)＝1x，则f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴y＝ff(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－

1．联立y＝x－1y＝kx2－2x，得kx2－3x＋1＝0．由题意，k≠0，且＝(－3)2－4k＝0，解得k＝94；(2)∵x∈(0，＋∞)，f(x)≤g(x)恒成立，2023高考数学基础强化专题训练（四）参

考答案8即kx2－2x－lnx≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，令h(x)＝kx2－2x－lnx．当x＝1时，得k≥2；若k＝2，h(x)＝2x2－2x－lnx，h′(x)＝4x－2－1x＝4x2－2x－1x(x＞0)．4x2－2x－1＝0的正根为1＋54＜1，则h(x)在(1＋54，1)上单

调递增，而h(1)＝0，可得h(x)＜h(1)＝0在(1＋54，1)上成立，与h(x)≥0矛盾；当k≥3时，h(x)＝kx2－2x－lnx≥3x2－2x－lnx在(0，＋∞)上成立．令φ(x)＝x－1－lnx，则φ′(x)＝1－1x＝x－

1x，当x∈(0，1)时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增．∴φ(x)≥φ(1)＝0，即x－1≥lnx，可得k≥3时，h(x)＝kx2－2x－lnx≥3x2－2x－(x－1)＝3x2－3x＋1＝3(x－12)2＋14＞0在(0

，＋∞)上成立．∴k的最小整数值为3．13.(2022年10月湖北六校联合体十月联考数学试卷)2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案914.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考）若a＝sin1＋tan1，b＝2，c＝ln4＋12，则a，b，c的大小关系为()

A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．b＜c＜a2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案1015.（江苏省泰州中学2022-2023学年高三上学期第一次月度检测数学试题）设a＝e0.02－1，b＝2(e0.01－1)，c＝sin0.01＋tan0.

01，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a16.（江苏省苏州市常熟中学2022-2023学年高三上学期第一阶段抽测）若过点()1,At−可以作出3条直线与函数()xxfxe=的图象相切，则t的取值范围为_________.【答案】250,e【解析】法

一：设过()1,At−的直线与()xxfxe=切于000,xxPxe，21()xxxxexexfxee−−==，001xxke−=，∴()fx的切线方程为()000001xxxxyxxee−−=−，∵它过()1,t−，∴

()000200000111xxxxxxxtxteee−+−−=−−=，令21()xxxgxe+−=，2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案11问题转化为此方程有3个不等的实根，即yt=与()

ygx=有3个不同的交点.()()222(21)12()xxxxxeexxxxegxee+−+−−+==，令()01gxx==−或2且当1x−时，()0gx，()gx；当12x−时，()0gx，()gx；当2x时，()0gx

，()gx；作出()gx的大致图象，如下：要使yt=与()ygx=有3个不同的交点，则250te，∴t的取值范围为250,e.法二：拐点1()xxfxe−=，2()xxfxe−=，令()02fxx==，()fx的拐点为222,Pe，且当2x时，()0fx

，()fx为凸函数；当2x时，()0fx，()fx为凹函数，作出()fx大致图象如下：考察()fx在2x=处的切线22221214(2)yxxeeee=−−+=−+，它与1x=−交于251,

Me−.当25te时，由图象知仅能作出一条；当25te=时，能作两条.当250te能作3条；当0t时，最多作2条.2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案12综上：250te.17.（江苏省苏州市常熟中

学2022-2023学年高三上学期第一阶段抽测）（12分）定义：如果函数()yfx=在定义域内存在实数0x，使得()()00()fxkfxfk+=+成立，其中k为大于0的常数，则称点()0,xk为函数()fx的k级“平移点”.（1

）分别求出函数()lngxx=及()()20hxaxa=的2级“平移点”，及再写出一个存在2级“平移点”的函数解析式，并说明理由；（2）若函数()()21lnpxaxax=+−在)1,+上存在1级“平移点”，求实数a的取值范围.（1）设()0,2x为()g

x的一个2级平移点，∴()()002(2)gxgxg+=+()0000ln2lnln222xxxx+=++=，02x=，∴()gx的2级平移点为2.设()1,2x为()hx的2级平移点，∴()()

112(2)hxhxh+=+，∴()22111240axaxax+=+=，∴()hx的2级平移点为0.例如()2Fxx=存在2级平移点，()xGxe=存在2级平移点.（2）∵()px在)1,+上存

在1级“平移点”，∴存在)01,x+使()()001(1)pxpxp+=+()()2200001(1)ln1(1)lnaxaxaxaxa++−+=+−+，()0002(1)ln1(1)ln0axaxax+−+−−=在)01,x+上有解0012

(1)ln10axax+−+=，令1()2(1)ln1Hxaxax=+−+.①当0a时，()Hx在)1,+上，要使()Hx在)1,+有零点，只需()10Hln20ln22a−.②当01a时，()0Hx，()Hx无零点，舍去.

③当1a时，()Hx在)1,+上，要使()Hx在)1,+上有零点，只需()10Hln22(1)ln20ln22aaa+−−矛盾，舍去.2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案13综上：实数a的取值范围为ln2,0ln22−.三

角函数1.(2022·江苏常州期中)已知函数f(n)＝n2cosnπ2(n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝A．5100B．5150C．5200D．5250【答案】A【考点】利用三角函数的性质求和【解析】由题意可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(1

00)＝0－22＋0＋42＋0－62＋0＋82＋0－…－982＋0＋1002＝2(2＋4＋6＋8＋…＋98＋100)＝2×(2＋100)×502＝5100，故答案选A．2.(2022·江苏常州期中)已知θ为锐角，且满足tan3θ

＝4tanθ，则tan2θ的值为．【答案】115【考点】三角恒等变换【解析】由题意可知，tan3θ＝tan(2θ＋θ)＝tan2θ＋tanθ1－tan2θtanθ＝4tanθ，所以tan2θ＝3tanθ－4tan2θtan2θ，则tan

2θ＝3tanθ1＋4tan2θ，又tan2θ＝2tanθ1－tan2θ，所以3tanθ1＋4tan2θ＝2tanθ1－tan2θ，因为θ为锐角，所以tanθ＞0，则解得tanθ＝1111，所以tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝11

5．3.(2022·江苏南通如皋市期中)由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式，对于cos3x，我们有cos3x＝cos(2x＋x)＝cos2xcosx－sin2xsinx＝(2cos2x－1)cosx－2sinxcosxsinx＝

4cos3x－3cosx，可见cos3x也可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cosnx＝Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P.L.Tschebyschelf)多项式．(提示：18°×3＝90

°－18°×2)如图，在等腰△ABC中，已知AB＝54°，AB＝AC，且△ABC的外接圆半径OC＝1，结合上述知识，可得BC＝2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案14A．5＋12B．5－12C．5＋14D．5－14【答案】A【考

点】新情景问题下的三角恒等变换应用【解析】由题意可知，设BC的中点为D，则BC＝2BD＝2OBsin54°＝2sin54°＝2sin(90°－2×18°)＝2cos2×18°，而cos54°＝4cos318°－3cos18°，sin36°＝4cos318°－3cos18°，则2sin18°cos1

8°＝4cos318°－3cos18°，所以2sin18°＝4(1－sin218°)－3，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，解得sin18°＝5－14，所以BC＝2(1－2sin218°)＝2(1－2×6－25＋116)

＝5＋12，故答案选A．4.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考）已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c＝3，3tanAtanB＝3＋tanA＋tanB，则a2＋b2的取值范围为．2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答

案155.（江苏省苏州市常熟中学2022-2023学年高三上学期第一阶段抽测）若存在唯一的实数0,2t，使得曲线sin(0)4yx=−关于直线xt=对称，则的取值范围是（）A.37,44B.37,44

C.37,22D.37,22【答案】C【解析】法一：由题意知42tk−=+，kZ在0,2t上有唯一的实根，3340222ktk+=+，要使实根唯

一.当0k=时，33222k+=，当1k=时，37222k+=，∴3722，选：C.法二：42tk−=+，34kZtk=+，kZ，0,2t，∴34k+只有唯一的值落在0,2中，故有30374272242

，故选C.6.(2022年10月湖北六校联合体十月联考数学试卷)2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案167.（江苏省金陵中学、海安中学2022-2023学年高三上学期10月第二次联考数学试题）在ABC中，内角A，B，C所

对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，若ABDBACDC=．（1）证明：（i）AD平分BAC；（ii）2ADABACDBDC=−；（2）若(1sin)sincos(1cos)BBACBBAC+=+，求abc+的最大值．2023高

考数学基础强化专题训练（四）参考答案17【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）（i）利用正弦定理和ABDBACDC=，得到sinsinCADBAD=，即可得到CADBAD=；（ii）利用余弦定理得

到22222222ABADDBACADDCABADACAD+−+−=，及由（i）得ABDCACDB=，分类讨论：ABAC和ABAC=，分别证明；（2）由(1sin)sincos(1cos)BBACBBAC+=+利用三角公式判断出

ABC是直角三角形，把abc+转化为222()21abababcabba++==+++，利用基本不等式求出abc+的最大值．【小问1详解】（i）在三角形ABD中，由正弦定理得sinsinABDBADBBAD=，即sinsinABADBDBBAD=；在三角形ACD中，

由正弦定理得sinsinACDCADCCAD=，即sinsinACADCDCCAD=.因为ABDBACDC=，所以ABACDBDC=所以nsnsisniiinsADCCADADBBAD=

.因为ADB与ADC互补，所以sinsinADBADC=，所以sinsinCADBAD=.因为A为三角形内角，所以CADBAD+，所以CADBAD=，所以AD平分BAC；（ii）因为CADBAD=，所以，由余弦定理得22222222ABADDBACADDCABAD

ACAD+−+−=，化简得222()()ADACABABACACABDCABDBAC−=−+−，由（i）得ABDCACDB=，代入上式有：2()()ADACABABACACABDCACDBDBABDC−=−+−.2023高考数学基础强化专题训练（四）

参考答案18当ABAC时，消去ACAB−，得：2ADABACDBDC=−，即证.当ABAC=时，ABC为等腰三角形，由三线合一可知，ADBC⊥，且ABAC=.由勾股定理得：222ADABDB=−.

因为ABAC=，ABAC=.所以2ADABACDBDC=−成立.综上所述：2ADABACDBDC=−.【小问2详解】由已知得(1sin)sincos(1cos)BBACBBAC+=+2222sincos2sincoscossin2cos22222BBBBB

ACBACBAC+=−1tan2tantantan224221tan2BBACBACBBACBB−==−+=+，所以ABC是直角三角形，即222cab=+，所以222()212abababcabba++==+++，当且仅

当ab=时取等号，所以abc+的最大值为2．解析几何1.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考）已知椭圆C：x24＋y22＝1上有一点P，F1，F2分别为其左、右焦点，∠F1PF2＝θ，△F1PF2的面积为S，则下列说法正确的有()A．△F1

PF2的周长为4＋22B．角θ的最大值为90°C．若S＝2，则相应的点P共有2个D．若△F1PF2是钝角三角形，则S的取值范围(0，2)2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案192.（江苏省金陵中学、海安中学2022-2023学年高三上学期10月第二次联考数学试

题）已知椭圆C：()222210xyabab+=的右焦点为()2,0F，经过原点O且斜率3k的直线与椭圆C交于A，B两点，AF的中点为M，BF的中点为N．若OMON⊥，则椭圆C的离心率e的取值范围是_________．【答案】2,312−【解析】【分析】设()2,2Amn

，由条件求出,MN的坐标，由条件OMON⊥确定,mn的关系，由3k求出m的范围，结合点A在椭圆上可求a的范围，由此可求椭圆C的离心率e的2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案20取值范围.【详解】设()2,2Amn（不妨设0m，0n）

，则()1,Mmn+，由直线AB过原点和椭圆的对称性可得(2,2)Bmn--，所以()1,Nmn−+−，22220101OMONOMONmnmn⊥=−−=+=2222213333134nknmnmmmmm−所以由点在椭圆上得222244

1mnab+=，结合上述条件可得：222244414mmaa−+=−，化简得()222816aam−=，即()22810164aa−，解得24238a+，所以1322a+，所以22,312ceaa==−．故答案为：2,312

−.3.（江苏省扬州中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2，上顶点为H，O为坐标原点，∠OHF2＝30°，(1，32

)在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设经过点F2且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点P(－2，0)，Q(2，0)．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记△MPQ，△NPQ的面积分别S△MPQ，S△NPQ，求S△MPQS△NPQ的值【答案】（1）22143xy+=

（2）13【分析】（1）由230OHF=，得3bc=，再将点31,2代入椭圆方程中，结合222abc=+可求出,ab，从而可求出椭圆方程，（2）设直线:1lxmy=+，()11,Axy，()22,Bxy

，将直线方程代入椭圆方程消去x，整2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案21理后利用根与系数的关系，可得()121232myyyy=+，表示出直线AP的斜率1112ykx=+，直线BQ的斜率2222ykx=−，而121212MPQNPQPQ

OMSOMkSONkPQON===△△，代入化简即可【小问1详解】由230OHF=，得3bc=（c为半焦距），∵点31,2在椭圆E上，则221914ab+=．又222abc=+，解得2a=，3b=，1c=．∴椭圆E的方程为22143xy+=．

【小问2详解】由（1）知()21,0F．设直线:1lxmy=+，()11,Axy，()22,Bxy．由221143xmyxy=++=消去x，得()2234690mymy++−=．显然()214410m=+．则122634myym−+=+

，122934yym−=+．∴()121232myyyy=+．由()2,0P−，()2,0Q，得直线AP的斜率1112ykx=+，直线BQ的斜率2222ykx=−．又1OMkOP=，2ONkOQ=，2O

POQ==，∴12OMkONk=．∴121212MPQNPQPQOMSOMkSONkPQON===△△．2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案22∵()()()()12121121212121

2221233yxymykmyyykxymyymyyy−−−===+++()()1211212212313122233933222yyyyyyyyyy+−+===+++．∴13MPQNPQSS=△△．4.（江苏省金陵中学、海安中学2022-2023学年高三上学期10月第二次联考数学试题）在一张纸上

有一个圆C：()2254xy++=，定点()5,0M，折叠纸片使圆C上某一点1M好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线1MC的交点为T．（1）求证：TCTM−为定值，并求出点T的轨

迹C方程；（2）设()1,0A−，M为曲线C上一点，N为圆221xy+=上一点（M，N均不在x轴上）．直线AM，AN的斜率分别记为1k，2k，且2114kk=−，求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标．【答案】（1）证明见解析；2214yx−=（2）证明见解

析；定点()1,0【解析】【分析】（1）利用对称性可知TCTM−为定值，结合双曲线定义可得点T的轨迹C方程；（2）直线MN所过定点，则由对称性得定点在x轴上，设定点(),0Tt，三点共线得2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案23MTNTkk=，从而可得定点.【小问1详解】由题意得1TM

TM=，所以1225TCTMTCTMCM−=−==，即T的轨迹是以C，M为焦点，实轴长为2的双曲线，即C：2214yx−=；【小问2详解】由已知得AMl：()11ykx=+，ANl：()21ykx=+，联立直线方程与双曲线方程()()12222211121424014yk

xkxkxkyx=+−−−−=−=，由韦达定理得212144AMkxxk−−=−，所以212144Mkxk+=−，即()1121814MMkykxk=+=−，所以211221148,44kkMkk+−−，联立直线方程与圆方程()()2222222222112101

ykxkxkxkxy=++++−=+=，由韦达定理得222211ANkxxk−=+，所以222211Nkxk−+=+，即()2222211NNkykxk=+=+，因为14ANAMkk=−，即2114kk=−，所

以2112211168,1616kkNkk−+−++，若直线MN所过定点，则由对称性得定点在x轴上，设定点(),0Tt，由三点共线得MTNTkk=，即()()1122222211111122112211884164416161416416kkkkkktkkttkkttkk

−−+=++−=−++=+−+−−−+，所以直线MN过定点()1,0T．2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案24排列组合1.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考）第十三

届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案有()A．72种B．84种C．96种D．124种2.（江苏省金陵中学、海安中学2022-2023学年高三上学期10月

第二次联考数学试题）()()8xyxy−+的展开式中36xy的系数为（）A.28B.28−C.56D.56−【答案】B【解析】【分析】由二项式定理将8()xy+展开，然后得出8()()xyxy−+，即可求出36xy的系数.【详解】由二项式定理：8()()x

yxy−+080171808888()(CCC)xyxyxyxy=−+++080171808080171808888888(CCC)(CCC)xxyxyxyyxyxyxy=+++−+++090181818081172809888888(CCC)(CCC)

xyxyxyxyxyxy=+++−+++观察可知36xy的系数为6523888887876CCCC2821321−=−=−=−.故选：B.2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案25统计概

率1.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考）已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，下列说法正确的有()A．若P(AB)＝0.18，则A，B相互独立B．若A，B相互独立，

则P(B|A)＝0.6C．若P(B|A)＝0.4，则P(AB)＝0.12D．若A⊆B，则P(A|B)＝0.32.（江苏省南京市、镇江市部分学校2022-2023学年高三上学期10月学情调查考试数学试题）已知随机变量X服从正态分布2~(8,)XN，(

10)Pxm=，(68)Pxn=，则142mn+的最小值为____________．【答案】942+##429+【解析】【分析】由正态分布的对称性可知12mn+=，从而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】随机变量X服从正态分布2~(8,)XN，1(

8)2PX=，由(10)Pxm=，(68)(810)PxPxn==，12mn+=，且0,0,mn则14148822)99294222nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=+（）（，当且仅当8nmmn=，即221822,14

14mn−−==时等号成立．142mn+的最小值为942+．故答案为：942+.2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案263.（江苏省南京市、镇江市部分学校2022-2023学年高三上学期10月学情调查考试数学试题）今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较

多.9月19日，中国疾控中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告．我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘

病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家2

00个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接种天花疫苗3060接种天花疫苗2090（1）是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；（2）以样本中结

束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：（3）该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进

行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为()01pp且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确

定为“感染高危家庭”的概率为()fp．求当p为何值时，()fp最大？附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案27()20Pk0.10.050.0100k2.7063.8416.635【答

案】（1）没有（2）189256（3）333p−=时()fp最大【解析】【分析】（1）计算卡方后判断，（2）由组合数与古典概型公式求解，（3）表示出()fp，再由导数判断单调性后求解【小问1详解】假设0H：密切接触者感染猴痘

病毒与未接种天花疫苗无关，依题意有()22200309060206.0616.6359011050150−=，故假设不成立，∴没有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有

关【小问2详解】由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为302012004+=，设随机抽取的4人中至多有1人感染病毒为事件A，则04130144131381108189()CC4444256256256PA

=+=+=，【小问3详解】记事件B为：检测了2名成员确定为“感染高危家庭”；事件C为：检测了3名成员确定为“感染高危家庭”；则2()(1),()(1)PBppPCpp=−

=−()()()()()232111232fppppppppppp=−+−=−−=−+2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案28则()2362fppp=−+令()0fp=则123333,33pp−+==（舍去）随着p的变化，()(),fpfp的变化如下表：p()10

p，1p()1,1p()fp+0−()fp递增极大值递减综上，当333p−=时，()fp最大．4.（江苏省金陵中学、海安中学2022-2023学年高三上学期10月第二次联考数学试题）在检测中为减少检测次数，我们常采取“n合1检测法”，即将n个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样

本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测．现有()*10Nkk人，已知其中有2人感染病毒．（1）若5k=，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；（2）设采取“5合1检测法”的总检测次数为X，采取“10合1检测法”的总检测次数为

Y，若仅考虑总检测次数的期望值，当k为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．【答案】（1）949（2）当19k时，采取10合1检测法更适宜；理由见解析【解析】【分析】（1）平均分为5组，

共检测15可知2个感染者分在同一组，计算所求概率；（2）分类讨论感染者分在同一组和分在不同小组，计算两种方案总检测次数的期望值，进行比较得出结论.【小问1详解】现共有50人，由题意先平均分为5组，检测5次，因为共检测15次，所以两个感染者必定2023高

考数学基础强化专题训练（四）参考答案29分在同一组中，所以共检测15次的概率有两种算法，第一种是分组分配思想，第二种是算一组已经有一名感染者的情况下，选中另一名感染者，即两种算法结果为8101010104840

302010441010101010504030201055CCCCCACCCCCA和848994CC，结果均为949；所以k＝5，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率为949.【小问2详解】当感染者在同一

组时，25Xk=+，10Yk=+，此时31024101C4()C101kkPXk−−==−，81029101C9()C101kkPYk−−==−，当感染者不在同一组时，210Xk=+，20Yk=+，此时4()11

01PXk=−−，9()1101PYk=−−，所以4420()(25)(210)1210101101101EXkkkkkk=+++−=+−−−−，9990()(10)(20)120101101101EYkkkkkk=+++−=+−−−−

，由题意()()21010180019EYkkEXk+−，综上：19k时，采取10合1检测法更适宜．2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案30立体几何1.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期

10月月考）如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是边长为2等边三角形，BC＝2，点E为CD的中点，点M为PE上一点(与点P，E不重合)．(1)证明：AM⊥BD；(2)当AM为何值时，直线AM与平面BDM所成的角最大？2023高考数学

基础强化专题训练（四）参考答案312.（江苏省泰州中学2022-2023学年高三上学期第一次月度检测数学试题）如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8，AB＝AC＝5，O为BC的

中点．侧面BCC1B1为等腰梯形，且B1C1＝CC1＝4，M为B1C1的中点．(1)证明：平面ABC⊥平面AOM；(2)记二面角A－BC－B1的大小为θ，当θ∈[π6，π2]时，求直线BB1与平面AA1C1C所成角的正弦的最大值．2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答

案322023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案333.（江苏省扬州中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）20.如图，在直角POA中，42,==⊥AOPOAOPO，将POA绕边PO旋转到POB的位置，使090=AOB，得到圆锥的一部分，点C为AB上的点，

且13ACAB=.（1）求点O到平面PAB的距离；（2）设直线PC与平面PAB所成的角为，求sin的值.【答案】（1）43（2）15515−【小问1详解】证明：由题意知：,,POOAPOOBOAOBO⊥⊥=，OA平面AOB，OB平面AOB，PO⊥平面AOB，又24POOA==，所以25

,22PAPBAB===，所以()()2212225262PABS=−=，设点O到平面PAB的距离为d，由OPABPOABVV−−=得1116422332d=，解得43d=；向量坐标法同样给分；’【小问2详解】以O为原点，,,OAOBO

P的方向分别为,,xyz轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,2,0,0,0,4ABP，由题意知π6AOC=，则()3,1,0C，所以()()()2,2,0,2,0,4,3,1,4ABAPPC=−=−=−.设平面PAB的法向量为(),,nabc=，则20

23高考数学基础强化专题训练（四）参考答案34220240nABabnAPac=−+==−+=，取1c=，则2ab==，可得平面PAB的一个法向量为()2,2,1n=r，所以232155sincos,1565nPCnPCnPC−−===

=.4.（江苏省南京市、镇江市部分学校2022-2023学年高三上学期10月学情调查考试数学试题）如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点．

（1）求证：//AM平面SCD；（2）求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值；【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）由题意，建立空间直角坐标系，求值直线的方向向量与平面的法向量，根据向量关系，可得线面关系；（

2）由（1），明确平面的法向量，根据向量夹角公式，可得答案.【小问1详解】侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD，所以以点A为坐标原点，AD，AB，AS的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，2023高考

数学基础强化专题训练（四）参考答案35则()0,0,0A，()2,2,0C，()1,0,0D，()0,0,2S，()0,1,1M，所以()0,1,1AM=，()1,0,2SD=−，()1,2,0CD=−−．设平面SCD的一个法向量为(),,n

xyz=，则00SDnCDn==，即2020xzxy−=−−=，令z＝1，则x＝2，y＝－1，此时()2,1,1n=−．因为110AMn=−+=，所以AMn⊥，AM平面SCD.则//AM平面SCD．【小问2详解

】易知平面SAB的一个法向量为()11,0,0n=ur，11n=，由（1）知SCD的一个法向量为()2,1,1n=−，4116n=++=，则11126cos,361nnnnnn===，所以平面SCD与平面SAB所成锐二面

角的余弦值为63．2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案365.（江苏省金陵中学、海安中学2022-2023学年高三上学期10月第二次联考数学试题）已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示，若2ABDG==

，3CF=，π3BAD=．（1）求点D到平面BFG的距离；（2）求锐二面角AECB−−的余弦值．【答案】（1）305（2）64【解析】【分析】（1）求出相关线段的长，利用等体积法即DBFGFBDGCBDGVVV−−−=

=，求得答案；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面BEC和平面AEC的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】设ACBDO=，由已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体,2AB=，

3CF=,π3BAD=,则ABD△为正三角形，2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案37得3CO=，4913BF=+=，24(21)5GF=+−=，4422BG=+=，则222BFGFBG=+,即⊥B

GGF,故1522102BGFS==,12222BDGS==,由已知知GD⊥平面ABCD,CO平面ABCD,故GDCO⊥,又BDCO⊥,,,GDBDDGDBD=平面BDG,故CO⊥平面BDG，又,FCGDGD∥平

面BDG,FC平面BDG,故FC∥平面BDG,即,FC点到平面BDG的距离相等；设点D到平面BFG的距离为d，则DBFGFBDGCBDGVVV−−−==，即1133BFGBDGdSCOS=△△，即3230510BDGBFGCOSdS

===△△；【小问2详解】以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过O平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系，由题意底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体，可知,AEGFAGEF∥∥,即四边形AEFG为平行四边形，5AEGF==，即22251BEBE+==，,

则()3,0,0A，()0,1,0B，()3,0,0C−，()0,1,1E，即()23,0,0AC=−，()3,1,1CE=，()3,1,0BC=−−，设面AEC法向量为(),,nabc=，则2300,030anACnCE

abc−===++=，设1b=，则()0,1,1n=−r，2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案38设平面BEC法向量为(),,mabc=，则300,030abnBCnCEabc−−===++=，设1b=，则1,1

,03m−=，所以16co4423s,nmnmnm===,故锐二面角AECB−−的余弦值为64．数列1.（江苏省金陵中学、海安中学2022-2023学年高三上学期10月第二次联考数学试题）在数

列na中，11a=，22a=，数列nb满足1(1)nnnnbaa+=+−，*nN．若2210nnbb−−=，21262nnnbb++=，*nN，则数列na的前2022项和为_________．【答案】1009152

−【解析】【分析】将数列na的前2022项和分解为奇数项和与偶数项和进行求解.【详解】由已知得2212nnnbaa+=+，212221nnnbaa+++=−，所以22122262nnnnnbbaa+++=+=，即数列na前2022项中偶数项的和为：()()()24681020202

0222410106662222aaaaaaa++++++=++++50510091114412641214−=+=−−.又由已知得2212nnnbaa+=+，21221nnnbaa−−=−，所以2212121n

nnnbbaa−+−==−，即奇数项为公比为－1的等比数列，即121(1)nna−−=−，即前2022项中奇数项和为1；2023高考数学基础强化专题训练（四）参考答案39综上所述，前2022项和为1009152−．故答案为：10

09152−2.（江苏省泰州中学2022-2023学年高三上学期第一次月度检测数学试题）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝12，[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N*．(1)令bn＝b2n－1，判断{bn}是

否为等差数列，并求数列{bn}的通项公式；(2)记数列{an}的前2n项和为T2n，求T2n．