【文档说明】《中考数学典型压轴题大突破（全国通用）》专题08 探索性问题（解析版）.docx，共(59)页，725.534 KB，由管理员店铺上传

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1决战2020年中考典型压轴题大突破模块二中考压轴题几何变换综合专题考向导航在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题。动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题。这类题对学生的能

力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念。此类试题的显著特点是以动手为基础的手脑并用的形式，有助于创新能力的培养和实践能力的提高，改变了以往一只笔一张纸的学习方式，是新课程改革的基本理念之，在

中考中越来越受到关注。常见的有折叠、旋转和平移操作。操作型问题是指通过动手测量作图(象)、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动

手操作、合情合理和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准，特别强调发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于

实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想因此，实验操作问题将成为今后中考的热点题型。专题08探索性问题方法点拨此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明，归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系。此类题目对于考查

学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念。精典例题（2019•商南二模）【问题发现】如图①，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，

则EC+ED的最小值是．【问题研究】如图②，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，试求PM+PN的最小值．【问题解决】如图③，该图是某机器零件钢

构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB长为2米，边框BC长为3米，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，联动杆DE长为2米，联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，点G恰好是DE的中点，点F可在边框BC上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值并说明理

由．2【点睛】（1）作点C关于AB的对称点C'，连接DE，与AB交于点E，连接CE．此时EC+ED＝EC'+ED＝C'D最短，易证DBC'＝90°，C'B＝CB＝2，DB＝1，所以在Rt△DBC'中，C'D2＝12+22＝5，故CD=√5，即EC+ED的最小值是√5；（2）作⊙A

关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B'于M'、N，交x轴于P，连接PA，交⊙A于M，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值

；（3）如图③，延长AD、CE，交于点H，连接GH．易知GE=12DE＝1，所以点G在以H为圆心，1为半径的圆周上运动，作点A关于BC的对称点A'，连接A'H，与BC交于点F，与⊙H交于点G，此时AF+FG＝A'F+FG＝A'G为最短，AB＝2，AH＝BC＝3，A

'B＝2，A'A＝4，所以A'H=√32+42=5，因此A'G＝A'H﹣GH＝5﹣1＝4，即该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值为4．【详解】解：（1）如图①，作点C关于AB的对称点C'，连接DE，

与AB交于点E，连接CE．∴CE＝C'E，此时EC+ED＝EC'+ED＝C'D最短，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°∴∠CBA＝∠CAB＝45°，C'B＝CB＝23∴∠C'BA＝45°，∴∠DBC'＝90°∵，D是BC边的中点，∴DB＝1，在Rt△D

BC'中，C'D2＝12+22＝5，∴CD=√5，∴EC+ED的最小值是√5，故答案为√5；（2）如图②，作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B'于M'、N，交x轴于P，连接PA，交⊙A于

M．则此时PM+PN＝PM'+PN＝M'N最小，∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A'B=√(3+2)2+(4+3)2=√74，∴M'N＝A′B﹣BN﹣A′M'=√74−1﹣3=√74−4∴PM+

PN的最小值为=√74−4；（3）如图③，延长AD、CE，交于点H，连接GH．4∵∠DAB＝∠B＝∠C＝90°∴∠DHE＝90°，∵G是DE的中点，DE＝2，∴GE=12DE＝1，∵联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在

直线上滑动，∴点G在以H为圆心，1为半径的圆周上运动，作点A关于BC的对称点A'，连接A'H，与BC交于点F，与⊙H交于点G，此时AF+FG＝A'F+FG＝A'G为最短，∵AB＝2，AH＝BC＝3，A'B＝2，A'A＝4，∴A'H=√32+42=5，∴A'G＝A'H﹣GH＝5﹣1＝4，所以

该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值为4．巩固突破1．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满

足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为∠EPF＝∠AEP+∠PFC，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠E

PF，∠PFC满足数量关系为∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°．（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝120°．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；5③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠B

EQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2，与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）【点睛】（1）过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解；（2）设：∠

BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β，∠Q＝α+β，∠Q1=12（α+β），∠Q2=14（α+β），…，即可求解．【详解】解：（1）如图1，过点P作PH∥AB，则∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，故答案为

：∠EPF＝∠AEP+∠PFC；同理可得：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；6（2）①∠EPF＝60°，则∠EQF＝150°，故答案为150°；②如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QF

D＝∠PFQ＝β，则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），∠Q＝α+β，即：∠EPF+2∠EQF＝360°；③同理可得：∠Q1=12（α+β），∠Q2=14（α+β），…，∠Q20

18＝（12）2018（α+β），故：∠EPF+22019∠EQ2018F＝360°．2．（2019•江夏区校级模拟）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠AC

D．求证：AP⊥CP；（2）如图（2），若∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；（3）在（1）的条件下，当∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，H为AB上一

动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．【点睛】（1）依据平行线的性质，以及角平分

线的定义，即可得到∠P＝180°﹣90°＝90°，进而得到AP⊥CP；（2）过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，依据平行线的性质即可得到∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，再根据∠BAP=25∠BAC，∠D

CP=25∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，即可7得到∠E+∠F＝108°；（3）过Q作QE∥AB，依据平行线的性质可得∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝∠BAQ+∠DCQ，依据∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，即可得出∠AQC＝30°，再根据∠M＝∠MQH﹣∠

K进行计算，即可得出∠QMK的大小不变，是定值15°．【详解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，∴∠CAP=12∠CAB，∠ACP=12∠ACD，∴∠CAP+∠ACP=12（∠BAC+∠ACD）=12×180°＝90°

，∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP；（2）∠E+∠F＝108°．证明：如图2，过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC+∠DCA＝180°，∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，

∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，∴∠BAE=15∠BAC，∠DCF=15∠DCA，∴∠AEC=15∠BAC+2

5∠ACD，∠AFC=25∠BAC+15∠DCA，∴∠AEC+∠AFC=15∠BAC+25∠ACD+25∠BAC+15∠DCA=35∠ACD+35∠BAC=35（∠BAC+∠DCA）=35×180°＝108°；8（3）如图，过Q作QE∥A

B，∵AB∥CD，QE∥CD，∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，∴∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝∠BAQ+∠DCQ，由（1）可得∠BAP+∠DCP＝180°﹣90°＝90°，又∵∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，∴

∠AQC＝∠BAQ+∠DCQ=13∠BAP+13∠DCP=13（∠BAP+∠DCP）＝30°，∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，∴∠K=12∠AQH，∵QM是∠CQH的平分线，∴∠MQH=12∠CQH，∵∠MQH是△MQK的外角，∴∠M＝∠

MQH﹣∠K=12∠CQH−12∠AQH=12（∠CQH﹣∠AQH）=12∠AQC=12×30°＝15°，即∠QMK的大小不变，是定值15°．3．（2019•荷塘区）如图，已知直线AB∥CD．（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB

、CD之间，若∠1＝30°，∠3＝75°，则∠2＝；（2）如图2，若FN平分∠CFG，延长GE交FN于点M，EM平分∠AEN，当∠N+12∠FGE＝54°时，求∠AEN的度数；（3）如图3，直线MF平分∠CFG，直线NE平分∠AEG相交

于点H，试猜想∠G与∠H的数量关系，9并说明理由．【点睛】（1）过G作GH∥AB，依据AB∥CD∥GH，即可得到∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，进而得出∠2的度数；（2）过G作GP∥CD，过N作NQ∥AB，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠AEN的度数；（3）过H作HP∥CD，过G作GQ

∥AB，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠G与∠H的数量关系．【详解】解：（1）如图1所示，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GH，∴∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，∴∠1+∠2＝∠EGF，即30°+∠2＝75°，∴∠2＝45°

，故答案为：45°；（2）∵FN平分∠CFG，EM平分∠AEN，∴可设∠AEM＝∠NEM＝α，∠CFN＝∠GFN＝β，如图2所示，过G作GP∥CD，过N作NQ∥AB，10∵AB∥CD，∴NQ∥AB∥CD∥PG，∴∠QNF＝∠CFN＝β，∠QNE＝∠AE

N＝2α，∠PGE＝∠AEM＝α，∠PGF＝∠DFG＝180°﹣2β，∴∠FNE＝∠QNF﹣∠QNE＝β﹣2α，∠FGE＝∠PGE+∠PGF＝α+180°﹣2β，又∵∠FNE+12∠FGE＝54°，∴β﹣2α+12（α+180°﹣2β）＝54°，∴α＝24°，∴∠AEN＝2α＝48°；（3）猜想：

∠G＝2∠H．理由：∵MF平分∠CFG，NE平分∠AEG，∴可设∠AEN＝∠NEG＝α，∠CFM＝∠GFM＝β，如图3所示，过H作HP∥CD，过G作GQ∥AB，∵AB∥CD，∴GQ∥AB∥CD∥PH，∴∠QGE＝∠AEG＝2α，∠QGF＝∠CFG＝2β，∠PHM＝∠CFM＝β，∠PHN

＝∠AEN＝α，∴∠EGF＝∠QGE﹣∠QGF＝2α﹣2β，∠EHF＝∠PHN﹣∠PHM＝α﹣β，∴∠EGF＝2∠EHF．4．（2019•嘉兴）已知直线AB∥CD．11（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为∠E＝∠END﹣∠BME；（2）如图2，∠B

ME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=1𝑛∠MBE，∠CDN=1𝑛∠NDE，直线MB、ND交于点F，则∠𝐹∠𝐸=．【点睛】（1）由AB∥CD，即可得到∠END＝∠E

FB，再根据∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME；（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，再根据三角形内

角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，即可得到∠E+2∠NPM＝180°；（3）延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠A

BE﹣∠CDE；依据∠CHB是△DFH的外角，即可得到∠F＝∠CHB﹣∠FDH=11+𝑛∠ABE−1𝑛+1∠CDE=1𝑛+1（∠ABE﹣∠CDE），进而得出∠F=1𝑛+1∠E．【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠E

ND＝∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；（2）如图2，∵AB∥CD，12∴∠CNP＝∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠

PMA，∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，∴∠E+2

∠PMA+2∠CNP＝180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，∴∠E+2∠NPM＝180°；（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①∵∠ABM=1

𝑛∠MBE，∠CDN=1𝑛∠NDE，∴∠ABM=11+𝑛∠ABE＝∠CHB，∠CDN=1𝑛+1∠CDE＝∠FDH，∵∠CHB是△DFH的外角，13∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH=11+𝑛∠ABE−1𝑛+1∠CDE=1𝑛+1（∠ABE﹣∠CDE），②由①代入②，可得∠F=1𝑛+1

∠E，即∠𝐹∠𝐸=1𝑛+1．故答案为：1𝑛+1．5．（2019•陕西）已知：直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点．（1）如图①，线段PM、QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰梯形，其两腰PM＝QN．请你参照

图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等；（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”．把经过全等

变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）．请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等；（3）如图④，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ＝m，下底MN＝n，且m＜n．现计划把价格不同的两种花草种植

在S1、S2、S3、S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻．为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由．【点睛】（1）根据夹在两条平行线间的线段相等，进行画图或构造等腰三角形等均可；（2）只要画出一个轴对称图形和两条平行线相交形成一个轴对

称图形即可；（3）根据题意，即是比较（S1+S2）和（S3+S4）的大小，根据平行得到相似三角形，进一步求得相似三角形的相似比，根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相似比的平方，运用其中一个三角形的面积表示出其它三个三角形的面积

，再进一步运用求差法进行比较大小．【详解】解：（1）（3分）14（2）（6分）（3）∵△PMN和△QMN同底等高，∴S△PMN＝S△QMN．∴S3+S2＝S4+S2．∴S3＝S4．（7分）∵△POQ∽△NOM，

∴𝑂𝑄𝑂𝑀=𝑃𝑄𝑀𝑁=𝑚𝑛，𝑆1𝑆2=(𝑂𝑄𝑂𝑀)2=𝑚2𝑛2．（8分）∴S2=𝑛2𝑚2⋅𝑆1．∵𝑆1𝑆3=𝑂𝑄𝑂𝑀=𝑚𝑛，∴𝑆3=𝑛𝑚𝑆1．（9分）∴（S1+S2）﹣（S3+S4）＝S

1+𝑛2𝑚2S1﹣2•𝑛𝑚S1＝S1（1+𝑛2𝑚2−2•𝑛𝑚）＝S1（1−𝑛𝑚）2（10分）∵m＜n，∴（1−𝑛𝑚）2＞0．∴S1+S2＞S3+S4．（11分）故园艺师应选择S1和S2

两块地种植价格较便宜的花草，因为这两块的面积之和大于另两块地的面积之和．（12分）6．（2019•成都）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板AD

E绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．（1）当α为15度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；（3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且

它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t15的所有值．【点睛】（1）通过画图，即可求解；（2）分①当α≤90°、α＞90°时两种情况，画图计算即可；（3）分AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、AE∥BC四种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）当α＝15°时，AD∥BC，图形如

下：故答案为15；（2）设：∠CAD＝γ，∠BAE＝β，①如上图，当α≤90°时，α+β＝90°，α+γ＝45°，故β﹣γ＝45°；②当α＞90°时，同理可得：γ﹣β＝45°，故：|∠CAD﹣∠BAE|＝45°；16（3）①当AD∥BC时，α＝15°，t＝3；②当DE∥AB时，α＝4

5°，t＝9；③当DE∥BC时，α＝105°，t＝21；④当DE∥AC时，α＝135°，t＝27；⑤当AE∥BC时，α＝150°，t＝30；综上，t＝3或9或21或27或30．7．（2019•扬州校级模拟）如图（1），由线段AB、

AM、CM、CD组成的图形像英文字母M，称为“M形BAMCD”．（1）如图（1），M形BAMCD中，若AB∥CD，∠A+∠C＝50°，则∠M＝50°；（2）如图（2），连接M形BAMCD中B、D两点，若∠B+∠D＝150°，∠AMC＝α，试探求∠A与∠C

的数量关系，并说明理由；（3）如图（3），在（2）的条件下，且AC的延长线与BD的延长线有交点，当点M在线段BD的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出∠A与∠C所有可能的数量关系．【点睛】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．（2）延长BA，DC交

于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可；【详解】解：（1）过M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，17∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，∴∠AMC＝∠1+∠2＝∠A+∠C＝50°；故答案为：50°；（2）∠A+∠C＝30°+α，延长BA，DC交于

E，∵∠B+∠D＝150°，∴∠E＝30°，∵∠BAM+∠DCM＝360°﹣（∠EAM+∠ECM）＝360°﹣（360°﹣∠E﹣∠M）＝30°+α；即∠A+∠C＝30°+α；（3）①如下图所示：延长BA、DC使之相交于点E，延长M

C与BA的延长线相交于点F，∵∠B+∠D＝150°，∠AMC＝α，∴∠E＝30°由三角形的内外角之间的关系得：∠1＝30°+∠2∠2＝∠3+α∴∠1＝30°+∠3+α18∴∠1﹣∠3＝30°+α即：∠A﹣∠C＝30°+α．②如图所示，210﹣∠A＝（180°﹣∠D

CM）+α，即∠A﹣∠DCM＝30°﹣α．综上所述，∠A﹣∠DCM＝30°+α或30°﹣α．8．（2020•徐汇区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CD

E＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cosA的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的

值；如果变化，请说明理由．【点睛】（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．解直角三角形求出BM，AM即可解决问题．（2）设AH交CD于K．首先证明AK＝CK，设AK＝CK＝x，在Rt△CHK中，理由勾股定理求出x，再证明△ADK∽△CDA，理由相似三角形的性质构建方程组

即可解决问题．（3）结论：AD：BE＝5：6值不变．证明△ACD∽△BCE，可得𝐴𝐷𝐵𝐸=𝐴𝐶𝐵𝐶=56．【详解】解：（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，

19∴AH=√𝐴𝐵2−𝐵𝐻2=√52−32=4，∵S△ABC=12•BC•AH=12•AC•BM，∴BM=𝐵𝐶⋅𝐴𝐻𝐴𝐶=245，∴AM=√𝐴𝐵2−𝐵𝑀2=√52−(245)2=75

，∴cosA=𝐴𝑀𝐴𝐵=725．（2）设AH交CD于K．∵∠BAC＝2∠ACD，∠BAH＝∠CAH，∴∠CAK＝∠ACK，∴CK＝AK，设CK＝AK＝x，在Rt△CKH中，则有x2＝（4﹣x）2+32，解得x=258，∴AK＝CK=258，∵∠ADK＝∠ADC，∠DAK＝∠AC

D，∴△ADK∽△CDA，∴𝐴𝐷𝐶𝐷=𝐴𝐾𝐴𝐶=𝐷𝐾𝐴𝐷=2585=58，设AD＝m，DK＝n，则有{𝑚𝑛+258=58𝑚2=𝑛(𝑛+258)，解得m=12539，n=62531

2．∴AD=12539．（3）结论：AD：BE＝5：6值不变．理由：∵∠GBE＝∠ABC，∠BAC+2∠ABC＝180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠EBC＝∠BAC，∵∠EDC＝∠BAC，∴

∠EBC＝∠EDC，∴D，B，E，C四点共圆，∴∠EDB＝∠ECB，∵∠EDB+∠EDC＝∠ACD+∠DAC，∠EDC＝∠DAC，20∴∠EDB＝∠ACD，∴∠ECB＝∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴

𝐴𝐷𝐵𝐸=𝐴𝐶𝐵𝐶=56．9．（2020•河南一模）【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开

始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状

是等边三角形；∠ADB的度数为30°．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请

直接写出线段BE的长为．【点睛】【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD21≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形；②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可

解决问题．【问题解决】当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．【拓展应用】第①种情况：当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接C

D′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．【详

解】解：【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，在△ABD和△ABD′中，{𝐴𝐵=𝐴𝐵∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐵𝐷′𝐵𝐷

=𝐵𝐷′∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，∵BD＝BD′，BD＝BC，∴BD′＝BC，∴△D′BC是等边三角形，②∵△D

′BC是等边三角形，∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，22在△AD′B和△AD′C中，{𝐴𝐷=𝐴𝐷′𝐷′𝐵=𝐷′𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐶∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B=1

2∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．故答案为：等边，30°；【问题解决】解：∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤120°，如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∴∠ABC

＝∠ACB，∵∠BAC＝α，∴∠ABC=12（180°﹣α）＝90°−12α，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°−12α﹣β，同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝90°−12

α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°−12α﹣β+90°−12α＝180°﹣（α+β），∵α+β＝120°，∴∠D′BC＝60°，由（1）②可知，△AD′B≌

△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B=12∠BD′C＝30°，23∴∠ADB＝30°．【拓展应用】第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，由（2）知，∠ADB＝30°，作AE⊥BD，在Rt△ADE

中，∠ADB＝30°，AD＝2，∴DE=√3，∵△BCD'是等边三角形，∴BD'＝BC＝7，∴BD＝BD'＝7，∴BE＝BD﹣DE＝7−√3；第②情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠

ABC=12（180°﹣α）＝90°−12α，∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝β﹣（90°−12α），同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝β﹣（90°−12α），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°−12α﹣[β﹣（90°−12

α）]＝180°﹣（α+β），∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．24同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，∴∠ADB＝∠AD′B＝150°，在Rt△ADE中，∠ADE＝30

°，AD＝2，∴DE=√3，∴BE＝BD+DE＝7+√3，故答案为：7+√3或7−√3．10．（2019•东营区校级模拟）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt

△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则：AC=12AB．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB边上中线CP，由于CP=12AB，易得结论：①△ACP为等边三角形；②BP与

CP之间的数量关系为；（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数

量关系？请直接写出你的结论；拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，√3），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2√3，0）时，求C点的坐标．【点睛】（1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．（2）结论：ED＝EB．想

办法证明ED＝EA，EA＝EB即可解决问题．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，ED＝EB．25拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．可以假设C（√3，n），利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠A＝60°，∵PA＝PB，∴PC＝PA＝PB，∴△PAC是等边三角形，故答案为CP＝PB．（2）结论：ED＝EB．理由：如图2中，连接PE．∵△ACP，△ADE都是等边三角形，∴AC＝AD＝DE，AD＝AE，∠CAP＝∠DAE＝60°，∴∠CAD＝∠PAE，∴△

CAD≌△PAE（SAS）∴∠ACD＝∠APE＝90°，∴EP⊥AB，∵PA＝PB，26∴EA＝EB，∵DE＝AE，∴ED＝EB．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证ED＝EB．故答案为ED＝EB．拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴

于H，CF⊥OB于F，连接OA．∵A（﹣3，√3），∴∠AOH＝30°，由（2）可知，CO＝CB，∵CF⊥OB，∴OF＝FB=√3，∴可以假设C（√3，n），∵OC＝BC＝AB，∴（√3）2+n2＝（√3）2+（3+2√3）2，∴n＝3+2√3

，∴C（√3，3+2√3）．11．（2019•南关区一模）在△ABC中，CA＝CB，0°＜∠C≤90°．过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结

BN并延长交AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．【猜想】如图①，当∠C＝45°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为度．【探究】如图②，若∠C＝α．（1）求证：△BCN≌△

ACM．27（2）∠BDE的大小为度（用含a的代数式表示）．【应用】如图③，当∠C＝90°时，连结BE．若BC＝3，∠BAM＝15°，则△BDE的面积为．【点睛】【猜想】如图（1）中，延长ED交BC于点F，交AC于点O．想办法证明∠BNC＝∠BFE，再利用三角

形的外角的性质即可解决问题；【探究】（1）同理根据SAS证明：△BCN≌△ACM；（2）分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E在AM的延长线上时，②如图4中，当点E在MA的延长线上时，分别计算即可；【应用】如图3，分别计算BD和DE的长，证明△EAD是等边三角形，根据三角形的面积公式可得结论．

【详解】【猜想】证明：如图1中，延长ED交BC于点F，交AC于点O，∵CB＝CA，∴∠ABM＝∠BAN，∵CA＝CB，BM＝AN，∴CM＝CN，∵∠C＝∠C，28∴△BCN≌△ACM（SAS），∴∠CBN＝∠CAM

，∵E是AD的垂直平分线上的点，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠EMF，∠EDA＝∠EFM，∴∠BNC＝∠BFE，∴∠NOD+∠BDF＝∠C+∠FOC，∵∠C＝45°，∠FOC＝∠NOD，∴∠NDO＝45°，∴∠BDE＝135

°，故答案为：135°；【探究】（1）证明：∵CA＝CB，BM＝AN，∴CA﹣AN＝CB﹣BM，∴MC＝NC，又∵∠C＝∠C，∴△BCN≌△ACM（SAS）；（2）分两种情况：①如图2中，当点E在AM的延长线上时，29

易证：∠CBN＝∠ADB＝∠CAN，∠ACB＝∠CAD，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠CAM+∠CAD＝∠BDE+∠ADB，∴∠BDE＝∠CAD＝∠ACB＝α．如图4中，当点E在MA的延长线上时，延长E

D交BC的延长线于点F，同理得△BCN≌△ACM（SAS），∴∠CBN＝∠CAM，同理得：∠BNC＝∠AMC＝∠BFE，∴∠BNC+∠NBC＝∠NBC+∠BFE，∴∠ACB＝∠BDF＝α，∴∠BDE＝180°﹣α．故答案为：α或（180﹣α）；【应用】如图3，同（2）得：∠BD

E＝180°﹣∠ACB＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，30∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵∠BAM＝15°，∴∠CAM＝∠CBN＝30°，Rt△BNC中，CN=𝐵𝐶√3=√3，BN＝2√3，∴AN＝AC﹣CN＝3−√3，∵AD∥BC，∴∠DAN

＝∠ACB＝90°，∠ADN＝∠NBC＝30°，∴DN＝2AN＝6﹣2√3，AD=√3AN＝3√3−3，∴BD＝BN+DN＝2√3+6﹣2√3=6，∵EA＝ED，∠EAD＝60°，∴△EAD是等边三角形，∴ED＝AD＝3√3−3，∴S△BDE=12𝐵𝐷⋅𝐷𝐸=1

2×6×(3√3−3)=9√3−9．故答案为：9√3−9．12．（2019•南浔区二模）（1）尝试探究如图1，等腰Rt△ABC的两个顶点B，C在直线MN上，点D是直线MN上一个动点（点D在点C的右边），BC＝3，BD＝m，在△ABC同侧作等腰Rt△A

DE，∠ABC＝∠ADE＝90°，EF⊥MN于点F，连接CE．①求DF的长；②在判断AC⊥CE是否成立时，小明同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：先证CF＝EF，求出∠ECF＝45°，从而证得结论成立

．思路二：先求DF，EF的长，再求CF的长，然后证AC2+CE2＝AE2，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程．（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）（2）拓展探究31将（1

）中的两个等腰直角三角形都改为有一个角为30°的直角三角形，如图2，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，BC＝3，BD＝m，当4≤m≤6时，求CE长的范围．【点睛】（1）①根据AAS证明△ABD≌△DFE，可得结论；②思路一

：先证CF＝EF，求出∠ECF＝45°，从而证得结论成立．思路二：先求DF，EF的长，再求CF的长，然后证AC2+CE2＝AE2，从而证得结论成立．（2）如图2，作EF⊥MN，同理证明AC⊥CE，则无论m取何大于3的数

，AC⊥CE总成立，即点E在一条直线上运动，可得结论．【详解】解：（1）①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∵EF⊥MN，∴∠DEF+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DE

F，在△ABD和△DFE中，{∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝐸𝐹∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐹𝐸𝐴𝐷=𝐷𝐸，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴DF＝AB＝BC＝3；②证明：思路一：由①得△ABD≌△DFE（AAS），∴DF＝AB＝BC＝3，

EF＝BD＝m，∴CF＝CD+DF＝CD+BC＝BD＝m，∴CF＝EF，∵EF⊥MN，∴∠ECF＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE；思路二：32由①得△ABD≌△DFE（AAS），∴DF＝AB＝BC＝3，EF

＝BD＝m，∴CF＝CD+DF＝CD+BC＝BD＝m，由勾股定理得：DE2＝DF2+EF2＝32+m2＝9+m2，∴AE2＝2DE2＝2（9+m2），AC2＝32+32＝18，CE2＝CF2+EF2＝2m2，∴AC2+CE2＝A

E2，∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE；（2）如图2，作EF⊥MN，∴∠DEF+∠EDF＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD∽△DFE，∴𝐸𝐹𝐵𝐷=𝐷𝐹𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐴𝐷=𝑡𝑎�

�30°=√33，∴EF=√3𝑚3，DF＝3，∴CF＝CD+DF＝CD+BC＝BD＝m，∴在Rt△CEF中，tan∠ECF=√33，∴∠ECF＝30°，CE＝2EF=2√3𝑚3，∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE，∴无论m取何大于3的数，AC⊥CE总成立，即点

E在一条直线上运动，33∴4≤m≤6时，CE长的范围是8√33≤𝐶𝐸≤4√3．13．（2019•江西模拟）某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时，经历了如下过程：●操作发现在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，连接DE，其中

F是DE的中点，连接AF，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF=12BC：②AF⊥BC；③整个图形是轴对称图形；④DE∥BC、●数学思考在任意△ABC中，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图②所示，连接

DE，其中F是DE的中点，连接AF，则AF和BC有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程●类比探索在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为腰，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图③所示，连接DE，其中F是DE的

中点，连接AF，试判断AF和BC的数量和位置关系是否发生改变？并说明理由．【点睛】操作发现：如图1，延长FA交BC于G，证明△FBA≌△FCA（SAS），得FB＝FC，根据线段垂直平分线的逆定理可得FG是BC的垂直平分线，得②正确；

证明∠AFD≌△BGA（AAS），则AF＝BG=12BC，得①正确；根据内错角相等两直线平行，得④正确；根据前面的证明可以得出整个图形是轴对称图形，故③正确，数学思考：结论：AF=12BC，AF⊥BC，如图2，作辅助线，构建平行四边形和三角形全等，证明四边形DAEM是平行四

边形，得AD＝EM＝AB，AD∥EM，再证明△CAB≌△AEM（SAS），可得结论；类比探索：同理作辅助线，构建平行四边形和全等三角形，同理可得结论．34【详解】解：操作发现：如图1，延长FA交BC于G，∵△ABD和△ACE是等腰

直角三角形，且∠BAD＝∠CAE＝90°，∴AB＝AD，AC＝AE，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵F是DE的中点，∴AF⊥DE，∠DAF＝∠EAF，∴∠BAF＝∠CAF，连接BF、CF，∵AB＝AC，AF＝AF，∴△FBA≌△FCA（SAS），∴FB＝FC，

∴FG是BC的垂直平分线，即FG⊥BC，AF⊥BC，故②正确；∵∠AGB＝∠AFD＝90°，∠BAG＝∠FDA，∴∠AFD≌△BGA（AAS），∴AF＝BG=12BC，故①正确；∵∠AFD＝∠AGC＝90°

，∴DE∥BC，故④正确；根据前面的证明可以得出将图形1，沿FG对折左右两部分能完全重合，∴整个图形是轴对称图形，故③正确，结论正确的有：①②③④，故答案为：①②③④；数学思考：结论：AF=12BC，AF⊥BC，理由是

：如图2，延长AF至M，使FM＝AF，连接DM、EM，延长FA交BC于G，35∵DF＝EF，∴四边形DAEM是平行四边形，∴AD＝EM＝AB，AD∥EM，∴∠DAE+∠AEM＝∠DAE+∠BAC＝180°，∴∠

BAC＝∠AEM，∵AC＝AE，∴△CAB≌△AEM（SAS），∴AM＝BC＝2AF，∠AME＝∠CBA，即AF=12BC，∵AD∥EM，∴∠DAM＝∠AME＝∠CBA，∵∠BAD＝90°，∴∠DAM+∠BAG＝90

°，∴∠CBA+∠BAG＝∠AGB＝90°，∴AF⊥BC；类比探索：AF和BC的数量和位置关系不发生改变，理由是：如图3，延长AF至M，使AF＝FM，连接EM、DM，设AF交BC于N，36∵EF＝DF，∴四边形AEMD是平行四边形，∴AE＝DM＝AC，∵∠BA

D+∠EAC＝180°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∵AE∥DM，∴∠ADM+∠EAD＝180°，∴∠ADM＝∠BAC，∵AB＝AD，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC＝2AF，∠DAM＝∠A

BC，∴AF=12BC，∵∠DAM+∠BAF＝∠ABC+∠BAF＝90°，∴∠ANB＝90°，∴AF⊥BC．14．（2019•鼓楼区二模）提出问题：用一张等边三角形纸片剪一个直角边长分别为2cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边最小值是多少？探究思考：几位同学画出

了以下情况，其中∠C＝90°，BC＝2cm，△ADE为等边三角形．（1）同学们对图1，图2中的等边三角形展开了讨论：37①图一中AD的长度＞图②中AD的长度（填“＞”，“＜”或“＝”）②等边三角形ADE经过图形变化．AD可以更小．请描述图形变化的过程．（2）有同学画出

了图3，但老师指出这种情况不存在，请说明理由．（3）在图4中画出边长最小的等边三角形，并写出它的边长．经验运用：（4）用一张等边三角形纸片剪一个直角边长为1cm和3cm的直角三角形纸片，等边三角形纸片的边长最小是多少？画出

示意图并写出这个最小值．【点睛】（1）①图1和图2中分别作高线AG和AH，根据AG和AH的大小决定结论，由AB相等，所以根据BG＜BH可知：AG＞AH，可得结论；②画图进行说明即可；（2）计算DC的长，可知：BC＞DC，所以图3这种情况不存在；（

3）当D与B重合时，AD最小，如图4，此时AD＝AB；（4）首先考虑特殊的情况：①AC＝高线AH时，如图6，②AC＞AH时，如图7，C在边DE上，③AC＜AH时，如图8，综上，可以得到当AB与AD共线时，AD是最小的，计算

此时的值即可．【详解】解：（1）①在图1和图2中分别过A向DE作垂线AG和AH，Rt△ACB中，∵BC＝2，AC＝3，∴AB=√22+32=√13，38由图1和图2可知：BH＞BG，∴AG＞AH，∵△ADE为等边三角形，∴∠D＝60°，∴sin60

°=𝐴𝐺𝐴𝐷=𝐴𝐻𝐴𝐷，∴图一中AD的长度＞图②中AD的长度，故答案为：＞；②如图5，将△ADE绕点A被逆时针方向旋转一定的角度，再以A为位似中心，将△ADE缩小，使得点B再次落在边DE上；（2）如图3，∵A

D＝AE，AC⊥DE，∠DAE＝60°，∴∠DAC=12∠DAE＝30°，在Rt△DAC中，tan∠DAC=𝐷𝐶𝐴𝐶，即tan30°=𝐷𝐶3=√33，DC=√3，∵BC＝2，39∴BC＞DC，而这与题意矛盾，所以图3这种情况不存在

；（3）当D与B重合时，AD最小，如图4，此时AD＝AB=√13；则它的边长是√13cm；（4）作等边△ADE的高AH，∵AH＝sin60°•AD，∴当AD最小时，AH最小，考虑以下三种情况：①当AC是等边△ADE的高时，如图6，②如图7，C在边DE上，此时AC＞AH，③如图8，B

在边DE上，此时AH＞AC，40所以在图7中，AD越往右偏，则AH越小，综上，可以得到当AB与AD共线时，AD是最小的，如图9，AB与AD共线时，AD最小，过C作CF⊥AB于F，Rt△ACB中，AC＝3，BC＝1，∴AB=

√10，∴S△ABC=12⋅𝐴𝐵⋅𝐶𝐹=12⋅𝐴𝐶⋅𝐵𝐶，∴√10CF＝1×3，CF=3√10=3√1010，∴AF=√𝐴𝐶2−𝐶𝐹2=√32−(3√10)2=9√1010，Rt△DFC中，tan60°=𝐶𝐹𝐷𝐹，∴DF=3√1010√3=√3010，∴AD

＝AF+DF=910√10+√3010，答：等边三角形纸片的边长最小值是（910√10+√3010）cm．15．（2019•交城二模）综合与实践：矩形的旋转问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋

转”为主题开展数学活动．具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，41将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动．操作发现：（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当

边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，则线段AM与CN始终存在的数量关系是AM＝CN．（2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图3所示，四边形QMRN为菱形，请你证

明这个结论．（3）雄鹰小组还发现在问题（2）中的四边形QMRN中∠MQN与旋转角∠AOE存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由．实践探究：（4）在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生

变化．若矩形纸片的长为2+√2，宽为√2，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角∠AOE为多少度时，四边形QMRN的面积最大？最大面积是多少？（直接写出答案）【点睛】（1）结论：AM＝CN．先证明△AOK≌△AOJ（ASA），推出OK＝OJ，AK＝CJ，∠AOK＝∠AJO，

再证明△EKM≌△GJN（ASA）即可解决问题．（2）过点Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分别为点K，L．首先证明四边形QMRN是平行四边形，再证明QM＝QN即可．（3）结论：∠MQN＝∠AOE．理由三角形的外角的性质以及平行线的性质

即可解决问题．（4）如图3﹣2中，连接BD，在DC上取一点J，使得DJ＝AD=√2，则AJ＝2，解直角三角形求出∠BOC的度数，结合图象即可解决问题．【详解】解：（1）结论：AM＝CN．理由：如图2中，设AB交EG于K，CD交EG于J

．42∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是矩形，∴AB∥CD，EF∥EG，OA＝OC＝OE＝OG，∴∠MEK＝∠JGN，∠OAK＝∠OAJ，∵∠AOK＝∠AOJ，∴△AOK≌△AOJ（ASA），∴OK＝OJ，AK＝CJ，∠AOK＝∠AJO，∴EK＝JG，∵∠

EKM＝∠AKO，∠GJN＝∠CJO，∴∠EKM＝∠GJN，∴△EKM≌△GJN（ASA），∴KM＝JN，∴AM＝AN．（2）证明：过点Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分别为点K，L．43由题可知：矩形ABCD≌矩形EFGH∴AD＝EH，AB∥CD，EF∥HG∴四边形QMRN为

平行四边形，∵QK⊥EF，QL⊥CD，∴QK＝EH，QL＝AD，∠QKM＝∠QLN＝90°∴QK＝QL，又∵AB∥CD，EF∥HG，∴∠KMQ＝∠MQN，∠MQN＝∠LNQ，∴∠KMQ＝∠LNQ，∴△

QKM≌△QLN（AAS）∴MQ＝NQ∴四边形QMRN为菱形．（3）结论：∠MQN＝∠AOE．理由：如图3﹣1中，∵∠QND＝∠1+∠2，∠AOE＝∠1+∠3，又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，∴∠2＝∠3，∴∠QND

═∠AOE，∵AB∥CD，∴∠MQN＝∠QND，∴∠MQN＝∠AOE．44（4）如图3﹣2中，连接BD，在DC上取一点J，使得DJ＝AD=√2，则AJ＝2，∵CD＝2+√2，∴CJ＝AJ＝2，∴∠JCA＝∠JAC，∵∠AJD＝45°＝∠JCA+∠JA

C，∴∠ACJ＝22.5°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝22.5°，∴∠BOC＝45°，观察图象可知，当点F与点C重合或点G与点D重合时，四边形QMRN的面积最大，最大值＝2√2，∴∠AOE＝45°或135°时，四边形QMRN面积最大为2√2．16．（2019•长春模拟

）已知∠MBN＝60°，BD平分∠MBN，点A在BM上，点C在BN上，且AB＝BC，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．【探究】如图1，当点E在BD下方，连接CE．证明：BP＝CE，CE⊥BN．【应用】如图2，当点E在BD上

方，连接AC．若AB＝2，BE=√31，则四边形ACPE的面积为．45【点睛】【探究】证明△ABP≌△ACE（SAS），可得BP＝CE，∠ABP＝∠ACE，分别求∠ACE＝30°，∠ACB＝60°，可得CE⊥BN；【应用】如图2，同理得△ABP

≌△ACE（SAS），得∠ACE＝∠ABP＝30°，根据S四边形ACPE＝S△ACP+S△APE，代入可得结论．【详解】【探究】证明：如图1，连接AC，∵∠MBN＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠BCA＝60°，∵△A

PE是等边三角形，∴∠PAE＝60°，AP＝AE，∴∠BAC＝∠PAE，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE，∵BD平分∠MBN，∴∠ABP=12∠MBN=

12×60°＝30°，∴∠ACE＝30°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝60°+30°＝90°，∴CE⊥BN；【应用】解：如图2，同理得△ABP≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABP＝30°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCE＝60°+30°＝90°，Rt△BCE中，BE=√31，AC

＝AB＝2，∴CE＝BP=√31−4=3√3，Rt△ABO中，∠ABO＝30°，AB＝2，46∴AO＝1，BO=√3，∴OP＝3√3−√3=2√3，由勾股定理得：AP=√12+(2√3)2=√13，∴S四边形ACPE＝S△ACP+S△APE，=12⋅𝐴𝐶⋅𝑂𝑃+√

34AP2，=12×2×2√3+√34×(√13)2，＝2√3+134√3，=214√3．故答案为：21√34．17．（2019•长春模拟）【感知】如图①，在正方形ABCD中，点F在BC边上，AE平分∠DAF．若我们分别延长AE与BC，交

于点G．则易证AF＝FG．（不需要证明）【探究】如图②，在矩形ABCD中，点E是CD边的中点，点F在BC边上，AE平分∠DAF．求证：AF＝AD+FC．【应用】在【探究】的条件下，若AD＝6，DE＝2，直接写出FC的长．【点睛】【感知】如图①，根据平行线的性质和角平分线的定义可得结论；【探

究】如图②，作辅助线，证明△AED≌△GEC（ASA），得AD＝CG＝BC，再由感知中得AF＝FG，可得结论；47【应用】设FC＝x，则AF＝x+6，BF＝6﹣x，由勾股定理列方程可得结论．【详解】【感知

】证明：如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠G，∵AE平分∠DAF，∴∠DAE＝∠FAG，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝FG；【探究】证明：如图②，分别延长AE和BC，交于点G，∵点E是CD边的中点，∴DE＝EC，∵矩形AB

CD，∴AD＝BC，∠ADE＝∠GCE＝90°，∵∠AED＝∠GEC，∴△AED≌△GEC（ASA），∴AD＝CG＝BC，∠DAE＝∠G，∵AE平分∠DAF，∴∠EAF＝∠DAE＝∠G，∴AF＝FG＝CG+FC＝AD+FC；【应用】解：如图②，

设FC＝x，则AF＝x+6，BF＝6﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2＝AB2+BF2，48（6+x）2＝42+（6﹣x）2，x=23，即FC=23．18．（2019•雁塔区校级模拟）发现问题：如图1，直线a∥b，

点B、C在直线b上，点D为AC的中点，过点D的直线与a，b分别相交于M、N两点，与BA的延长线交于点P，若△ABC的面积为1，则四边形AMNB的面积为；探究问题：如图2，Rt△ABC中，∠DAC=13∠BAC，DA＝2，求△ABC面积的最小值；拓展应用：如图3，矩形花园ABCD的长

AD为400米，宽CD为300米，供水点E在小路AC上，且AE＝2CE，现想沿BC上一点M和CD上一点N修一条小路MN，使得MN经过E，并在四边形AMCN围城的区域内种植花卉，剩余区域铺设草坪根据项目的要求种植花卉的区域要尽量小．请根

据相关数据求出四边形AMCN面积的最小值，及面积取最小时点M、N的位置．（小路的宽忽略不计）【点睛】发现问题：证明△ADM≌△CDN（ASA），即可解决问题．探究问题：如图2中，延长AD到F，使得DF＝DA，作FG⊥AB于G

，FE⊥AC交AC的延长线于E，利用矩形是中心对称图形，过对称中心的直线平分矩形的面积解决问题即可．拓展应用：如图3中，取AE的中点G，作GH⊥CD于H，GF⊥BC于F，连接FH．首先证明S四边形AMCN＝3S△CMN，当△CMN的面积最小时，四边形AMCN的面积最小，利用

探究问题中的方法解决问题即可．【详解】解：发现问题：如图1中，∵a∥b，49∴∠MAD＝∠NCD，∵AD＝DC，∠ADM＝∠CDN，∴△ADM≌△CDN（ASA），∴S△ADM＝S△CDN，∴S四边形AMNB＝S△ABC＝1，故答案为1．探究问题：如图2中，延长AD到F，使得DF＝DA，作FG⊥A

B于G，FE⊥AC交AC的延长线于E，∵∠FEA＝∠FGA＝∠GAE＝90°，∴四边形AEFG是矩形，∵∠DAC=13∠BAC＝30°，AD＝DF＝2，∴AF＝4，EF=12AF＝2，AE=√3EF＝2√3，∴S矩形AEFG＝4√3，∵矩形AEFG是中心对称图形，D是对称中心

，∴过点D的任意直线平分矩形AEFG的面积，∴S四边形ACGH=12S矩形ABCD＝2√3，∵S△ABC≥S四边形ACHG，∴S△ABC≥2√3，∴当BC与GE重合时，△ABC的面积最小，最小值为2√3．拓展应用：

如图3中，取AE的中点G，作GH⊥CD于H，GF⊥BC于F，连接FH．50易知四边形GHCF是矩形，∵AE＝2EC，AG＝EG，∴EC＝EG，∴点E在FH上，∵AC＝3EC，∴S△ACM＝3S△ECM，S△ACN＝3S△ECN，∴S四边形AMCN

＝3S△CMN，∴当△CMN的面积最小时，四边形AMCN的面积最小，∵矩形CFGH是中心对称图形，由探究问题可知：当MN与FH重合时，△MCN的面积最小，AC=√3002+4002=500（米），∴CG=23×500=10003（米），∵GH∥AD，∴𝐶𝐺𝐶𝐴=𝐺

𝐻𝐴𝐷=𝐶𝐻𝐶𝐷，∴10003500=𝐺𝐻400=𝐶𝐻300，∴GH=8003（米），CH＝200（米），∴△MCN的面积的最小值=12×200×8003=800003（平方米），∴四边形AMCN的面积的最小值＝8

0000（平方米），此时CM＝CF＝GH=8003（米），CN＝CH＝200（米）．19．（2019•通城模拟）在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，其外接圆的半径为r．【探究】51（1）如图甲，作直径BD，若r＝3，发现𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴的值为．（2）

猜想𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴，𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵，𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶之间的关系，并证明你的猜想．【应用】（3）如图乙，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到

达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．【点睛】（1）在图甲中，连接DC，推出∠A＝∠D，在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出sinD=𝐵𝐶𝐵𝐷=𝑎2𝑟，得到sinA=𝑎2𝑟，将r＝3代入，即可求出𝑎𝑠𝑖𝑛�

�的值；（2）由（1）推出，在Rt△DBE中，𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐵𝐷=2𝑟，同理，𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=2𝑟，𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑟，即可推出结论𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶；（3）在图乙中，先求出∠ACB＝60°，∠ABC

＝75°，∠A＝45°，再求出BC＝30海里，由（2）所得结论，在△ABC中，通过𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐶𝐵=𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛∠𝐴，即可求出AB长度．【详解】解：（1）如图甲，连接DC，则∠A＝∠D，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴在Rt△BCD中，sin

D=𝐵𝐶𝐵𝐷=𝑎2𝑟，∴sinA=𝑎2𝑟，∴𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=2r＝6，故答案为：6；（2）𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶，理由如下：如图甲，由（1）知，∠D＝∠A，∠BCD＝90°，52在Rt△DB

E中，𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐵𝐷=2𝑟，同理：𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=2𝑟，𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑟，∴𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶；（3）作如图乙所示辅助线，则∠BHC＝90°，∴∠HBC＝90°﹣∠HCB＝60°，∠HBA＝90°﹣75°＝

15°，∴∠ABC＝∠HBC+∠HBA＝75°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝45°，由题意知，BC＝60×0.5＝30（海里），由（2）知，在△ABC中，𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐶𝐵=𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛∠𝐴，即𝐴𝐵

𝑠𝑖𝑛60°=30𝑠𝑖𝑛45°，解得，AB=15√6∴货轮距灯塔的距离为15√6海里．20．（2019•竞秀区一模）四边形ABCD是正方形，BC＝3，点E在BC上且BE＝1，以EF为直径作半圆O，点G是半圆弧的中点探究一：设定EF＝4，53（1

）如图1，当F在BC延长线上时，DG的长；（2）将图1中的半圆O绕点E逆时针方向旋转，旋转角为a，（0°≤α≤180°）①如图2，当EF经过点D时，求A到EF的距离．②如图3，圆心O落在AB边上，求从图1到图3的旋转过程中G点的运动路径长度；③如图4，半圆O与正方形ABC

D的边AD相切，切点为P，求AP的长并直接写出在旋转过程中，半圆O与正方形其它各边相切时，点A到切点的距离．探究二：设定EF＝2如图5，图6，将半圆O的直径EF沿线段EC和CD滑动，E、F在EC、CD上对应的点为E′、F′，点E滑动到点C停止，请判断线段CG的取值范围．（直接写出

结果）【点睛】探究一：（1）证明点G在线段CD上即可解决问题．（2）①如图2中，连接AE，作AH⊥EF于H，EM⊥AD于M，则四边形DCEM是矩形．利用面积法求解即可．②利用弧长公式即可解决问题．③分三种情形画出图形分别求解即可．探究二：求

出CG的最大值以及最小值即可．【详解】解：探究一：（1）如图1中，54∵BC＝3，BE＝1，∴EC＝2，∵EF＝4，∴EC＝CF＝2，∴点O与点C重合，∵DC⊥EF，∴𝐸𝐺̂=𝐺𝐹̂，∴CG＝CE＝2，∴DG＝CD﹣CG＝3﹣2＝1．故答

案为1．（2）①如图2中，连接AE，作AH⊥EF于H，EM⊥AD于M，则四边形DCEM是矩形．∴EM＝CD＝3，在Rt△CDE中，DE=√𝐶𝐸2+𝐶𝐷2=√22+32=√13，∵12•AD•E

M=12•DE•AH，∴AH=3×3√13=9√1313．②如图3中，55在Rt△OBE中，cos∠OEB=𝐵𝐸𝑂𝐸=12，∴∠OEB＝60°，∵∠OEG＝45°，∴∠EG′＝15°，∵CE＝CG＝2，∴∠GEC＝45°，EG＝2√2，∴∠GEG′＝180°﹣15°

﹣45°＝120°，∴从图1到图3的旋转过程中G点的运动路径长度=120⋅𝜋⋅2√2180=4√23π．③如图4中，当⊙O与AD相切于点P时，延长PO交BBC于M．在Rt△EOM中，OE＝2，OM＝1，∴EM=√22−12=√3，∴AP＝BM＝1+√3．如图4﹣1中，

当⊙O与AB相切于点P时，作OM⊥BC于M．56∵四边形OMBP是矩形，∴OP＝BM＝2，∵BE＝1，∴EM＝1，∴OM=√22−12=√3，∴PB＝OM=√3，∴PA＝3−√3．如图4﹣2中，当⊙O与BC相切于点E时，PA=√32

+12=√10，综上所述，满足条件的PA的值为1+√3或3−√3或√10．探究二：如图6中，连接OG，OC，CG．∵∠ECF＝90°，EF＝2，OE＝OF，∴OC=12EF＝1，∵OG＝OE＝OF=12EF＝1，57∴当OG，OC共线时，CG的值最大，最大值为2，当点E与点C重合时，GC的值最小

，最小值为√2，∴√2≤CG≤2．21．（2019•河南二模）已知，点C为线段AB外一动点，且AB＝4，AC＝2．问题发现（1）图1，当点C位于时，线段BC的长取最大值，且最大值为．扩展探究（2）如图2，若以BC为斜边向上构造等腰直角三角形BCD，以点A为圆心，AC为半径，在转过程中，当A

，C，D三点共线时，求CD的长度；解决问题（3）在（2）的条件下，以点A为圆心，AC为半径，在旋转过程中，试求AD的最大值和最小值．【点睛】（1）当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长度最大，最大值为6；（2）以点A为圆心，AC为半径，在转

过程中，当A，C，D三点共线，且点A在线段CD上时或点A在线段DC的延长线上时，设CD＝x，在Rt△ADB中，利用勾股定理可分别求出两种情况下CD的长度；（3）当AC⊥AB且点C在AB上方时，AD取最大值，将△DCA以

点D为圆心逆时针旋转90°得到△DBE，证明△ADE为等腰直角三角形，通过解直角三角形可求出AD的最大值；当AC⊥AB且点C在AB下方时，AD取最小值，将△DCA以点D为圆心逆时针旋转90°得到△DFB，且A，F，B三点在同一直线上，

证明△ADF为等腰直角三角形，可通过解直角三角形可求出AD的最小值．【详解】解：（1）如图1，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长度最大，BC＝AB+AC＝4+2＝6，故答案为：线段BA的延长线上，6；（2）①如图2﹣1，以点A为圆心，AC为半径，在转过程中，当A

，C，D三点共线，且点A在线段CD上时，58设CD＝x，则DB＝x，AD＝CD﹣AC＝x﹣2，在Rt△ADB中，AD2+DB2＝AB2，即（x﹣2）2+x2＝42，解得，x1＝1−√7（负值舍去），x2＝1+√7，∴CD＝1+√7；②如图2﹣2，

以点A为圆心，AC为半径，在转过程中，当A，C，D三点共线，且点A在线段DC的延长线上时，设CD＝x，则DB＝x，AD＝CD+AC＝x+2，在Rt△ADB中，AD2+DB2＝AB2，即（x+2）2+x2＝42，解得，x1＝﹣1−√7（负值舍去），x2=√7−1，∴CD=√7−1；∴CD的

长度为1+√7或√7−1；（3）①如图3﹣1，当AC⊥AB且点C在AB上方时，AD取最大值，将△DCA以点D为圆心逆时针旋转90°得到△DBE，则∠ADE＝90°，△DCA≌△DBE，∴DA＝DE，BE＝AC＝2，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AE＝AB+BE＝

4+2＝6，∴在等腰直角△ADE中，AD=√22AE＝3√2，∴AD的最大值是3√2；②如图3﹣2，当AC⊥AB且点C在AB下方时，AD取最小值，将△DCA以点D为圆心逆时针旋转90°得到△DFB，且A，F，B三点在同一直线上，则∠ADF＝90°，△DCA≌△DBF，59∴DA

＝DF，BF＝AC＝2，∴△ADF为等腰直角三角形，∴AF＝AB﹣BF＝4﹣2＝2，∴在等腰直角△ADF中，AD=√22AF=√2，∴AD的最小值是√2；综上所述，AD的最大值为3√2，最小值为√2．