【文档说明】河北省邯郸市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 【精准解析】.doc，共(20)页，2.015 MB，由小赞的店铺上传

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-1-高二期末教学质量检测数学试题一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（）A.￢p：∃x0∈R，cosx

0≥1B.￢p：∀x∈R，cosx≥1C.￢p：∀x∈R，cosx＞1D.￢p：∃x0∈R，cosx0＞1【答案】D【解析】【分析】对于全称命题的否命题，首先要将全称量词“∀”改为特称量词“∃”，然后否定原命题的结论，据此可得答案

.【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，cosx≤1，￢p：∃x0∈R，cosx0＞1．故选D．【点睛】本题考查了命题中全称量词和存在量词，解题的关键是要知晓全称命题的否定形式是特称命题.2.设xR，则“20x−=”是“24x=”的（）A

.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】20x−=，即2x=时，一定有24x=，充分的，但24x=时，2x=

，不一定是2x=，不必要，因此应为充分不必要条件．故选：A．3.某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为210，90和60.现采用分层抽样的方法选出12位同学进行项调查研究，则“

史政生”组合中选出的同学人数为（）-2-A.7B.6C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用抽样比计算抽取人数.【详解】由条件可知，选出“史政生”组合中选出的同学人数为901232109060=++人.故选：C4.设

一组样本数据12,,...,naaa的方差为0.1，则数据123,3,...,3naaa的方差为（）A.0.3B.0.9C.3D.9【答案】B【解析】【分析】根据一组数据同时扩大n倍，方差将变为原来的2n倍，求出新方差即可.【详解】∵样本数据12,,...,naaa的方差为0.1，∴数据123

,3,...,3naaa的方差为230.10.9=.故选：B【点睛】若两组数据12,,...,nxxx和12,,...,nyyy满足线性关系()1,2iiykxbin=+=，设数据12,,...,nx

xx的均值为x，方差为2XS,数据12,,...,nyyy的均值为y，方差为2YS,则有：ykxb=+，222XYSkS=5.小李同学从网上购买了一本数学辅导书，快递员计划周日上午8:309:30−之间送货到家，小李上午有两节视频课，上课时间分别为7:508:30−和8:40

920:−，则辅导书恰好在小李同学非上课时间送到的概率为（）A.16B.14C.13D.12【答案】C【解析】【分析】利用几何概型−长度比值计算概率.【详解】快递员在周日上午8:309:30−之间送货，在这60分钟的任何时

候都有可能送货到家，而这期间，只有8:308:40−和9:209:30−这段时间没课，共20分钟，根据几何概型，-3-可知辅导书恰好在小李同学非上课时间送到的概率201603P==.故选：C6.若直线0x

yb+−=与曲线210xy−+=有公共点，则b的取值范围是（）A.[1,2]−B.[2,1]−C.[1,1]−D.[2,2]−【答案】B【解析】【分析】根据题意，对曲线的方程变形，分析可得曲线为圆x2+y2＝1的

下半部分，结合图形分析可得答案．【详解】根据题意，y21x=−−，变形可得x2+y2＝1（0y），为圆x2+y2＝1的下半部分，若直线x+y﹣b＝0与曲线y21x=−−有公共点，则当直线经过点A时，直线x+y﹣b＝0与曲线y21x=−有公共点此时b＝1，将直线向下平移至直线与曲线相切时，有2b−

=1，解可得b＝±2，又由b<0，则b2=−，则b的取值范围为[2,1]−；故选：B．【点睛】关键点点睛：曲线y21x=−−，变形可得x2+y2＝1（0y），为圆x2+y2＝1的下半部分，数形结合解决即可.-4-7.在正方体1111ABCDABCD−

中，点,EF分别是梭BC，CD的中点，则1AF与1CE所成角的余弦值为（）A.55B.255C.515D.2515【答案】D【解析】【分析】延长DA至G，使AGCE=，可证11//AGCE，得1GAF是异面直线1AF与1CE所成的角（或其补角）．在1AGF△中，由余

弦定理可得结论．【详解】延长DA至G，使AGCE=，连接1,GEGA,GF，11,ACAC，又//AGCE所以AGEC是平行四边形，//,GEACGEAC=，又正方体中1111//,ACACACAC=，所以1111//,ACDEACDE=，所以11ACEG是平行四边形，则11//AGCE，所以1G

AF是异面直线1AF与1CE所成的角（或其补角）．设正方体棱长为2，在正方体中易得15AG=，10GF=，22222112(21)3AFAAAF=+=++=，1AGF△中，22211111591025cos215253AGAFGFGAFAGAF+−+−=

==．故选：D．-5-【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求异面直线所成角的方法：（1）定义法：根据定义作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得结论；（2）建立空间直角坐标系，由两异面直线的方向向量的夹角得异面直线所成的角．8.

已知椭圆22221(0)xyCabab+=：的左､右焦点分别为1F，2F，过2F直线与椭圆C交于M，N两点，设线段1NF的中点D，若10MDNF=，且12//MFDF，则椭圆C的离心率为（）A.13B.33C.12D.22【答案】B【解析】【分析】

由10MDNF=得1MDNF⊥，结合D是中点，得等腰三角形，由平行线可得2F是MN中点，从而MNx⊥轴，利用勾股定理可得,ac的关系得离心率．【详解】因为10MDNF=，所以1MDNF⊥，又D是1NF中点，所以1MFMN

=，因为12//MFDF，所以2F是MN中点，则22MFNF=，因此MNx⊥轴，设2MFm=，则12MFm=，1232MFMFma+==，23am=，在12MFF△中，由勾股定理得22242()()(2)33mmc+=，

变形可得33cea==．故选：B．-6-【点睛】关键点点睛：：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是确定,,abc的等式．解题方法是由向量的数量积得出垂直后，根据三角形的性质得1MFN的性质（实质上它是等边三角形），特别是MNx⊥轴，然后结合椭圆定义利

用勾股定理可得．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.下列导数运算正确的有（）A.211xx=B.()(1)xxxexe=+C.()2

22xxee=D.()2ln2xx=【答案】BC【解析】【分析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.【详解】对于A，()12211xxxx−−==−=−，故错误；对于B，()()(1)xxxxxexexexe==++

，故正确；对于C，()()22222xxxexee==，故正确；对于D，()()''11ln222xxxx==，故错误.故选：BC.10.已知直线()1:120laxay+++=，()2:110laxay+−−=，则（）A.1l恒过点()2,2−B.若12ll//，则212a=C.若12ll⊥

，则21a=D.当01a时，2l不经过第三象限【答案】BD【解析】【分析】A.直线写成()20axyx+++=，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有()()211aaa+−=；C.两直线垂直，根据公式有()()110aa

aa++−=；D.根据直线2l不经过第三象限，求实数a的取值范围.-7-【详解】()()1:12020laxayaxyx+++=+++=，当020xyx+=+=，即2,2xy=−=，即直线恒过点()2,2−，故A不正确；若12ll//，则有()()21

1aaa+−=，解得：212a=，故B正确；若12ll⊥，则有()()110aaaa++−=，得0a=，故C不正确；若直线2l不经过第三象限，则当10a−时，101a−，01aa−−，解得：01a，当10a−=时，直线2:1lx=，也不过第

三象限，综上可知：01a时，2l不经过第三象限，故D正确.故选：BD11.某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（）A.众数的估计值为35B.中位数的估计值为35C.平均数的估计值为29.2D.样本中有

25名同学阅读时间不低于40分钟【答案】ACD【解析】【分析】根据频率分布直方图估计各数据特征：频率最大的那组数据的中间值为估计众数，频率为0.5对应的点的值为估计中位数，各组数据中间值乘以频率相加可得估计平均值．求出-8-不低于40分钟阅读时间的频率再乘以总体容量即可得所求

人数．【详解】由频率分布直方图知[30,40]的频率最大，因此众数估计值为35，A正确；由于[0,30]的频率为0.10.180.220.5++=，中位数是30，B错误；平均值估计为50.1150.18250.22350.25450.2550.0529.2+++++=，C

正确；不低于40分钟的人数为100(0.20.05)25+=，D正确．故选：ACD．12.已知双曲线22221(0,0)xyEabab−=：的左右焦点分别为1F，2F，P为双曲线右支上的点，若122FFPF=，且1230PFF=，则（）A.离心率为312+B.渐近线方程为3yx=C.若

2a=，则1PF的最小值为33+D.若2a=，则2PF的最小值为33−【答案】AC【解析】【分析】由12PFF△的边长结合双曲线的定义求得离心率，可得渐近线方程，设2a=求得c后可判断CD．【详解】122FFPF=，且1230PFF=，又122FFc=，所以22PFc=，12

30FPF=，21120PFF=，123PFc=，由双曲线定义得122(31)2PFPFca−=−=，所以131231cea+===−，A正确；222223131122bbcaaa+==−=−=，B错误；设2a=，

则31c=+，1PF的最小值为33ac+=+，C正确；2PF的最小值是31ca−=−，D错．故选：AC．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率、渐近线方程．考查双曲线中的最值．求-9-离心率、渐

近线方程关键是列出关于,,abc的齐次等式，然后利用222+=abc可得ca或ba．设P是双曲线右支上，左右焦点分别为1F，2F，则当P是右顶点时，1minPFac=+，2minPFca=−．三､填空题：本题共

4小题，每小题5分，共20分.13.设曲线3ln(1)yxx=−+在点(0,0)处的切线方程_________________.【答案】20xy−=【解析】【分析】求出函数的导函数，得到函数在0x=处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．【详解

】由题意，函数3ln(1)yxx=−+的导数为131yx=−+，可得曲线3ln(1)yxx=−+在点(0,0)处的切线斜率为312−=，即切线的斜率为2，则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)yx−=−，即为2y

x=，即20xy−=．故答案为20xy−=．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.某班级计划从甲，乙，丙，丁，戊五位同学中选择

三人作为代表参加师生座谈会，每人被选中的机会均等，则甲和乙同时被选中的概率为___________.【答案】310【解析】【分析】这是一个古典概型，先计算出从甲，乙，丙，丁，戊五位同学中选择三人的方法数，

再得到甲和乙同时被选中的方法数，代入公式求解.【详解】从甲，乙，丙，丁，戊五位同学中选择三人，有3510C=种方法，甲和乙同时被选中的方法有133C=，所以甲和乙同时被选中的概率为310p=，-10-故答案为：31015.抛物

线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线22yx=，平行于x轴的光线在抛物线上点P处反射后经过抛物线的焦点F，在抛物线上点Q处再次反射，又沿平行

于x轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为___________.【答案】2【解析】【分析】作出图像，设1122(,),(,)AxyBxy，题中问题即为求12||yy−的最小值，设直线，联立，用韦达定理表示即可得解

.【详解】根据题意作出图像，如图所示，设1122(,),(,)AxyBxy，题中问题即为求12||yy−的最小值.设1:2ABxty=+，由2122xtyyx=+=，得2210yty−−=，所以12122,1yytyy+==−.所以22121212|

|()444yyyyyyt−=+−=+，当0t=时，12||yy−最小为2.-11-故答案为：2.16.已知直线:320lxy+−=与圆22:1Cxy+=相切，设切点为M，点P在直线l上，N为圆上一动点，若MPN的最大值为90，则OP等于___________.(O为坐标原点)【答

案】2【解析】【分析】由MPN最大时，PN也为圆的切线，及最大值为90知OMPN是正方形，从而易得OP【详解】因为PM是已知圆的切线，若MPN的最大，则PN也是圆的切线，又MPN的最大值为90，所以四边形OMPN是正方形，22

OPOM==．故答案为：2．【点睛】结论点睛：设P是圆外一点，,MN是圆的上任意两点，则MPN最大时，,PMPN都是圆的切线．四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.小区门口有一个熟食摊位，经过一段时间的统计，发现菜品

种类和日销售收入之间有一定关系，具体统计数据如下表：菜品种类t45678910日销售收入y147159171184197210221（1）建立y关于t的回归方程：(y保留整数)（2）根据所求回归方程，预测如果希望日销售收人超300元，则菜品种类至少多少种？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公

式分别为：()()()121ˆniiinjittyybtt==−−=−，aybt=−，参考数据：()()1350niiittyy=−−=，()2128niitt=−=.【答案】（1）ˆ12.596.5yt=+；（2）菜品种类至少

17种.-12-【解析】【分析】（1）先求t和y，再根据参考公式计算ˆb和ˆa，计算回归直线方程；（2）根据回归直线方程，计算当ˆ300y时，求x的取值范围.【详解】（1）由题4567891077t++++++==，1

471591711841972102211847y++++++=；()()()121ˆ12.5niiiniittyybtt==−−==−，ˆˆ18412.5796.5aybt=−=−=所以回归方程为ˆ12.59

6.5yt=+（2）由ˆ12.596.5300yx=+，解得16.28x所以菜品种类至少17种.18.在平面直角坐标系xOy中，曲线214133yxx=−+与坐标轴的交点都在圆C上.（1）求圆C的方程；（2）设过

点()0,2P−的直线l与圆C交于A，B两点，且2AB=，求l的方程.【答案】（1）22(2)(2)5xy−+−=；（2）0x=或者3480xy−−=.【解析】【分析】（1）求出曲线与坐标轴的三个交点坐标，设圆的一般方程，代入三点为坐标可得圆的方程，后

得标准方程；（2）检验直线l斜率不存在时符合题意，再设斜率存在时的直线方程为2ykx=−，求出圆心到直线的距离，勾股定理表示出弦长后可求得参数k，得直线方程．【详解】解：（1）设曲线214133yxx=−+，与坐标轴的交点分别为()1,0，()3,0，()0,1

，设圆的方程为220xyDxEyF++++=，代入点坐标可解得4D=−，4E=−，3F=，-13-从而圆的方程为224430xyxy+−−+=，即22(2)(2)5xy−+−=；（2）由2AB=得圆心()2,2到直线距离为2；当直线l斜率不存在时，方程为0

x=，满足题意；直线l斜率存在时，设直线:2lykx=−，即20kxy−−=，由题2|24|21kdk−==+，解得4k=，所以直线方程为324yx=−，即3480xy−−=综上，从而直线l方程为0x=或者3480xy−−=.【点睛】方法

点睛：本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．已知圆上三点坐标时，可设圆的一般方程，代入三点坐标后解方程组求解．已知弦长求直线方程，需要检验直线斜率不存在时的直线是否满足题意，在斜率存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，用勾股定理表示出弦长后从而可得参数值，得

直线方程．19.如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD−中，90ABC−，SA⊥平面ABCD，22SAABBCAD====，E是SC的中点.（1）证明：//DE平面SAB；（2）求直线CD与平面BED所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）23015.【解析】【分析】（1）

取BS中点F，连接AF，EF，易得四边形ADEF为平行四边形，则//DEAF，再利用线面平行的判定定理证明；（2）以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴建立空间直角坐标系，求得向-14-量CD的

坐标和平面BDE的一个法向量(),,nxyz=，由sincos,||||nCDnCDnCD==求解.【详解】（1）如图所示：取BS中点，设为F，连接AF，EF，因为2,//BCADADBC=，所以//,ADEFADEF=，所以四

边形ADEF为平行四边形，所以//DEAF，又DE平面SAB，AF平面SAB，所以//DE平面SAB；（2）以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,2,0B，()2,2,0C，()1,0,0D，()1,1,1E，从

而()1,2,0CD=−−，()1,2,0BD=−，()0,1,1DE=，-15-设平面BDE的一个法向量为(),,nxyz=，则00BDnDEn==，即200xyyz−=+=，令1y=，则21xz==

−，所以平面BDE的一个法向量为(2,1,1)n=−，设直线CD与平面BED所成角为，所以22230sincos,15||||56nCDnCDnCD−−====.所以直线CD与平面BED所成角的正弦值是23015.【点睛】方法点睛：利

用向量求线面角的方法：（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．20.已

知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，过点()2,0A的直线l交C于M，N两点，当MN与x轴垂直时，MNF的周长为9.（1）求C的方程：（2）在x轴上是否存在点P，使得OPMOPN=恒成立(O为坐标原点)？若存在求出坐标，若不存在说明理由.【答案】（1）22yx=；（2）

存在，P点坐标为()2,0−.【解析】【分析】（1）利用焦半径公式表示||||MFNF=，代入坐标2x=，求MN的长度，并表示MNF的周长，求p；（2）假设存在点()0,0Px，设:2lxmy=+，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示0MPNPkk+=，求定点0x的值.【

详解】（1）当MN与x轴垂直时，||||22pMFNF==+，||4MNp=，从而有449pp++=解得1p=，所以C的方程为22yx=；-16-（2）设()0,0Px，()11,Mxy，()22,Nxy，由题可知直线l斜率不为零，设:2lxmy=+，代入抛物线方程22yx=消去x，得224

0ymy−−=，从而122yym+=，124yy=−，①由OPMOPN=可得0MPNPkk+=，而121020MPNPyykkxxxx+=+−−12102022yymyxmyx=++−+−()()()()1201210202222myyxyymyxmy

x+−+=+−+−将①代入，从而得()()0102042022mmxmyxmyx−−=+−+−恒成立，所以02x=−，因此存在点P满足题意，P点坐标为()2,0−.【点睛】思路点睛：定点问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方

程，整理成一元二次方程；（2）韦达定理列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.21.如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直

，=2ABAD=，3AF=，120BAD=，M是EF中点.（1）证明：平面BEF⊥平面DEF；（2）求二面角DAMB−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35-.【解析】-17-【分析】（1）先通过证DMEF⊥，DMBM⊥，证得DM⊥平面BEF，进而可证明平面

BEF⊥平面DEF；（2）先证得OM⊥平面ABCD，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立空间直角坐标系，用向量法即可求解二面角DAMB−−的余弦值.【详解】（1）证明：由题可得7DEDFDEBF====，所以D

MEF⊥，在题可知ABC为等边三角形，所以2ACAD==，从而2EF=因此在DEF中716DM=−=，从而有6BM=，而23BD=，满足222BMDMBD+=，从而有DMBM⊥，又BMEFM=，从而DM⊥平面BEF，而DM平面DEF，从而平面BEF⊥平面DEF；（2）由

平面AFEC⊥平面ABCD，而AF与两平面交线AC垂直，从而有AF⊥平面ABCD，设ACBDO=，则//OMAF，从而有OM⊥平面ABCD，因此以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A，()0,3,0B，()0

,3,0D−，()0,0,3M，从而()1,3,0AD=−−，()1,3,0AB=−，()1,0,3AM=−设平面ADM的法向量为()1111,,xnyz=，则1100ADnAMn==，即11113030xyx

z−−=−+=，令3x=，则11yz=−=，所以平面ADM的一个法向量为()13,1,1n=−，所以平面ANM的一个法向量为2222(,,)nxyz=，则2200ABnAMn==，即22223030xyxz−+

=−+=，令3x=，则11yz==，所以平面ADM的一个法向量为2(3,1,1)n=，-18-则1212123113cos,555nnnnnn−+===又二面角DAMB−−为钝二面角，所以余弦值为35-.22.已知椭圆22221(0)xyEa

bab+=：的左右焦点分别为1F，2F，离心率为12，直线():0lykxtt=+与以12FF为直径的圆相切于点P，当1k=时，12PFF△的面积为22；（1）求E的方程；（2）直线l与椭圆交于A，B两点，设0k时，线段AB的垂直平分线与x轴交于点(),0Mm，求m的取

值范围.【答案】（1）22143xy+=；（2）1,04−.【解析】【分析】（1）由直线l斜率为1且圆相切，得14POF=(O为原点)，从而12PFF△的面积可用c表示出来，从而求得c，再由离心率求得a，然后可得b，得椭圆方程；（2）设()1

1,Axy，()22,Bxy，将直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得12xx+，从而可得AB中点坐标，写出AB中垂线方程，令0y=可得m，由直线与圆相切得,kt关系，这样m可化为一元函数，再用换元法可求得取值范围．【详解】解：（1）设1(,0)Fc−，2(,0)Fc=，当

1k=时，14POF=(O为原点)，-19-从而121222222PFFScc==，从而解得1c=，又离心率12cea==，所以2a=，从而3b=，因此E的方程为22143xy+=；（2）设()11,Axy，()22,Bxy

，将()0,0ykxtkt=+，代入椭圆方程22143xy+=，消去y，得()2224384120kxktxt+++−=，从而122843ktxxk−+=+，212241243txxk−=+，①设AB的中点为()00,Qxy，则02443ktxk−=+，02343tyk=+，从而AB的中垂

线方程为223144343tktyxkkk−−=−−++，令0y=，解得243ktmk−=+，由线l与以12FF为直径的圆相切，得211tk=+，即21tk=+从而2422221143434kkkkm

kk−++==−++令2130,344nk=+，则213114162mnn=−−−+由函数2314101623ynnn=−−+取值范围为()0,1，得m的取值范围为1,04−.-20-【点

睛】关键点点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．解题关键建立m与参数的函数式，方法是：由直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得弦中心坐标得弦垂直平分线方程，从而可求得m，利用直线与圆相切得参数,kt关系后可得所需要的函数式，换元后可求得取值范围．