【文档说明】安徽省马鞍山市2023届高三下学期第三次教学质量监测（三模）数学答案.docx，共(10)页，624.909 KB，由小赞的店铺上传

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2023届马鞍山市高三第三次教学质量检测数学本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相

应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用

黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一

并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合{|03}Mxx=<<，1{|4}2Nxx=≤≤，则MN=A．1{|0}2xx≤B．1{|3}2xx≤C．{|34}x

x≤≤D．{|04}xx≤【答案】B．2．若复数z满足ii43iz+=+，则z=A．33i−B．33i+C．33i−−D．33i−+【答案】D．3．已知向量(11)=−，a，(2)x=，b，若//ab，则||−=abA．32B．3C．22D．2【答案】A．4．据

史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具．算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推，遇零则置空．如下图所示：如：10记

为，26记为，71记为．现有4根算筹，可表示出两位数的个数为A．8B．9C．10D．12【答案】C．5．记函数π()sin()6fxx=+(0)的最小正周期为T，若ππ2T，且π()()8fxf≤，则=A．113B．103C．83D．43横式纵式987654321【

答案】C．6．函数()fx的定义域为R，()2exyfx=+是偶函数，()3exyfx=−是奇函数，则()fx的最小值为A．eB．5C．22D．25【答案】B．7．某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽

取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为1，方差为1；高三（2）班答对题目的平均数为1.5，方差为0.35，则这10人答对题目的方差为A．0.61B．0.675C．0.74D．0.8【答案】D．8．已知12FF，分别是双曲线2222:1(00)xyCabab−=，的左，右

焦点，点M在双曲线上，12MFMF⊥，圆22223:()2Oxyab+=+，直线1MF与圆O相交于AB，两点，直线2MF与圆O相交于PQ，两点，若四边形APBQ的面积为227b，则C的离心率为A．62B．324C．32D．98【答案】A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在

每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知抛物线C：22(0)ypxp=的焦点为F，点O为坐标原点，点(44)A，在抛物线上，直线AF与抛物线C交于点B，则A．C的准线方程

为2x=−B．||6AB=C．直线AB的斜率为43D．3OAOB=−【答案】CD．10．在正三棱锥-PABC中，DE，分别为棱PABC，的中点，GH，分别在线段BDPE，上，且满足::2BGGDPHHE==，则下列说法一定正确的是A．直线GH与平面ABC平行B．直线GH与PB垂直C．直线GH与A

C异面D．直线GH与PA所成角为60【答案】AB．11．已知函数()cos(3)2fxAx=+−（π002A，），若函数()yfx=的部分图象如图所示，则关于函数()sin()gxAAx=−，下列结论正确

的是A．()gx的图象关于直线π18x=−对称510.5OyxB．()gx的图象关于点π(0)9，对称C．()gx在区间π[0]2，上的单调递增区间为5π[0]18，D．()gx的图象可由()2yfx=+的图象向左平移π6个单位得到【答案】ABC．

12．已知函数2()()elnxfxxxx=++的零点为0x，下列判断正确的是A．012xB．01exC．00eln0xx+D．00ln0xx+【答案】ABD．【解析】易知函数()fx在(0,)+上单调递增，因为13()eln21ln2024f=−−，所以

012x，A正确；因为11333e2222221e1e13()e1e1e(e1e)e(e1e)0eee2f−−++=−−=+−+−，所以01ex，B正确；因为01ex，所以0ln1x−，又01xe，所以00eln0xx+，C错误；因为012x，00

1lnln202xx+−，D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数21()fxxx=+，则函数()fx在1x=处的切线方程为．【答案】10xy−+=．14．甲、乙等6名同学报名参加4个社区的服务工作，每

人只能选一个社区，则甲、乙选到同一个社区的概率为．【答案】14．【命题意图】，难度：简单题．15．设数列na满足11a=，232a=，且22211(1)(2)nnnnanaann+−=−*N，，则6a=．【答案】812．16．如图，在矩形AB

CD中，232ABAD==，，点PQ，分别为边ABCD，的中点．将ACD△沿AC折起，在翻折过程中，直线PQ被三棱锥-DABC的外接球截得的线段长的取值范围为．【答案】(13,4)．QPDCBA四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知数列na中，11a=，nS是数列na的前n项和，数列2nnSa是公差为1的等差数列．（1）求数列na的通项公式；（2）证明：121112nSSS+++．【解析】（1）因为数列2nnSa是首项为2，公差为1的等

差数列，所以()22111nnSnna=+−=+，则()21nnSna=+，………2分所以112nnSna−−=（2n）两式相减得：()121nnnanana−=+−，则11nnanan−=−………3分121121121121nnnnnaaannaanaaann−−−−==

=−−（2n），又11a=适合上式，故nan=．………5分另解：由()121nnnanana−=+−得11nnaann−=−（2n），故{}nan为常数列，则111naan==，故nan=．（2）由（1

）得()12nnnS+=，所以()1211211nSnnnn==−++，………8分则12111111111212221222311nSSSnnn+++=−+−++−=−

++．……10分18．（12分）如图，在圆台1OO中，11ABAB，分别为上、下底面圆的直径，且11//ABAB，113ABAB=，1CC为异于11AABB，的一条母线，点M在线段AC上，且13AMAC=．（1）求证：1//CM平面11AB

BA；（2）若14430OOABABC===，，，求二面角1--ACCO的正弦值．【解析】（1）证明：如图延长11,AACC交于点P，ABCOO1A1B1C1M再连接11OC，则1,,POO三点共线，又11113PCOCPCOC==，………2分所以在PAC△中，11

3PCAMACPC==，则11//CMAA，又1AA平面11ABBA，1CM平面11ABBA，故1//CM平面11ABBA．………5分（2）解：以O为坐标原点，在底面ABC内，以OB所在直线分别y轴，过O作垂直于AB的直线为x轴，以1OO所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系-Oxyz

.因为30ABC=，所以60AOC=，则10,2,03,1,0(0,0,4)ACO−−（），（），因为(3,1,0)OC=−，所以1111313,1,0,,03333OCOC==−=−（）（）所以131,,43

3C−（），所以1232,,433CC=−−（），………7分设平面1OCC的法向量为1111,,nxyz=（）由111nOCnCC⊥⊥，则11111310332324033xyxyz−=−−=所以平面1OCC的一个法向量为11,3,0n=（），………9分又3

,1,0AC=（），设平面1ACC的法向量为2222,,nxyz=（）由221nACnCC⊥⊥，则22222302324033xyxyz+=−−=所以平面1ACC的一个法向量为231,3,3n=（-），………11分则12121239cos,13nnnnnn==−，设二面角

1--ACCO的大小为，则212130sin1cos,13nn=−=．………12分19．（12分）记ABC△的三个内角ABC，，的对边分别为abc，，，已知2π3A=，4a=，D是BC上的一点．（1）若2CDDB=，且AD平分BAC，求c；zyxABCOO1A1B1C1MP（2

）若sinsin32BADCADbc+=，求AD的长．【解析】（1）由题意知，2bc=，由2π3A=得222abcbc=++，………3分联立可得7ac=，故477c=．………5分（2）在ABD△中，由正弦定理得sinsinBADBBDAD=，则sinsinBDBBADA

D=；在ACD△中，由正弦定理得sinsinCADCCDAD=，则sinsinCDCCADAD=，………8分sinsinsinsinsinsin()sinBADCADBDBCDCBDACDABDCDAbcA

DbADcADaADaADa++=+=+=sin3322aAADaAD===，………11分1AD=．………12分20．（12分）强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新

材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节．（1）某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标x和分析

判断力测试指标y进行统计分析，得到下表数据：x79101113y34567请用线性相关系数判断该组数据中y与x之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到0.01）（2）现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高

校，每门笔试科目通过的概率均为35；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为1435m，，，其中01m．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求m的取值范围．参考数据：521520iix==

，521135iiy==，21.414；参考公式：线性相关系数：12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−．一般地，||0.75r时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系．【解析】（1）由题意，可得：79101113

105x++++==，3456755y++++==，512136506691264iiixy==++++=，521520iix==，521135iiy==，………2分因为112222221111()()()()nniiiiiinnnnii

iiiiiixxyyxynxyrxxyyxnxyny======−−−==−−−−，将上述数值代入，得2645105140.990.75(520500)(135125)102r−==−−，………4分所

以y与x之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合．………5分（2）通过甲高校的考试科目数3~3,5XB（），则39()355EX==，………7分设通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的可能取值为0,1,2,3，则：14

2(1)01)(1)(1)3515mPYm−==−−−=（）（，141414791(1)(1)(1)(1)(1)(1)35353515mPYmmm−+==−−+−−+−−=（），141414542(1)(1)(1)35353515mPYmmm+==−+−+−

=（），144(3)3515mPYm===，则21)79544151701231515151515mmmmmEY−−+++=+++=（（），………10分由题意知，EXEY（）（），即91517515m+，解得23m，又因为01m，综上，m的取

值范围为2,13m（）．………12分21．（12分）已知AB，为椭圆E：2215xy+=上两点，点(10)P，满足APPB=，过点A与点(32)Q，的直线与直线5x=交于点M．（1）当ABx⊥轴且A在x轴上方时，求直

线BM的斜率；（2）已知1[2]2，，记APQ△的面积为1S，ABM△的面积为2S，求12SS的取值范围．【解析】（1）设0(1,)Ay（00y），则0(1,)By−，直线AQ的方程为：022(3)2yyx−−=−，令5x=，得0(5,4)My−，………3分所以直线BM的斜率为0

04151yy−+=−．………5分（2）当直线AB斜率不存在时，由（1）知1BMPQkk==，则//PQBM，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为：(1)ykx=−（1k），1122(,),(,)AxyBxy联立(1)ykx=−与2215xy+=得：222

2(15)10550kxkxk+−+−=，则21221015kxxk+=+，21225515kxxk−=+………6分直线AQ的方程为：1122(3)3yyxx−−=−−，令5x=，得1112(5)(5,)3

xyMx+−−，………7分11211112122122(5)32(5)(3)(3)(5)115(3)(5)BMxyyxxyxyxxkxxx+−−−+−−−−−−−=−=−−−121212(1)[3()5](3)(5)kxxxxxx−−++=−−因为22212122225530

5(15)3()50151515kkkxxxxkkk−+−++=−+=+++，………10分所以1BMk=，故1BMPQkk==，//PQBM，则2212||()()||1SAPSAB==+，因为1[2]2，，所以12[,]133+，则1214[,]99

SS．………12分法二：设1122(,),(,)AxyBxy，由APPB=得12121,011xxyy++==++，则121xx+=+①，120yy+=，………7分由2211222222215

5xyxy+=+=得212121212()()()()15xxxxyyyy+−++−=−，则125(1)xx−=−②，联立①②得132x=−，………9分所以211213||||3(32)()||||1515(32)1SxAPAQSABAMx−

−−====+−+−−+，因为1[2]2，，所以12[,]133+，则1214[,]99SS．………12分22．（12分）已知函数()(12)ln()fxxaxa=+−−（1）当2a=时，求函

数()fx的极值；（2）当1xa+≥时，()1fxx−≥恒成立，求实数a的取值范围．【解析】（1）当2a=时，31()ln(2)ln(2)122xfxxxxx−=−+=−−+−−，………2分则()fx在(2,)+上单调递增，因为(3)0f=，所以()fx在(

2,3)上单调递减，在(3,)+上单调递增，………4分()fx的极小值为(3)0f=，无极大值．………5分（2）令1txa=−≥，则()1fxx−≥即(1)ln1tatta+−+−≥，因为1ln0t+即1(1)ln(ln1)11l

n1lntttttatt−++−=+++≤在1t≥时恒成立，………8分令(ln1)()11lnttgtt−=++，222(1ln)ln(ln1)(ln)1()0(1ln)(1ln)ttttgttt+−−+==++，故()gt单调递增，……

…10分所以()(1)0gtg=≥，故(0]a−，．………12分注：其他解法酌情给分．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com