【文档说明】宁夏固原市第五中学2021届高三上学期期末考试数学（文）试题 含解析【精准解析】.doc，共(17)页，1.236 MB，由小赞的店铺上传

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五原中学2021届高三上学期期末考试数学试题（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1,2}A=−，{|03}Bxx=，则AB=（）．A.{1,0,1}−B.{0,1}C.{1,1,2}−D.

{1,2}【答案】D【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}AB=−=II，故选：D.【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.椭圆22194xy+=的离心率是

（）A.133B.53C.23D.59【答案】B【解析】【分析】由题可知，3a=，2b=，求出c，即可求出椭圆的离心率．【详解】因为椭圆22194xy+=中3a=，2b=，所以225cab=−=，得53cea==，故选：B．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，以及灵活运用椭圆的简单

性质化简求值．3.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A.3yx=B.1yx=+C.21yx=−+D.2xy−=【答案】B【解析】【分析】由题意逐一考查所给函数的奇偶性和单调性即可求得最终结果．【详解】根据函数的基本性质，逐项判定：对于A中，函数y=x3是奇函数

，在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意；对于B中，函数y=|x|+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增；对于C中，函数y=-x2+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意；对于D中，函数y=2

-|x|是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数的奇偶性判定及应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．4.已知等差数列na，其前n项和为nS，34

59aaa++=，则7S=（）A3B.7C.21D.42【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质可得43a=，而由求和公式可得747Sa=，代入可得答案．【详解】由等差数列的性质可得3542aaa+=，又3459aaa++=，所

以44393aa==，而()1747477272122aaaSa+====故选：C．5.已知,2，3sin5=，则tan4+=（）A.17B.7C.17−D.-7【答案】A【解析】【分析】根据角的范围以及平方关系求出4co

s,5=−再利用商的关系求出3tan4=−，最后由两角和的正切公式可得答案.【详解】因为,2，3sin5=，所以24cos1sin,5=−−=−sin3tancos4==−，tantan4tan41tantan4

++==−17故选：A.【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.6.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率为52，则C的渐近线方程为（）A.14yx=B.13yx=C.12yx=D.yx=【答案】

C【解析】【分析】根据题意，由双曲线的离心率为52，分析可得22222222514cabbeaaa+===+=，计算可得ba的值，结合焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程即可得答案【详解】解：根据题意，双曲线2222:1(0,0)xyCaba

b−=的离心率为52，则有22222222514cabbeaaa+===+=，即2214ba=，即有12ba=，又由双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为：12yx=；故选：C.7.设x，y满足约束条件02010x

yxyy−−−，则2zxy=+的最大值是()A.0B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数2zxy=+对应的直线进行平移，可得最优解，然后求解即可．【详解

】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域得到如图阴影部分及其内部，其中(2A，1)，(1,1)B，O为坐标原点设(,)2zFxyxy==+，将直线:2lzxy=+进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值(zF=最大值2，1)2215=+=．故选：D．【点睛】

本题考查通过几何法求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．8.在正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切

值为A.22B.32C.52D.72【答案】C【解析】【分析】利用正方体1111ABCDABCD−中，//CDAB，将问题转化为求共面直线AB与AE所成角的正切值，在ABE中进行计算即可.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，//CDAB，所以异面直线AE与CD所成角为EAB，设

正方体边长为2a，则由E为棱1CC的中点，可得CEa=，所以5BEa=，则55tan22BEaEABABa===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构

造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.9.已知命题p：xR，23xx；命题q：xR，321x

x=−，则下列命题中为真命题的是：（）A.pqB.pqC.pqD.pq【答案】B【解析】【分析】【详解】0x=可知:命题p：xR，23xx为假命题，由函数图象可知命题32:,1qxRxx=−为真命题，所以pq为真命题．考点：命题的真假判断．10

.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的离心率为5，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为（）A.22128xy−=B.2214xy−=C.221

416xy−=D.2214yx−=【答案】D【解析】【分析】由右焦点到渐近线的距离以及三角形面积公式得到2ab=，结合离心率公式列出方程，求出221,4ab==，即可得到双曲线的方程.【详解】因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离,FAbOAa==，所

以ab＝2又双曲线C的离心率为5，所以2215ba+=，即224ba=，所以221,4ab==所以双曲线C的方程为2214yx−=故选：D【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程，属于中档题.11.已知函数()3sincos(0)fxxx=+，满足：12(

)0,()2,fxfx==−且12xx−的最小值为2，则的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()yfx=的解析式，可知12xx−的最小值为函数()yfx=的最小正周期的14，可求得函数()yfx=的最小

正周期，进而可求得正数的值.【详解】()()3sincos2sin06fxxxx=+=+，因为12xx−的最小值为函数()yfx=的最小正周期的14，所以，函数()yfx=的最小正周期为422T==.因此，21T==

.故选：A12.已知函数f（x）＝lnx﹣ax（x∈[1，+∞）），若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围为（）A.[1，+∞）B.（﹣∞，1e）C.[1e，+∞）D.[0，+∞）【答案】C【解析】【分析】由题知：等价于：lnxax，[1,)x+

恒成立.令ln()xgxx=，即：max()agx≥即可.【详解】由题知：ln0xax−，[1,)x+恒成立，等价于：lnxax，[1,)x+恒成立.令ln()xgxx=，即：max()agx≥即可.221ln1ln()xxxxgxxx−−==令()

0gx=，xe=.[1,)xe，()0gx，()gx为增函数，[,)xe+，()0gx，()gx为减函数，max1()()gxgee==，所以1ae.故选：C【点睛】本题主要考查导数中的恒成立问题，分离参数是

解决本题的关键，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()2,3,3,abm=−=，且ab⊥，则m=________．【答案】2【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方

程求得m的值.【详解】由题意可得02330abm=−+=，解得2m=.故答案为：2【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.14.圆心在原点上与直线20xy+−=相切的圆的方程为．【答案】x2+y2=2【解析】试题分析：圆心()0,0到直线的距离为0

02222dr+−===，圆的方程为x2＋y2＝2考点：直线与圆相切的位置关系15.点P是椭圆22:1167xyC+=上的一点，12,FF是椭圆的两个焦点，且12PFF△的内切圆半径为1．当点P在第一象限时，它的纵坐标为__________．【答案】73【解析】【分析】椭圆的

焦点三角形问题，充分利用椭圆的定义，从两个角度表示出12PFFS，建立关于py的关系式求解.【详解】因为128PFPF+=，126FF=，所以()1212121172PFFSPFPFFF=++=；又

因为12121372PFFppSFFyy===，所以73py=．故答案为：73【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝

2a等.16.已知H是球O的直径AB上一点，:1:3AHHB=，AB⊥平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为__________.【答案】163【解析】【分析】求出截面圆H的半径，设AHx=，可得出3HBx=，从而可知，球O的半径为2x，根据勾股

定理求出x的值，可得出球O的半径，进而可求得球O的表面积.【详解】如下图所示，设AHx=，可得出3HBx=，则球O的直径为4ABx=，球O的半径为2x，设截面圆H的半径为r，可得2r=，1r=，由勾股定理可得()2222OHrx+=，即()22214xAHx−+=，即2214xx+=，

33x=，所以，球O的半径为2323x=，则球O的表面积为22316433S==.故答案为：163.【点睛】方法点睛：在求解有关球的截面圆的问题时，一般利用球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者之间满足

勾股定理来求解.三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知()22abcab−=−.（1）求角C；（2）若4cossin02cAbC++=

，1a=，求ABC的面积.【答案】（1）3（2）3【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求cosC，从而得到C的值.（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4ba=，得到b值后利用面积公式可求ABCS.【详解

】（1）由()22abcab−=−，得222abcab+−=.所以由余弦定理，得2221cos22abcCab+−==.又因为()0,C，所以3C=.（2）由4cossin02cAbC++=，得4sinsin

0cAbC−+=.由正弦定理，得4cabc=，因为0c，所以4ba=.又因1a=，所以4b=.所以ABC的面积113sin143222SabC===.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式

，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.18.如图所示，在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知A

D∥BC，∠ASC＝60°，2ADDC==，SA＝SC＝SD＝2．（1）求证：AC⊥SD；（2）求三棱锥B﹣SAD的体积．【答案】（1）见解析；（2）33【解析】【分析】（1）取AC中点O，连结OD，SO，由等腰三角形的性质可知AC⊥SO，AC⊥OD，故AC⊥平面SO

D，于是AC⊥SD；（2）由△ASC是等边三角形可求得SO，AC，结合已知条件，利用勾股定理得AD⊥CD，SO⊥OD，故SO⊥平面ABCD，再利用三棱锥体积转化计算即可．【详解】（1）取AC中点O，连结OD，SO，∵SA＝SC，∴SO⊥AC

，∵AD＝CD，∴OD⊥AC，又∵OS⊂平面SOD，OD⊂平面SOD，OS∩OD＝O，∴AC⊥平面SOD，∵SD⊂平面SOD，∴AC⊥SD．（2）∵SA＝SC＝2，∠ASC＝60°，∴△ASC是等边三角形，∴AC＝2，OS＝3，∵AD＝CD＝2，∴AD2+

CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，OD＝12AC＝1．∵SD＝2，∴SO2+OD2＝SD2，∴SO⊥OD，又∵SO⊥AC，AC⊂平面ABCD，OD⊂平面ABCD，AC∩OD＝O，∴SO⊥平面ABCD，∴V棱锥B﹣SAD＝V棱锥S﹣ABD＝13S△ABD•SO＝113ADCDSO=32

3．【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质，三棱锥的体积计算，考查了体积转化思想，属于中档题．19.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=过点(0,2)，且离心率22e=（1）求椭圆E的方程；（2）设直:1()lxmymR=−交椭圆E于,AB两点，判断点9(,0)

4G−与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】(1)22142xy+=(2)点G在以AB为直径的圆外【解析】【分析】【详解】解法一：（Ⅰ）由已知得2222,2{,2,bcaabc===+解得2{22abc===所以椭圆E

的方程为22142xy+=．（Ⅱ）设点1122(y),B(,y),AxxAB中点为00H(,y)x．由22221{(2)230,142xmymymyxy=−+−−=+=得所以12122223y+y=,yy=m2m2m，++从而022mym=+.所以2222222000

00095525GH|()()(+1)++44216xymyymymy=++=++=.22222121212()(y)(m+1)(y)|AB|444xxyy-+--==22221212012(m+1)[(y)4y](m+1)(yy)4yyy+-==-,故222222012222|AB|525

53(m+1)25172|GH|my(m+1)y042162(m2)m21616(m2)mmy+-=++=-+=>+++所以|AB||GH|>2，故G9(4-,0)在以AB为直径的圆外．解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设点1122(y),B(,y),Axx，则112299GA(,),GB(,).44

xyxy=+=+由22221{(2)230,142xmymymyxy=−+−−=+=得所以12122223y+y=,yy=m2m2m，++从而121212129955GAGB()()()()4444xxyymymyyy=+++=+++22212122252553(m+1)25(m+1

)y(y)4162(m2)m216mymy=+++=-+++22172016(m2)m+=>+所以cosGA,GB0,GAGB又，狁>不共线，所以AGBÐ为锐角.故点G9(4-,0)在以AB为直径的圆外．考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．20.已知函数

()ln1fxxax=−+()aR.（1）当4a=时，求()fx在()1,(1)f处的切线方程；（2）若函数()fx有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）30xy+=；（2）(0,1).【解析】【分析】（1）求出()fx在1x=处的导数值

，即切线斜率，求出()1f，即可得出切线方程；（2）分离参数得ln1xax+=，则()fx有两个零点等价于ya=和ln1xyx+=有两个交点，利用导数判断ln1xyx+=的单调性即可得出.【详解】解：（1）当4a=时，()ln41fxxx=−+，(1)3f=−.1()4fxx=−，(1)3f

=−.∴切线方程为33(1)yx+=−−，即30xy+=；（2）函数的定义域是(0,)+，令()0fx=，则ln1xax+=.设ln1(),()xhxagxx+==，则()hxa=与ln1()(0)xgxxx+=的图象在(0,)+上有两个交点.

2ln()xgxx−=，令()0gx=，则1x=，01x当，()0gx；当1x时，()0gx，()gx在()0,1上单调递增，在()1,+单调递减，max()(1)1gxg==.1()0ge=，当1x时，()0gx，∴a的取值范

围是(0,1).【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数范围，解题的关键是分离参数，转化为ya=和ln1xyx+=有两个交点，利用导数求ln1xyx+=的单调性和最值即可.21.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是：22(22xmttyt=+=是参数，

m是常数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为6cos=．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且||2PQ=，求实数m的值．【答案】(1)0xym−−=，22(3)9

xy−+=；(2)1m=−或7m=．【解析】【分析】（1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式求出结果．【详解】（1）因为直线l的参数方程是：22(22xmttyt=+=是参数），所以直线l的普通方程为0xym−−=．

因为曲线C的极坐标方程为6cos=，故26cos=，所以226xyx+=所以曲线C的直角坐标方程是22(3)9xy−+=（2）设圆心到直线l的距离为d，则223122d=−=，又|3|222md−==，所以|3|4m−=，即1m=−或7m=．【点睛】本题考查的知

识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22.已知()|||2|().fxxaxxxa=−+−−（1）当1a=时，求不等式()0fx的解集；（2

）若(,1)x−时，()0fx，求a的取值范围.【答案】（1）(,1)−；（2）[1,)+【解析】【分析】（1）根据1a=，将原不等式化为|1||2|(1)0xxxx−+−−，分别讨论1x，12x，2x三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论1a和1a两种

情况，即可得出结果.【详解】（1）当1a=时，原不等式可化为|1||2|(1)0xxxx−+−−；当1x时，原不等式可化为(1)(2)(1)0xxxx−+−−，即2(1)0x−，显然成立，此时解集为(,1)−；当12x时，原不等式可化为(1)(2)(1)0xxxx−+−−，

解得1x，此时解集为空集；当2x时，原不等式可化为(1)(2)(1)0xxxx−+−−，即2(10)x−，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)−；（2）当1a时，因为(,1)x−，所以由()

0fx可得()(2)()0axxxxa−+−−，即()(1)0xax−−，显然恒成立；所以1a满足题意；当1a时，2(),1()2()(1),xaaxfxxaxxa−=−−，因为1ax时，()0fx显然不能成立，所以1a不满足题意；综上，a的取值范围是[1,)

+.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.