【文档说明】《八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）》17.3 《勾股定理》章末复习（基础巩固）.doc，共(17)页，528.000 KB，由管理员店铺上传

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1第十七章勾股定理17.3《勾股定理》章末复习（基础巩固）【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边ab、的平方和等于斜边c的平方.（即：222abc+=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做

互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长abc、、，满足222abc+=，那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是

直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；（2）验证2c与22ab+是否具有相等关系，若222abc+=，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程222xyz+=的三个正整数，称为勾股数（又称为高

数或毕达哥拉斯数），显然，以xyz、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.2如果(abc、、)是勾股数，当t为正整数时，

以atbtct、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为abc、、，且abc，那么存在2abc=+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29

＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用例1、已知直角三角形

的两边长分别为6和8，求第三边的长．【答案与解析】解：设第三边为x．当x为斜边时，由勾股定理得22268x=+．所以2268366410010x=+=+==．当x为直角边时，由勾股定理，得22268x+=．所

以228664362827x=−=−==．所以这个三角形的第三边为10或27．【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．举一反三：【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．【答案】解：在Rt△

ABD和Rt△ACD中，3由勾股定理，得22222151281BDABAD=−=−=．∴819BD==．同理22222131225CDACAD=−=−=．∴255CD==．①当∠ACB＞90°时，BC＝B

D－CD＝9－5＝4．∴△ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋4＋13＝32．②当∠ACB＜90°时，BC＝BD＋CD＝9＋5＝14．∴△ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC的周长为32或42．例2、如图所示，△A

BC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：2222AMBMCM+=．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM2、BM2、CM2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD⊥AB．【答案与解析】证明：过点C作CD⊥AB于D．∵AC＝BC，CD⊥AB，∴

AD＝BD．∵∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝DB．∴()()2222AMBMADDMADDM+=−++222222ADADDMDMADADDMDM=−++++222()ADDM=+222()CDDM=+

4在Rt△CDM中，222CDDMCM+=，∴2222AMBMCM+=．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：【变式】已知，△ABC中，A

B＝AC，D为BC上任一点，求证：22ABADBDCD−=.【答案】解：如图，作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝CM,则在Rt△ABM中：222ABAMBM=+……①在Rt△ADM中：222ADAMDM=+……②由①－②得：22ABAD−=()()22BMDMBMDMBMDM−

=+−＝（MC＋DM）•BD＝CD·BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用例3、如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE2、EF2、BF2，根据勾股定理的逆定理判断即可．【答案与解析】5解

：△BEF是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=DE2+DF

2=22+12=5，BF2=BC2+CF2=42+32=25，∴BE2+EF2=BF2，∴∠BEF=90°，即△BEF是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2.举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，∠B

＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝62，AE⊥BC于E，求AE的长．【答案】解：连接AD．∵DF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝62，∴∠BAD＝∠B＝22.5°又∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°，AE⊥BC，∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE

由勾股定理得：222AEDEAD+=，∴222(62)AE=，∴6262AE==．例4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用123SSS、、表示，则不难证明123SSS=+．6(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其

面积分别用123SSS、、表示，那么123SSS、、之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用123SSS、、表示，请你确定123SSS、、之间的关系并加以证明．【答案与解析】解：设Rt△

ABC的三边BC、CA、AB的长分别为abc、、，则222abc+=．(1)123SSS=+；(2)123SSS=+．证明如下：显然，2134Sc=，2234Sa=，2334Sb=，所以22223133()44SSabcS+=+==．【总结升华】本题可以在直角三角

形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等．例5、如果ΔABC的三边分别为abc、、，且满足222506810abcabc+++=++，判断ΔABC的形状.【答案与解析】解：由222506810abcab

c+++=++，得：2226981610250aabbcc−++−++−+=∴222(3)(4)(5)0abc−+−+−=7∵222(3)0(4)0(5)0abc−−−，，∴3,4,5.abc===∵222345+=

,∴222abc+=.由勾股定理的逆定理得：△ABC是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用例6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物

，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的

爬行路程就是线段AB的长度．在图②中，由勾股定理，得222311130AB=+=．8在图③中，由勾股定理，得22268100AB=+=．因为130＞100，所以图③中的AB的长度最短，为10cm，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm．【总结升华】解本题

的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看

作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB==25（尺）．答：葛藤长为

25尺．【巩固练习】一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高()A.5mB.7mC.8mD.10m2．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为()9A.212B.310C.56D.583.下列命题中是假命题的是（）A

.三个内角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比1：3：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比2：2：2的三角形是直角三角形；4.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F

是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6B．12C．24D．305．下列三角形中，是直角三角形的是()A.三角形的三边满足关系abc+=B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一

边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()10A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元7.如图，Rt△

ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A.90B.60C.169D.1448.已知，如图长方形A

BCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.32cmB.42cmC.62cmD.122cm二.填空题9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．10．若等边

三角形的边长为2，则它的面积为______．11．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．12.下列命题中，其逆．命题成立的是______________．

（只填写序号）11①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长abc、、满足222abc+=，那么这个三角形是直角三角形．13.如图，圆柱形容器中，高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部

40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm．（容器厚度忽略不计）14．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的

周长为______．15.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是102cm，则其中最大的正方形的边长为______cm．16．如图，△ABC中，∠AC

B＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，

斜边长是20，求此三角形的面积.1218．甲乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由．19．如图

，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B为CD边上的点，CB＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B处，点A的对应点为A，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．

求BN的长.13【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】树高为22334358++=+=.2.【答案】A；【解析】距离为()()22444282122+++++=.3.【答案】B；4.【答案】A；【解析】由题意BEFCEFSS=△△，∴

13462ABDSS===△阴影．5.【答案】D；6.【答案】C；【解析】作高，求得高为15m，所以面积为120151502=2m.147.【答案】A；【解析】解：过D作BM的垂线交BM于N，∵图中S2=SRt△DOI，S△BOC=S△MND，∴S2+S4=SRt△ABC．可

证明Rt△AGE≌Rt△ABC，Rt△DNB≌Rt△BHD，∴S1+S2+S3+S4=S1+S3+（S2+S4），=Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积=Rt△ABC的面积×3=12×

5÷2×3=90．故选：A．8.【答案】C；【解析】设AE＝x，则DE＝BE＝9－x，在Rt△ABE中，.二.填空题9．【答案】8；10．【答案】3；【解析】面积为12332=.11.【答案】30；12.【答案】①④；15【解

析】①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形

的三边长abc、、满足222abc+=”也是正确的，这是勾股定理的内容.13.【答案】130；【解析】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子

，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，∴A′D=50cm，BD=120cm，∴在直角△A′DB中，A′B===130（cm）．故答案是：130．14．【答案】132cm；【解析】由题

意()222111nn+=+，解得60n=，所以周长为11＋60＋61＝132.15.【答案】10；【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.16.【答案】81；三.解答题17.【解析】解：设此直角三角形两直角边分别是

3x，4x，由勾股定理得：()()2223420xx+=16化简得：216x=∴直角三角形的面积为：21346962xxx==.18．【解析】解：由题意得：甲2小时的路程=30×2=60海里，乙2小时的路程=40×2=80海里，∵602+802=1002，∴∠BAC=

90°，∵C岛在A北偏东35°方向，∴B岛在A北偏西55°方向．∴乙船所走方向是北偏西55°方向．19．【解析】解：设BD＝x，则CD＝30－x．在Rt△ACD中根据勾股定理列出()222(30)1020xx−=++，解得x＝5．所以BD＝5.20.【解析】解：点A与点A，点B与点

B分别关于直线MN对称，∴AMAM=，BNBN=．设BNBNx==，则9CNx=−．∵正方形ABCD，∴o90C=．∴222CNBCBN+=．∵CB＝3，∴222(9)3xx−+=．解得5x=．∴5BN=.17