【文档说明】江西省抚州市临川第二中学2020届高三上学期第一次月考数学理试题【精准解析】.doc，共(23)页，1.342 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次考试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.已知集合2230,Axxx=+−2Bxx=，则AB=A.31xx−B.01xxC.31xx−D.10xx−【答案】

B【解析】【分析】先化简集合A,B，再求得解.【详解】31,04AxxBxx=−=,所以AB=01xx.故选B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.设复数

z＝213ii−+，则|z|＝（）A.13B.23C.12D.22【答案】D【解析】【分析】先用复数的除法运算将复数z化简，然后用模长公式求z模长.【详解】解：z＝213ii−+＝(2)(13)(13)(13)iiii−−+−＝1710i−−＝﹣110﹣710i,则|z|＝2

2171010−+−＝50100＝12＝22.故选：D.【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.3.在等差数列{an}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A.﹣5B.﹣7C.﹣9D.﹣11【答案】B【解析】【分析】由a3＝5，S4＝24用通项公式和前n项和

公式列出关于1a,d的方程，得到{}na的通项公式，从而求出答案.【详解】数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+432d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和

前n项和公式的应用，属于基础题.4.已知幂函数()fx＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（1e）α，b＝a，c＝logα14，则a，b，c的大小关系为（）A.c＜a＜bB.a＜c＜bC.a＜b＜cD

.c＜b＜a【答案】A【解析】【分析】先由条件求出幂函数f（x）＝xα中的的值，再结合指数、对数函数的单调性比较,,abc的大小即可.【详解】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），∴0＜a＝1ae＜1

，b＝＞1，c＝logα14＜logα1＝0，∴c＜a＜b．故选：A.【点睛】本题主要考查应用指数函数、对数函数的单调性比较大小,属于基础题.5.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则

下列说法错误的是（）A.该市总有15000户低收入家庭B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户【答案】D【解

析】【分析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，该市从

业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D.【点睛】本题主要考查对统计图

表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.6.平面内不共线的三点O，A，B，满足OA＝1，OB＝2，点C为线段AB的中点，若OC＝32，则∠AOB＝（）A.3B.2C.23

D.56【答案】C【解析】【分析】点C为线段AB的中点,在OAB中，则2OAOBOC+=,将两边平方结合向量数积的定义得到答案.【详解】解：点C为线段AB的中点,在OAB中，则2OAOBOC+=,两边平方得：22224OAOAOBOBOC++=,由OA＝1

，OB＝2，OC＝32且向量OA，OB的夹角为AOB即31+4+212cos=44AOB，解得：1cos2AOB=−.又,[0]AOB，，所以2=3AOB.故选：C．【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算，本题还可以用余弦定理求解,属于中档题.

7.8122yx+−的展开式中x2y2项的系数是（）A.420B.﹣420C.1680D.﹣1680【答案】A【解析】【分析】由题意根据乘方的意义，组合数的计算公式，求得展开式中x2y2项的系数.【详解】解：8122yx+−表示8个因式1+22yx−的乘积

，要得到展开式中含x2y2的项，则故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣y2，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．故展开式中x2y2项的系数是28C•22•26C•212−•44C＝420，故选：A．【点睛】本题主要考查乘方的意义，组合数的计算公式，属于基础题.8

.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A.1003B.1043C.27D.18【答案】B【解析】【分析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解.【详解】由

题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436436)233V=++=.故选B【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识

的理解掌握水平和分析推理能力.9.函数2|sin|2()61xxfxx=−+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】用偶函数的图象关于y轴对称排除C,用()0f排除B,用()42f排除D.故只能选A.

【详解】因为22|sin()||sin|22()()66()1()1xxxxfxfxxx−−−=−=−=+−+,所以函数()fx为偶函数,图象关于y轴对称,故可以排除C;因为2|sin|2421()61111f=−=−++111101122−=−

=+,故排除B,因为2|sin|22()2()621()2f=−=+4216164−+421616444−+446662425=−−=−=由图象知,排除D.故选:A【点睛】本题考查了根

据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.10.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如

图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,11110xyAxyxyxyx+=+−++或，设点(,)xyA，则2zxy=+的取值范围是()

A.[25−−，25]B.[25−，25]C.[25−，25]+D.[4−，25]+【答案】C【解析】【分析】结合图形，平移直线2zxy=+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．【详解】如图，作直线20

xy+=，当直线上移与圆22(1)1yx+−=相切时，2zxy=+取最大值，此时，圆心(0,1)到直线2zxy=+的距离等于1，即|2|15z−=，解得z的最大值为：25+，当下移与圆224xy+=相切时，2xy+

取最小值，同理||25z−=，即z的最小值为：25−，所以[25,25]z−+．故选C．【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．11.关于函数()fx＝|cosx|+c

os|2x|有下列四个结论：①()fx是偶函数；②π是()fx的最小正周期；③()fx在[34π，54π]上单调递增；④()fx的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由二

倍角的余弦公式和余弦函数的性质，化简()fx，由()()fxfx=−，可判断①；可令|cos|tx=，可得2()21gttt=+−，由函数的周期性可判断②；由|cos|yx=的单调性，结合复合函数的单调性可判断③；由二次函数的单调

性可判断④．【详解】解：f（x）＝|cosx|+cos|2x|＝|cosx|+2cos2|x|﹣1，由cos|x|＝cosx，可得()fx＝|cosx|+2cos2x﹣1＝2|cosx|2+|cosx|﹣1，由(-)fx＝2

2|cos()||cos()|1()xxfx−+−−=，则()fx为偶函数，故①正确；可令t＝|cosx|，可得2g()21ttt=+−，由y＝|cosx|的最小正周期π，可得()fx的最小正周期为π，故②正确；由y＝cosx在

[﹣2，0]递增，在[0，2]递减，可得f（x）在[34，π]递增，在[π，54]递减，故③错误；由t∈[0，1]，219g()2()48tt=+−，可得g()t在[0，1]递增，则g()t的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B．【点睛】本题考查

余弦函数的图象和性质，考查函数的周期性和奇偶性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．12.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，1

2，再接下来的三项是02，12，22，依此类推，若该数列前n项和N满足：①80N②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为A.21B.91C.95D.10【答案】C【解析】【分析】构造数列mb()mN，使得：012b=，012

2+2b=，01232+2+2b=，...，01212+2+2...2mmb−=++，求出数列mb的前m项和，根据题意可表示出原数列n与m的关系，以及原数列前n和与数列mb的前m项和的关系，讨论出满足条件的n的最小值即可．【详解】根

据题意构造数列mb()mN，使得：012b=，0122+2b=，01232+2+2b=，...，01212+2+2...2mmb−=++，故1121b=−，2221b=−，3321b=−，...，21mmb=−，所以数列mb的前m项和

12312312(12)(21)(21)(21)...(21)(222...2)2212mmmmmTmmm+−=−+−+−++−=+++−=−=−−−令数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，为na，根据题意可得：(1)12...2mmnmkk+=+

+++=+，(0,)kmkN，则数列na的前n项和0111=(22...2)2221kmkmNTm−+++++=−−+−(0,)kmkN，所以要使数列na前n项和N满足：80N，则1222180mkm+−−+−，则6m，故(1)212mmnk

+=+，故D答案不对．由于N是2的整数次幂，则221=0km−−+−，则236km=−，则3k，当4k=时，则4221=0m−−+−，解得：13m=，(1)1314=+4=9522mmnk+=+，故满足条件的最

小的n为95，故答案选C【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查学生的计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.椭圆2234xy+＝1的离心率是_____．【答案】

12【解析】【分析】根据椭圆方程得到a＝2，b＝3,求出c，由离心率的公式可得椭圆的离心率.【详解】解：由椭圆的标准方程22134xy+=可知，a＝2，b＝3，∴c＝22ab−＝1∴e＝ca＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查根据椭圆方程求椭圆的离心率

，属于基础题.14.设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为_____．181807924544171658097

9838617第1行6206765003105523640505266238第2行【答案】06【解析】【分析】按照随机数表法依次选取在总体编号范围内的样本编号即可，注意重复的样本号码应舍去．【详解】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，

舍去）06；所以选出来的第6个个体编号为06．故答案为：06．【点睛】本题考查了利用随机数表法选取样本数据的应用问题，是基础题．15.已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|

MN|＝1：2，则实数a的值为_____．【答案】433【解析】【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，以及直线AF的方程，设M（x1，y1），N（﹣4a，y2）,由条件可得M，N的坐标，结合抛物线的方程可得a.【详解】抛物线C：y2＝

ax（a＞0）的焦点为F（4a，0），准线方程为x＝﹣4a，可得直线AF的方程为y＝1﹣4ax，设M（x1，y1），N（﹣4a，y2），可得y2＝1﹣4a•（﹣4a）＝2，由|FM|：|MN|＝1：2，可得121

0yyy−−＝12，可得y1＝23，代入直线方程可得x1＝12a，代入抛物线方程可得49＝12aa，可得a＝433．故答案为：433．【点睛】本题抛物线方程和直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA

⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝3AB＝3，则△SED面积的最小值为_____．【答案】92【解析】【分析】设BE=x，EC=y，则BC=AD=x+y，推导出SA⊥ED，ED⊥平面SA

E，ED⊥SE，AE=23x+，ED=23y+，推导出3xy=，SE=212x+，ED=293x+，从而S△SED=12×SE×ED=22108345xx++由此能求出SED面积的最小值．【详解】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD

，∴SA⊥ED，∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，由题意得AE＝23x+，ED＝23y+，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，在

Rt△SED中，SE＝212x+，ED＝23y+＝293x+，∴S△SED＝12SEED＝2211083452xx++，∵3x2+2108x≥2221083xx＝36，当且仅当x＝6，62y=时，等号成立，∴136

452SEDS+…＝92，∴△SED面积的最小值为92，故答案为：92．【点睛】本题考查空间几何体的线面关系及基本不等式的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（

本大题共5小题，共70分）17.ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知()22abcab−=−.（1）求角C；（2）若4cossin02cAbC++=，1a=，求ABC的面积.【答案】（1）3（2）3【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求cosC，从而得到C的值.（

2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4ba=，得到b值后利用面积公式可求ABCS.【详解】（1）由()22abcab−=−，得222abcab+−=.所以由余弦定理，得222cos122abcCab+−==.又因为(

)0,C，所以3C=.（2）由4cossin02cAbC++=，得4sinsin0cAbC−+=.由正弦定理，得4cabc=，因为0c，所以4ba=.又因1a=，所以4b=.所以ABC的面积113sin143222SabC===.【点睛】在解三角形中，如

果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系

式转化为角的关系式或边的关系式.18.如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝3BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面P

CD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）55【解析】【分析】（1）推导出AC⊥BC，CD⊥AD，PD⊥CD，从而CD⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面PCD．（2）以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角

坐标系，利用向量法能求出二面角P-AC-D的平面角的余弦值．【详解】（1）证明：∵AC＝3BC，AB＝2BC，∴2222(3)4ABBCBCBC=+=，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，在Rt△ABC中，由AC＝3BC，得∠CAB＝30°

，设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝23，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°＝3，∴CD＝3，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，∵PD⊥平面ABC，CD平面ABC，∴PD⊥CD，又PD∩A

D＝D，∴CD⊥平面PAB，又CD平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，分别以DC，

DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（3，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），PA＝（0，﹣3，﹣3），PC＝（3,0,3−），则n＝DP＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，设平面PAC的一个法向量n＝（x，y，z），则33

0330nPAyznPCxz=−−==−=，取x＝3，得n＝（3，﹣1，1），设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝||||||nmnm＝35553=，∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为55．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线

、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知椭圆C：24x+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，12），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0

），点Q（q，0）满足kQM+kQN＝0，求pq的值．【答案】（1）x+2y﹣2＝0；（2）pq＝4．【解析】【分析】(1)设M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，然后相减用点差法将中点公式代入，可求出直线MN的斜率，然后写出直线方程.(2)设出

直线MN的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理代入用M，N的坐标表示出kQM+kQN＝0的式子中，可求出答案.【详解】（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则221122221414xyxy+=

+=，两式相减，可得.()()()()1212121204xxxxyyyy+−++−=，①由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝1212yyxx−−＝﹣12.所以直线M

N的方程y﹣12＝﹣12（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0.（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），设M（x1，y1），N（x2，y2），联立22()440ykxpxy=−+−=，整理

得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，则x1+x2＝22814kpk+，x1x2＝2224414kpk−+，由kQM+kQN＝0，则1212yyxqxq+−−＝0，即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）

＝0，∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq＝0，∴2228814kpk−+﹣228()14kppqk+++2pq＝0，化简得：2pq﹣8＝0，∴pq＝4．20.

某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依

次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2

+（xD﹣yD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足

X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．【答案】（1）（ⅰ）38（ⅱ）分布表见解析；（2）理由见解析【解析】【分析】（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家

长的排序有4424A=种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑

小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列．（2）假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P（X＜4）=P（X=0）+P（X=2）=16，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为152161000，这个结果发生的可能性很

小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解．【详解】（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有44A＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不

同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝93248=．基小孩对四种食物的排序是其

他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，∴他们在一轮游戏中

，对四种食物排出的序号完全不同的概率为38．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820P1241812416112112

1121612418124（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝16，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（16）3＝152161000，这个结果发生的可能性很小，∴

这位家长对小孩饮食习惯比较了解．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求ea（b﹣1）的

最大值．【答案】（1）讨论见解析；（2）最大值为0【解析】【分析】（1）分0a时，0a时，两种情况讨论()fx单调性．（2）由（1）知：当0a时，取01bxa−且00x时，001()ln()bfxabxa−+−，与题意不合，当0a时，

由题目中恒成立可得，max()(1)0bfxfa−,得1ln1baaa−−−，所以(1)(ln1)aaebaaae−−−，令()(ln1)xhxxxxe=−−，只需求max()hx即可.【详解】（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为

（﹣ba，+∞），()1afxaxb=−+＝abaxaxb−−+，由f′（x）＝0，得x＝1﹣ba＞﹣ba，所以f（x）在（﹣ba，1﹣ba）单调递增，在（1﹣ba，+∞）单调递减，②当a＜0时，则f（x）的定义域为（

﹣∞，﹣ba），由f′（x）＝0得x＝1﹣ba＞﹣ba，所以f（x）在（﹣∞，﹣ba）单调递减．综上：当a＞0时，f（x）在（﹣ba，1﹣ba）单调递增，在（1﹣ba，+∞）单调递减.当a＜0时,f（x）在（﹣

∞，﹣ba）单调递减．（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜1ba−且x0＜0时，f（x0）＞ln（a×1ba−+b）﹣x0＞0，与题意不合，当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣ba）＝lna﹣1+ba≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，所以ea（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）ea

，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）ex，则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）ex，令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣1x，则u″（x）＝21xx−，u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞

）上单调递减．则u′（x）max＝u′（1）＜0，从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以h

（x）max＝h（1）＝0．所以ea（b﹣1）的最大值为0.【点睛】本题考查利用导数讨论函数单调性，求函数的最值，属于导数的综合应用，在解题过程中多次求导分析函数的单调性得出函数最值,属于难题.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C

的参数方程为126126xmmymm=+=−（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+3）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，

0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求11||||MPMQ+的值．【答案】（1）l：320xy−−=，C方程为2233144xy−=；（2）11|||||MPMQ+＝334【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（

2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】(1)曲线C的参数方程为126126xmmymm=+=−（m为参数），两式相加得到4mxy=+，进一步转换为2233144xy−=．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+3）＝1，则(coscossinsin

)133−=转换为直角坐标方程为320xy−−=．（2）将直线的方程转换为参数方程为32212xtyt=+=（t为参数），代入2233144xy−=得到23123160tt++=（t1和t2为P、Q对应的参数），所以1243tt+=−，12163tt=，

所以11|||||MPMQ+＝1212||||33||||4ttMPMQMPMQtt++==．【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力

和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若xyzxyz++＝13，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8【解析】【分析】（1）利用基本不等式可得|x|

||22242zyzxzyzzxy++=,再根据0＜xy＜1时,即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.（2）由xyzxyz++＝13,得1113yzxzxy++=，然后利用基本不等式即可得到

xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥22xzyz＝4zxy，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴4

4zxyxyz，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵xyzxyz++＝13，即1113yzxzxy++=．∵1122yzyzyzyz+=…，1122xzxzxzxz+=…，1122xyxyxyxy+=…，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴11

16xyyzxzxyyzxz+++++…，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不

等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．