【文档说明】安徽师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试+数学+含答案.docx，共(15)页，977.874 KB，由小赞的店铺上传

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2023～2024学年高二年级上学期期中检测联考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写

清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写

的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章第1节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．1．经过两点()2,21Aa−−，()3,2B−的直线的倾斜角为34π，则a=（）A．1B．2C．3D．42．已知圆1C：224240xyxy+−++=，圆2C：222660xyxy+−++=，则这两个圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．内切D．相交3．“152k”是“方程22

1215xykk+=−−表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件C．既不充分又不必要条件4．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足2CFFB=，若PAa=，PBb=，PCc=，则FE=（）A．1412

36abc−+B．141236abc−−C．171266abc−+D．171266abc−−5．若0a，0b，直线()2110xay+−+=与直线30bxy+−=互相垂直，则ab的最大值为（）A．116B．19C．18D．166．已知A，B是椭圆E：2

21164xy+=上的两点，点()2,1P−是线段AB的中点，则直线AB的方程为（）A．240xy−+=B．30xy−+=C．250xy−+=D．460xy−+=7．如图，在正三棱柱111ABCABC−中，124ABBB==，点D

是棱BC的中点，则点1C到直线1AD的距离为（）A．7B．27C．52D．1028．已知曲线C：241yxx=−+，直线l：340xya−+=，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离为1，则a的取值范围是（）A．)2,2−B．()2,2−C．()1,3−D．)1,3−二、选择题：本题共

4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（）A．若向量a，b，c是空间的一组基底，则ab+，bc+，ca+也是空间的一组基底B．两个不同的平面α，β的法向量分别是3,1,4u

=−，()2,2,1v=−，则⊥C．直线l的方向向量()0,4,0n=，平面α的法向量()3,0,2u=−，则//lD．若()3,1,4AB=−−，()0,2,3AC=，()6,4,1AP=，则P

点在平面ABC内10．若两条平行直线1l：30xym++=与2l：290xny++=之间的距离是31020，则mn+的值可能为（）A．3B．9C．12D．1511．已知椭圆E：2213620xy+=的

左、右焦点分别是1F，2F，点P是上的一点（异于左，右顶点），则下列说法正确的是（）A．12PFF△的周长为10B．12PFF△的面积的最大值为85C．若1260FPF=，则点P到x轴的距离为533D．存在8个不同的点P，使得12PFF△为直角三角形12．在平面直角坐标系xOy

中，已知直线l：30xy−+=交x轴于点A，交y轴于点B，点P是直线上l的一点，过P作圆C：()2214xy−+=的两条切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（）A．当MAB取得最大值时，23MA=B．当MAB取得最小值时，23MA=C．四边形

PMCN的面积的最小值为74D．O点到直线MN的距离的最大值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知空间向量()1,1,3a=−，()1,3,bm=，若()2aba+⊥，则m=______．14．直线1l：210xy−+

=关于直线2l：20xy++=的对称直线方程为______．15．已知F是椭圆E：221167xy+=学的左焦点，点P是E上的一点，点M是圆C；()()22111xy−+−=上的一点，则PFPM+的最小值为______．

16．已知()3,0A−，()4,2B，点P在圆O：224xy+=上运动，则22PAPB+的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17，（本

小题满分10分）已知的三个顶点是()1,1A，()2,4B−，()5,7C．（1）求BC上的高所在直线1l的方程；（2）若直线2l过点B，且点A，C到直线2l的距离相等，求直线2l的方程．18．（本小题满分12分）已

知圆C的圆心在直线240xy−−=上，且过()1,2M，()5,2N−．（1）求圆C的方程；（2）过点()3,2P的直线l交圆C于A，B两点，且8CACB=−，求直线l的方程．19．（本小题满分12分）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别是棱BC，1DD的中点．

（1）求直线1BD与EF所成角的余弦值；（2）求平面1AEF与平面1111ABCD夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆C：()222210xyabab+=的左，右焦点分别为1F，2F过点2F的直线交C于A，B两

点，225AFBF=．（1）若6AB=，1ABF△的周长为18，求11AFBF的值；（2）若15cos13AFB=，求C的离心率．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是菱形，60BAD=，2PBPDAB==

=，点E是棱PA上的一点．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若6PA=，直线BE与平面PAD所成角的正弦值为265，求AEAP的值．22．（本小题满分12分）已知椭圆E：()222210xyabab+=的离心率为53，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且ABC△的面积为6

．（1）求E的方程；（2）若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．2023～2024学年高二年级上学期期中

检测联考•数学参考答案、提示及评分细则1．B由于直线AB的倾斜角为34π，则该直线AB的斜率为3tan14πk==−，又因为()2,21Aa−−，()3,1B−，所以()212123ak−−−==−−−，解得2a=．故选B．2．D圆1C的标准方

程为()()22211xy−++=，圆心为()12,1C−，半径为11r=，圆2C的标准方程为()()22134xy−++=，圆心为()21,3C−，半径为22r=，因为2212125CC=+=，则121212rrCCrr−+，故这两个圆相交．故选D．3．若方程22

1215xykk+=−−表示椭圆，则有210,50,215,kkkk−−−−因此152k且2k，故“152k”是“方程221215xykk+=−−表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．4．C由题意知()12FEPEPFPDPCCF=−=−+()()()12122323

PBBDPCCBBDPBPCPBPC=+−−=+−−−()()111111236236BABCPCPBPAPBPCPBPCPB=+−−=−+−−−171171266266PAPBPCabc=−+=−+．故选C．

5．C由直线()2110xay+−+=与直线30bxy+−=互相垂直，所以210ba+−=，即21ab+=，又0a，0b，所以2112122228ababab+==，当且仅当2ab=，即14a=，12b=时等号成立，所以ab的最大值为18．故选C．6．A设()11,Axy

，()22,Bxy，则AB的中点坐标为1212,22xxyy++，所以1222xx+=−，1212yy+=，将A，B的坐标代入椭圆的方程2211222211641164xyxy+=+=作差可得222212120164xxyy−−+=，所以12121

41422yyxx−−=−=−，所以直线AB的方程为()1122yx−=+，即240xy−+=．故选A．7．A取AC的中点O，取11AC的中点E，连接OE，则OE⊥平面ABC，连接OB，因为ABC△

是等边三角形，所以OBAC⊥，因为OB，AC平面ABC，所以OB，AC，OE两两垂直，所以O以为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．又124A

BBB==，所以()10,2,2A−，()23,0,0B，()0,2,0C，()10,2,2C，所以()3,1,0D，所以()13,3,2DA=−−，()13,1,2DC=−，所以111111cos,DADCDADCDA

DC==33424394314−+=++++，所以点1C到直线1AD的距离()221111cos,7dDCDCDADC=−=，故选A．8．D由曲线C：241yxx=−+，得()()()222141xyy−+−=，所以曲线C是以()2,1为圆心，半径

为2的圆的上半部分．当直线l与曲线C相切时，2264234a−+=+，解得8a=或12a=−（舍）．当直线l：340xya−+=与直线3480xy−+=间的距离为1时，228134a−=+，解得3a=或13a=（舍）．当3a时，曲线C上至多有2个点到直线l的距离为1，不符合题

意；当直线l过点()0,1时，得4a=．当直线l：340xya−+=与直线3440xy−+=间的距离为1时，224134a−=+，解得1a=−或9a=（舍），当1a−，曲线C上至多有1个点到直线l的距离为1，不符合题意；当13a−时，曲线C上恰有3个点到直线l的距离为

1，符合题意．综上，a的取值范围是)1,3−．故选D．9．ABD若向量a，b，c是空间的一组基底，则ab+，bc+，ca+也是空间一组基底，故正确；因为()()3,1,42,2,16240uv=−−=−−=，所以

⊥，故B正确；不能确定直线l是否在平面α内，故C错误；因为()()()6,4,123,1,430,2,323APABAC==−−+=+，故D正确．故选ABD．10．BC由题意知60n−=，解得6n=，所以2l：2690xy++=，又1l：30xy

m++=，即2620xym++=，所以22293102026m−=+，解得6m=或3m=，所以12mn+=或9mn+=．故选BC．11．BC12PFF△的周长为12122212820PFPFFFac++=+=+=，故A错误；12PFF△的面积1214425852ppS

FFyy===，所以12PFF△的面积的最大值为85，此时25py=，故B正确；因为1260FPF=，所以22212121212cos2PFPFFFFPFPFPF+−=()22121212121212242021222PFPFPFP

FFFPFPFPFPFPFPF+−−−===，解得12803PFPF=，所以12PFF△的面积为12121212031sin4232PPSPFPFFPFFFyy====，所以533Py=，故正确；

当1290PFF=时，此时有2个不同的点P；当2190PFF=时，此时有2个不同的点P．设()00,Pxy，所以220013620xy+=，所以()()1200004,4,PFPFxyxy=−−−−−22222

00000541616204099xyxxx=−+=−+−=+，所以1290FPF，所以存在4个不同的点P，使得12PFF△为直角三角形，故D错误．故选BC．12．ABD易得()3,0A−，()3,0B，当MAB取得最大值

时，直线AM与圆C相切，此时2423MAAC=−=，故A正确；当MAB取得最小值时，直线AM与圆C相切，此时MA=2423AC−=，故B正确；因为四边形PMCN的面积2224SPMPC==−，又min132211PC+==+，所以四边形PMCN的面积的最小值为()222244−=，故C错误；设(

),3Ptt+，所以以PC为直径的圆的方程为()()()130xtxyty−−+−−=，又圆C：()2214xy−+=，所以直线MN的方程为()()1330txtyt−++−−=，所以直线MN恒过定点()0,1G，所以O到直线MN的距离的最大

值为1OG=，此时1t=，故D正确．故选ABD．13．－8因为()1,1,3a=−，()1,3,bm=，所以()()()221,1,31,3,1,5,6abmm+=−+=−+，又()2aba+⊥，所以()()215360abam+=+++=，

解得8m=−．14．210xy−−=设直线1l关于直线2l对称的直线为3l，由210,20xyxy−+=++=解得1,1,xy=−=−则点()1,1−−在直线3l上；在直线1l上取一点()0,1A，设其关于直线2l对称的点为(),Amn，则11,00120,22nmmn−=

−++++=解得3,2,mn=−=−即()3,2A−−，所以直线3l的方程为112131yx++=−+−+，即210xy−−=．15．75−记E的右焦点为1F，所以128PFPFa+==，所以18PFPF=−，所以11118177PFPMPFPCPFPCPCPF

CF++−=−+−=−+−()22713175=−−+=−，当且仅当点C在线段1PF上，点C在线段1MF上时等号成立，所以PFPM+的最小值为75−．16．3745,3745−+设()00,Pxy，所以22004xy

+=，所以()()()2222220000003423724PAPBxyxyxy+=+++−+−=−−．设3724zxy=−−，所以直线24370xyz+−+=，所以2237224z−++，解得37453745z−+

，即22PAPB+的取值范围是3745,3745−+．17．解：（1）因为()2,4B−，()5,7C，所以直线BC的斜率()743527BCk−==−−，所以直线1l的斜率为73−，所以直线1l的方程为()7113yx−=−−，即731

00xy+−=．（2）当直线2l的斜率不存在时，直线2l的方程为2x=−，此时点()1,1A到直线2l的距离为3，点()5,7C到直线2l的距离为7，不符合题意；当直线2l的斜率存在时，设直线2l的斜率为k，所以直线2l的方程为()42ykx−=+，即240kxyk−+

+=，所以22124572411kkkkkk−++−++=++，解得0k=或32k=，所以直线2l的方程为4y=或32140xy−+=．18．解：（1）因为()1,2M，()5,2N−，所以MN的中点坐标为()3,0，直线MN的斜率为22151MNk−−==−，所以线段MN的中垂线的直线方程为3

yx=−．由3,240yxxy=−−−=解得1x=，2y=−，即()1,2C−，所以()()2211224CM=−++=，所以圆C的方程为()()221216xy−++=．（2）因为8CACB=−，所以cos16c

os8CACBACBACB==−，所以1cos2ACB=−，又0180ACB，所以120ACB=，所以点C到直线AB的距离4cos602d==．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为3x=，符合题意；当直线l

的斜率存在时，设直线l的斜率为k，所以直线l的方程为()23ykx−=−，即230kxyk−+−=，所以()2222321kkdk++−==+−，解得34k=，所以直线l的方程为3410xy−−=．综上，直线l的方程为3x=或3410xy−

−=．分19．解：（1）以A为坐标原点，AB，AD，1AA所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设2AB=，则()2,1,0E，()0,2,1F，()12,0,2B，()0,2,0D，所以()12,2,2

BD=−−，()2,1,1EF=−，所以()112222221422cos,222211BDEFBDEFBDEF+−==++−++23=，所以直线1BD与EF所成角的余弦值为23．（2）因为()10,0,2A，所以()12,1,2EA−−，设平面1AEF的一个法向量(),,n

xyz=，所以1220,20,nEAxyznEFxyz=−−+==−++=令3x=，解得2y=，4z=，所以平面1AEF的一个法向量()3,2,4n=．易得平面1111ABCD的一个法向量为()10,0,2AA=，设平面1AEF与平面1111ABCD的夹角为θ，所

以1122218429coscos,292324nAAnAAnAA====++，即平面1AEF与平面1111ABCD夹角的余弦值为42929．20．解：（1）由225AFBF=，6AB=，得25AF=，21FB=．因为1ABF△的周长为18，所以由椭圆定义可得41

8a=，解得92a=．又122AFAFa+=，122BFBFa+=，所以1224AFaAF=−=，1228BFaBF=−=，所以1112AFBF=．（2）设()20FBkk=，则25AFk=，6ABk=．由椭圆定义可得125AFak=−，12BFak=−．在1ABF△中，由余弦定理可得22211

1112cosABAFBFAFBFAFB=+−，即()()()()()22210625225213kakakakak=−+−−−−，化简可得()()434150akak+−=，又0a，0k，故154ak=，所以1155522AFk

kk=−=，1151322BFkkk=−=，所以22211BFFAAB=+，所以12FAFA⊥，所以()22222212125125524FFAFAFkkk=+=+=，即125522FFkc==，解得：554ck=，所以C的离心率55541534kceak===

．21．证明：连接BD，记0BDAC=，再连接PO，如图所示．因为四边形ABCD是菱形，60BAD=，2AB=，所以O是BD的中点，BDAC⊥，112ODBD==，132AOAC==．在PBD△中，2PBPD==，O是BD的中点，1OD=，所以P

OBD⊥，223POPDDO=−=又BDAC⊥，ACPOO=，AC，PO平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又BD平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：若6PA=，3AO=，3PO=，所以222PAAOPO=+，所以POAC⊥．以O为坐标原点OA，OB，OP，所在

的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．所以()3,0,0A，()0,1,0D−，()0,0,3P，()0,1,0B，所以()3,0,3AP=−，()3,1,0DA=，设平面PAD的一个法向量(),,nx

yz=，所以330,30,nAPxznDAxy=−+==+=令1x=，解得3y=−，1z=，所以平面PAD的一个法向量()1,3,1n=−．设()()3,0,301AEAP==−，所以()33,1,3BEBAAE=+=−−，设直

线BE与平面PAD所成角的大小为θ，所以()()()2222326sincos,51313313nBEnBEnBE====++−+−+，解得12=，所以12AEAP=．22．解：（1）由题意知2225

,3126,2,caabcab===−解得3a=，2b=，5c=，所以E的方程为22194xy+=．（2）显然直线AP的斜率存在，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为2ykx=+，又直线BC的方程为223yx=−，由2223ykxyx=+=−，解得1232xk

=−−，6432kyk+=−−，即262,3232kMkk+−−−−．由221,942xyykx+==+得()2249360kxkx++=，解得0x=或23649kxk=−+，当23649kxk=−+时，2223681824949kkykkk−=−+=++

，即22236818,4949kkPkk−−++，所以直线CP的斜率222818064493696349CPkkkkkkk−−−+==+−−+，所以直线CP的方程为()64396kyxk−=−+，令0x=，得4632kyk−=+，即460,32kNk−+．所以直线MN的斜

率6446433321232033MNkkkkkkkk+−−−−+==+−−−，所以直线MN的方程为4463232kkyxkk−=+++，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com