【文档说明】北京市海淀区2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(20)页，1.281 MB，由小赞的店铺上传

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海淀区高一年级练习数学2024.07学校__________班级__________姓名__________考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案

一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若复数z满足i2z=，则z的虚部为（）A.2−B.2C.i−D.i2.已知向量

()310,1,,22ab==，则cos,ab=（）A.0B.12C.22D.323.函数()()πsin0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示，则其解析式为（）A.()π

2sin24fxx=+B.()1π2sin24fxx=+C.()π2sin3fxx=+D.()π2sin4fxx=+4.若3sin5=，且π,π2

，则πtan4−=（）A34−B.17C.34D.7.5.在ABC中，点D满足BDBC=，若3144ADABAC=+，则=（）A.13B.14C.3D.4−6.已知1sin2()sincosxfxxx+=+，则下列直线中，是

函数()fx对称轴为（）A.0x=B.π16x=C.π4x=D.π2x=7.在平面直角坐标系xOy中，点(),13A−，点()cos,sinPθθ，其中π0,2．若5OAOP+=，则=（）A.π6B.π4C.π3D.π28.在ABC中，已知π2,3aA==．则下

列说法正确的是（）A.当1b=时，ABC是锐角三角形B.当433b=时，ABC是直角三角形C.当32b=时，ABC是钝角三角形D.当53b=时，ABC是等腰三角形9.已知,ab是非零向量，则“ab⊥”是“对于任意

的R，都有abab+=−成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.定义域为[]ab、函数()yfx=的图象的两个端点分别为(,()),(,())AafaBbfb．点(),Mxy是()y

fx=的图象上的任意一点，其中()()101xab=+−，点N满足向量()1ONOAOB=+−，点O为坐标原点．若不等式MNk恒成立，则称函数()yfx=在,ab上为k函数．已知函数()22fxxx=−+在0,1上为k

函数，则实数k的取值范围是（）A.()0,+B.14,+C.1,2+D.)1,+二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.知复数z满足1i0z+−=，则z=__________，z=__________．12.在ABC中，π,23CCACB===，P满

足2CPCACB=−，则CPCB=____________．13.在ABC中，若sinaBkb=，则k的一个取值为__________；当π2A=时，k=__________．14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔

的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边的的制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为30,45,60,根据以上数据，该学

生得到塔尖距离地面的高度为__________m．15已知函数()sin(),()cosfxxgxx=+=，给出下列四个结论：①对任意的R，函数()()yfxgx=+是周期函数；②存在0R，使得函数()()yfxgx=

+在π0,2上单调递减；③存在0R，使得函数()()yfxgx=的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的R，记函数()()()Fxfxgx=的最大值为()M，则()12M．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共4小题，

共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()ππsinsin62fxxx=−++．（1）求()0f的值和()fx的零点；（2）求()fx的单调递增区间．17.已知π,,2,1,,4O

AaOBbabab=====．（1）求2ab−；（2）若OQtOA=，求()AQOQOB−的最小值．18.在ABC中，cos2cos0AA+=．（1）求A的大小；（2）若7a=，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为

已知，使得ABC存在，求.ABC最长边上高线长．条件①：53sin14C=；条件②：ABC的面积为103；条件③：10b=．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19

.已知n维向量()12,,,naaaa=，给定1,2,,1kn−，定义变换k；选取0,1,1in−，再选取一个实数x，对a的坐标进行如下改变：若此时ikn+，则将12,,,iiikaaa+++同时加上x．其余坐标不变；若此时ikn+，则将1

2,,,iinaaa++及12,,,iknaaa+−同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换k（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量()12,,,nttt满足12nttt==，则称a为k阶可等向

量．例如，向量()1,3,2经过两次变换2可得：2,11,1(1,3,2)(2,3,3)(2,2,2)ixix====−⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯→，所以()1,3,2是2阶可等向量．（1）判断()1,2,3是否是2阶可等向量？说明理

由；（2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量()1234,,,aaaa是2阶可等向量，求13aa+；（3）若任取12,,,naaa的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称()12,,,naaa为k阶强可等向量．求证：向量()1,2,3,4,5,6,7是5阶强可等向量．的海淀区高一年

级练习数学2024.07学校__________班级__________姓名__________考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书

写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若复数z满足i2z=，则z的虚部为（）A.2−B.2C.i−D.i【答案】A【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部.【详解】因为i2z=，所以222i2iiiz===−，所以z的虚部为2−.故选：A2.已知向量()310,1,,22ab==，则cos,ab=（）A.0B.12C.22D.32【答案】B【解析】【分析】根据向量的数

量积的坐标表示计算．【详解】由题意1012cos,112ababab+===，故选：B．3.函数()()πsin0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示，则其解析式为（）A.()π2sin24fxx=+B.()1π2

sin24fxx=+C.()π2sin3fxx=+D.()π2sin4fxx=+【答案】D【解析】【分析】由最小值求得A，由(0)1f=求得，再结合最小值点和周期求得．【详解】由图象知2A=，()01f=所以2sin1=，

则π2π,Z4kk=+或3π2π,Z4kk=+，又π2，所以π4=，5ππ2sin()244+=−，5ππ3π2π442k+=+，815k=+，Zk，又5π4T，2π85T=，已知0，所以1=，所以π()2sin()4fxx=+，故选：D．4.若3sin

5=，且π,π2，则πtan4−=（）A.34−B.17C.34D.7【答案】D【解析】分析】根据正弦得到正切值，利用正切差角公式计算出答案.【【详解】因为π,π2，所

以cos0，又3sin5=，所以234cos155=−−=−，故4sin3tancos==−，所以π3tantan1π44tan7π341tantan144−+−===+−.故选：D5.在ABC

中，点D满足BDBC=，若3144ADABAC=+，则=（）A.13B.14C.3D.4−【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的三角形法则即可得解【详解】如图，因为在ABC中，BDBC=，所以()()1ADABBDABBCAB

ACABABAC=+=+=+−=−+，又3144ADABAC=+，所以()31144ABACABAC−+=+,所以14=，故选：B.6.已知1sin2()sincosxfxxx+=+，则下列直线中，是函数()fx对称轴的为（）A.0x=B.π16x=C.π4x=D.

π2x=【答案】C【解析】【分析】举例说明判断ABD；利用轴对称的意义判断C.【详解】依题意，sincos0xx+，解得ππ,Z4xkk−+，对于A，π()12f−=−，π()12f=，则函数()fx的图象关

于0x=不对称，A不是；对于B，(0)1f=，π1sinπ4()1ππ8sincos88f+=+，则函数()fx的图象关于π16x=不对称，B不是；对于C，π3ππ24xk−−，即ππ(1)π,Z24xkk−−+−，π1sin2()π1sin22()()π

π2cossinsin()cos()22xxfxfxxxxx+−+−===+−+−，则函数()fx的图象关于π4x=对称，C是；对于D，(0)1f=，(π)1f=−，则函数()fx的图象关于π2x=不对称，D不是.故选：C7.在平面直角坐标系xOy中

，点(),13A−，点()cos,sinPθθ，其中π0,2．若5OAOP+=，则=（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】A【解析】【分析】先OAOP+的坐标，然后求出模长，然后结合辅助角公式化简，建立关于的方程，解方程即可得解

.【详解】因平面直角坐标系xOy中，点(),13A−，点()cos,sinPθθ所以()1cossi,3nOAOP+−=++所以()()225+1cos3sin23sin2cosOAOP+−++=−+=又5OAOP+

=所以23sin2cos55−+=，即23sin2cos0−=为所以π4sin06−=，又因为π0,2所以π06−=，即π6=，故选：A.8.在ABC中，已知π2,3aA==．则下列说法正确的是（）A.当1b=时，ABC是锐角三角形B.当433b=时，

ABC是直角三角形C.当32b=时，ABC是钝角三角形D.当53b=时，ABC是等腰三角形【答案】B【解析】【分析】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项.【详解】对于A:因为1b=由正弦定理2131,sinsin

4232BB==,当5ππ6B时，ABC是钝角三角形,当ππ,π62BAAB=−−时，ABC是钝角三角形,A选项错误；对于B:因为433b=,由432π3,sin1,sin232BBB===,所以ABC是直角三

角形,B选项正确；对于C:因为32b=,由323312,sinsin8232BB==当ππ62B时，ππ2CAB=−−,ABC是锐角三角形,C选项错误；对于D:因为53b=,由525333,sins

in12232BB==,ba,π3BA,27569cos1sin114412BB=−=−=()53169353323sinsinsincoscossin12212224CBABABA+=+=+=+=因为,BCAC，所以ABC不是等腰三角形,D选项

错误；故选：B.9.已知,ab是非零向量，则“ab⊥”是“对于任意的R，都有abab+=−成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分

析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.【详解】因为,ab是非零向量，若ab⊥，则0ab=，所以()22222222ababaabbab+=+=++=+()22222222ababaabbab

−=−=−+=+，所以对于任意的R，都有abab+=−成立，故充分性成立；若对于任意的R，都有abab+=−成立，则22abab+=−，即22222222aabbaabb++=−

+，所以20ab=，所以0ab=，所以ab⊥，故必要性成立；所以“ab⊥”是“对于任意的R，都有abab+=−成立”的充要条件.故选：C10.定义域为[]ab、的函数()yfx=的图象的两个端点分别为(,()),(,())AafaBbfb．点(),Mxy是()yfx=的图象上的任意

一点，其中()()101xab=+−，点N满足向量()1ONOAOB=+−，点O为坐标原点．若不等式MNk恒成立，则称函数()yfx=在,ab上为k函数．已知函数()22fxxx=−+在0,1上为k函数，则实数k

的取值范围是（）A.()0,+B.14,+C.1,2+D.)1,+【答案】B【解析】【分析】先求出两个端点()()0,0,1,1AB，设M的横坐标为11x=−，纵坐标为211y=−+，进一步确定()1,1ON=−−，从而求出()20,MN=−，

求出22111244MN=−=−−，得到答案.【详解】()22fxxx=−+在0,1上的两个端点分别为()()0,0,1,1AB，设M的横坐标为1x，纵坐标为1y，则1011x=+−=−，故()()222211121211

2221yxx=−+=−−+−=−+−+−=−+，()()()()()10,011,11,1ONOAOB=+−=+−=−−，故()()()221,11,10,MN=−−−−−+=−，01≤≤，所以22111244

MN=−=−−，当12=时，等号成立，故实数k的取值范围为14,+.故选：B二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.知复数z满足1i0z+−=，则z=__________，z=__________．【答案】①.1

i−+；②.1i−−.【解析】【分析】根据复数的运算法则，及共轭复数的定义即可求解【详解】因为1i0z+−=，所以1iz=−+；所以z的共轭复数1iz=−−，故答案为：1i−+，1i−−12.在ABC中，π,23CCACB===，P满足2CPCACB=−，则C

PCB=____________．【答案】0【解析】【分析】根据已知及数量积运算律，即可求解.【详解】由题意可知，()2?CPCBCACBCB=−222222cos6020CACBCB=−=−=.故答案为：013.在ABC中，若sinaBkb=，则k的一个取值为__________

；当π2A=时，k=__________．【答案】①.12（答案不唯一）②.1【解析】【分析】根据正弦定理，可以进行边化角，然后得到sinAk=，根据()0,πA，可得k的取值，又π2A=，即可得到k的具体值.【详解】因为sinaBkb=，

由正弦定理可得，sinsinsinABkB=，又()0,πB，所以sin0B，所以sinAk=，又()0,πA，取π6A=，所以12k=，所以当π2A=时，πsinsin12kA===，故答案为：12，1.14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度

，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为30,45,60,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m．【答案】1006【解析】【

分析】首先根据几何关系表示边长，再根据余弦定理求解.【详解】由题意可知，200ABBC==，30PAO=，45PBO=，60PCO=，设POx=，则3OAx=，OBx=，33OCx=，根据coscos0OBC

OBA+=，则222222120020033022002200xxxxxx+−+−+=，解得：1006x=所以塔尖距离底面的高度为1006米.故答案为：100615.已知函数()sin(),()cosfxxgxx=+=，给出下列四个结论：①对任

意的R，函数()()yfxgx=+是周期函数；②存在0R，使得函数()()yfxgx=+在π0,2上单调递减；③存在0R，使得函数()()yfxgx=的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的R，记函数()()()Fxfxgx=的最大值为()M，则()12M

．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①②③【解析】【分析】根据周期函数的定义可以证明①，取5π6=时可以判断②，取0=时可以判断③、④.【详解】对于①，令()()()Hxfxgx=+，则()()()()()2π2π2πsin(2π)cos2πsi

n()cosHxfxgxxxxxHx+=+++=++++=++=，所以对任意的R，函数()()yfxgx=+是周期函数，故①正确；对于②，当π0,2x时，0cos1x，所以()

coscosgxxx==所以()()sin()cosyfxgxxx=+=++，当5π6=时，()()5π5π5π33sin()cossincoscossincossincos66622yfxgxxxxxxxx=+=++=++=−+即πsin3yx=−−

，因为π0,2x，所以πππ,336x−−，易知πsin3yx=−−在π0,2上单调递减，即存在0R，使得函数()()yfxgx=+在π0,2上单调递减

，故②正确；对于③，当0=时，令()()()Gxyfxgx==，即()sincosGxxx=，易知()Gx定义域为R.因为()()()()πsinπcosπsincosGxxxxxGx−=−−==所以()Gx图象关于π2x=轴对称；又因为()()()()s

incossincosGxxxxxGx−=−−=−=−，所以()Gx为奇函数，图象关于原点中心对称，所以存在0R，使得函数()()yfxgx=的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；故③正确；对于④，假设④为假命题，则它的否定：“存

在R，记函数()()()Fxfxgx=的最大值为()M，则()12M”为真命题，由③知，当0=时()()()1sin2,cos02sincos1sin2,cos02xxFxfxgxxxxx===−，所以()max12

Fx=，所以，存在R，函数()()()Fxfxgx=的最大值为()M，则()12M，所以假设成立，即④为假命题，故答案为：①②③.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()ππsinsin62fxxx=−++

．（1）求()0f的值和()fx的零点；（2）求()fx的单调递增区间．【答案】（1）()102f=，()fx的零点为ππ,6xkk=−Z；（2）()fx的单调递增区间为2ππ2π,2π,33kkk−+Z.【解析】【分析】（1）先应用诱导公式及两角和差化简，再根据正弦

函数的对称中心求出零点即可；（2）应用正弦函数的单调区间求解即可.【小问1详解】()ππ110sinsin16222f=−+=−+=()ππsinsin62fxxx=−++ππsincoscossincos66x

xx=−+ππsincoscossin66xx=+πsin6x=+令ππ6xk+=，所以ππ6xk=−．所以()fx的零点为ππ,6xkk=−Z【小问2详解】因为sinyx=的单调递增区间为ππ2π,2π,22kkk−+

Z所以πππ2π2π262kxk−++．所以2ππ2π2π33kxk−+所以函数()fx的单调递增区间为2ππ2π,2π,33kkk−+Z17.已知π,,2,1,,4OAaOBbabab=====．（1）求2ab−；（2）若OQt

OA=，求()AQOQOB−的最小值．【答案】（1）2；（2）18−.【解析】【分析】（1）先求ab，然后直接求2ab−的平方即可得解；（2）利用向量的运算律，将()AQOQOB−转化为关于t的二次函数，然后求出最值即可.小问1详解】因为

π2,1,,4abab===，πcos,21cos14ababab===，因为()2222222(2)44241412ababaabb−=−=−+=−+=所以22ab−=，【小问2详解】由（1）知，1OAOBab==，因为()()()()()A

QOQOBOQOAOQOBtOAOAtOAOB−=−−=−−()()221ttOAtOAOB=−−−()()221ttt=−−−2231tt=−+23112488t=−−−【所以当3t4=时，()AQOQOB−的最小值为18−18.在ABC中，cos2cos0

AA+=．（1）求A的大小；（2）若7a=，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在，求ABC最长边上高线的长．条件①：53sin14C=；条件②：ABC面积为103；条件③：10b=．注：如果选

择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3A=；（2）答案见解析，最长边上高线长532.【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化简求值；（2）若选择条件①，方法一，根据正弦定理和余弦

定理求三边，判断最长边，再根据几何关系求高，方法二，根据边长和角，根据大角对大边，直接判断最长边，再求高；若选择条件②，根据面积求bc，再根据余弦定理求边长，再求最长边的高；如选择条件③，根据正弦定理，判断ABC是否存在.【小问1详解】因为

cos2cos0AA+=，所以22coscos10AA+−=所以()()2cos1cos10AA−+=，所以1cos,cos12AA==−，因为()0,πA，所以cos1A=−舍所以1cos2A=，则π3A=；【小问2详解】选择①的因为π3A=，由正弦定理si

nsincaCA=代入7533142c=，得5c=法一：由余弦定理2222cosabcbcA=+−代入得214925252bb=+−所以()()850bb−+=所以8b=或=5b−（舍），所以AC边最长，AC边上的高线53sin2hcA==法二：因为5,7ca==，

所以CA，所以π3C，所以π3B，所以b为最长边AC边上的高线53sin2hcA==选择②因为1sin1032SbcA==所以40bc=因为π3A=，由余弦定理2222cosabcbcA=+−所以22224940bcbcbc=+−=+−所以85bc=

=或58bc==所以最长边上的高线535sin2hA==，若选择③，7,10,60abA===，根据正弦定理，sinsinabAB=，则sinsin1bABa=，不成立，此时ABC不存在.19.已知n维向量()12,,,naaaa=，给定

1,2,,1kn−，定义变换k；选取0,1,1in−，再选取一个实数x，对a的坐标进行如下改变：若此时ikn+，则将12,,,iiikaaa+++同时加上x．其余坐标不变；若此时ikn+，则将12,,,iinaaa++及12,,,iknaaa+−同时加上x，其余

坐标不变．若a经过有限次变换k（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量()12,,,nttt满足12nttt==，则称a为k阶可等向量．例如，向量()1,3,2经过两次变换2可得：2,11,1(1,3,2)(2,3,3)(2,2,2)ixix====−⎯⎯

⎯→⎯⎯⎯⎯→，所以()1,3,2是2阶可等向量．（1）判断()1,2,3是否是2阶可等向量？说明理由；（2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量()1234,,,aaaa是2阶可等向量，求13aa+；（3）若任取12,,,naaa的一个排序

得到的n维向量均为k阶可等向量．则称()12,,,naaa为k阶强可等向量．求证：向量()1,2,3,4,5,6,7是5阶强可等向量．【答案】（1）是2阶可等向量，理由见解析；（2）5；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据

k的定义即可求解，（2）根据k的定义即可求解，()()()()()()132413241324aaaaaaxaaxaaaa+−+=++−++=+−+，即可结合()1234,,,aaaa是2阶可等向量求

解，（3）根据()12,,,naaa是k阶可等向量，等价于()12,,,nayayay+++是k阶可等向量，即可根据变换5求证.【小问1详解】()1,2,3是2阶可等向量．例如经过两次变换2可得：()()()3,11,11,2,32,3,32,2,2ixix=

===−⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯→【小问2详解】设()1234,,,aaaa进行一次变换2后得()1234,,,aaaa，当0i=时，()()12341234,,,,,,aaaaaxaxaa=++当1i=时，()()12

341234,,,,,,aaaaaaxaxa=++当2i=时，()()12341234,,,,,,aaaaaaaxax=++当3i=时，()()12341234,,,,,,aaaaaxaaax=++综

上，我们得到()()()()()()132413241324aaaaaaxaaxaaaa+−+=++−++=+−+．因为()1234,,,aaaa是2阶可等向量，即1234tttt===所以()()()(

)132413240aaaatttt+−+=+−+=．所以132413241234522aaaaaaaa+++++++=+===【小问3详解】任取()1,2,,7的一个排序，记为()127,,,bbbb=．注意到，()12,,,naaa是k阶可等向量，等价于()

12,,,nayayay+++是k阶可等向量．变换5即对连续五个维度坐标（首尾也看成连续）同时加上x，相当于对剩余两个连续维度的坐标同时加上x−．对234567,;,;,bbbbbb依次加上x−，相当于对1b单独加上x；对345671,;,;,bbbbb

b依次加上x−，相当于对2b单独加上x；……基于上述分析，相当于可以对127,,,bbb分别单独加上127,,,bbb−−−．所以b为5阶可等向量，()1,2,,7为5阶强可等向量．【点睛】方法点睛：对于新

型定义，首先要了解定义的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.的