【文档说明】河南省濮阳市2020届高三毕业班第一次模拟考试数学(理)试题【精准解析】.doc,共(23)页,4.233 MB,由管理员店铺上传
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-1-濮阳市2020届高三毕业班第一次模拟考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,1,2,3,5}A=−,2{|1log20}BxNx=,则AB=()A.{3}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{
1,1,5}−【答案】B【解析】【分析】2{|1log20}2,3,4BxNx==,然后即可得到答案.【详解】因为{1,1,2,3,5}A=−,2{|1log20}2,3,4BxNx==所以AB={2,3}故选:B【点睛】本题考查的是集合的运算,较简单.2.已知复数5
12zii=+−,则z的共轭复数为().A.13i+B.13i−C.13i−+D.13i−−【答案】B【解析】【分析】易得55(12)5101312(12)(12)5iiziiiiiii++=+=+=+=+−−+,然后再写出其共轭复数即可.【详解
】55(12)5101312(12)(12)5iiziiiiiii++=+=+=+=+−−+,所以13zi=−.故选:B.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念,属于基础题.3.某公司以客户满意为出发点,随机抽选2000名客户,以调查问卷的形式分
析影响客户满意度的各项因素.每名客户填写一个因素,下图为客户满意度分析的帕累托图.帕累托图用双-2-直角坐标系表示,左边纵坐标表示频数,右边纵坐标表示频率,分析线表示累计频率,横坐标表示影响满意度的各项因素,按影响程度(即频数)的大小从左到右排列,以下结论正确的个数是().①35.
6%的客户认为态度良好影响他们的满意度;②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度;③最影响客户满意度的因素是电话接起快速;④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度.A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】对选项逐一分析即可得出正确答案.【详解】①认
为态度良好影响他们满意度的客户比例为35.6%18.35%17.25%−=,故错误;②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度,故正确;③影响客户满意度的因素是电话接起快速,故正确;④认为工单派发准确影响他们满意度的客户比例为100%98.85%1.15%−=,故正确.故选:C.【点睛】本
题考查学生的识图能力以及分析问题的能力,属于常考题.4.已知函数21,0()1,0xxxfxax−=+,若(1)3f−=,则不等式()5fx的解集为().-3-A.[2,1]−B.[3,3
]−C.[2,2]−D.[2,3]−【答案】D【解析】【分析】易得12a=,然后根据分段函数的定义得到不等式进而求解即可.【详解】因为(1)3f−=,所以13aa−+=,所以12a=,所以21,0()11,02xxxfxx−=+,当0x时,由21
5x−,解得3x,所以03x;当0x时,由1215x+,解得20x−,故()5fx的解集为[2,3]−.故选:D.【点睛】本题考查函数的性质以及不等式的解法,考查计算能力,属于常考题.5.执行如图所示的程序框图,若输出的值30S=,则p的取值范围为().A.(18,
30]B.[18,30]C.(0,30]D.[18,30)【答案】A【解析】【分析】由程序框图依次求得程序运行的结果,再根据输出的n值判断运行的次数,从而得出结果.-4-【详解】由题意3S=,2n=;S9=
,3n=;18S=,4n=;30S=,5n=.当30S=时,若1830p,不满足循环条件,输出30S=.故选:A.【点睛】本题考查程序框图,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.6.已知函数()sin2fxx=+与(
)sin(2)(0)gxx=+,它们的图象有一个横坐标为3的交点,将函数()gx的图象向左平移12个单位长度,所得图象的一条对称轴方程为().A.12x=−B.712x=C.512x=D.1112=x【答案】B【解析】【分析
】由函数平移规律左加右减,得到平移后的函数表达式sin23yx=+,然后求出称轴方程为1212xk=+,kZ,令1k=,即可得解.【详解】根据题意得,52sinsin63=+,因为225,333+,所以2536+
=,所以6π=,所以()sin26gxx=+,则再向左平移12个单位长度,所得图象对应的函数sin2sin21263yxx=++=+,令232xk+=+,kZ,得对称轴方程为1212xk=+,kZ,令1k=,
则712x=.故选:B.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.7.在12nxx−的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中5x的系数为()A
.7−B.358−C.358D.7【答案】D-5-【解析】【分析】由条件可得8n=,然后写出展开式的通项,令x的次数为5,即可得出答案.【详解】因为在12nxx−的展开式中,只有第5项的二项式系数最大所以8n=所以812xx−的展开式的通项为(
)88218811,0,1,2,,822rrrrrrrTCxxCxr+−+=−=−=令852r+=,得2r=所以展开式中5x的系数为228172C−=故选:D【点睛】
本题考查的是二项式的相关知识,准确的写出展开式的通项是解题的关键.8.已知数列na满足()*,nmnmaaamnN++=且11a=,若[]x表示不超过x的最大整数,则数列235na+的前10项和为()A.12B.1135C.24D.40【答案】C
【解析】【分析】先由条件得出数列na是以首项为1,公差为1的等差数列,即可求出nan=,然后依次列出数列235na+的前10项即可.【详解】因为数列na满足()*,nmnmaaamnN++=且11a=所以111mmmaa
aa+=+=+-6-所以数列na是以首项为1,公差为1的等差数列所以()111nann=+−=所以232355nan++=所以数列235na+的前10项依次为:1,1,1,2,
2,3,3,3,4,4所以数列235na+的前10项和为111223334424+++++++++=故选:C【点睛】由条件得出数列na是等差数列是解题的关键.9.已知直四棱柱1111ABCDABCD−的侧棱长为8,底面矩形的面积为16,一个小虫从C点出发
沿直四棱柱侧面绕行一周后到达线段1CC上一点M,若AM⊥平面1ABD,则小虫爬行的最短路程为().A.8B.16C.265D.417【答案】C【解析】【分析】将直四棱柱1111ABCDABCD−的侧面沿1CC展成一个矩形,连接CM即
为最短.【详解】因为AM⊥平面1ABD,所以AMBD⊥,又1CCBD⊥,所以BD⊥平面ACM,所以ACBD⊥,故矩形ABCD为正方形,所以底面边长为4,设AC与BD的交点为O,连接1AO,所以1AMAO⊥,可证1AAOACM,所以1AAACAO
CM=,所以84222CM=,所以2CM=,将直四棱柱1111ABCDABCD−的侧面沿1CC展成一个矩形,连接CM即为最短,所以22162265CM=+=.-7-故选:C.【点睛】本题考查空间几何体的线
面关系及简单计算,考查空间想象能力和计算能力,属于常考题.10.已知函数()fx,()gx的定义域为R,(1)fx+是奇函数,(1)gx+是偶函数,若()()yfxgx=的图象与x轴有5个交点,则()()yfxgx=的零点之和为().A.5−B.5C.10−D.10【答
案】B【解析】【分析】由(1)fx+是奇函数,(1)gx+是偶函数,可得函数()()yfxgx=的图象关于点(1,0)对称,设()()yfxgx=的零点为1x,2x,3x,4x,5x,易知31x=,设12451xxxx
,则15242xxxx+=+=,即可得解.【详解】由题意,(1)(1)fxfx−+=−+(2)()fxfx−=−,又(2)()gxgx−=,所以(2)(2)()()fxgxfxgx−−=−,所以函数(
)()yfxgx=的图象关于点(1,0)对称.设()()yfxgx=的零点为1x,2x,3x,4x,5x,易知31x=,设12451xxxx,则15242xxxx+=+=,所以123455xxxxx++++=.故选:B.【点睛】本题考查函数的图象与性质以及函数零点的概念,考查逻
辑思维能力和计算能力,属于常考题.11.已知圆2216xy+=与抛物线22(0)ypxp=的准线l交于A,B两点,且||215AB=,P为该抛物线上一点,PQl⊥于点Q,点F为该抛物线的焦点.若PQF
△是等边三角形,则PQF△的面积为()-8-A.43B.4C.23D.2【答案】A【解析】【分析】首先由条件可得出2p=,然后由PQF△是等边三角形,焦点F到准线l的距离为2可得出PQF△的边长为4,然后算出答案即可.【详解】由215
AB=可得圆心()0,0到l的距离为16151−=,即12p=,即2p=所以抛物线的方程为24yx=因为PQF△是等边三角形,焦点F到准线l的距离为2所以PQF△的边长为4所以144sin60432PQF==△S故选:A【点睛】设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,弦长
为AB,则有2222ABrd=+12.如图是一个由正四棱锥1111PABCD−和正四棱柱1111ABCDABCD−构成的组合体,正四棱锥的侧棱长为6,1BB为正四棱锥高的4倍.当该组合体的体积最大时,点P到正四棱柱1111AB
CDABCD−外接球表面的最小距离是()A.6243−B.6(32)−C.6(21)−D.6(31)−【答案】B-9-【解析】【分析】设正四棱锥的高为h,ABa=,由条件可得221362ha+=,然后该组合体的体积为()223113472233ahahhh+=−
,然后利用导数求出当23h=时体积取得最大值,此时43a=,然后算出正四棱柱1111ABCDABCD−外接球的半径,然后点P到正四棱柱1111ABCDABCD−外接球表面的最小距离为点P到球心的距离减去半径,即可得到答案.【详解】设正四棱锥的高为h,ABa=,由正四棱锥的侧棱长为6可得2213
62ha+=,该组合体的体积为()()22223113131347227223333ahahahhhhh+==−=−,令()3722fhhh=−,则()2726fhh=−,所以可得()fh在()0,23上单调递增,在()23,+上单调递减,所以当23h=时()fh取得最
大值,即该组合体的体积最大,此时43a=,所以正四棱柱1111ABCDABCD−的外接球半径为:()()()222434383622++=,点P到正四棱柱1111ABCDABCD−外接球表面的最小距离为点P到球心的距离
减去半径,即63(223)6h−−=,故选:B【点睛】本题考查的知识点有:几何体的体积公式,利用导数解决最值问题,几何体的外接-10-球问题,属于较难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在等边三
角形ABC中,2AB=,E,F分别为AB,BC的中点,则CEAF=__________.【答案】32−【解析】【分析】易得12CEABAC=−,()12AFABAC=+,然后根据线性运算和数量积运算法则计算即可.【详解】因为()1122CEAFABACABAC=−+
()()124ABACABAC=−+()22124ABACABAC=−−()1348242=−−=−.故答案为:32−.【点睛】本题考查平面向量的线性运算以及数量积,考查计算能力,属于常考题.14.
已知双曲线22:1()244ttxyCtR−=+,则C的离心率的最小值是__________.【答案】5【解析】【分析】由双曲线方程可得22ta=,244tb=+,然后22444112122ttttcbeaa+==+=+=++,然后用基本不等式即可求解
【详解】因为双曲线22:1244ttxyC−=+,所以22ta=,244tb=+-11-所以224441121241522ttttcbeaa+==+=+=+++=当且仅当422tt=,即1t=时等号成立故答案
为:5【点睛】在椭圆中有221cbeaa==−,在双曲线中有221cbeaa==+15.2020年的2月2日,用数字记法就是20200202,左右对称,古人称回文数,印度人称花环数,类似上面的日子称作花环日
.下一个只包含两个数的花环日是91年后的21111112.若从由数字1和2组成的八位回文数中任选2个,则这2个均为花环日的概率是__________.【答案】313【解析】【分析】首先利用列举法得出回文数有14个,其中能够为花环日的
有7个,然后利用组合数即可算出答案.【详解】由数字1和2组成的八位回文数有:22211222,22122122,21222212,12222221,22111122,21211212,21122112,122
11221,12122121,11222211,21111112,12111121,11211211,11122111,共有14个其中能够为花环日的有7个所以从由数字1和2组成的八位回文数中任选2个,则这2个均为花环日的概率是27214313CC=故答案为:313
【点睛】本题考查的是古典概型,解答的关键是理清题意,列出满足的情况,属于中档题.16.已知正项数列na,满足()*12nnnaanN+=,且()10101232020321aaaa++++−…
,则首项1a的取值范围是__________.【答案】(1,2)【解析】【分析】-12-由12nnnaa+=可得1212nnnaa+++=,然后可得22nnaa+=,然后可得135,,,aaa成等比数列,公比为2,246,,,aaa成等比数列,公比为2,然后分别算出1352019a
aaa++++,2462020aaaa++++,然后得出()()123202101001221aaaaaa++++=+−…即可.【详解】因为12nnnaa+=,所以1212nnnaa+++=,所以22nnaa+=所以135,,,aaa成等比数列,公比为2246,,
,aaa成等比数列,公比为2所以()()10101101013520191122112aaaaaa−++++==−−()()10102101024620202122112aaaaaa−++++==−−所以()()()1010123202101020132211aaaaaa=+−+
+++−…所以123aa+由12nnnaa+=得122aa=,所以212aa=所以1123aa+,所以211320aa−+,解得112a故答案为:(1,2)【点睛】本题考查的是对常见递推公式的处理方法,考
查了等比数列的求和公式,属于中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必作答.22,23题为选考题,考生根据要求作答.17.在ABC中,内角A,B,C所
对的边分别为a,b,c,已知sin(12cos)2sincosBACA+=cossinCA+,2A.(1)求bc的值;-13-(2)若D是BC边上的点,1AD=,22BDDC==,求ABC的面积.【答案】(1)12.(2
)378【解析】【分析】(1)利用三角函数的知识将条件化为2sincossincosBACA=即可(2)在ABD△和ADC中,分别由余弦定理可得2222cosABADBDADBDADB=+−,2222cosACADDCADDCADC=+−,然后可得2226
ABAC+=,然后可求出1AC=,然后即可算出答案.【详解】(1)根据题意,得sin()2sincos2sincoscossinACBACACA++=+,所以sincoscossin2sincos2sincoscos
sinACACBACACA++=+,即2sincossincosBACA=.因为2A,所以cos0A,所以2sinsinBC=.由正弦定理可得2bc=,故12bc=.(2)在ABD△和ADC中,分别由余弦定理,得2222c
osABADBDADBDADB=+−,2222cosACADDCADDCADC=+−.由coscosADBADC=−,得222222326ABACADBDDC+=++=.由(1)知2ABAC=,
所以1AC=.又ACD为等腰三角形,所以ABC的高为2214144−=,所以ABC的面积为13214372248=.【点睛】本题考查三角恒等变换以及正余弦定理在解三角形中的应用,属于常考题型.18.如图,已知圆柱内有一
个三棱锥ABCD−,AD为圆柱的一条母线,DF,BC为下底面圆O的直径,2ADCD==,1BD=.-14-(1)在圆柱的上底面圆内是否存在一点E,使得//EF平面ABC?证明你的结论.(2)设点M为棱AC的中点,2
DNNC=,求平面ABD与平面BMN所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)当点E为上底面圆的圆心时,证明见解析.(2)32626【解析】【分析】(1)当点E为上底面圆的圆心时,//EF平面ABC,取上底面圆的圆心为1O,连接AO,1
AO,1OO,1OF,先证明四边形1ADOO为平行四边形,可得到1AO//OF,然后可得四边形1AOFO为平行四边形,然后得到1AO//OF即可.(2)以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−,算出平面BMN的法向量,平面ABD的一个法向量为(0,1,0)m=,然后算出答案即可.【详解】
(1)当点E为上底面圆的圆心时,//EF平面ABC.证明如下:如图,取上底面圆的圆心为1O,连接AO,1AO,1OO,1OF,则1//OOAD,1OOAD=.-15-所以四边形1ADOO为平行四边形,所以1AO//DO,所以1AO//OF.又1AOOF=,所以四边
形1AOFO为平行四边形,所以1AO//OF.因为AO平面ABC,1OF平面ABC,所以1OF//平面ABC.故点E为上底面圆的圆心1O时,//EF平面ABC.(2)以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−.于是可得(0,0,0)D,(1,0,0)B,
(0,2,0)C,(0,0,2)A,(0,1,1)M,40,,03N,所以(1),1,1BM=−,41,,03BN=−uuur.设平面BMN的一个法向量为(,,)nxyz=,由00BMnBNn==,得0403xyzxy−++=−+=.
令3y=,则可取(4,3,1)n=r.取平面ABD的一个法向量为(0,1,0)m=.设平面ABD与平面BMN所成的锐二面角为,则||3326cos||||26126nmnm===rrrr,故平面ABD与平面BMN所成锐二面角的余弦值为326
26.【点睛】1.通常是构造平行四边形或三角形的中位线来找线线平行,进而证明线面平行;2.向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.-16-19.2020年1月10日,引发新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列
公布后,科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程,不是一朝一夕能完成的,其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验,检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是:每天接种一次,3天为一个接种周期.已知
小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12,假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.(1)求一个接种周期内出现抗体次数k的分布列;(2)已知每天接种一次花费100元,现有以下两种试验方案:①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验,进行下一接种周期
,试验持续三个接种周期,设此种试验方式的花费为X元;②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体,该周期结束后终止试验,已知试验至多持续三个接种周期,设此种试验方式的花费为Y元.比较随机变量X和Y的数学期望的大小.【
答案】(1)分布列答案见解析.(2)()()EXEY【解析】【分析】(1)由题意可知,随机变量k服从二项分布13,2B,故3311()(0,1,2,3)22kkkPkCk−==,然后列出分布列即可(2)根据题意
分别算出X和Y的期望即可.【详解】(1)由题意可知,随机变量k服从二项分布13,2B,故3311()(0,1,2,3)22kkkPkCk−==.则k的分布列为k0123P1838381
8-17-(2)①设一个接种周期的接种费用为元,则可能的取值为200,300,因为1(200)4P==,3(300)4P==,所以13()20030027544E=+=.所以三个接种周期的平均花
费为()3()3275825EXE===.②随机变量Y可能的取值为300,600,900,设事件A为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”,由(1)知,311()882PA=+=.所以1(300)()2PYPA===,1(600)[1()]()4PY
PAPA==−=,1(900)[1()][1()]14PYPAPA==−−=,所以111()300600900525244EY=++=.所以()()EXEY.【点睛】本题考查二项分布以及离散型随机变量的分
布列与数学期望,属于基础题.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32,过点(,0)(02)Ann的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,当1n=,lx⊥轴时,||3PQ=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若l不垂直于
坐标轴,且在x轴上存在一点(,0)Bm使得PBAQBA=成立,求m的取值范围.【答案】(1)2214xy+=.(2)(2,)m+【解析】【分析】(1)根据条件构建方程求解即可(2)设直线l的方程为()ykxn=−,()11,Pxy,()22,Qxy,联立直线与椭圆的方程消元,-1
8-然后韦达定理可得221224414knxxk−=+,2122814knxxk+=+,然后由PBAQBA=,得0PBQBkk+=,即12120yyxmxm+=−−,即()12122()20xxmnxxmn−+++=,然后得出4mn=即可.【详解】(1)设椭圆的半焦
距为c,根据题意,得22222321314caabcab==++=.解得24a=,21b=.所以椭圆C的标准方程为2214xy+=.(2)由l不垂直于坐标轴知,直线l的斜率存在,且不为0,设直线l的方程为()ykxn=−,0k.联立2214()xyykxn+=
=−,消去y可得()22222148440kxknxkn+−+−=.设()11,Pxy,()22,Qxy,易知12xxm.由根与系数的关系,得221224414knxxk−=+,2122814kn
xxk+=+.由PBAQBA=,得0PBQBkk+=,所以12120yyxmxm+=−−.所以()()()1221121202()20yxmyxmxxmnxxmn−+−=−+++=,所以222224482()201414knknmnmnkk−−++=++
,整理可得4mn=,即4mn=因为02n,所以(2,)m+.【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.-19-21.已知函数2()lnxf
xeax=−,函数ln()mxgxnx+=+的图象在点(1,(1))g处的切线方程为30y−=.(1)讨论()fx的导函数()fx的零点的个数;(2)若0a,且()fx在[),e+上的最小值为2xe,证明:当0x时,()()fxgx.【答案】(1)当0a时,()fx存
在唯一零点,当0a时,()fx无零点.(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由题意得()fx的定义域为(0,)+,2()2xafxex=−,然后分0a和0a两种情况讨论即可(2)先由条件求出1ln()2xgxx+=+,然后要证()()fxgx,即证(
)22ln1xxex−−,令()2()2lnxhxxex=−−,然后利用导数得出min()1hx=即可【详解】(1)由题意,得()fx的定义域为(0,)+,2()2xafxex=−.显然当0a时,()0fx恒成立,()fx无零点.当0
a时,取2()()2xatxfxex==−,则22()40xatxex=+,即()fx单调递增,又()0fa,2202aaaeaafeee=−,所以导函数()fx存在唯一零点.故当0a时,()fx存在唯
一零点,当0a时,()fx无零点.(2)由(1)知,当0a时,()fx单调递增,所以22min()()eefxfeeae==−=,所以0a=.因为21ln()mxgxx−−=,函数()gx的图象在点(1,(1))g处的切线方程为30y−=,所以1(1)01m
g−==,所以1m=.又1ln1(1)31gn+=+=,所以2n=,所以1ln()2xgxx+=+.-20-根据题意,要证()()fxgx,即证2ln12xxex+−,只需证()22ln1xxex−−
.令()2()2lnxhxxex=−−,则22121()(21)(21)xxxhxxexexx+=+−=+−.令21()(0)xFxexx=−,则221()20xFxex=+,所以()Fx在(0,)+上单调递
增.又1404Fe=−,1202Fe=−,所以()Fx有唯一的零点011,42x.当()00,xx时,()0Fx,即()0hx,()hx单调递减,当(
)0,xx+时,()0Fx,即()0hx,()hx单调递增,所以()()02min000()2lnxhxhxxex==−−.又因为()00Fx=,所以0201exx=,所以()0000020112ln1221xhxxxxxe=−−=−+=,故()()fxgx.【
点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点个数,利用导数证明不等式,属于较难题.22.在直角坐标系xOy中,曲线1C的参数方程为22xtyt==(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C的极坐标
方程为sin4=,M为曲线2C上的动点,点P在线段OM上,且满足||||16OMOP=.(Ⅰ)求点P的轨迹3C的直角坐标方程;(Ⅱ)设1C与3C的交点为A,B,求AOB的面积.【答案】(Ⅰ)22(2)4(0)xyy+−=;(Ⅱ)4.【解析】【分析
】-21-(Ⅰ)设()00,M,(,)P,然后与曲线2C的极坐标方程sin4=联立可得出点P的极坐标方程,再转化为直角坐标方程即可;(Ⅱ)先将曲线1C的参数方程化为普通方程,然后联立1C与3C的方程,求出A,B的坐标,求出||AB的值,最后计算面积即可.【详解
】(Ⅰ)根据题意,设()00,M,(,)P,则0||OM=,||OP=,易知0.由题意,得000016sin4===,解得4sin=.故轨迹3C的直角坐标方程为22(2)
4(0)xyy+−=;(Ⅱ)将参数方程22xtyt==(t为参数)转化为普通方程为22xy=.联立222(2)4(0)2xyyxy+−==,可得(2,2)A,(2,2)B−.所以||4AB=,所以12||42AOBSAB==△.【点睛】本题考查极坐标系
、参数方程与普通方程之间的转化,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.23.若对于实数x,y有|12|4x−,|31|3y+.(Ⅰ)求16xy+−的最大值M;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若正实数a,b满足12Mab+
=,证明:50(1)(2)9ab++.【答案】(Ⅰ)3;(Ⅱ)证明见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)111(21)(31)623xyxy+−=−++,然后再由绝对值三角不等式求得最大值即可;-22-(Ⅱ)由(Ⅰ)知,123ab+=,即23abab+=,又222abab+
,可得ab的最小值,进而可得出50(1)(2)9ab++.【详解】(Ⅰ)因为111(21)(31)623xyxy+−=−++1111|21||31|4332323xy−+++=,当5223xy==或
3243xy=−=−时等号成立,所以16xy+−的最大值M为3;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,123ab+=,所以2322ababab+=,所以89ab.所以850(1)(2)22424299abababab++=+++=++=.【
点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及基本不等式在证明中的应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.-23-