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姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题全书综合测评(二)全卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过曲线y=cosx上一点P(π3,12)且

与曲线在点P处的切线垂直的直线的方程为()A.2x-√3y−2π3+√32=0B.√3x+2y−√3π3-1=0C.2x-√3y−2π3−√32=0D.√3x+2y−√3π3+1=02.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15

,且4a1,2a3,a5成等差数列,则a1=()A.5√2-5B.5√2+5C.5√2D.53.《九章算术》是我国重要的数学典书,曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之一,其中的“竹九节”问题的题意是:有一根竹子,共九节,各节的容积成等差数列,已知较粗的

下3节共容4升,较细的上4节共容3升,则各节容积的总和是()A.20122B.21122C.60166D.611664.已知函数f(x)=x2+alnx的图象在点(1,f(1))处的切线经过坐标原点,则函数f(x)的最小值为()A.12−12ln2B.14+ln2C.12+12ln2D.1

5.已知f(x)=x2+lnx+mx-1在区间(1,2)上单调递增,则实数m的取值范围是()A.m≥-4B.m>-4C.m>-3D.m≥-36.线性分形又称为自相似分形,其图形的结构在几何变换下具有不变性,通过不断迭代

生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如图所示,若图1中正六边形的边长为1,周长与面积分别记为a1,S1,图2中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为a2,S2,……,以此类推,图n中所有正六边形的

周长之和与面积之和分别记为an,Sn,其中图n中每个正六边形的边长是图(n-1)中每个正六边形边长的13,则下列说法正确的是()A.图4中共有294个正六边形B.a3=1003C.Sn=3√32×(79)𝑛-1D.存在正数m,使得an≤m恒成立7.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x

),且3f(x)-f'(x)>0在R上恒成立,则下列不等式一定成立的是()A.f(1)<e3f(0)B.f(1)<e2f(0)C.f(1)>e3f(0)D.f(1)>e2f(0)8.已知数列{an}满足a1=12,an=1+lnan+1(n∈N*),记Tn为数列{an}的前n项积,则

()A.T9∈(130,126)B.T9∈(126,122)C.T9∈(122,118)D.T9∈(118,114)二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,

有选错的得0分)9.已知数列{an}是等比数列,则下列结论中正确的是()A.数列{𝑎𝑛2}是等比数列B.若a3=2,a7=32,则a5=±8C.若数列{an}的前n项和Sn=3n-1+r,则r=-1D.若a1<a2<a3,则数列{an}是递增数列10.已知数列{an}的

首项为4,且满足2(n+1)an-nan+1=0(n∈N*),则()A.{𝑎𝑛𝑛}为等差数列B.{an}为递增数列C.{an}的前n项和Sn=(n-1)×2n+1+4D.{𝑎𝑛2𝑛+1}的前n项和Tn=𝑛2+n211.关于

函数f(x)=ex+sinx,x∈(-π,+∞),下列结论正确的有()A.f(x)在(0,+∞)上单调递增B.f(x)存在唯一的极小值点C.f(x)在(-π,+∞)上有一个零点D.f(x)在(-π,+∞)上有两个零点密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题12.已知

函数f(x)=x(ex+1),g(x)=(x+1)lnx,则()A.函数f(x)在R上无极值B.函数g(x)在(0,+∞)上存在唯一极值点C.若对任意x>0,不等式f(ax)≥f(lnx2)恒成立,则实数a的最大值为2eD.若f(x1

)=g(x2)=t(t>0),则ln𝑡𝑥1(𝑥2+1)的最大值为1e三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=13x3-mx2+mx+9在R上无极值,则实数m的取值范围为.14.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数

学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,12,1,13,23,1,14,12,34,1,…,其中第一项是1,接下来的两项依次是12,1,再接下来的三项依次是13,23,1,……,依此类推,若该数列的前n项和大于46,求满足

条件的正整数n的最小值.那么该款软件的激活码是.15.已知f(x)=ex-e-x-sin2x,单调递增的等差数列{an}满足f(a2-3)≤0,f(4a1)+f(7-a2)≥0,则a3的取值范围是.16.若函数f(x)=x4-6x3+rx2-6x+1在(0,3]上有且仅有三个零点,则实

数r的取值范围是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设函数f(x)=ex(ax2+bx-3),且f(√3)=0,f'(0)=-3.(1)求实数a+b的值;(2)求函数f(x)的极值.18.(12分)已知数列{an}中,a1=1,an+

1=𝑎𝑛1+𝑎𝑛.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足∑𝑖=1𝑛bi=∑𝑖=12𝑛-1ai,证明:bn≤1,1+12+13+…+12𝑛-1≤n.19.(12分)已知

函数f(x)=x3-3x+a,g(x)=sinx-x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若∀x1≥0,x2≥0,f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数a的取值范围.20.(12分)已知数列{an}中,a1=1,an>0,其前n项和为Sn,且an=√𝑆𝑛+√𝑆𝑛-1(n∈N*

,且n≥2).姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题(1)求数列{an}的通项公式;(2)记cn=an·2𝑎𝑛,求数列{cn}的前n项和Tn.21.(12分)已知函数f(x)=xe

x,g(x)=kx2.(1)求函数f(x)的值域;(2)设F(x)=f(x)-g(x),当x>0时,函数F(x)有两个零点,求实数k的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)满足f(x)=𝑓'(1)2e2x-2+x2-2f(0)x,g(x)=f(𝑥2)−14x2+(1-a)x+a,其

中a∈R.(1)讨论函数g(x)的单调性;(2)若实数x,y,m满足|x-m|≤|y-m|,则称x比y更接近m,当a≥2且x≥1时,试比较e𝑥和ex-1+a哪个更接近lnx,并说明理由.答案全解全析密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封

线内不要答题1.A2.A3.A4.C5.D6.C7.A8.C9.AD10.BD11.ABD12.AD1.Ay'=-sinx,故曲线在点P(π3,12)处的切线斜率为y'|x=π3=-sinπ3=−√32,∴与切线垂直的直线的斜率为2√3

,∴所求的直线方程为y-12=2√3(𝑥-π3),即2x-√3y−2π3+√32=0.故选A.2.A设等比数列{an}的公比为q,则q>0,an>0,由题意可得{𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4=15,4𝑎3=4𝑎1+𝑎5,即{𝑎1(1+q+𝑞2+𝑞3)

=15,4𝑞2=4+𝑞4,所以{𝑞=√2,𝑎1=5√2-5,故选A.3.A记竹子每节的容积从下到上构成等差数列{an},公差为d,其前n项和为Sn,其中n≤9,n∈N*,则{𝑎1+𝑎2+𝑎3=4,𝑎6+𝑎7+𝑎8+𝑎9=3,

即{3𝑎1+3d=4,4𝑎1+26d=3,解得{𝑎1=9566,𝑑=-766,所以S9=9×9566+9×82×(-766)=20122.4.C由f(x)=x2+alnx,得f'(x)=2x+𝑎𝑥,∴f'(1)=2+a

,又f(1)=1,∴函数f(x)=x2+alnx的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=(2+a)·(x-1),把(0,0)代入,可得-1=-2-a,解得a=-1.∴f(x)=x2-lnx,f'(x)=2x-1𝑥=2𝑥2-1𝑥,易知f(x)的定义域为(0,+∞).当x∈(

0,√22)时,f'(x)<0,当x∈(√22,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,√22)上单调递减,在(√22,+∞)上单调递增,∴f(x)min=f(√22)=12+12ln2.故选C.5.D由题

意得f'(x)=2x+1𝑥+m≥0在区间(1,2)上恒成立,即m≥-(2𝑥+1𝑥)在区间(1,2)上恒成立.设h(x)=-(2𝑥+1𝑥),x∈(1,2),则h'(x)=-2+1𝑥2=1-2𝑥2𝑥2=(1-√2x)(1+√2x)𝑥

2<0,所以函数h(x)在(1,2)上单调递减,所以h(x)<h(1)=-3,所以m≥-3.故选D.6.C对于A,易知图1至图n中正六边形的个数构成以1为首项,7为公比的等比数列,故图4中共有73=343个正六边形,A不正确;对于B,易知图n中每个正六边形的边长为(13)𝑛-1,所以an=6×(

13)𝑛-1×7n−1=6×(73)𝑛-1,则a3=983,B不正确;对于C,由图n中每个正六边形的边长为(13)𝑛-1,可得图n中每个正六边形的面积为3√32×(19)𝑛-1,所以Sn=3√32×(19)𝑛-1×7n−

1=3√32×(79)𝑛-1,C正确;对于D,易知数列{an}是公比大于1的递增数列,所以不存在正数m,使得an≤m恒成立,D不正确.故选C.7.A构造函数g(x)=𝑓(𝑥)e3𝑥,则g'(x)=�

�'(𝑥)·e3𝑥-3f(x)e3𝑥(e3𝑥)2=𝑓'(𝑥)-3𝑓(𝑥)e3𝑥.因为3f(x)-f'(x)>0在R上恒成立,所以g'(x)<0在R上恒成立,所以函数g(x)在R上单调递减,所以g(1)<g(0),即𝑓(1)e3<𝑓(0)e0,即f(

1)<e3f(0).故选A.8.C因为an=1+lnan+1,所以an+1=e𝑎𝑛-1.下面用数学归纳法证明n∈N*时,0<an<1.当n=1时,a1=12,结论成立;假设n=k(k∈N*,k≥1)时,结论成立,即0<ak<1,那么当n=k+

1时,ak+1=e𝑎𝑘-1,ak+1>0显然成立,因为0<ak<1,所以ak-1<0,所以ak+1=e𝑎𝑘-1<e0=1,即0<ak+1<1,所以当n=k+1时,结论也成立.综上所述,0<an<1对任意的n∈N*均成立.记函数f(

x)=lnx-(x-1)(0<x<1),则f'(x)=1𝑥−1=1-𝑥𝑥.因为0<x<1,所以f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题所以f(x)<f(1)=0,即lnx<x-1在(0,1)上恒成立,所以an=

1+lnan+1<1+an+1-1=an+1,即an<an+1,所以数列{an}为递增数列,所以12≤an<1.记g(x)=lnx-2(𝑥-1)𝑥+1(0<x<1),则g'(x)=1𝑥−4(𝑥+1)2=(𝑥-

1)2𝑥(𝑥+1)2>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,所以g(x)<g(1)=0,即lnx<2(𝑥-1)𝑥+1在(0,1)上恒成立,所以an-1=lnan+1<2(𝑎𝑛+1-1)𝑎𝑛+1+1,所以21-𝑎𝑛<

-(1-𝑎𝑛+1)+21-𝑎𝑛+1,所以21-𝑎𝑛+1−21-𝑎𝑛>1,则21-𝑎2−21-𝑎1>1,21-𝑎3−21-𝑎2>1,……,21-𝑎𝑛−21-𝑎𝑛-1>1,由累加法得21-�

�𝑛−21-𝑎1>(n-1)×1,将a1=12代入,得21-𝑎𝑛>n+3,所以an>1-2𝑛+3=𝑛+1𝑛+3,所以T9=a1×a2×…×a9>24×35×…×1012=2×311×12=122,

即T9>122.记h(x)=lnx-√𝑥+1√𝑥(0<x<1),则h'(x)=1𝑥−12√𝑥−12𝑥√𝑥=2√𝑥-x-12𝑥√𝑥<0,所以h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)>h(1)=0,即lnx>√𝑥−1√𝑥在(0

,1)上恒成立.所以an-1=lnan+1>√𝑎𝑛+1−1√𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+1-1√𝑎𝑛+1,所以1-an<1-𝑎𝑛+1√𝑎𝑛+1,所以an+1<(1-𝑎𝑛+11-𝑎𝑛)2,所以T9=a1×a2×…×a9<12

×(1-𝑎21-𝑎1)2×…×(1-𝑎91-𝑎8)2=12(1-𝑎91-𝑎1)2=2(1-a9)2,因为an>𝑛+1𝑛+3,所以56<a9<1,所以T9<2(1-a9)2<2×(1-56)2=118

,即T9<118.综上所述,122<𝑇9<118.故选C.9.AD设等比数列{an}的公比为q,则𝑎𝑛+12𝑎𝑛2=(𝑎𝑛+1𝑎𝑛)2=q2,为常数,故A正确.由题意得𝑎7𝑎3=q4=16,即q2=4,所以a5=a3q2=2×4=8,故B错误.

易得a1=S1=1+r,a2=S2-S1=(3+r)-(1+r)=2,a3=S3-S2=(9+r)-(3+r)=6,因为a1,a2,a3成等比数列,所以𝑎22=a1a3,即4=6(1+r),解得r=-13,故C错误.若0<a1<a2<a3,则q>1,数列{an}是递增数列;若a1<a2<a3<

0,则0<q<1,数列{an}是递增数列,故D正确.故选AD.10.BD由2(n+1)an-nan+1=0得𝑎𝑛+1𝑛+1=2×𝑎𝑛𝑛,所以{𝑎𝑛𝑛}是以𝑎11=4为首项,2为公比的等比

数列,故A错误;易得𝑎𝑛𝑛=4×2n-1=2n+1,所以an=n×2n+1,显然{an}为递增数列,故B正确;易得Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1,2Sn=1×23+2×24+…+(n-1)×2n+1+n×2n+2,所以-Sn=22+23+…+2n

+1-n×2n+2=22×(1-2𝑛)1-2-n×2n+2=(1-n)·2n+2-4,故Sn=(n-1)×2n+2+4,故C错误;因为𝑎𝑛2𝑛+1=𝑛×2𝑛+12𝑛+1=n,所以{𝑎𝑛2𝑛+1}的前n项和Tn=𝑛(1+𝑛)2=𝑛2+n2,故D正

确.故选BD.11.ABD由f(x)=ex+sinx,得f'(x)=ex+cosx,当x>0时,ex>1,故f'(x)>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增,故A正确.当x∈(-π,+∞)时,在同一平面直角坐标系中作出y

=ex和y=-cosx的图象,如图所示:由图易知存在x0∈(-π,-π2),使得e𝑥0=-cosx0,故当x∈(-π,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x

)存在唯一的极小值点,故B正确.当x>0时,ex>1,-1≤sinx≤1,故f(x)>0,当x=0时,f(0)=1+0=1,当-π<x<0时,在同一平面直角坐标系中作出y=ex和y=-sinx的图象,如图:密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题易知函数y=ex和y=-sinx的图象

在(-π,0)上有两个交点,故f(x)在(-π,+∞)上有两个零点,故C错误,D正确.故选ABD.12.ADf'(x)=ex(x+1)+1,易得f'(x)>0,所以函数f(x)在R上单调递增,无极值,A正确.g'(x)=lnx+1𝑥+1,令h(x)=lnx+1�

�+1(x>0),则h'(x)=𝑥-1𝑥2(x>0),当0<x<1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,即g'(x)单调递减,当x>1时,h'(x)>0,h(x)单调递增,即g'(x)单调递增,故g'(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,则g'(x)≥g'(1)=2>

0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点,B错误.因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以原不等式可转化为ax≥lnx2(x>0)恒成立,即a≥ln𝑥2𝑥在(0,+∞)上恒成立.令φ(x)=ln𝑥2𝑥(x>0),则φ'(x)=2-ln

𝑥2𝑥2.当x∈(0,e)时,φ'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,φ'(x)<0,所以当x=e时,φ(x)取得极大值,也是最大值,即φ(x)max=φ(e)=2e,所以a≥2e,故实数a的最小值

为2e,C错误.f(x1)=g(x2)=t(t>0)⇒f(x1)=f(lnx2)=t(t>0),因为函数f(x)在R上单调递增,所以x1=lnx2,故ln𝑡𝑥1(𝑥2+1)=ln𝑡(𝑥2+1)ln𝑥2=ln𝑡𝑡,易得(ln𝑡𝑡)max=1e,D正确.故选AD.13.

答案[0,1]解析由题意得f'(x)=x2-2mx+m在R上无变号零点,所以Δ=4m2-4m≤0,解得0≤m≤1.14.答案83解析由题意得该数列的前1+2+…+k=𝑘(𝑘+1)2项和S=1+(12+1)+(

13+23+1)+…+(1𝑘+2𝑘+…+1)=1+12+1+22+1+32+…+1+𝑘2=𝑘+𝑘(𝑘+1)22=𝑘2+3k4,令𝑘2+3k4>46,易得当k=12时,𝑘2+3k4=45,则k≥13,因为113+213+313+

413+513=1513>1,所以满足条件的最小正整数n=12×132+5=83.故该款软件的激活码为83.15.答案(-73,7]解析易得f'(x)=ex+e-x-2cos2x≥2√e𝑥·e-𝑥-2cos2x≥0,所以f(x)在R上单调递增,又f(0)=0,所以f(a2-3)≤0,等价于f(

a2-3)≤f(0),所以a2-3≤0,解得a2≤3,所以a1+a3≤6.①易知f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex+sin2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(4a1)+f(7-a2)≥0,即

f(4a1)≥f(a2-7),所以4a1≥a2-7.所以8a1≥a1+a3-14,即7a1≥a3-14.②由①②得42+7a1≥7a1+7a3+a3-14,解得a3≤7.因为{an}是单调递增数列,所以a3>a2>a1,所以4a2>4a1≥a2-7,所

以a2>-73,所以a3>a2>-73,所以a3的取值范围是(-73,7].16.答案(10,989)解析令f(x)=0,得-rx2=x4-6x3-6x+1,即-r=x2-6x-6𝑥+1𝑥2=x2+1𝑥2−6(𝑥+1𝑥).令t=x+1𝑥,则t2=x2+1𝑥2+2

,故-r=t2-6t-2.当x∈(0,3]时,t∈[2,+∞),且当2<t≤3+13=103时,每个t对应两个x,当t=2或t>103时,每个t对应一个x.令g(t)=t2-6t+r-2.若t1∈(2,103],t2=2为g(t)的零点,则g(2)=4-12+r

-2=0,解得r=10,所以g(t)=t2-6t+8=(t-2)(t-4),此时t1=4∉(2,103];若t1∈(2,103],t2∈(103,+∞)为g(t)的零点,注意到g(t)的图象的对称轴方程为t=3<103,故t

1≠103,因为若t1=103,则t2=6-103=83∉(103,+∞),不符合,故t1∈(2,103),t2∈(103,+∞),所以g(2)=r-10>0,且g(103)=1009−20+r−2=r−

989<0,所以10<r<989.姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题综上,实数r的取值范围为(10,989).17.解析(1)易得f'(x)=ex[ax2+(b+2a)x+b-3].(2分)由题意得{𝑓(√3)=e√3(3a+√

3b-3)=0,𝑓'(0)=𝑏-3=-3,解得{𝑎=1,𝑏=0,(4分)所以a+b=1.(5分)(2)由(1)得f(x)=ex(x2-3),所以f'(x)=ex(x2+2x-3).(6分)令f'(x)>0,得x<-3或x>1;令f'(x)<0,得-3<x<1,所以f(x

)在(-∞,-3)和(1,+∞)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,(8分)所以当x=-3时,f(x)取得极大值,为f(-3)=6e3;当x=1时,f(x)取得极小值,为f(1)=-2e.(10分)18.解析(1)由题意得an≠0,所以由an+1=𝑎𝑛1+𝑎𝑛,得1𝑎𝑛+1=𝑎

𝑛+1𝑎𝑛=1+1𝑎𝑛,即1𝑎𝑛+1−1𝑎𝑛=1,又a1=1,所以1𝑎1=1,所以数列{1𝑎𝑛}是以1𝑎1=1为首项,1为公差的等差数列.(2分)所以1𝑎𝑛=1+(n-1)×1=n,即an=1𝑛.(4分)(2)证明:由∑𝑖=1𝑛bi

=∑𝑖=12𝑛-1ai可知,b1+b2+…+bn=a1+a2+…+𝑎2𝑛-1=1+12+13+…+12𝑛-1,(6分)所以b1+b2+…+bn-1=a1+a2+…+𝑎2𝑛-1-1=1+12+13+…+12𝑛-1-1(n≥2),(8分)两式相减,得bn=12𝑛-1+12

𝑛-1+1+12𝑛-1+2+…+12𝑛-1<12𝑛-1+12𝑛-1+12𝑛-1+…+12𝑛-1=(2n−1−2n−1+1)12𝑛-1=2𝑛-12𝑛-1=1.(10分)当n=1时,b1=1,所以bn≤1.1+12+13

+…+12𝑛-1=b1+b2+…+bn≤1+1+1+…+1=n.(12分)19.解析(1)f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f'(x)>0,解得x>1或x<-1,令f'(x)<0,解得-1<x<1.(2分)当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-

∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗由表可知,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).(4分)(2)依题意有f(x)min≥g(x)max,(5分)由(1)知当

x≥0时,f(x)在[0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(1)=a-2.(7分)由g(x)=sinx-x,得g'(x)=cosx-1≤0,故g(x)在[0,+∞)上单调递减,所以

当x≥0时,g(x)max=g(0)=0.(9分)∴a-2≥0,解得a≥2.故实数a的取值范围为[2,+∞).(12分)20.解析(1)在数列{an}中,易知an=Sn-Sn-1(n≥2)①,∵an=√𝑆𝑛+√𝑆𝑛-1(n≥2)②,且an>0,∴由①②得√𝑆𝑛−√𝑆𝑛-1=1(

n≥2),∴数列{√𝑆𝑛}是以√𝑆1=√𝑎1=1为首项,1为公差的等差数列,(2分)∴√𝑆𝑛=1+(n-1)×1=n,∴Sn=n2.(3分)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1

)2=2n-1,当n=1时,a1=1,也满足上式,(5分)所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*.(6分)(2)由(1)知an=2n-1,∴cn=(2n-1)·22n-1,则Tn=1×2+3×23

+5×25+…+(2n-3)×22n-3+(2n-1)×22n-1,4Tn=1×23+3×25+5×27+…+(2n-3)×22n-1+(2n-1)×22n+1,(8分)∴-3Tn=2+2×(23+25+…+22

n-1)-(2n-1)×22n+1=2+2×8×(1-22𝑛-2)1-4−(2n−1)×22n+1=−103+(53-2n)·22n+1,(10分)∴Tn=(6𝑛-5)·22𝑛+1+109.(12分)21.解析(1)易得f'(x)=(1+x)·ex.令f'(x)=0,得x=

-1,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增.(2分)密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题所以f(x)min=f(-1)=-e-1=-1e,f(x)的值域为[-1e,+∞).(4

分)(2)由题意得F(x)=xex-kx2=x(ex-kx),x>0.令h(x)=ex-kx,x>0,则F(x)有两个零点等价于h(x)有两个零点.(5分)易得h'(x)=ex-k.当k∈(-∞,1]时,h'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以h(x)

在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(0)=1,所以h(x)在(0,+∞)上没有零点,即F(x)在(0,+∞)上没有零点,不符合题意.(7分)当k∈(1,+∞)时,令h'(x)=0,得x=lnk,当x∈(0,lnk)时,h'(x)<0,当x∈(lnk,+∞)时,h'(x)>0,所以h(x)

在(0,lnk)上单调递减,在(lnk,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(lnk)=k-k·lnk.因为h(x)在(0,+∞)上有两个零点,所以h(lnk)=k-k·lnk<0,所以k>e.(9分)易得h(0)=1>0,

h(lnk2)=k2-k·lnk2=k(k-2lnk),对于函数y=x-2lnx,y'=1-2𝑥=𝑥-2𝑥,当x∈(0,2)时,y'<0,函数y=x-2lnx单调递减;当x∈(2,+∞)时,y'>0

,函数y=x-2lnx单调递增,所以y=x-2lnx≥2-2ln2=lne2-ln4>0,所以h(lnk2)=k(k-2lnk)>0.所以存在x1∈(0,lnk),x2∈(lnk,lnk2),使h(x1)=h(x2)=0,所

以当k>e时,h(x)在(0,+∞)上有两个零点,即F(x)有两个零点.(11分)综上,实数k的取值范围是(e,+∞).(12分)22.解析(1)对于f(x)=𝑓'(1)2e2x-2+x2-2f(0)x,令x=0,得f(0)

=𝑓'(1)2·e-2①,易得f'(x)=f'(1)e2x-2+2x-2f(0),令x=1,得f'(1)=f'(1)+2-2f(0)②.联立①②,得f(0)=1,f'(1)=2e2,所以f(x)=e2x+x2-2x.(2分)所以g(x)=f(𝑥2)−14x2+(1−a)x+a=e

x+14x2−x−14x2+(1-a)x+a=ex-ax+a,所以g'(x)=ex-a.当a≤0时,g'(x)>0,g(x)在R上单调递增;当a>0时,g'(x)>0⇔x>lna,g'(x)<0⇔x<lna,所以g(x)在(-∞,

lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.(4分)(2)设u(x)=e𝑥-lnx(x≥1),则u'(x)=-e𝑥2−1𝑥<0,所以u(x)在[1,+∞)上单调递减,又u(e)=0,所以当1≤x<e时,u(x)>0;当x≥e时,u(x)≤0.(5分)设v(x)=ex

-1+2-lnx(x≥1),则v'(x)=ex-1-1𝑥,令h(x)=ex-1-1𝑥,则h'(x)=ex-1+1𝑥2>0,所以v'(x)在[1,+∞)上单调递增,又v'(1)=0,所以v'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,所以v(x)在[1,+∞)上单调递增.结合v(

1)=3>0可得v(x)>0恒成立,因为a≥2,所以ex-1+a-lnx≥ex-1+2-lnx=v(x)>0.(7分)当1≤x<e时,|e𝑥-ln𝑥|-|ex-1+a-lnx|=e𝑥-lnx-ex-1-a+lnx=e𝑥-ex-1-a.设φ(x)=e𝑥-ex-1-a(1≤x

<e),则φ'(x)=-e𝑥2-ex-1<0,所以φ(x)在[1,e)上单调递减,因为φ(1)=e-1-a≤e-3<0,所以φ(x)<0,即|e𝑥-ln𝑥|-|ex-1+a-lnx|<0,故|e𝑥-ln𝑥|<|ex-1+a-lnx|.(9分)当x≥e时

,|e𝑥-ln𝑥|-|ex-1+a-lnx|=-e𝑥+lnx-ex-1-a+lnx=-e𝑥-ex-1+2lnx-a.设r(x)=-e𝑥-ex-1+2lnx-a(x≥e),则r'(x)=e𝑥2−ex−1+2𝑥,令s(x)=e𝑥2−ex−1+2𝑥,则s'

(x)=-2e𝑥3−ex−1−2𝑥2<0,所以r'(x)在[e,+∞)上单调递减,又r'(e)=1e−ee−1+2e=3e-ee-1<0,所以r'(x)<0在[e,+∞)上恒成立,所以r(x)在[e,+∞)上单调递减,因为r(e)=-1-ee-1+2-a=1-a-ee-

1<0,所以r(x)<0在[e,+∞)上恒成立,即|e𝑥-ln𝑥|-|ex-1+a-lnx|<0,所以|e𝑥-ln𝑥|<|ex-1+a-lnx|.(11分)综上,当a≥2且x≥1时,恒有|e𝑥-l

n𝑥|<|ex-1+a-lnx|,所以e𝑥比ex-1+a更接近lnx.(12分)