【文档说明】宁夏吴忠中学2020-2021学年高二12月月考数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(19)页，1.629 MB，由小赞的店铺上传

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2020年高二第三次月考考试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.2{|20}Axxx=−，{|}Bxxa=，若AB，则实数a的取值范围是（）A.2aB.2aC.0aD.0a【答案】A【解析

】【分析】由一元二次不等式可得{|02}Axx=，再由集合间的关系即可得解.【详解】由题意，2{|20}{|02}Axxxxx=−=，{|}Bxxa=，AB，所以2a.故选：A.2.下列选项中正确的是（）A.若ab，cd，则acbdB.若ab，cd，则acbd−

−C.若ab，则11abD.若22acbc，则ab【答案】D【解析】【分析】ABC用特殊值法判断，D由不等式的乘法性质判断.【详解】A.当0,1ab==−，2,1cd==−时，则acbd，故错误；B.当2,1ab==，2,1cd==时，则acbd−=−

，故错误；C.当1,1ab==−时，则11ab，故错误；D.若22acbc，两边同乘21c，则ab，故正确；故选：D3.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知()22sinsinsinsinsinBCABC−=−，23a=，2b=，则ABC的面积为（）A.2

B.23C.4D.43【答案】B【解析】【分析】由正弦定理化简得222bcabc+−=，再由余弦定理得1cos2A=，进而得到3sin2A=，利用余弦定理，列出方程求得4c=，最后结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】在ABC中，()22sinsinsinsin

sinBCABC−=−，由正弦定理，可得()22bcabc−=−，即222bcabc+−=，又由余弦定理可得2221cos22bcaAbc+−==，可得23sin1cos2AA=−=，因为23a=，2b=，由余弦定理，可得2222cosabcbcA=+−，即222(23)22cc=+−，即

2280cc−−=，解得4c=，所以三角形的面积为113sin2423222SbcA===.故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理

的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的

盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（）A.3B.12C.24D.48【答案】C【解析】【分析】题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a，由系数前n项和公式求得1a，再由通项公式计算出中

间项．【详解】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a，则有()7171238112aS−==−，解得13a=，中间层灯盏数34124aaq==，故选：C.5.已知等差数列na，其前n项的和为nS，345

6720aaaaa++++=，则9S=（）A.24B.36C.48D.64【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S的值.【详解】由等差数列的性质，可得345675520aaaaaa++++==，则54a=1

9592993622aaaS+===故选：B6.不等式240xax++的解集为空集，则a的取值范围是（）A.44−，B.()4,4−C.(),44−−+，D.()(),44−−+，【答案】A【解析】【分析】由不等式240xax++的解集为空

集，利用判别式0求解即可.【详解】∵不等式240xax++的解集为空集，∴216044aa=−−．故选：A．【点睛】本题主要考查了利用不等式恒成立求解参数的问题.属于容易题.7.各项为正数的等比数列{}na，478aa=，则2122210logloglogaaa+++=

（）A.15B.10C.5D.3【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果.【详解】因为478aa=，则()()52212221021210110loglogloglog...logaa

aaaaaa=+++=()2475log15aa==.故选：A.8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A.223B.8C.203D.16

3【答案】A【解析】根据三视图可知几何体是一个棱长为2的正方体，截去一个三棱锥得到，所以几何体的体积为2×2×2﹣1122122323=，故选A．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间

的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.9.在数列na中，12a=，121nnaa+=−，若513na，则n的最小值是（）A.9B.10C.

11D.12【答案】C【解析】【分析】根据递推关系可得数列1na−是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得121nna−=+，即求.【详解】因为121nnaa+=−，所以()1121nnaa+−=−，即

1121nnaa+−=−，所以数列1na−是以1为首项，2为公比的等比数列.则112nna−−=，即121nna−=+.因为513na，所以121513n−+，所以12512n−，所以10n.故选：C10.在《九章算术

》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为（）A.

23B.53C.32D.22【答案】A【解析】【分析】先证明CD⊥平面PAD，找出线面角，再解三角形即可求得结果.【详解】因为PA⊥平面,ABCDCD平面ABCD，故可得CDPA⊥，又,,,CDADPAADAPAAD⊥

=平面PAD，故可得CD⊥平面PAD.连接ED.故CED即为所求直线CE与平面PAD所成角.不妨设PA＝AB＝AD2=，故在直角三角形CDE中，222,5CDDEAEAD==+=，故可得223CEDECD=+=.则23CDsinCEDCE==.

则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为23.故选：A.【点睛】本题考查线面角的求解，注意线面垂直的证明，属综合基础题.11.已知数列na满足11a=，+121nnnaaa=+，则数列1nnaa+的前n项和nT=（）A.21nn−B.21nn+C.221nn+D

.42nn+【答案】B【解析】【分析】利用倒数法求出数列na的通项公式，进而利用裂项相消法可求得nT.【详解】已知数列na满足11a=，+121nnnaaa=+，在等式+121nnnaaa=+两边同时取倒数得112112n

nnnaaaa++==+，1112nnaa+−=，所以，数列1na是等差数列，且首项为111a=，公差为2，则()112121nnna=+−=−，121nan=−，()()11111212122121nna

annnn+==−−+−+，因此，1111111111111112323525722121221nTnnn=−+−+−++−=−−++

21nn=+.故选：B.【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．12.实系数一元二次方程20xaxb++=的一个根在()0,1上，另一个根在()1,

2上，则22ba−−的取值范围是（）A.13,22B.12,23C.20,3D.10,2【答案】C【解析】【分析】根据实系数一元二次方程20xaxb++=的一个根在()0,1上，另一个根在()1,2上，得到

(0)0(1)10(2)420fbfabfab==++=++，然后画出可行域，再根据22ba−−表示可行域内的点与点()2,2M连线的斜率求解.【详解】令()2fxxaxb=++，∵实系数一元二次方程20xaxb++=的一个根在()0,1上，另一个根在()1,2上，∴(0)0

(1)10(2)420fbfabfab==++=++，画出它的可行域，如图所示：ABC的内部.而22ba−−表示可行域内的点与点()2,2M连线的斜率，而直线MA的斜率为0，直线MB的斜率为202213−=

+，故22ba−−的取值范围是20,3，故选：C.【点睛】本题主要考查实系数一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，直线的斜率公式，简单的线性规划问题，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知实数x，y满

足约束条件222440xyxyxy+−−+，则2zxy=−的最大值为______.【答案】2【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线20xy−=到可行域边界点(2,0)处，求得目标函数的最大值

.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线20xy−=到可行域边界点(2,0)处，目标函数2zxy=−取得最大值为202z=−=.故答案为：214.等差数列na的前n项和为nS，111a=−，466aa+=−

，则当nS取最小值时，n等于________.【答案】6【解析】【分析】求出等差数列na的公差，可求得nS关于n的表达式，利用二次函数的基本性质可求得当nS取最小值时对应的正整数n的值.【详解】设等差数列na的公

差为d，则461282286aaadd+=+=−+=−，解得2d=，()()2221111126362nnndSnannnnnn−=+=−+−=−=−−，当6n=时，nS取得最小值36−.故答案为：6.【点睛】本题考查利用二次函数的基本性质求nS的最小值，考查计算能力，属于基础题.15.

三棱锥ABCD−中，AB⊥面BCD，2ABBD==，2BCCD==，则三棱锥ABCD−的外接球表面积为________.【答案】8【解析】【分析】根据题中条件，得到BCCD⊥，可将该三棱锥放在一个底面边长为2，高为2的长方体中，

该三棱锥的外接球，即是该长方体的外接球，设外接球半径为R，根据题中条件求出半径，即可得出球的表面积.【详解】因为AB⊥面BCD，2ABBD==，2BCCD==，所以222BCCDBD+=，则BCCD⊥，所以可将该

三棱锥放在一个底面边长为2，高为2的长方体中，如图；则该三棱锥的外接球，即是该长方体的外接球，设外接球半径为R，又长方体的外接球直径等于体对角线的长，则22222RADABBD==+=，所以三棱锥ABCD−的外接球表面积为248SR==.故答案为：8.【点睛】本题主要考查求几何体外接球的表

面积，熟记球的表面积公式，以及几何体的结构特征即可，属于常考题型.16.数列na的前项n和为nS，且满足()*233nnSanN=−，若(41)9(3)nan−−对一切*nN恒成立，则实数的取值

范围是_________.【答案】5,18+【解析】【分析】首先根条件列式求na，再将不等式转化为()93413−−nn对一切*nN恒成立，讨论n的不同取值，求()933nn−的最大值，建立不等式求的取值范围.【详解】当1n=时

，11233Sa=−，11Sa=，13a=，当2n时，11233nnSa−−=−，那么()()1123nnnnSSaa−−−=−，即1233nnnaaa−=−，变形为13nnaa−=，所以数列na是首项为3，公比为3的等比数列，3nna=，代入已知()()4

1393nn−=−对一切*nN恒成立，即()93413−−nn对一切*nN恒成立，当13n时，()9303−nn，可得410−，解得：14，当4n=时，1419−，解得：518

，当5n时，取()933nnnb−=，则()()1311134334nnbnbnn−−==+−−，所以1nnbb−，当5n时，数列nb是递减数列41419b−=，解得：518，那么(41)9(3)nan−−对一切*nN

恒成立，则实数的取值范围是518.故答案为：5,18+【点睛】本题考查已知nS求na，数列的函数性质，重点考查计算能力，转化变形能力，逻辑推理能力，属于中档题型.三、解答题：解答

应写出文字说明．证明过程或演算步骤17.在△ABC中，,,abc分别是内角,,ABC的对边，且22()3acbac+=+．（1）求角B的大小；（2）若2b=，且sinsin()2sin2BCAA+−=，求△ABC的面积．【答案】（1）3B=（2）233

【解析】【分析】（1）直接根据余弦定理可得角B的大小；（2）先根据两角和与差正弦公式化简得cos0A=，或sin2sinCA=，再根据正弦定理得2ca=，结合条件()223acbac+=+可解得a,c，最后根据三角形面积公式求面积【详解】（1）:()223acbac+=+，可得

：222acbac+−=，∴由余弦定理可得：2221cos22acbBac+−==，∵()0,B，∴3B=．（2）∵()sinsin2sin2BCAA+−=，∴()()sinsin2sin2CACAA++−=，∴sin

coscossinsincoscossin4sincosCACACACAAA++−=，可得：()cossin2sin0ACA−=，∴cos0A=，或sin2sinCA=，∴当cos0A=时，2A=，可得2tan3bcB==，可得112232223

3ABCSbc===；当sin2sinCA=时，由正弦定理知2ca=，由余弦定理可得：2222224423acacaaaa=+−=+−=，解得：233a=，433c=，1234332323323ABCS==．18.已知公差0d的等差数列na的前n项和为nS

，525S=，2a是1a与5a的等比中项.（1）求数列na的通项公式；（2）设11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan=−；（2）21nnTn=+.【解析】【分析】（1）由等比中

项的性质和等差数列的前n和公式得出方程组，解之可得通项；（2）由（1）得11122121nbnn=−−+，运用裂项相消法可求得数列的和.【详解】（1）由2a是1a与5a的等比中项，所以2215aaa=，联立2215525aaaS==，即得

()()211114510250adaadadd+=++=，解得112ad==，所以()12121nann=+−=−．（2）()()111111212122121nnnbaannnn+===−

−+−+，所以1111111112335572121nTnn=−+−+−++−−+11122121nnn=−=++．【点睛】方法点睛：求数列和常用的方法：（1）等差+等比

数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）11nnnbaa+=（数列na为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.19.设xy，满足约束条件21210xyxyxy++−−.（1）求目标函数2yzx=+的取值范围

；（2）若目标函数z＝ax＋2y仅在点(-1，1)处取得最大值，求a的取值范围.【答案】（1）1,15−（2）a<1【解析】【分析】（1）2yzx=+的几何意义是点(),xy与点()2,0B−连线的斜率，观察可行域可得斜率的取值范围；（2

）若目标函数2zaxy=+仅在点()1,1−处取得最大值，判断目标函数的斜率，可得到结论.【详解】解：（1）不等式21210xyxyxy++−−表示的可行域，如图阴影部分：2yzx=+的几何意义是点()

,xy与点()2,0B−连线的斜率，联立方程组可得()111,1,,33AD−−−，观察图像得：BDABkzk，又11311,151223BDABkk==−==−+−−+，所以目标函数2yzx=+的取值范围是1,15−；（2）若目标函数2zaxy=+仅在点()1,1A−

处取得最大值，由2zaxy=+得22azyx=−+，如图：可得122a−−，解得1a.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义是解决本题的关键.注意使用数形结合.20.已知数列na满足()1*123(1)2422nnnnaaaan−+++++=N.（1）求na

的通项公式；（2）求na的前n项和nS.【答案】（1）11()2nnan−=；（2）114(2)()2nnSn−=−+.【解析】【分析】（1）对递推关系式下标缩小1，利用作差即可求得na；（2）由11()2nnan−=，利用错位相减法，可求出na的前n项和

nS.【详解】（1）当1n=时，11a=，当2n时，可得21231(1)2422nnnnaaaa−−−++++=，则()121231231(1)(1)24224222nnnnnnnnaaaaaaaa−−−+−++++−++++=−，即1

2nnan−=，故11()2nnan−=因为11a=，满足11()2nnan−=，所以na的通项公式为11()2nnan−=.（2）由题意，012112311111232222nnnSaaaan−=++++=++++，则

1231111112322222nnSn=++++，则0111111122222nnnnSSn−−=+++−

，即11()112()12212nnnSn−=−−，所以114(2)()2nnSn−=−+.【点睛】本题考查通项公式的求法，考查利用错位相减法求数列的前项和，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21.如图①，在菱形ABCD中，∠

A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起使AD＝2，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE.（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积.【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）36【解析】【分析】（Ⅰ）先证,DE

BEDEAE⊥⊥，即可求得DE⊥平面AEB，结合DE//BC，即可由线面垂直推证面面垂直；（Ⅱ）根据点P是AC中点，则PABD−的体积为CABD−体积的一半，再转化顶点求得CABD−的体积，则问题得解.【详解】（Ⅰ）

因为四边形ABCD是菱形，且点E为AD中点，又60A=，故三角形ABD为等边三角形，则DEBE⊥，又在三角形ADE中，1,2AEEDAD===，满足222AEEDAD+=，故DEAE⊥，又,,BEAEEBEAE=平面AB

E，故可得DE⊥平面ABE，又因为DE//BC，故可得BC⊥平面ABE，又BC平面ABC，故可得平面ABC⊥平面ABE.即证.（Ⅱ）因为P是AC中点，故1122PABDCABDABCDVVV−−−==.又,

AEDEAEBE⊥⊥，,BEDEE=,BEDE平面BCDE，故AE⊥平面BCDE，即AE为ABCD−底面BCD上的高.又23234BCDABDSS===，1AE=，故11112223PABDCABDABCDBCDVVVSAE−−−===131

6=36=.故三棱锥P﹣ABD的体积为36.【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及线面垂直的证明以及棱锥体积的求解，属综合基础题.22.已知函数2()(2)4()fxxaxaR=−++（1

）解关于x的不等式()42fxa−；（2）若对任意的[1,4]x，()10fxa++恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ）4a【解析】【分析】（Ⅰ）将原不等式化为()20xax（）−−，分类讨论可得不

等式的解.（Ⅱ）若1x=则aR；若(1,4x，则参变分离后可得411axx−+−在(1,4恒成立，利用基本不等式可求411xx−+−的最小值，从而可得a的取值范围.【详解】（Ⅰ）()24fxa−+即()2220xaxa−++，()20xax（）−−，（ⅰ）当2a时，

不等式解集为2xax；（ⅱ）当2a=时，不等式解集为2xx=；（ⅲ）当2a时，不等式解集为2xxa，综上所述，（ⅰ）当2a时，不等式解集为2xax；（ⅱ）当2a=时，不等式解集为2；（ⅲ）当2a时，不等式解集为2xxa.（Ⅱ）对任意的

()1410xfxa，，++恒成立，即()2250xaxa−+++恒成立，即对任意的1,4x，()2125axxx−−+恒成立.①1x=时，不等式为04恒成立，此时aR；②当(1,4x时，2254111

xxaxxx−+=−+−−，14x，013x−，()44121411xxxx−+−=−−，当且仅当411xx−=−时，即12x−=，3x=时取“=”,4a.综上4a.【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应

的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的

最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求.