【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练59 抛物线.docx，共(15)页，159.370 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。五十九抛物线(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2024·济南模拟)

已知点(1,4)在抛物线y=ax2上,则抛物线的焦点坐标为()A.(1,0)B.(0,1)C.(0,116)D.(116,0)【解析】选C.因为点(1,4)在抛物线y=ax2上,所以4=a×12,则a=4,所以抛物线的标准方程

是x2=14y,则抛物线的焦点坐标为F(0,116).2.(5分)(2024·眉山模拟)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,M为C上一点,若|MF|=6,则△MOF的面积为()A.4√3B.2√2C.4

√2D.8【解析】选C.设点M(x0,y0),F(2,0),所以|MF|=x0+2=6,得x0=4,y0=±4√2,所以△MOF的面积S=12|OF|×|y0|=12×2×4√2=4√2.3.(5分)(2024·成都模拟)已知点F(0,4)是抛物线C

:x2=2py(p>0)的焦点,点P(2,3),且点M为抛物线C上任意一点,则|MF|+|MP|的最小值为()A.5B.6C.7D.8【解析】选C.因为点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,所以𝑝2=4,解得p=8,所以抛物线C的方程为x2=16y

.由抛物线的定义知:点M到点F(0,4)的距离等于点M到准线y=-4的距离,结合点P(2,3)与抛物线C的位置关系可知,|MF|+|MP|的最小值是点P(2,3)到准线y=-4的距离,故|MF|+|MP|的最小值为7.【加练备选】抛物

线C:x2=8y的焦点为F,过F且倾斜角为π4的直线l与抛物线C交于A,B两点,点D为抛物线C上的动点,且点D在l的右下方,则△DAB面积的最大值为()A.16√2B.12√2C.8√2D.6√2【解析】选A.由C:x2=8y知F(0,2)

,则直线l的方程为y=x+2,设D(x,𝑥28),则D到直线l的距离为d=|𝑥-𝑥28+2|√2,又点D在l的右下方,所以d=|𝑥-𝑥28+2|√2=𝑥-𝑥28+2√2,联立方程{𝑥2=8𝑦𝑦=𝑥+2,消元得x2-8x-

16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,x1·x2=-16,所以|AB|=√1+12·√(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=16,所以S△DAB=12|AB|·d=4√2(x-𝑥28+2)=√22(-x2+8x+16),故当x=4时,S△DAB有最大值16√

2.4.(5分)过抛物线y=x2的焦点F的一条直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与QF的长分别是p,q,则1𝑝+1𝑞为定值()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.抛物线x2=y的焦点F(0,14),准线方程为y=-14,显然直线PQ的斜率存在,设为

k,则直线PQ的方程为y=kx+14,由{𝑦=𝑘𝑥+14𝑦=𝑥2消去x并整理得:y2-(k2+12)y+116=0,显然Δ=(𝑘2+12)2-14≥0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y2=1

16,y1+y2=k2+12,而p=y1+14,q=y2+14,因此1𝑝+1𝑞=44𝑦1+1+44𝑦2+1=16(𝑦1+𝑦2)+816𝑦1𝑦2+4(𝑦1+𝑦2)+1=16𝑘2+164𝑘2+4=4,所以1𝑝+1𝑞为定值4.5.(5分)(多选题)(2

024·贵阳模拟)已知抛物线C:y=ax2的顶点为O,准线为y=-12,焦点为F,过F作直线l交抛物线于M,N两点(M在N的左边),则()A.a=12B.若直线l经过点(-1,0),则|MN|=72C.线段|MN|的最小

值为2D.若𝐹𝑁⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则直线l的斜率为√33【解析】选ACD.A选项,抛物线的标准方程为x2=1𝑎y,准线为y=-12,则a>0,准线方程y=-14𝑎=-12,解

得a=12,故A正确;焦点F(0,12),过F作直线l交抛物线于M,N两点,显然l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+12,联立{𝑦=𝑘𝑥+12,𝑦=12𝑥2,整理得x2-2kx-1=0,Δ=4k2+4>0恒成立

,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2k,x1x2=-1,|MN|=√1+𝑘2√(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=√1+𝑘2√4𝑘2+4=2(k2+1),B选项,若直线l经过点(-1,0

),则k=12,|MN|=52,故B错误;C选项,当k=0时,|MN|的最小值为2,故C正确;D选项,由𝐹𝑁⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗,得-3x1=x2,又x1x2=-1,x1<0,x2>0,解得x1=-√33,x2=√3,又因为x1+x2=2k,所以k=√33,故D正确.6.(5

分)(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为2√6B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°【解析

】选ACD.根据题意如图,对于A,易得F(𝑝2,0),由|AF|=|AM|可得点A在FM的垂直平分线上,则点A横坐标为𝑝2+𝑝2=3𝑝4,代入抛物线可得y2=2p·3𝑝4=32p2,则A(3𝑝4,√6𝑝2),

则直线AB的斜率为√6𝑝23𝑝4-𝑝2=2√6,A正确;对于B,由斜率为2√6可得直线AB的方程为x=12√6y+𝑝2,联立抛物线方程得y2-1√6py-p2=0,设B(x1,y1),则√62p+y

1=√66p,则y1=-√6𝑝3,代入抛物线得(-√6𝑝3)2=2p·x1,解得x1=𝑝3,则B(𝑝3,-√6𝑝3),则|OB|=√(𝑝3)2+(-√6𝑝3)2=√7𝑝3≠|OF|=𝑝2,B错误

;对于C,由抛物线定义知:|AB|=3𝑝4+𝑝3+p=25𝑝12>2p=4|OF|,C正确;对于D,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(3𝑝4,√6𝑝2)·(𝑝3,-√6𝑝3)=3𝑝4·

𝑝3+√6𝑝2·(-√6𝑝3)=-3𝑝24<0,则∠AOB为钝角,又𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-𝑝4,√6𝑝2)·(-2𝑝3,-√6𝑝3)=-𝑝4·(-2𝑝3)+√6𝑝2·(-√6𝑝3)=-5𝑝26<0,则∠AMB为钝角

,又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°,则∠OAM+∠OBM<180°,D正确.7.(5分)已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,点M为抛物线C上的点,且|𝐹𝑀|=6,则M的横坐标是5;作MN⊥x轴于N,则S△FMN=4√5.【解析】因为抛物线的方程为y2=

4x,故p=2且F(1,0).因为|𝑀𝐹|=6,所以xM+𝑝2=6,解得xM=5,故yM=±2√5,所以S△FMN=12×(5-1)×2√5=4√5.8.(5分)(2024·漳州模拟)已知抛物线y2=2x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,则4|AF

|+|BF|的最小值是92.【解析】如图所示:易知焦点F(12,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1,x2>0,当直线斜率不存在时(如图中虚线所示),可知|AF|=|BF|=1,此时4|AF|+|BF|=5;当直线斜率存在时,可设直线方程为y=k(x-12),显然k≠0,联

立直线和抛物线方程{𝑦=𝑘(𝑥-12)𝑦2=2𝑥,消去y整理可得k2x2-(k2+2)x+14k2=0,利用根与系数的关系可知x1x2=14,又利用焦半径公式可知|AF|=x1+12,|BF

|=x2+12,所以可得4|AF|+|BF|=4(x1+12)+x2+12=4x1+x2+52≥2√4𝑥1·𝑥2+52=92,当且仅当4x1=x2,即x2=1,x1=14时,等号成立.综上可得,4|AF|+|BF|的最小值是92.9

.(10分)(2024·遂宁模拟)直线y=kx-2交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,线段AB中点的横坐标为2,抛物线的焦点到y轴的距离为2.(1)求抛物线方程;(2)设抛物线与x轴交于点D,求△ABD的面积.【解析】(1)抛物线y2=2px(p

>0)的焦点为F(𝑝2,0),因为抛物线的焦点到y轴的距离为2,则𝑝2=2,可得p=4,所以,抛物线的方程为y2=8x.(2)若k=0,则直线AB与抛物线y2=8x只有一个交点,不符合题意,则k≠0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立{𝑦=𝑘

𝑥-2𝑦2=8𝑥,可得k2x2-(4k+8)x+4=0,Δ=(4k+8)2-16k2=64k+64>0,解得k>-1,因为线段AB中点的横坐标为2,所以4𝑘+8𝑘2=4,整理可得k2-k-2=0,又因为k>-1,解得k=2

,易知抛物线y2=8x交x轴于点D(0,0),则有4x2-16x+4=0,可得x2-4x+1=0,由根与系数的关系可得x1+x2=4,x1x2=1,由弦长公式可得|AB|=√1+22·|x1-x2|=√5·√(

𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=√5×√42-4=2√15,原点D到直线AB:2x-y-2=0的距离为d=2√22+(-1)2=2√55,所以,S△ABD=12|AB|·d=12×2√15×2√55=2√3.【能力提升练】10.(5分)(多选题)(2

024·深圳模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,M(x0,y0)是抛物线C上一个动点,点A(0,2),则下列说法正确的是()A.若|MF|=5,则y0=4B.过点A与抛物线C有一个公共点的直线有3条C.连接M,F并延长与抛物线交于点N,若M,

N的中点Q(1,1),则|MN|=4D.点M到直线x-y+3=0的最短距离为2√2【解析】选BC.由抛物线C:y2=4x的方程可得焦点F(1,0),准线方程x=-1,A中,由抛物线的性质|MF|=x0+1=5

,则x0=4,代入抛物线的方程可得y0=±4,所以A不正确;B中,将A点的坐标代入:22>4×0,可得A点在抛物线的外面,所以过A有两条直线与抛物线相切,还有一条平行于x轴的直线与抛物线有一个公共点,所以有3条直

线与抛物线有一个公共点,B正确;C中,|MN|=x0+xN+p=2xQ+2=4,所以C正确;D中,点M到直线x-y+3=0的距离d=|𝑥0-𝑦0+3|√2=|𝑦024-𝑦0+3|√2=|(𝑦0-2

)2+8|4√2≥84√2=√2,所以d的最小值为√2,D不正确.11.(5分)(多选题)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y=-√3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M

,N两点,l为C的准线,则()A.p=2B.|MN|=83C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形【解析】选AC.A选项:直线y=-√3(x-1)过点(1,0),所以抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),所以𝑝2=1,p=2,2p=4,则A选项正确,且抛物线C的

方程为y2=4x.B选项:设M(x1,y1),N(x2,y2),由{𝑦=-√3(𝑥-1),𝑦2=4𝑥消去y并化简得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0,解得x1=3,x2=13,所以|MN|=x1+x2+p=3+13+2=163,B选项错误.C选项:设

MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,因为d=12(d1+d2)=12(|MF|+|NF|)=12|MN|,即A到直线l的距离等于MN的一半,所以以MN为直径的圆与直线l相切,C选项正确.D选项:直线y=-√3(x-1

),即√3x+y-√3=0,O到直线√3x+y-√3=0的距离为d=√32,所以△OMN的面积为12×163×√32=4√33,由上述分析可知y1=-√3(3-1)=-2√3,y2=-√3(13-1)=2√33,所以|OM|=√32+(-2√3)2=√21,|ON|=√(13)2+(2√33)

2=√133,所以△OMN不是等腰三角形,D选项错误.12.(5分)(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则()A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切C

.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2【解析】选BCD.将点A代入抛物线方程得1=2p,所以抛物线方程为x2=y,故准线方程为y=-14,A错误;kAB=1-(-1)1-0=2,所以直线AB的方

程为y=2x-1,联立{𝑦=2𝑥-1𝑥2=𝑦,可得x2-2x+1=0,解得x=1,故B正确;设过点B的直线为l,若直线l与y轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,所以,直线l的斜率存在,设其方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联

立{𝑦=𝑘𝑥-1𝑥2=𝑦,得x2-kx+1=0,所以{𝛥=𝑘2-4>0𝑥1+𝑥2=𝑘𝑥1𝑥2=1,所以k>2或k<-2,y1y2=(x1x2)2=1,又|OP|=√𝑥12+𝑦12=√𝑦1+𝑦12,|OQ|=√𝑥22+𝑦22=√𝑦2+

𝑦22,所以|OP|·|OQ|=√𝑦1𝑦2(1+𝑦1)(1+𝑦2)=√𝑘𝑥1×𝑘𝑥2=|k|>2=|OA|2,故C正确;因为|BP|=√1+𝑘2|x1|,|BQ|=√1+𝑘2|x2|,所以|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+

k2>5,而|BA|2=5,故D正确.13.(5分)(2024·九江模拟)已知点A,B分别是抛物线C:y2=-4x和圆E:x2+y2-2x+4y+4=0上的动点,点A到直线l:x=2的距离为d,则|AB|+d的最小值为2√2.【解析】如图所示,由圆E的标准方程为(x-1)2+(y+2)

2=1可知圆心E(1,-2),半径为r=1,抛物线C的焦点为F(-1,0),准线方程为x=1,由抛物线定义可知|AF|=d-1,圆外一点到圆上点的距离满足|AE|-r≤|AB|≤|AE|+r,即|AE|-1≤|AB|≤|AE|+1;所以|AB|+d=|AB|+|

AF|+1≥|AE|-1+|AF|+1=|AE|+|AF|≥|EF|=2√2,当且仅当A,E,F三点共线时,等号成立;即|AB|+d的最小值为2√2.【加练备选】(2024·运城模拟)已知抛物线C:y2=2px

(p>0)的焦点F到其准线的距离为2,圆M:(x-1)2+y2=1,过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点,则9|AP|+4|BQ|的最小值为12.【解析】因为抛物线的焦点到准线

的距离为2,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x,如图,|PF|=|QF|=1,因为9|AP|+4|BQ|=9(|AF|-|PF|)+4(|BF|-|QF|)=9|AF|+4|BF|-13,设A(x1,

y1),B(x2,y2),所以|AF|=x1+𝑝2=x1+1,|BF|=x2+𝑝2=x2+1,所以9|AP|+4|BQ|=9x1+4x2,因为直线l与x轴平行时显然不符合题意,故可设l:x=my+1,因为直线所过定点F(1,0)在抛物线内部,则直线l必然与抛物线有两交点,

同样与圆也有两交点,联立{𝑦2=4𝑥𝑥=𝑚𝑦+1,x2-(2+4m2)x+1=0,所以x1x2=1,所以9|AP|+4|BQ|=9x1+4x2≥2√36𝑥1𝑥2=12,当且仅当9x1=4x2,即x1=

23,x2=32时取等号,所以9|AP|+4|BQ|的最小值为12.14.(10分)(2024·包头模拟)抛物线y2=2px(p>0)的准线被圆x2+y2-2y-3=0截得的弦长为2√3.(1)求p的值;(2)过点M(4,0)的直线交抛物线于点

A,B,证明:以AB为直径的圆过原点O.【解析】(1)圆x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,圆心C(0,1),半径为2,则C到准线距离为d=√22-(√3)2=1,所以准线方程为x=-𝑝2=-1,可得p=2,所以抛物线标准方程为y2=4x

.(2)设直线AB方程为x=my+4,A(𝑦124,y1),B(𝑦224,y2),联立方程{𝑥=𝑚𝑦+4𝑦2=4𝑥,消去x得y2-4my-16=0,则Δ=16m2+64>0,可得y1·y2=-16,又因为𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑦124,y1

),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑦224,y2),则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑦1𝑦2)216+y1y2=(-16)216+(-16)=0,可得𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,即以线段AB为直径的圆过原点O.15.(10分)(2024·临沂模拟)已知

抛物线E:y2=2px(p>0),P(4,y0)为E上位于第一象限的一点,点P到E的准线的距离为5.(1)求E的标准方程;(2)设O为坐标原点,F为E的焦点,A,B为E上异于P的两点,且直线PA与PB斜率乘积为-4

.①证明:直线AB过定点;②求|FA|·|FB|的最小值.【解析】(1)由题可知4+𝑝2=5,解得p=2.所以E的标准方程为y2=4x;(2)①由(1)知,𝑦02=4×4,且y0>0,解得y0=4,所以P(4,4).设A(𝑦124,y1),B(𝑦224,y2),则kPA=𝑦1

-4𝑦124-4=4𝑦1+4,同理可得,kPB=4𝑦2+4,则kPA×kPB=4𝑦1+4×4𝑦2+4=-4,即4(y1+y2)+y1y2+20=0.当直线AB斜率存在时,直线AB的方程为y-y1=𝑦1-𝑦2𝑦124-𝑦224(x-𝑦124),整理得4x-(y1+y2)y+y1

y2=0.所以4x-20-(y1+y2)(y+4)=0,即y+4=4𝑦1+𝑦2(x-5),所以直线AB过定点(5,-4);当直线AB的斜率不存在时,y1+y2=0,可得𝑦12=20,x1=5.综上,直线AB过定点(5,-4).②设A(x1,y

1),B(x2,y2),当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-5)-4=kx-5k-4,与抛物线E联立得{𝑦2=4𝑥,𝑦=𝑘𝑥-5𝑘-4,消去y得k2x2-(10k2+8k+4)

x+(5k+4)2=0,由题意Δ>0,所以x1+x2=10𝑘2+8𝑘+4𝑘2,x1x2=(5𝑘+4)2𝑘2.所以|FA|·|FB|=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=(5𝑘+4)2𝑘2+10𝑘2+8𝑘+4𝑘2+1=48𝑘+20𝑘

2+36=20(1𝑘+65)2+365≥365,所以当1𝑘=-65,即k=-56时,|FA|·|FB|的最小值为365;当直线AB斜率不存在时,x1=x2=5.由抛物线定义知|FA|·|FB|=(x1+1)(x2+1)=36.故|FA|·|FB|

的最小值为365.【素养创新练】16.(5分)(2024·深圳模拟)已知动点Q到抛物线C:y2=8x的焦点F的距离为1,则Q的轨迹方程是(x-2)2+y2=1,若A(4,0),P是抛物线C上的动点,则|𝑃𝐴|2|�

�𝑄|的最小值是4.【解析】抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),设动点Q的坐标为(x,y),因为|QF|=1,所以(x-2)2+y2=1,故点Q的轨迹方程是(x-2)2+y2=1.设点P(s,t),则由抛物线的定义得|PF|=s+2,|PA|2=(s-4)2+t2=s2-8s+16

+8s=s2+16.因为|PQ|≤|PF|+|FB|=|PB|,所以|𝑃𝐴|2|𝑃𝑄|≥|𝑃𝐴|2|𝑃𝐵|,当且仅当点Q与点B重合时等号成立,又|PB|=|PF|+1=s+3,所以|𝑃𝐴|2|𝑃𝐵|=𝑠2+16𝑠+3.令s+3=λ,则s=λ-3

,所以|𝑃𝐴|2|𝑃𝐵|=(𝜆-3)2+16𝜆=𝜆2-6𝜆+25𝜆=λ+25𝜆-6.因为|𝑃𝐴|2|𝑃𝐵|>0,显然有λ>0,则由基本不等式知λ+25𝜆≥2√𝜆·25𝜆=10,当且仅

当λ=25𝜆,即λ=5时等号成立.故|𝑃𝐴|2|𝑃𝑄|的最小值为10-6=4.