【文档说明】河北省邢台市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题【精准解析】.doc,共(16)页,1.131 MB,由小赞的店铺上传
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邢台市2019-2020学年高一(上)期末测试数学考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟2.请将各题答案填写在答题卡上3.本试卷主要考试内容:人教A版必修1,必修4第一章、第三章.
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|22}Axx=−,2|log2Bxx=,则()RAB=ð()A.{|20}xx−B.{|20}xx−C.{|24}xx剟D.{|02}xx„【答
案】A【解析】【分析】解对数不等式求得集合B,由此求得UBð,进而求得()RABð.【详解】因为2log2x,所以22loglog4x,所以|04Bxx=,所以R{|0Bxx=ð或4}x,所以()R{|20}ABxx=−剟ð.故选:A
【点睛】本小题主要考查集合交集和补集的概念和运算,考查对数不等式的解法,属于基础题.2.函数log(1)3ayx=++的图象恒过定点M,则M的坐标为()A.(-1,3)B.(0,3)C.(3,-1)D.(3,0)【答案】B【解析】【分析】根据对数型函数过定点,求得M点的坐标.【详
解】令log(1)0ax+=,则0x=,故M的坐标为(0,3).故选:B【点睛】本小题主要考查对数型函数过定点问题,属于基础题.3.若函数()27xfxx=+−的零点所在的区间为(,1)()kkk+Z,则k=()A.3B.4C.1D.2【答案】D【解析】【分析】结合零点存在性定理
和函数()fx的单调性,求得k的值.【详解】∵(2)4270,(3)8370,ff=+−=+−且()fx单调递增,∴()fx的零点所在的区间为(2,3),∴2k=.故选:D【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用,考查函数的单调性,属于基础题
.4.若函数2(1)5fxx−=+,则(2)f−=()A.9B.6C.4D.3【答案】B【解析】【分析】求得2−对应x的值,由此求得函数值.【详解】由12x−=−,解得1x=−,所以()()22156f−=−+=.故选:B【点睛】本小题主要考查函数值的求法,属于基础题.5.
下列函数中,既以为周期,又在区间0,2上单调递减的函数是()A.cos2xy=−B.|sin|yx=C.tan1exy=D.cos24xy=+【答案】C【解析】【分析】逐一分析四个选项中
函数的单调性和最小正周期,由此确定正确选项.【详解】A中函数在0,2上单调递增,不合题意;B中函数在区间0,2上单调递增,不合题意;C中函数满足题意;D中函数的最小正周期为4,不合题意;综上所述,选项C满足题意.故选
:C【点睛】本小题主要考查函数的周期性和单调性,属于基础题.6.已知()lgsin143a=,22tan371tan37b=−,22c−=,则()A.bcaB.abcC.cabD.bac【答案】A【解析】【分
析】利用“0,1分段法”,结合对数函数、三角恒等变换、指数函数的知识,比较出三者的大小关系.【详解】因为()lgsin143lg10a==,22tan37tan7411tan37b==−,212(0,1)4c−==,所以bca.故选:A【点睛】本小题主要
考查利用对数函数、三角恒等变换、指数函数的知识比较大小,属于基础题.7.函数()ln(sincos)2fxxxxx=−−++的定义域为()A.,3B.73,44−−C.73,,444
−−D.7,(0,]44−−【答案】C【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数、对数真数大于零,结合三角不等式的解法,求得函数的定义域.【详解】
由sincos0,0,20,xxxx−−+……得522,,442,kxkkx++−Z剟故73,,444x−−.故选:C【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法,属于基础题.8.函数2212
xxy−−+=−的单调递增区间为()A.(,1]−−B.[1,)−+C.(,1]−D.[1,)+【答案】B【解析】【分析】利用复合函数单调性同增异减,判断出函数的单调递增区间.【详解】因为函数221yxx=
−−+的单调递减区间为[1,)−+,所以原函数的单调递增区间为[1,)−+.故选:B【点睛】本小题主要考查指数型复合函数单调性的求法,属于基础题.9.已知()fx是定义在(26,)aa−上的奇函数,且()fx在[0,)a上单调递减,则不等式(31)(14)fxfx−−
…的解集为()A.12,37−B.23,74C.12,47−D.12,47−【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的定义域的特点求得a,根据奇函数的单调性以及函数的定义域化简所求不等式,由此求得不等式的解集.【详解】因
为()fx是奇函数,所以260aa−+=,则2a=,所以()fx的定义域为(2,2)−.又()fx在[0,2)上单调递减,从而在(2,2)−上单调递减,所以由(31)(14)fxfx−−…,可得231,3114,142,xxxx−−−−−„
所以1247x−„,即不等式(31)(14)fxfx−−…的解集为12,47−.故选:D【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性、奇偶性解不等式,属于基础题.10.函数()sin()(0,0)fxx=+的部分图象如图所示,
BC∥x轴当70,12x时,若不等式()sin2fxmx−„恒成立,则m的取值范围是()A.3,2+B.1,2+C.[3,)+D.[1,)+【答案】A【解析】【分析】根据,BC两点的对称性求得()fx的一条对称轴方程,由此结合()fx的周期
性求得的值,结合π,03求得,进而求得()fx的解析式,利用分离常数法化简()sin2fxmx−„,结合三角函数值域的求法,求得m的取值范围.【详解】因为//BCx,所以()fx的图像的一条
对称轴方程为2723212x+==,71212344−==,所以2=.由于函数()fx图像过π,03,由23k+=+,kZ,且0,得3=,所以()sin23fxx=+.()si
n2fxmx−„,等价于()sin2fxxm−„,令()sin2sin23gxxx=+−,70,12x,()sin2coscos2sinsin2cos2336gxxxxx=+−=+.由70,12x,得42,
663x+,()gx的最大值为32,所以32m….故选:A【点睛】本小题主要考查根据三角函数的图像求三角函数的解析式,考查三角函数最值的求法,考查三角恒等变换,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.11.已知锐角满足22tantan60−−=,224si
n3sincoscosa=−−,则函数2sin()=sinxafxxa+−()A.没有最大值也没有最小值B.只有最大值,且最大值为114C.只有最小值,且最小值为194−D.最大值是114,最小值是194−【答案】D【解析】【分析】解一元二次方程求得tan,利用
“1”的代换以及齐次方程的方法,求得a,由此求得()fx解析式,利用分离常数法以及换元法,结合函数的单调性,求得()fx的最大值和最小值.【详解】由22tantan60−−=,得tan2=或3tan2=−(舍)
,则22224tan3tan194sin3sincoscostan15a−−=−−==+,则9272sin55()299sinsin55xfxxx+==+−−,令sinxt=,则[1,1]t−,令275()295gtt
=+−,易知关于t的函数275()295gtt=+−在区间[1,1]−上单调递减,所以()fx的最大值是114,最小值是194−.故选:D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式和齐次方程,考查分式型函数最值的求法,属于中档题.12.设函数1e1,0,()(1)(2)
,0,xxfxfxfxx+−=−−−„则(2020)f=()A.eB.11e−C.1-eD.-e【答案】C【解析】【分析】首先根据分段函数解析式判断出当0x时,()fx是周期为6的周期函数,由此求得()
2020f的值.【详解】当x>0时,由()(1)(2)fxfxfx=−−−,可得(1)()(1)fxfxfx+=−−,两式相加得(1)(2)fxfx+=−−,则当x>0时,(6)()fxfx+=,故(2020)(4)(1)(1)(0)1efffff==−=−−=−.故选:C【点睛】本小题主
要考查分段函数求函数值,考查函数的周期性,属于基础题.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知()fx是R上的奇函数,且当(1,0)x−时,()4xfx=−,则45log4
f=_________.【答案】45【解析】【分析】利用奇函数的性质以及题目所给(1,0)x−时,()fx的解析式,化简求得45log4f的值.【详解】因为4454loglog45ff=−
,44log(1,0)5−,所以544log44544loglog4455ff=−==.故答案为:45【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性,属于基础题.14.已知集合22,
4,46Aaa=−+,{2,}Ba=,ABB=,则实数a的取值的集合为_________.【答案】{3,4}【解析】【分析】分成24,46aaaa==−+两种情况,结合集合元素的互异性,求得a的取值的集合.【详解】当4a=时,2466aa−+=,符合;当246aaa−+=,解得2a=,3a=,
由集合元素的互异性,2a=舍去.故4a=或3a=.故答案为:{3,4}【点睛】本小题主要考查根据交集的结果求参数,考查集合元素的互异性,属于基础题.15.已知一扇形的半径为2,弧长为π,则该扇形的圆心角所对的弦长是_________.【答案】22【解析】【分析】首先计
算出圆心角,然后根据勾股定理求得圆心角所对的弦长.【详解】设扇形的弧长为l,圆心角为θ,由lr=,得2θπ=,即2=,故所对的弦长是222222+=.故答案为:22【点睛】本小题主要考查扇形弧长、弦长有关计算,属于基础题.16.已知函数()sin3cosfxa
xx=+的图象关于直线76x=对称,则函数7()()5gxfx=−在7,22−上的所有零点之和为________.【答案】143【解析】【分析】首先根据()fx关于直线76x=对称求得a
的值,即求得()fx解析式.由此画出()fx与75y=的图象,结合三角函数图象的对称性,求得函数7()()5gxfx=−在7,22−上的所有零点之和.【详解】由题意,函数2()sin3cos3sin()fxaxxax=+=++(θ为辅助角).由于()fx图象的一条对称轴的
方程为76x=,得23322aa+=+,解得1a=,所以()2sin3fxx=+,结合函数7()2sin(322fxxx=+−剟与75y=的图象可知,方程()0gx=有4个根1x,2x,3x,4x(123
4xxxx<<<),且1x,2x关于6对称,3x,4x关于136对称,即12263xx+==,341313263xx+==,所以1234143xxxx+++=.故答案为:143【点睛】本小题主要考查三角函数辅助角公式,三角函数图像与性质,
考查函数零点问题的求解策略,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.17.已知角θ的终边经过点(2,3)P−,求下列各式的值.
(1)2sin3cossin−;(2)23cos2coscos(2)222−+++−−.【答案】(1)23−(2)0【解析】【分析】(1)根据终边上一点的坐标,求得tan的值.将所求表达式化为只含
tan的式子,由此求得所求表达式的值.(2)利用诱导公式、二倍角公式以及“1”的代换的方法,将所求表达式化为只含tan的式子,由此求得所求表达式的值.【详解】(1)由角的终边经过点P(2,-3),可知3tan2=−则2sin2tan23cossin3tan3==−−
−.(2)23cos2coscos(2)222−+++−−22sin2sincos222sincos3sin3=−+−−=−+−222222sincos3
sin2tan3tan33sincostan1−+−+=−=−++393013=−=.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义,考查同角三角函数的基本关系式,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.18.计算或化简:(1)112320412730.1log321664−
++−−;(2)6log3332log27log2log36lg2lg5−−−−.【答案】(1)99(2)-3【解析】【分析】(1)利用指数、对数运算,化简所求表达式.(2)利用指数、根式、对数运算,化简所求表达式.【详解】(1)原式1123322524913
1log216104−=++−−7351001442=++−−=99.(2)原式323log313lg10=−−−31422=−−=-3.【点睛】本小题主要考查指数、根式和对数运算,属于基础题.19.已知1()fx
axbx=++是定义在{|0}xxR上的奇函数,且(1)5f=.(1)求()fx的解析式;(2)判断()fx在1,2+上的单调性,并用定义加以证明.【答案】(1)1()4(0)fxxxx=+(2)()fx在1,2+上单调递增.见解析【解析】
【分析】(1)利用奇函数的性质以及()15f=,列式求得,ab的值,进而求得函数解析式.(2)利用单调性的定义,通过计算()()120fxfx−,证得()fx在1,2+上递增.【详解】(1)∵()fx为奇函数,∴()(
)0fxfx-+=,∴0b=.由(1)5f=,得4a=,∴1()4(0)fxxxx=+.(2)()fx在1,2+上单调递增.证明如下:设1212xx,则()()()121212114fx
fxxxxx−=−+−()12121241xxxxxx−=−∵1212xx,∴120xx−,12410xx−,∴()121212410xxxxxx−−,∴()()120fxfx−,∴()fx在1,2+上单调递增.【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数,考查
利用函数单调性的定义证明函数的单调性,属于基础题.20.已知函数()sincos3fxxxa=++在区间0,2上有且只有两个不同的零点1x和2x,记1202xxx+=,将()fx的图象向右平移0x个单位长度得到
函数()gx的图象.(1)求()gx的解析式及a的取值范围;(2)求()gx在0,2上的单调区间.【答案】(1)13()sin2264gxxa=+−+.3204a−„.(2)单调递增区间为06,,单调递减区间为,62
.【解析】【分析】(1)利用两角和的余弦公式、辅助角公式化简()fx解析式,根据()fx在区间0,2上有且只有两个不同的零点1x和2x列不等式组,解不等式组求得a的取值范围.求得0x的值,根据函数图像变换的知识求得()gx的解析式.(2)利用三角函数
单调性的求法,求得()gx在0,2上的单调区间.【详解】(1)由题意,13()sincossincossin322fxxxaxxxa=++=−+1313sin2(1cos2)sin244234xxa
xa=−−+=+−+当0,2x时,42,333x+,若232x+=,解得12x=.因为()fx在区间0,2上有且只有两个不同的零点1x和2x,则(0)0,130,1224faf
a==−+„解得3204a−„.又120212xxx+==,则1313()sin2sin221234264gxxaxa=−+−+=+−+.(2)由(1)
可知,13()sin2264gxxa=+−+,当0,2x时,72666x+剟,当262x+=时,6x=,则由正弦函数的单调性可知,当0,6x时,函数()gx单调递增;当,62x时,函数()gx单调递减.即()gx的单调递
增区间为06,,单调递减区间为,62.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换,考查三角函数图像变换,考查三角函数单调区间的求法,属于中档题.21.已知二次函数()21fxaxx=++,且()()141fxfxx−−=−.(1)求()fx的解析式;(
2)若()()gxfxmx=−在1,2上的最大值为-1,求m的值以及()gx的最小值.【答案】(1)2()21fxxx=++(2)6m=,最小值为178−.【解析】【分析】(1)利用()()141fxfxx−−=−列方程,对比系数后求得a的值.(2)由(1)求得
()gx表达式,根据二次函数的对称轴进行分类讨论,结合()gx在区间1,2上的最大值列方程,由此求得m的值以及()gx的最小值.【详解】(1)由()(1)41fxfxx−−=−,得221(1)(1)141axxaxxx++−−−−−=−,所以2
141axax−+=−,所以2a=,故2()21fxxx=++,(2)22()212(1)1gxxxmxxmx=++−=+−+.①当1342m−,即7m„时,max()(2)1121gxgm==−=−,得6m=,此时()gx的图象的对称轴为1544mx−
==,min517()48gxg==−.②当1342m−即7m时,max()(1)41gxgm==−=−,得5m=,无解.综上所述,6m=,()gx的最小值为178−.【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法,考查二次函数在闭区间上的最大值和最小值问题,考查分类讨论的数学思想方法,
属于中档题.22.如图,某小区为美化环境,建设美丽家园,计划在一块半径为R(R为常数)的扇形区域上,建个矩形的花坛CDEF和一个三角形的水池FCG.其中GCGF=,O为圆心,120AOB=,C,G,F在扇形圆弧上,D,E分别在半径OA,OB上,记OG与CF,DE分别交于M,N,GOC=
.(1)求△FCG的面积S关于的关系式,并写出定义域;(2)若R=10米,花坛每平方米的造价是300元,试问矩形花坛的最高造价是多少?(取3=1.732)【答案】(1)2sin(1cos)03SR=−.(2)17320元【解析】【分析】(1)利用圆的几
何性质证得GMCF⊥,利用表示出,FCGM,由此求得三角形FCG面积的表达式,并求得的取值范围.(2)求得MN,由此求得矩形CDEF面积的表达式,利用辅助角公式,结合三角函数求最值的方法,求得矩形CDE
F面积的最大值,从而求得最高造价.【详解】(1)连接OF,因为GCGF=,所以GOFGOC=,易得OOFGOC≌,所以MGFMGC=.因为GCGF=,所以GMCF⊥,所以cosGMROMRR=−=−,sinMCR=,所以21sin(1co
s)023SFCGMR==−.(2)因为333sin333ONNDMCR===,所以3cossin3MNOMONRR=−=−,所以2232sincossin3CDEFSFCMNR==−矩形21312sin2(1cos2)232R
=−−2233sin2363R=+−.因为52,666+,所以当6=时,CDEF矩形S最大.故矩形花坛的最高造价是23300173203R=元.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用,考查扇形中的三角形、矩
形面积计算,考查三角函数辅助角公式以及三角函数最值的求法,属于中档题.