【文档说明】2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破 第8讲　函数的奇偶性及周期性 精品讲义含解析【高考】.docx，共(30)页，1.131 MB，由小赞的店铺上传

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1第8讲函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f

(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数

，那么f(x)＝f(|x|)．2(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f

(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0)．➢考点1函数的奇偶性[名师点睛]1.函数具有奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关

于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．2.利用函数奇偶性可以

解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系

数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．

3[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝29x−＋29x−；（2）f(x)＝(x＋1)11xx−+；（3）f(x)＝24|3|3−+−xx.（4）f(x)＝2221,0,21,0;xxxxxx−+++−2．（

2022·山东·青岛二中高三期末）设函数()yfx=的定义域为R且满足()2yfx=+是奇函数，则f（2）=（）A．－1B．1C．0D．23．（2022·河南·高三阶段练习）已知()fx为奇函数，当0x时，()24xfxxm=−+，则当0x时，()fx=（）A．241xx−−+B．241

xx−−−−C．241xx−−+−D．241xx−−++4．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22xxafxa+=−为奇函数，则实数a的值为（）A．1B．2C．1−D．4[举一反三]1．（2022·海南

海口·模拟预测）已知函数()()31fxx=−，则下列函数是奇函数的是（）A．f(x)+1B．f(x)－1C．f(x+1)D．f(x－1)2．（2022·山东菏泽·高三期末）设函数()fx，()gx的定义域分别为F，G，且FG.若对任意的xF，都有()()gxfx=，则称()gx为

()fx在G上的一个“延拓函数”.已知函数()()e0xfxx=，若()gx为()fx在R上的一个延拓函数，且()gx是偶函数，则函数()gx的解析式是（）A．xeB．lnxC．ex−D．lnx−3．（202

2·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知函数()fx的定义域为R，(1)fx−为偶函数，(31)fx+为奇函数，则（）A．1()03f−=B．(1)0f−=C．(3)0f−=D．(4)0f=4．（2022·北京四中高三阶段练习）若函数f

（x）是奇函数，当0x时，()4logfxx=，则12f−=（）A．2B．-2C．12D．12−5．（2022·江苏·二模）已知函数()21fxaxxa=+++为偶函数，则不等式()0fx的解集

为（）A．B．()()1,00,1−UC．()1,1−D．()(),11,−−+6．（2022·全国·高三专题练习）设,Rxy，满足()()()()5512sin1312sin11xxxyyy−++−=−++−=，则xy+=（）A．0B．2C．4D．67．（2022·

湖北武汉·二模）若一个偶函数的值域为(0,1，则这个函数的解析式可以是()fx=___________.8．（2022·全国·高三专题练习）设()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，()22xfxxm

=++，5则(1)f−=_______．9．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知函数()1221xxfxa+=+−是奇函数，则=a___________.10．（2022·上海宝山·二模）如果函数()23,0,0xxyfxx−=是奇函数，则(

3)f−=__．11．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝21x−＋21x−；（2）f(x)＝(x＋1)11xx−+；（3）f(x)＝224xx−.612．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R上的

奇函数()fx满足()()2fxfx=+，且当()0,1x时，()241xxfx=+.(1)求()1f和()1f−的值；(2)求()fx在1,1−上的解析式.13．（2022·全国·高三专题练习）

若函数()fx是奇函数，()gx是偶函数，且其定义域均为{R,1}xxx.若()1()1fxgxx+=−，求()fx，()gx的解析式.7➢考点2函数的周期性[名师点睛]1．判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质

综合命题．2．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．[典例]1．（多选）（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知()fx是R上的奇函数，()2fx+是R上的偶函

数，且当0,2x时，()22fxxx=+，则下列说法正确的是（）A．()fx最小正周期为4B．()33f−=−C．()20200f=D．()20213f=−2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）

已知()fx是定义在R上的函数，对任意实数x都有()()40fxfx++=，且当04x时，()4logfxx=，则()2022f=______．[举一反三]1．（2022·湖北武汉·二模）定义在R上的函数()fx

满足()()12fxfx+=−，则下列是周期函数的是（）A．()yfxx=−B．()yfxx=+C．()2yfxx=−D．()2yfxx=+2．（2022·安徽蚌埠·三模）已知定义域为R的偶函数()fx满足()()11fxfx+

=−，112f=，则32f−=（）A．32−B．-1C．1D．323．（2022·陕西咸阳·二模）已知函数()fx为定义在R上的奇函数，且(3)()fxfx+=，则(2022)f=（）A．2019B．3C．-3D．084．（2022·江苏·二模）已知()fx是

定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1)()fx.若g(x＋1)是偶函数，则5()0.g−＝()A．－3B．－2C．2D．35．（多选）（2022·河北·模拟预测）若函数()21fx+（xR）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（）A．函数()fx的图象关

于点()1,0对称B．2是函数()fx的一个周期C．()20210f=D．()20220f=6．（多选）（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R上的单调递增的函数()fx满足：任意xR，有()()112fxfx−++=，()()224fx

fx++−=，则（）A．当xZ时，()fxx=B．任意xR，()()fxfx−=−C．存在非零实数T，使得任意xR，()()fxTfx+=D．存在非零实数c，使得任意xR，()1fxcx−7．（2022·上

海市建平中学高三阶段练习）函数()fx是以π为周期的奇函数，且162f−=−，那么76f=___________．8．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）设f(x)是周期为2的奇函数，当

0≤x≤1时，f(x)＝2x，则52f−＝________.9➢考点3函数的对称性[名师点睛](1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a＋b2对称．(2)若函数f(x)

满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于点a＋b2，0对称．(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图像关于点a＋b2，c2对称．[典例]1．（2022·黑龙江·哈

尔滨三中三模）定义在R上的函数()yfx=满足以下三个条件：①对于任意的实数xR，都有()()220fxfx++−=成立；②函数()1yfx=+的图象关于y轴对称；③对任意的1x，20,1x，12xx，都有()()()()11221221xfxxfxxfx

xfx++成立.则()2021f，()2022f，()2023f的大小关系为（）A．()()()202120232022fffB．()()()202120222023fffC．()()()2

02320222021fffD．()()()202220212023fff2．（2022·福建福州·三模）定义在R上的函数()fx满足()()22fxfx−=−.若()fx的图象关于直线3x=对称，则下列选项中一定成立的是（）A．()31f−=B．()00f=C．

()32f=D．()51f=−[举一反三]1．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）若幂函数()()fxxR=满足()()()1efxfx+=，则下列关于函数()fx的判断正确的是（）A．()fx是周期函数B．()fx是单调函数C

．()fx关于点()0,1对称D．()fx关于原点对称102．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的奇函数()fx的图象关于直线1x=对称，且()yfx=在0,1上单调递增，若()3af=−，12bf

=−，()2cf=，则a，b，c的大小关系为（）A．cbaB．bacC．bcaD．cab3．（2022·山西太原·二模）已知函数()112fxxx=−−，则（）A．()fx在(),2−

上单调递增B．()fx在()2,+上单调递减C．()yfx=的图象关于直线x=1对称D．()yfx=的图象关于点()1,0对称4．（2022·安徽合肥·二模）函数()4eexxfx+−=−（e是自然对数的底数）的图象关于（）A．直线ex=−对称B．点(e,0)−对称C．

直线2x=−对称D．点(2,0)−对称5．（2022·广东佛山·二模）设,,Rabc且0a，函数2(),()(2)()gxaxbxcfxxgx=++=+，若()()0fxfx+−=，则下列判断正确的是（）A．()gx的最大值为-aB．()gx的最小

值为-aC．()()22gxgx+=−D．()()2gxgx+=−6．（多选）（2022·辽宁锦州·一模）设函数()fx的定义域为R，()1fx−为奇函数，()1fx+为偶函数，当(1,1x−时，()21fxx=−+，则下列结论正确的是（）A．78

39f=−B．()fx在()6,8上为减函数C．点()3,0是函数()fx的一个对称中心D．方程()lg0fxx+=仅有6个实数解7．（2022·江苏江苏·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()fx=___________.①()fx是定义域为R的奇函数；②()()11fx

fx+=−；③()12f=第8讲函数的奇偶性及周期性111．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关

于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域

内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x

)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．122．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一

自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0)．➢考点1函数的奇偶性[名师点睛]1.函数具有奇偶性包

括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)

或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．2.利用函数奇偶性可以解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参

数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．[典例]1．（2022·全国·高

三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝29x−＋29x−；13（2）f(x)＝(x＋1)11xx−+；（3）f(x)＝24|3|3−+−xx.（4）f(x)＝2221,0,21,0;xxxxxx−+++

−【解】（1）由229090xx−−，得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．（2）由1011+0xxx−+，得－1<x≤1.∵f

(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．（3）由240330xx−+−，得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．此

时，有f(x)＝24(3)3xx−+−＝24xx−，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．（4）当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)

；当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．2．（2022·山东·青岛二中高三期末）设函数()yfx=的定义域为R且满足()2yfx=+是奇函数，则f（2）=（）A．－1B．1C．0D．2【答案

】C【解析】令()()2gxfx=+，因为()()2gxfx=+为奇函数，所以()()020gf==，14故选：C.3．（2022·河南·高三阶段练习）已知()fx为奇函数，当0x时，()24xfxxm=−+，则当0x时，()f

x=（）A．241xx−−+B．241xx−−−−C．241xx−−+−D．241xx−−++【答案】C【解析】因为()fx为奇函数，所以()010fm=−=，即1m=．当0x时，0x−，()()()224141xxfxfxxx−−=−−=−−−+=−+−．故选：C4．

（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22xxafxa+=−为奇函数，则实数a的值为（）A．1B．2C．1−D．【答案】D【解析】由()fx为奇函数，所以()22122()022122xxxxxxxxaaaafxfxaaaa−−++++−+=+=+=−−−−，所以222220xxa

−=，可得21a=，解得1a=，当1a=−时，()fx的定义域为R，符合题意，当1a=时，()fx的定义域为()(),00,−+U符合题意，故选：D[举一反三]1．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数()()31fxx=−，则下列函数是奇函数的是（）A．f(x)+1B．f(x)－

1C．f(x+1)D．f(x－1)【答案】C15【解析】3()(1)fxx=−的图象是由3()hxx=的图象向右平移1个单位得出的，因此其图象关于点(1,0)对称，只有把()fx的的图象向左平移1个单位，图象才会关于原点对称，所以只有()()()33111gxfxxx=+=+−=，是

奇函数．故选：C．2．（2022·山东菏泽·高三期末）设函数()fx，()gx的定义域分别为F，G，且FG.若对任意的xF，都有()()gxfx=，则称()gx为()fx在G上的一个“延拓函数”.已知函数()()e0xfxx=

，若()gx为()fx在R上的一个延拓函数，且()gx是偶函数，则函数()gx的解析式是（）A．xeB．lnxC．ex−D．lnx−【答案】C【解析】解：()gx是偶函数定义域关于原点对称对于选项A：()gx是偶函数，当0x时，()()exgxfx−=，则不满足条件，A错误；对于选项B：

当0x=时，()lngxx=无意义，则定义域不满足条件，B错误；对于选项C：()gx是偶函数，当0x时，()()()eexxgxfx−−===，满足条件，C正确；对于选项D：当0x=时，()lngxx=−无意义

，则定义域不满足条件，D错误；故选：C3．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知函数()fx的定义域为R，(1)fx−为偶函数，(31)fx+为奇函数，则（）A．1()03f−=B．(1)0f−=C．(3)0f−=D．(4)0f=【答案】C【解析】解：若(3

1)fx+为奇函数，则(31)(31)fxfx−+=−+，令0x=，则()()11ff=−，即有()10f=，16又(1)fx−为偶函数，可得(1)(1)fxfx−−=−，令2x=，则()()310ff−==；故选：C．4．（202

2·北京四中高三阶段练习）若函数f（x）是奇函数，当0x时，()4logfxx=，则12f−=（）A．2B．-2C．12D．12−【答案】C【解析】由奇函数得11()()22ff−=−，而4111()log()222f==−得11()22f−=故选：C5．（2022·

江苏·二模）已知函数()21fxaxxa=+++为偶函数，则不等式()0fx的解集为（）A．B．()()1,00,1−UC．()1,1−D．()(),11,−−+【答案】B【解析】因为()fx为偶函数，所以()()11ff

−=，即2aaaa++=+解之得1a=−，经检验符合题意.则()2fxxx=−+由20xx−+，可得()()1,00,1x−U故()20fxxx=−+的解集为()()1,00,1−U，故选：B.6．（2022·全国·高三专题练习）设,Rxy，满

足()()()()5512sin1312sin11xxxyyy−++−=−++−=，则xy+=（）A．0B．2C．4D．6【答案】B【解析】17()()()()5512sin1312sin11xxxyyy

−++−=−++−=可化为：()()()()()()55121sin11121sin11xxxyyy−+−+−=−+−+−=−.记()52sinfxxxx=++，定义域为R.因为()452cos0fxxx=++，所以()

fx在R上单调递增.又()()()()()()552sin2sinfxxxxxxxfx−=−+−+−=−++=−，所以()fx为奇函数.所以由()()1111fxfy−=−=−可得：110xy−+−=，所以xy+=2.故

选：B7．（2022·湖北武汉·二模）若一个偶函数的值域为(0,1，则这个函数的解析式可以是()fx=___________.【答案】2x−（答案不唯一）【解析】取()2xfx−=，函数的定义域为(),−

+且关于原点对称，()22()xxfxfx−−−−===，所以函数()2xfx−=为偶函数.00,0,0221xxx−−=，即01y所以函数()2xfx−=的值域为(0,1.故答案为：2x−（答案不唯一，其它正确答案同样给分）.8．（2022·全国·

高三专题练习）设()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，()22xfxxm=++，则(1)f−=_______．【答案】－3【解析】∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴m＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝－3，故答案为：－3．9．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知函数()

1221xxfxa+=+−是奇函数，则=a___________.【答案】1−【解析】由题意，函数()fx为定义域上的奇函数，则有()()0fxfx+−=，所以()()11122222222021212112xxxxxxxfxfxaaa+−++−+−=++=++=+=

−−−−，可得1a=−.18故答案为：1−10．（2022·上海宝山·二模）如果函数()23,0,0xxyfxx−=是奇函数，则(3)f−=__．【答案】3−【解析】设()()23,0,0xxgxfxx−=，()()()

()3332333gfg−=−=−=−−=−.故答案为：3−11．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝21x−＋21x−；（2）f(x)＝(x＋1)11xx−+；（3

）f(x)＝224xx−.【解】（1）由2210,10xx−−⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．（

2）因为f(x)有意义，则满足11xx−+≥0，所以－1<x≤1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．（3）因为2240,0,xx−所以－2≤x≤2且x≠0，所以定义域关于原点对称．又f(－x)＝224()()x

x−−−＝224xx−，所以f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数．12．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数()fx满足()()2fxfx=+，且当()0,1x时，()241xxfx=+.(1)求()1f和()1f−的值；(2)求()fx在1,1−上的解析式.【

解】(1)()fx满足()()2fxfx=+，19()()()()12111ffff=−=−=−，()()10,10ff=−=.(2)由题意知，()00f=.当()1,0x−时，()0,1x−.由()fx是奇函数，()()2

24141xxxxfxfx−−=−−=−=−++，综上，在1,1−上，()201,41210,4101,0,1.xxxxxfxxx+=−−+=−13．（2022·全国·高三专题练习）若函数()fx是奇函数，()gx是偶函数，

且其定义域均为{R,1}xxx.若()1()1fxgxx+=−，求()fx，()gx的解析式.【解】依题意，函数()fx是奇函数，()gx是偶函数，()()()()11()()1111()()11fxgxfxgx

xxfxgxfxgxxx+=+=−−−+−=−+=−−−−解得()2()11xfxxx=−，()()2111gxxx=−.➢考点2函数的周期性[名师点睛]1．判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，且周

期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．2．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．20[典例]1．（多选）（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知()fx是R

上的奇函数，()2fx+是R上的偶函数，且当0,2x时，()22fxxx=+，则下列说法正确的是（）A．()fx最小正周期为4B．()33f−=−C．()20200f=D．()20213f=−【答案】BCD【解析】因为(2)fx

+是偶函数，所以(2)(2)fxfx+=−+，又因为()fx是奇函数，所以(2)(2)fxfx−+=−−，所以(2)(2)fxfx+=−−，所以(4)()fxfx+=−，所以()()4()8xxfffx=−=++，所以()fx的周期为8，故A

错误；又当0,2x时，()22fxxx=+，所以()()()3513fff−==−=−，选项B正确；(2020)(42528)(4)(0)0ffff=+==−=，选项C正确；(2021)(52528)(5)(1)3ffff=+==−=−，选项D正确.故选：

BCD.2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知()fx是定义在R上的函数，对任意实数x都有()()40fxfx++=，且当04x时，()4logfxx=，则()2022f=______．【答案】12−【解析】因为()()40fxfx++=，则()()840fxfx+++

=，故可得()()8fxfx+=，故()fx的一个周期为8，则()()20226ff=，对()()40fxfx++=，令2x=，故可得()()4162log22ff=−=−=−.即()120222f=−.故答案为：12−.21[举一反三]1．（2022·湖北武汉·二模

）定义在R上的函数()fx满足()()12fxfx+=−，则下列是周期函数的是（）A．()yfxx=−B．()yfxx=+C．()2yfxx=−D．()2yfxx=+【答案】D【解析】依题意，定义在R上的函数()fx满足()

()12fxfx+=−，所以()()()1212fxxfxx+++=+，所以()2yfxx=+是周期为1的周期函数.故选：D2．（2022·安徽蚌埠·三模）已知定义域为R的偶函数()fx满足()()11fxfx+=−，112f=

，则32f−=（）A．32−B．-1C．1D．32【答案】C【解析】解：因为函数()fx是定义域为R的偶函数，所以()()fxfx=−，又因为()()11fxfx+=−，所以()()2fxfx−=，则()()2fxf

x−=−，即()()2fxfx+=，所以周期为2T=，因为112f=，33121222fff−=−==，故选：C223．（2022·陕西咸阳·二模）已知函数()fx为定义在R上的奇函数，且(3)()fxfx+=，则(2022)f=（）A．2019

B．3C．-3D．0【答案】D【解析】因为函数()fx为定义在R上的奇函数，所以()()fxfx−=−，令x=0得：(0)(0)ff−=−，即(0)0f=.因为(3)()fxfx+=，所以()fx为周期T=3的周期函数，所以(2022)(03674)(0)0fff=

+==.故选：D4．（2022·江苏·二模）已知()fx是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1)()fx.若g(x＋1)是偶函数，则5()0.g−＝()A．－3B．－2C．2D．3【答案】D【解析】()1gx+为偶函数，则()gx关于1x=对称，即(

)()2gxgx=−，即()()()()112xfxxfx−=−−，即()()20fxfx+−=，()fx关于()1,0对称，又f(x)是定义域为R的偶函数，∴()()()22fxfxfx=−−=−−，∴f(x－4)＝f[(x－2)

－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)，()fx周期为4，∴()()()()5.51.52.52.52ffff==−==，()()()0.52.51.52.53ggf−===.故选：D.5．（多选）（2022·

河北·模拟预测）若函数()21fx+（xR）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（）A．函数()fx的图象关于点()1,0对称23B．2是函数()fx的一个周期C．()20210f=D．()20220f=【答案】AC【解析】函数

()()21Rfxx+是奇函数，(21)(21),(21)(21)0fxfxfxfx+=−−+++−+=，函数()fx图象关于点()1,0对称，故A正确；函数()()21Rfxx+是周期为2，所以()fx的周期为4，故B错误；函数()()21Rfxx+是周期为2

的奇函数，()()()20214505110fff=+==，故C正确；()()()2022450522fff=+=，无法判断(2)f的值，故D错误.故选：AC.6．（多选）（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R上的单调递增的函数()fx满足

：任意xR，有()()112fxfx−++=，()()224fxfx++−=，则（）A．当xZ时，()fxx=B．任意xR，()()fxfx−=−C．存在非零实数T，使得任意xR，()()fxTfx+=D．存在非零实数c，使得任意xR，()1fxcx−【答案】ABD

【解析】对于A，令1xt=−，则()()22ftft+−=，即()()22fxfx+−=，又()()224fxfx++−=，()()()()()242422fxfxfxfx+=−−=−−=+；令0x=得：()()112ff+=，()()224ff+=

，()11f=，()22f=，则由()()22fxfx+=+可知：当xZ时，()fxx=，A正确；24对于B，令1xt=+，则()()22ftft−++=，即()()22fxfx−++=，()()()()()2224222fxfxfxfx−=−+=−−−=−−，由A的推导过

程知：()()22fxfx−=−，()()()22fxfxfx−=−−=−，B正确；对于C，()fx为R上的增函数，当0T时，xTx+，则()()fxTfx+；当0T时，xTx+，则()()fxTfx+，不存在非零实数T，使得任意xR，()()fxTfx+=，C错误；对于

D，当1c=时，()()fxcxfxx−=−；由()()112fxfx−++=，()()224fxfx++−=知：()fx关于()1,1，()2,2成中心对称，则当aZ时，(),aa为()fx的对称中心；当0,1x时，()fx为R上的增函数，()00f=，()

11f=，()0,1fx，()1fxx−；由图象对称性可知：此时对任意xR，()1fxcx−，D正确.故选：ABD.7．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）函数()fx是以π为周期的奇函数，且162f−=−，那么76f=_____

______．【答案】12【解析】由题可知，7166662ffff=+==−−=.故答案为：12.8．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）设

f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则52f−＝________.【答案】－1【解析】因为f(x)是周期为2的奇函数，25所以f5()2−＝－f5()2＝－f1()2＝－1.故答案为：-1➢考点3函数的对称性[名师点睛]

(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a＋b2对称．(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于点a＋b2，0对称．(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图像关于

点a＋b2，c2对称．[典例]1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模）定义在R上的函数()yfx=满足以下三个条件：①对于任意的实数xR，都有()()220fxfx++−=成立；②函数()1yfx=+的图象关于y轴对称；③对任意的1x，20,1x，12xx，都有()

()()()11221221xfxxfxxfxxfx++成立.则()2021f，()2022f，()2023f的大小关系为（）A．()()()202120232022fffB．()()()202120222023f

ffC．()()()202320222021fffD．()()()202220212023fff【答案】B【解析】解：由题意，因为函数()1yfx=+的图象关于y轴对称，所以()()11fxfx+=−+，所以()()2fxfx=−，所以函数()fx的图象关于1x=对称，又

()()220fxfx++−=，所以()()20fxfx++=，即()()2fxfx+=−，因为()()()222fxfxfx++=−+=，所以函数()fx是周期为4的函数，所以()()20211f

f=，()()()202220fff==，()()20231ff=−，26因为()()2fxfx+=−，且()()2fxfx+=−，所以()()fxfx−=−，所以函数()fx为奇函数，又因为对任意的1x，20,1x，12xx，都有()()()()11

221221xfxxfxxfxxfx++成立，即()()()12120xxfxfx−−，所以函数()fx在0,1上单调递增，所以函数()fx在1,1−上单调递增，因为101−，所以()()()202120222023fff

，故选：B.2．（2022·福建福州·三模）定义在R上的函数()fx满足()()22fxfx−=−.若()fx的图象关于直线3x=对称，则下列选项中一定成立的是（）A．()31f−=B．()00f=

C．()32f=D．()51f=−【答案】A【解析】函数()fx的图象关于直线3x=对称，则必有(3)(3)fxfx−=+，所以，(0)(6)ff=,(1)(5),(2)(4)ffff==,又因为()

fx满足()()22fxfx−=−，取1x=，所以，(1)2(1)ff=−，(1)1f=，则(1)(5)1ff==，取5x=，则(3)2(5)1ff−=−=，A对；故选：A[举一反三]1．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）若幂函数()()fxxR=满足()()()1

efxfx+=，则下列关于函数()fx的判断正确的是（）A．()fx是周期函数B．()fx是单调函数C．()fx关于点()0,1对称D．()fx关于原点对称【答案】C【解析】27由题意得()()1e+=xx，即()1e+=xx，故e10−−=，令()=e1−−xgxx

，则()=e1−xgx，当(),0x−时，()0gx，则()gx单调递减；当()0,x+时，()0gx，则()gx单调递增；所以()()min0==gxgx，因此方程e10−−=有唯一解，解为0=，因此()()010==fxxx，所以不是周期函数，不是单

调函数，关于点()0,1对称，故选：C.2．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R上的奇函数()fx的图象关于直线1x=对称，且()yfx=在0,1上单调递增，若()3af=−，12bf=−，()2cf=，则a，b，c的大小关系为（）A．cbaB．

bacC．bcaD．cab【答案】C【解析】由函数()fx的图象关于直线1x=对称可得()()31ff=−，结合奇函数的性质可知()3af=−()()()311fff=−=−−=，()()200cff==

=.由奇函数的性质结合()yfx=在0,1上单调递增可得()yfx=在1,1−上单调递增，所以()()1012fff−，所以bca.故选：C3．（2022·山西太原·二模）已知函数()112fxxx=−−，则（

）A．()fx在(),2−上单调递增B．()fx在()2,+上单调递减C．()yfx=的图象关于直线x=1对称D．()yfx=的图象关于点()1,0对称【答案】C【解析】因为111(2)2224f−=−=−−−−，12(1)1123f−=−−=−−−，所以(2)(1)ff−−

，所以A不正确；28因为12(3)133f=−=−，111(4)4424f=−=−−，所以(3)(4)ff，故B不正确；因为111111(2)22222fxxxxxxx−=−=+=−−−−−−()fx=，所以()yfx=的图象关于直线x=1对称，故C正确；在11()2

fxxx=−−的图象上取一点1(2,)4−−，则其关于点(1,0)的点为1(4,)4，因为11(4)44f=−，所以点1(4,)4不在函数()fx的图象上，故()yfx=的图象不关于点()1,0对称，故D不正确.故选：C4．（2022·安徽合肥·二模）函数()4eexxfx+−=−（e是自然对

数的底数）的图象关于（）A．直线ex=−对称B．点(e,0)−对称C．直线2x=−对称D．点(2,0)−对称【答案】D【解析】由题意()()2e2e42e42e2eeeeexxxxfx−−−−−+−−++−−=−=−，它与()fx之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，而44(4)

4(4)eeee()xxxxfxfx−−+−−−−+−−=−=−=−，所以()fx的图象关于点(2,0)−对称．故选：D．5．（2022·广东佛山·二模）设,,Rabc且0a，函数2(),()(2)()gxaxb

xcfxxgx=++=+，若()()0fxfx+−=，则下列判断正确的是（）A．()gx的最大值为-aB．()gx的最小值为-aC．()()22gxgx+=−D．()()2gxgx+=−【答案】D【解析】依题意，232(

)(2)()(2)(2)2fxxaxbxcaxabxbcxc=+++=+++++，因()()0fxfx+−=，则()fx是奇函数，于是得2020abc+==，即2,0bac=−=，29因此，22()2(1)gxaxaxaxa=−−=−，而0a，当0a时，()gx的最小值为-a，当0a

时，()gx的最大值为-a，A，B都不正确；2(2)(1)gxaxa+=+−，2(2)(1)gxaxa−=−+−，22()(1)(1)gxaxaaxa−=−−−=+−，即()()22gxgx+−，()()2gxgx+=−，因此

，C不正确，D正确.故选：D6．（多选）（2022·辽宁锦州·一模）设函数()fx的定义域为R，()1fx−为奇函数，()1fx+为偶函数，当(1,1x−时，()21fxx=−+，则下列结论正确的是（）A．7839f=−B．()

fx在()6,8上为减函数C．点()3,0是函数()fx的一个对称中心D．方程()lg0fxx+=仅有6个实数解【答案】CD【解析】()1fx−为奇函数，()()11fxfx−−=−−，即()()2fxfx−=−−，()fx关于点()1,0−对称；()1fx+Q为偶函数，()()11fxf

x−+=+，即()()2fxfx−=+，()fx关于1x=对称；由()()2fxfx−=−−，()()2fxfx−=+得：()()22fxfx+=−−，()()()84fxfxfx+=−+=，即()fx是

周期为8的周期函数；对于A，2711182133339fff=+=−=−−+=，A错误；对于C，()()()62fxfxfx+=−+=−−Q，即()()60fxfx++−=，()fx关于点()3,0成中心对称，C正确；

对于BD，由周期性和对称性可得()fx图象如下图所示，30由图象可知：()fx在()6,8上单调递增，B错误；方程()lg0fxx+=的解的个数，等价于()fx与lgyx=−的交点个数，()()()12401fff=

=−=−Q，lg12lg101−−=−，结合图象可知：()fx与lgyx=−共有6个交点，即()lg0fxx+=有6个实数解，D正确.故选：CD.7．（2022·江苏江苏·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的

函数()fx=___________.①()fx是定义域为R的奇函数；②()()11fxfx+=−；③()12f=.【答案】π2sin2x（答案不唯一）【解析】由条件①②③可知函数对称轴为1x=，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数π()2sin2fxx=.故答案为

：π2sin2x（答案不唯一