【文档说明】《数学北师大版必修4教学教案》1.6.1余弦函数的图像 （5）含答案【高考】.doc，共(6)页，304.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-1.6.1余弦函数的图像教学分析1.上两节刚刚学习了正弦函数的图像与性质,对于本节的学习,有两个内容:一是余弦函数的图像,二是余弦函数的性质.我们可以完全类比正弦函数,只是作余弦函数图像时可通过平移的方法得到,这也是类比思想、数形结合思想、图像

变换思想方法的应用.2.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么我们就会完全清楚它在整个定义域内的性质.教材要求我们研究三角函数性质“就是要研究这类函数性质具有的共同特点”,这

是对数学思考方向的一种引导.3.余弦函数性质的难点,在于函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易;单调性只要求由图像观察,不要求证明.而余弦函数的最大

值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过类比正弦函数图像的作图方法,会用几何法画出余弦函数的图像;通过诱导公式能用图像平移的方法得到余弦函数的图像.2.观察函数y=cosx,x∈［0,2π］的图像上,哪些点起着关键作用,并会用关键点画出

函数y=cosx在x∈［0,2π］上的简图.3.通过类比、知识迁移的学习方法,提高探究新知的能力,并通过正弦函数和余弦函数的图像与性质的对比,理解两种函数的区别及内在联系.重点难点教学重点:会通过平移得到余

弦函数的图像,并会用五点法画出余弦函数的图像;余弦函数的性质.教学难点:结合图像,余弦函数性质的灵活运用是本节的一个难点.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)我们在研究了正弦函数的图像,你能类比正弦

函数图像的作法作出余弦函数的图像吗？从学生画图像、观察图像入手,由此展开余弦函数性质的探究.思路2.(复习导入)研究函数就是要讨论一些性质,y＝cosx是函数,我们当然也要探讨它的一些属性.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数最基

本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.推进新课新知探究提出问题①你能类比作正弦函数图像的方法,用几何方法画出余弦函数的图像吗？②你能类比正弦函数性质的学习得到函数y=cosx,x∈［

0,2π］的性质吗？③比较正弦函数、余弦函数的图像与性质,你能发现它们都有哪些不同？活动:先让学生充分思考、交流后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他按自己的思路继续探究;对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导.在上一节中,要

求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须掌握的基本功.因此在研究余弦函数图像与性质时,教师要引导学生充分挖掘余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研-2-究三角函数性质是最理想的.因为单位圆中的三角函数

线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势.由诱导公式y=cosx=co

s(-x)=sin［2-(-x)］=sin(2+x)可知,y=cosx的图像就是函数y=sin(2+x)的图像.从而,余弦函数y=cosx的图像可以通过将正弦曲线y=sinx向左平移2个单位长度得到(如图

1所示).图1也可以利用描点法作出余弦函数的图像(如图2所示).余弦函数y=cosx(x∈R)的图像叫作余弦曲线.图2教师引导学生类比正弦函数的性质学习,让学生观察余弦函数的图像,从定义域、值域、周期性、最大值与最小值、单调性、奇偶性这几个方

面探究.可完全放给学生自己探究,教师仅是适时地给予引导.学生很容易得出余弦函数y＝cosx,x∈R具有以下主要性质:(1)定义域余弦函数的定义域是R.(2)值域余弦函数的值域是［-1,1］.(3)周期性余弦函数是周期函数,它的最小正周期是2π.由于余弦函数具有周期性,为了研究问题方便,我们

可以选取任意一个x值,讨论余弦函数在区间［x,x+2π］上的性质,然后拓展到整个定义域(-∞,+∞)上.(4)最大值与最小值当x=2kπ(k∈Z)时,余弦函数取得最大值1;当x=(2k+1)π(k∈Z)时,余弦函数取得最小值-1.(5)单调性我们选取长度为2

π的区间［-π,π］.可以看出,当x由-π增大到0时,cosx的值由-1增大到1,当x由0增大到π时,cosx的值由1减小到-1.因此,余弦函数在区间［-π,0］上递增,在区间［0,π］上递减.由余弦函数的周期性可知,余弦函数在每一个区间［(2k-1)π

,2kπ］(k∈Z)上都是递增的,在每一个区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是递减的.所以这两类闭区间的每一个都是余弦函数的单调区间.(6)奇偶性-3-余弦函数的图像关于y轴对称,即cos(-x)=cosx.∴余弦函数是偶函数.这个变化情况可从下表及图像中直观地显示出来,教师可引

导学生画图并列出下表:图3x-π…-2…0…12…πcosx-1↗0↗1↘0↘-1类比正弦函数性质的探究,学生可能通过图像已经看出来了,在余弦曲线上也有其他的对称点和对称轴,如余弦曲线还关于直线x＝0,x＝π等多条直

线对称,余弦曲线还关于点(2,0)等多个点对称,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,以开阔学生的视野.探究余弦函数的性质后,学生自然会拿它与正弦函数的性质进行比较一番,这种习惯很好.比较最能澄清问题的本质属性,比较是最好的学习方法.当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后

,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图像中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线.所以它们的定义域相同,都为R.值域也相同,都是［-1,1］.最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y轴放置的位置不同,使取得最大(或最

小)值的时刻不同.它们的周期相同,最小正周期都是2π.它们的图像都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图像上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴.但是由于y轴的位置不同,对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区

间间隔出现.也是由于y轴的位置改变,使增、减区间的位置有所不同.也使奇偶性发生了改变.由此可以看出,图像的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响.讨论结果:①—③略.应用示例例1画出函数y=cosx-1,x∈R的简图,并根据图像讨论

函数的性质.活动:这是课本上紧接着余弦性质后的一道例题,目的是通过这道例题直接巩固所学的余弦函数的图像与性质.课堂上可放手让学生自己去求,教师适时地指导、点拨、纠错.并提示-1对余弦函数的图像与性质的影响.让学生进一步熟悉“五点法”作图,领悟图像作法的要领,最终达到

熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”作图易学却难掌握,学生需练扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.解:按五个关键点列表,描点画

出图像(如图4所示).x012π232πcosx10-101cosx-10-1-2-10-4-图4不难看出,函数y=cosx-1的主要性质有(如下表所示).函数y=cosx-1定义域R值域［-2,0

］奇偶性偶函数周期2π单调性当x∈［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)时,函数是递增的;当x∈［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)时,函数是递减的最大值与最小值当x=2kπ(k∈Z)时,最大值为0;当x=(2

k+1)π(k∈Z)时,最小值为-2点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图

像纠错的环节,效果将会更加令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例余弦后,学生从图像上就可以一目了然地说出函数的性质了.这也让学生从中体会到了数形结合的好处.例2利用三角函数的单调性,比较cos(-523)与cos(-417)的大小.活动:学生很容易回

忆起利用指数函数、对数函数的大小比较,这很好,充分利用学生的知识迁移有利于学生能力的快速提高.本例是余弦,只需将角化为同一个单调区间,然后根据单调性比较大小即可.课堂上仍是让学生自己独立地去操作,教师点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.解:cos(-523)=cos523=

cos53,cos(-417)=cos(417)=cos4.因为0＜4＜53＜π,且函数y=cosx,x∈［0,π］是减函数,所以cos4＞cos53,即cos(-523)＜cos(-417).点评:推进本例时应提醒学生注意,在今

后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化为同一个单调区间.其次要注意首先大致的判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题,如本例中,cos4＞0,cos53＜0,显然大小立判.例3求函数y=cos(21x-6),x∈［-2π,2π］的单调递增区间.活动:教师引导学生探究,可以利用余

弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师引导学生的思考方向:把21x-6看成z,问题就转化为求y＝cosz的单调区间问题,而这就简单多了,教师应点出,这里用的是换元的思想方法.解:令z=21x-6.函数y=cosz的单调递增区间是［-π+2kπ,2kπ］

.-5-由-π+2kπ≤21x-6≤2kπ,得-35+4kπ≤x≤3+4kπ,k∈Z.取k=0,得-35≤x≤3,而［-35,3］［-2π,2π］,因此,函数y=cos(21x-6),x∈［-2π,2π］的单调递增区间是［-35,

3］.点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用余弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简

单化.4.求函数y＝xcos的定义域.活动:学生探究操作,寻找解题方向,教师提醒学生充分利用函数图像.并根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正出现的一些错误或书写不规范等.解:由cosx≥0得-2＋2

kπ≤x≤2＋2kπ(k∈Z).∴原函数的定义域为［-2＋2kπ,2＋2kπ］(k∈Z).点评:本例虽然短小,学生却易出错,本例实际上是解三角不等式,应根据余弦曲线探究适合题目要求的条件,然后解之.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用余弦函数曲线写出解集.变

式训练函数y＝1+cosx的图像()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x＝2对称答案:B例5在给定的直角坐标系(如图5)中,作出函数f(x)=2cos(2x+4)在区间［0,π］上的图像.图5解:列表取点如下:x08

838587π42+x42π232π49f(x)10-2021描点连线作出函数f(x)＝2cos(2x+4)在区间［0,π］上的图像如图6.-6-图6点评:本题按说难度不大,但学生得分率却不高,画图是学生较薄弱的环节.知能训练课本练习1-4.课堂小结1

.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识？学习了哪些数学思想方法？这节课我们研究了余弦函数的图像与性质.通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的的比较,加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了本节课所学的余弦函数的图像的画

法及性质的理解,将我们所学内容很快地就纳入了已有的知识系统.2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点.作业课本习题1—53、4、5、6.设计感想1.本节教案设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数

的性质,从初中就开始学习,到高中学习幂、指数、对数函数后,对函数性质有了较深的认识.这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过

教学应让学生有所领悟.2.在学完余弦函数性质后,应着重引导学生比较正、余弦函数的性质的异同,以加深他们对两个函数的区别与联系的认识;让学生在同一坐标系中画出正弦、余弦函数的图像,在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,提高应用图像与性质解题的力度

.较好地利用图像解决问题,这也是是本节课主要强调的数学思想.3.学习正、余弦函数性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如cos(α+2π)＝cosα这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我

们认识到了它表明余弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.