【文档说明】安徽省滁州市定远县育才学校2023届高三下学期第一次模拟数学试卷.docx，共(18)页，556.184 KB，由小赞的店铺上传

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2023年高三第一次模拟试卷数学试题第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合𝐴={𝑥∈𝑅∥log2𝑥<2}，集合𝐵={𝑥∈𝑅∥|𝑥−1|<2}，则𝐴∩𝐵

=()A.(0,3)B.(−1,3)C.(0,4)D.(−∞,3)2.已知复数满足𝑧⋅𝑧−=4且𝑧+𝑧−+|𝑧|=0，则𝑧2022的值为()A.±1B.−22022C.±22022D.220223.已知𝑓(�

�)是定义在𝑅上的偶函数，且在(0,+∞)为减函数，则()A.𝑓(log132)<𝑓(sin3𝜋2)<𝑓(223)B.𝑓(sin3𝜋2)<𝑓(log132)<𝑓(223)C.𝑓(223)<𝑓(sin3𝜋2)<𝑓(log132)D.𝑓(223)<

𝑓(log132)<𝑓(sin3𝜋2)4.函数𝑓(𝑥)=√3𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−sin2𝑥的图像的一条对称轴为()A.𝑥=−𝜋6B.𝑥=𝜋12C.𝑥=𝜋6D.𝑥=𝜋2

5.记函数𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)的定义域的交集为𝐼，若存在𝑥0∈𝐼，使得对任意𝑥∈𝐼，不等式[𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)]⋅(𝑥−𝑥0)≥0恒成立，则称(𝑓(𝑥),𝑔(𝑥))构成“单交函数对”.下列所给的两个函数构成“单交函数对”的有()A.𝑓(𝑥)=𝑒𝑥

，𝑔(𝑥)=𝑥+1B.𝑓(𝑥)=𝑥3,𝑔(𝑥)=1𝑥C.𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥，𝑔(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥D.𝑓(𝑥)=𝑥2，𝑔(𝑥)=2𝑥6.函数𝑓(𝑥)=4sin

𝑥𝑥2+1的图象可能是()A.B.C.D.7.已知−𝜋2<𝛽−𝛼<𝜋2，𝑠𝑖𝑛𝛽−2𝑐𝑜𝑠𝛼=1，2𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽=√2，则cos(𝛼−𝜋3)=()A.

±√63B.±√33C.√33D.√638.已知椭圆𝐶1与双曲线𝐶2有共同的焦点𝐹1，𝐹2，离心率分别为𝑒1，𝑒2，点𝑃为椭圆𝐶1与双曲线𝐶2在第一象限的公共点，且∠𝐹1𝑃𝐹2=𝜋3

.若𝑒2∈[√3,+∞)，则𝑒1的取值范围为()A.[√33,34)B.(12,√33]C.(0,√33]D.(0,12]二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9.2022年4月23日至25日，以“阅读新时代，查进新征程”为主题的首

届全民阅读大会胜利召开，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校为了了解学生在暑假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生、高二学生，高三学

生每天读书时间的平均数分别为𝑥1−=2.7，𝑥2−=3.1，𝑥3−=3.3，每天读书时间的方差分别为𝑠12=1，𝑠22=2，𝑠32=3，则下列正确的是()A.从高一学生中抽取40人B.抽取的高二学生的总阅读时间是1860小时C.被抽取的学生每天的读

书时间的平均数为3小时D.估计全体学生每天的读书时间的方差为𝑠2=1.96610.如图，在正四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐴1=2𝐴𝐵=2，𝑂为四边形𝐷𝐶𝐶1𝐷1对角线的交点，下列结论正确的是()A.点𝑂到侧棱的距离相等B.

正四棱柱外接球的体积为√6𝜋C.若𝐷1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐷1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐴1𝐸⊥平面𝐴𝑂𝐷1D.点𝐵到平面𝐴𝑂𝐷1的距离为2311.已知圆𝑀：(𝑥−2)2

+𝑦2=1，点𝑃是直线𝑙：𝑥+𝑦=0上一动点，过点𝑃作圆𝑀的切线𝑃𝐴，𝑃𝐵，切点分别是𝐴，𝐵，下列说法正确的有()A.圆𝑀上恰有一个点到直线𝑙的距离为√22B.切线长𝑃𝐴的最小值为1C.四边形

𝐴𝑀𝐵𝑃面积的最小值为1D.直线𝐴𝐵恒过定点(32,−12)12.如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐴𝐷=2𝐶𝐷=3√2，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐸在线段𝐵𝐶上，且𝐵𝐸=2𝐸𝐶，现沿线段𝐴�

�将△𝐴𝐵𝐸折超，折成二面角𝐵−𝐴𝐸−𝐷，在此过程中()A.𝐴𝐸⊥𝐵𝐷B.三棱锥𝐵−𝐴𝐸𝐷体积的最大值为6C.若𝐺，𝐹是线段𝐴𝐸上的两个点，𝐺𝐸=1，𝐴𝐹=32，则在线段𝐴𝐵上存在点𝐻，当�

�𝐻=1时，𝐻𝐹//𝐵𝐺D.𝐴𝐷⊥𝐵𝐷第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若非零向量𝑎，𝑏⃗满足|𝑎⃗⃗|=3|𝑏⃗|=|𝑎⃗⃗+2𝑏⃗|，则�

�与𝑏⃗夹角的余弦值为_________．14.已知定义在𝑅上的奇函数𝑦=𝑓(𝑥)满足𝑦=𝑓(𝑥+1)是𝑅上的偶函数，且𝑓(1)=12，则𝑓(1)+𝑓(2)+⋯+𝑓(2022)=．15.𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥+𝑙𝑛𝑥+𝑏(𝑎∈𝑅,𝑏

∈𝑅)的两个极值点𝑥1，𝑥2满足𝑥1<𝑥2≤2𝑥1，则2𝑥1+𝑥2的最小值为______．16.第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内

外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点𝐴和短轴一端点𝐵分别向内层椭圆引切线𝐴𝐶，𝐵𝐷，且两切线斜率之积等于−916，则椭圆的离心率为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10分)已知数列{𝑎𝑛}满

足𝑎1=1，且𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛+3𝑛(𝑛∈𝑁∗).(1)求证：数列{𝑎𝑛3𝑛}是等差数列，并求出数列{𝑎𝑛}的通项公式;(2)求数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛．18.(本

小题12分)在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，𝑎cos𝐵−2𝑎cos𝐶=(2𝑐−𝑏)cos𝐴．(1)若𝑐=√3𝑎，求cos𝐵的值；(2)若𝑏=1，∠𝐵𝐴𝐶的平分线𝐴�

�交𝐵𝐶于点𝐷，求𝐴𝐷长度的取值范围．19.(本小题12分)某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据𝛼=0.010的独立性检验，能不认为数学成绩与语文成绩有关联?(2)在人工智能中常用𝐿(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)表示在事件𝐴发生的条件下事件𝐵发生的优

势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，𝐴表示“选到的学生语文成绩不优秀”，𝐵表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计𝐿(𝐵|𝐴)的值．(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小

组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数𝑋的概率分布列及数学期望．附：𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)

，𝛼0.0500.0100.001𝑥𝛼3.8416.63510.82820.(本小题12分)如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，且𝑃𝐴=𝐴𝐵=2，𝐸是棱𝐵�

�上的动点，𝐹是线段𝑃𝐸的中点：(1)求证：𝑃𝐵⊥平面𝐴𝐷𝐹;(2)是否存在点𝐸，使得平面𝐷𝐸𝑃与平面𝐴𝐷𝐹所成的二面角𝐸−𝐷𝐹−𝐴的余弦值为√63?若存在，请求出线段𝐵�

�的长;若不存在，请说明理由．21.(本小题12分)已知椭圆𝐸：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)过点为𝐴(−2,0)，𝐵(0,1)．(1)求椭圆𝐸的方程及其焦距；(2)过点𝑃(−2,1)的直线

与椭圆𝐸交于不同的两点𝐶，𝐷，直线𝐵𝐶，𝐵𝐷分别与𝑥轴交于点𝑀，𝑁，求|𝐴𝑀||𝐴𝑁|的值．22.(本小题12分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑙𝑛𝑥(𝑎∈𝑅)．(1)讨论𝑓(�

�)的单调性；(2)若𝑓(𝑥)有两个不相同的零点𝑥1，𝑥2，设𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥).证明：𝑥1𝑓′(𝑥1)+𝑥2𝑓′(𝑥2)>2𝑙𝑛𝑎+2．答案和解析1.𝐴【解析】∵集合𝐴={𝑥∈𝑅∥log2𝑥

<2}={𝑥∥0<𝑥<4}，集合𝐵={𝑥∈𝑅∥∥𝑥−1∥<2}={𝑥∥−1<𝑥<3}，∴𝐴∩𝐵={𝑥∥0<𝑥<3}=(0,3)．故选：𝐴．2.𝐷【解析】设𝑧=𝑎+𝑏𝑖

(𝑎,𝑏∈𝑅)，则𝑧−=𝑎−𝑏𝑖，∵𝑧⋅𝑧−=4且𝑧+𝑧−+|𝑧|=0，∴{(𝑎+𝑏𝑖)(𝑎−𝑏𝑖)=4𝑎+𝑏𝑖+𝑎−𝑏𝑖+√𝑎2+𝑏2=0，解得𝑎=−1，𝑏=±√3，∴𝑧

=−1±√3𝑖，当𝑧=−1+√3𝑖时，𝑧3=(−1+√3𝑖)3=(−1+√3𝑖)2(−1+√3𝑖)=(−2−2√3𝑖)(−1+√3𝑖)=8=23，当𝑧=−1−√3𝑖时，𝑧3=(−1−√3𝑖)3=(−1−√3𝑖)2(−1−√3𝑖)=(−2+2

√3𝑖)(−1−√3𝑖)=8=23，故𝑧2022=(𝑧3)674=(23)674=22022．故选：𝐷．3.𝐶【解析】∵𝑓(𝑥)是定义域为𝑅的偶函数，∴𝑓(log32)=𝑓(log132)，𝑓(sin3𝜋2)=𝑓(−1)=𝑓(1)，∵0<log32<1，223>20

=1，∴0<log32<1<223，又𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递减，∴𝑓(223)<𝑓(1)<𝑓(log32)，∴𝑓(223)<𝑓(sin3𝜋2)<𝑓(log132)，故选C．4.𝐶【解析】𝑓(

𝑥)=√32𝑠𝑖𝑛2𝑥−1−𝑐𝑜𝑠2𝑥2=sin(2𝑥+𝜋6)−12．令2𝑥+𝜋6=𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，解得𝑥=𝜋6+𝑘𝜋2,𝑘∈𝑍．故选：𝐶．5.𝐶【解析】由题意可知，

函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的图象有一个交点，交点两侧图象一侧满足𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)，另一侧满足𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)，选项A，𝑦=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−1，𝑦′=𝑒𝑥−1，可得𝑥>0时，函

数𝑦递增；𝑥<0时，函数𝑦递减，可得𝑥=0处函数𝑦取得最小值0，即𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥)，故不满足“单交函数对”的定义；选项B，由𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)可得，𝑥=−1或𝑥=1，即𝑓(𝑥)=𝑥3与𝑔(𝑥)=1𝑥在(−∞,0

)∪(0,+∞)上有两个交点，故不满足“单交函数对”的定义；选项C，函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥与函数𝑔(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑥>0)的图象如图所示，由图象可知，它们满足“单交函数对”的定义；选项D，由二次函数和指数函

数的图象及性质可知，函数𝑓(𝑥)与函数𝑔(𝑥)的图象有三个交点，故不满足“单交函数对”的定义；故选：𝐶．6.𝐷【解析】函数𝑓(𝑥)=4sin𝑥𝑥2+1的定义域为𝑅，∵𝑓(−𝑥)=4sin(−𝑥)(−𝑥)2+1=−4sin𝑥𝑥2+1=

−𝑓(𝑥)，∴函数𝑓(𝑥)是奇函数，排除𝐴𝐶；当𝑥=𝜋2时，𝑓(𝜋2)=4×1(𝜋2)2+1>0，此时图像在𝑥轴的上方，排除𝐵．故选：𝐷7.𝐷【解析】等式𝑠𝑖𝑛𝛽−2𝑐𝑜𝑠𝛼=1，2𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽=

√2，两边同时平方相加得，sin2𝛽+4𝑐𝑜𝑠2𝛼+4𝑠𝑖𝑛2𝛼+cos2𝛽+4(𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽)=1+2=3，即1+4+4𝑠𝑖𝑛(𝛼−𝛽)=3，得4𝑠𝑖𝑛(𝛼−𝛽)=−2，得sin(𝛼

−𝛽)=−12，即sin(𝛽−𝛼)=12，∵−𝜋2<𝛽−𝛼<𝜋2，∴𝛽−𝛼=𝜋6，得𝛼=𝛽−𝜋6，代入2𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽=√2，得2𝑠𝑖𝑛(𝛽−𝜋6)+𝑐𝑜�

�𝛽=√2，即√3𝑠𝑖𝑛𝛽=√2，即𝑠𝑖𝑛𝛽=√63，则sin(𝛼+𝜋6)=√63，∵cos(𝛼−𝜋3)=sin(𝛼−𝜋3+𝜋2)=sin(𝛼+𝜋6)=√63，故选：𝐷．8.𝐵【解析】由题意设焦距为

2𝑐，椭圆长轴长为2𝑎，双曲线实轴长为2𝑚，𝑃在双曲线的右支上，由双曲线的定义|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=2𝑚，由椭圆定义|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎，可得|𝑃𝐹1|=𝑚+𝑎，|𝑃𝐹2|=𝑎−𝑚，

又∠𝐹1𝑃𝐹2=𝜋3，由余弦定理得，|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2−|𝑃𝐹1|·|𝑃𝐹2|=4𝑐2，可得(𝑚+𝑎)2+(𝑎−𝑚)2−(𝑚+𝑎)·(𝑎−𝑚)=4𝑐2，得𝑎2+3𝑚2=4𝑐2，即𝑎2𝑐2+3𝑚2𝑐2=4，可得1𝑒12+3𝑒

22=4，即1𝑒12=4−3𝑒22，又𝑒2∈[√3,+∞)时，可得3⩽4−3𝑒22<4，即3⩽1𝑒12<4，亦即14<𝑒12⩽13，得12<𝑒1⩽√33．9.𝐴𝐶𝐷【解析】对于𝐴，根据分层抽样，分别从高一学生、高二学生，高三学生中抽取40人，30人

，30人，故A正确；对于𝐵，抽取的高二学生的总阅读时间是𝑥2−×30=93，故B错误；对于𝐶，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为40100×2.7+30100×3.1+30100×3.3=3(小时)，故C正确；对于𝐷，被抽取的学生每天的读书时间的方差为

40100×[1+(2.7−3)2]+30100×[2+(3.1−3)2]+30100×[3+(3.3−3)2]=1.966，所以估计全体学生每天的读书时间的方差为𝑠2=1.966，故D正确．故选：𝐴𝐶𝐷．10.𝐴𝐵𝐶【解析】对𝐴，根据题意可得𝑂为正四

棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的中心，∴点𝑂到侧棱的距离相等，∴𝐴选项正确；对𝐵，设正四棱柱外接球的半径为𝑅，则根据对称性及长方体的体对角线公式可知：(2𝑅)2=12+12+22，∴𝑅=√32，∴正四棱柱外

接球的体积为43𝜋𝑅3=√6𝜋，∴B正确；对𝐶，∵𝐷1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐷1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴根据题意可得𝐷1𝐸𝐴𝐷=𝐴1𝐷1𝐷1𝐷=12，∴△𝐴1𝐷1𝐸∽△𝐷1𝐷𝐴，∴∠𝐷1𝐴1�

�=∠𝐷𝐷1𝐴，从而易得𝐴1𝐸⊥𝐴𝐷1，又易知𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1，且𝐴1𝐸⊂平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1，∴𝐴1𝐸⊥𝐴𝐵，又𝐴1𝐸⊥𝐴𝐷1，且𝐴𝐵∩𝐴𝐷1=𝐴，∴𝐴1𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶

1𝐷1，又易知平面𝐴𝑂𝐷1与平面𝐴𝐵𝐶1𝐷1重合，∴𝐴1𝐸⊥平面𝐴𝑂𝐷1，∴𝐶选项正确；对𝐷，由𝐶分析知点𝐵到平面𝐴𝑂𝐷1的距离为0，∴D错误，故选：𝐴𝐵𝐶．11.𝐵𝐶𝐷【解析】由圆𝑀：(𝑥−2)2+𝑦2=1，可知圆心𝑀(2,0)，半

径𝑟=1，∴圆心𝑀(2,0)到直线𝑙：𝑥+𝑦=0的距离为|2|√2=√2，圆𝑀上的点到直线𝑙的最小和最大距离分别为√2−1和√2+1，由于√2+1>√22>√2−1圆𝑀上有两个点到直线𝑙的距离为√22，故A错误；由圆的性质可得切线长|𝑃𝐴|=√|𝑃𝑀|2−𝑟2=

√|𝑃𝑀|2−1，∴当|𝑃𝑀|最小时，|𝑃𝐴|有最小值，又|𝑃𝑀|𝑚𝑖𝑛=√2，∴|𝑃𝐴|𝑚𝑖𝑛=1，故B正确；∵四边形𝐴𝑀𝐵𝑃面积为|𝑃𝐴||𝑀𝐴|=|𝑃𝐴|，|𝑃𝐴|𝑚𝑖𝑛=1，∴四边形𝐴𝑀𝐵𝑃面

积的最小值为1，故C正确；设𝑃(𝑡,−𝑡)，由题可知点𝐴，𝐵，在以𝑃𝑀为直径的圆上，又𝑀(2,0)，所以(𝑥−𝑡)(𝑥−2)+(𝑦+𝑡)(𝑦−0)=0，即𝑥2+𝑦2−(𝑡+2)𝑥+𝑡𝑦+2𝑡=0，又圆

𝑀：(𝑥−2)2+𝑦2=1，即𝑥2+𝑦2−4𝑥+3=0，两式子相减得：直线𝐴𝐵的方程为：(2−𝑡)𝑥+𝑡𝑦−3+2𝑡=0，即2𝑥−3−𝑡(𝑥−𝑦−2)=0，由，得𝑥=32,𝑦=−12，即直线𝐴𝐵恒过定点(32,−12)，故D正确．故选：�

�𝐶𝐷．12.𝐴𝐵【解析】对于𝐴，如图，延长𝐷𝐶，𝐴𝐸相交于𝐾点，易得△𝐶𝐸𝐾∽△𝐵𝐸𝐴，得𝐶𝐾𝐴𝐵=𝐶𝐸𝐵𝐸=12，所以𝐶𝐾=12𝐴𝐵=12𝐷𝐾，得四边形𝐴𝐵𝐾�

�是为正方形，连接𝐵𝐷交𝐴𝐾于𝑀点，则𝐴𝐾⊥𝐵𝐷，则𝑀𝐷=𝑀𝐵=12𝐵𝐷=12√(3√2)2+(3√2)2=3=𝐴𝑀，∴𝑀𝐸=𝐴𝐸−𝐴𝑀=23𝐴𝐾−12𝐴𝐾=16𝐴𝐾=16×2𝐷𝑀=1，在翻折过程中始终有𝐴𝐸⊥�

�𝐵，𝐴𝐸⊥𝑀𝐷，𝑀𝐵∩𝑀𝐷=𝑀，𝑀𝐵⊂面𝑀𝐵𝐷，𝑀𝐷⊂平面𝑀𝐵𝐷，所以𝐴𝐸⊥面𝑀𝐵𝐷，𝐵𝐷⊂平面𝑀𝐵𝐷，∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，故A正确．对于𝐵，𝑉𝐵−𝐴𝐸𝐷=𝑉𝐸−𝐵𝐷𝑀+𝑉𝐴−𝐵𝐷𝑀=13⋅�

�△𝐵𝐷𝑀⋅𝐴𝐸，当𝐵𝑀⊥𝐷𝑀时，𝑆△𝐵𝐷𝑀最大，又𝐴𝐸=23𝐴𝐾=23×6=4，此时𝑆△𝐵𝐷𝑀=12𝑀𝐷⋅𝑀𝐵=12×3×3=92，∴(𝑉𝐵−𝐴𝐸𝐷)𝑀𝐴𝑋=

13×92×4=6，故B正确．对于𝐶，在选项A的正方形𝐴𝐵𝐾𝐷中，𝐸𝐾=13𝐴𝐾=13×6=2，则𝐸𝐾+𝐸𝐺=2+1=3=12𝐴𝐾，故点𝐺为𝐴𝐾中点，则𝐴𝐺=3𝐴𝐹=32=12𝐴𝐺，所以𝐹为𝐴𝐺中点，

若𝐻𝐹//𝐵𝐺，则𝐻为𝐴𝐵的中点，所以𝐴𝐻=3√22，故C错误．对于𝐷，利用选项A中图像和结论来解答，若𝐴𝐷⊥𝐵𝐷成立，又𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，𝐴𝐸∩𝐴𝐷=𝐴，𝐴𝐸⊂面𝐴𝐸𝐶𝐷，𝐴𝐷⊂面𝐴𝐸𝐶𝐷，∴𝐵𝐷⊥面𝐴𝐸�

�𝐷，又𝐷𝑀⊂面𝐴𝐸𝐶𝐷，∴𝐵𝐷⊥𝐷𝑀，即∠𝐵𝐷𝑀=90°，∴𝐵𝑀>𝐷𝑀，与𝐵𝑀=𝐷𝑀矛盾，故D错误．故选：𝐴𝐵．13.−13【解析】由题意可得|𝑎⃗⃗|2=9|𝑏⃗|2=|𝑎⃗⃗+2𝑏⃗|2=|𝑎⃗⃗|2+4|�

�⃗|2+4𝑎⃗⃗·𝑏⃗，所以𝑎⃗⃗·𝑏⃗=−|𝑏⃗|2，则𝑐𝑜𝑠⟨𝑎→,𝑏→⟩=𝑎→·𝑏→|𝑎→||𝑏→|=−|𝑏→||𝑎→|=−13，故答案为：−13．14.12【解析】由题可知，函数为周期为4的函数，且𝑓(2)=𝑓(0

)=0，𝑓(3)=𝑓(3−4)=𝑓(−1)=−𝑓(1)=−12，𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)=0，故𝑓(1)+𝑓(2)+⋯+𝑓(2022)=𝑓(1)+𝑓(2)=1215.4𝑙�

�2【解析】由函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥+𝑙𝑛𝑥+𝑏(𝑎∈𝑅,𝑏∈𝑅)，𝑓′(𝑥)=−𝑎𝑒𝑥+1𝑥，令𝑓′(𝑥)=0，则𝑎𝑥=𝑒𝑥，因为函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥+𝑙𝑛𝑥+

𝑏(𝑎∈𝑅,𝑏∈𝑅)两个极值点𝑥1，𝑥2，则𝑒𝑥1=𝑎𝑥1①，𝑒𝑥2=𝑎𝑥2②，得𝑒𝑥2−𝑥1=𝑥2𝑥1③，设𝑥2𝑥1=𝑡，则𝑡∈(1,2]且𝑥2=�

�𝑥1，代入③得𝑥1=𝑙𝑛𝑡𝑡−1,𝑥2=𝑡𝑙𝑛𝑡𝑡−1，∴2𝑥1+𝑥2=2𝑙𝑛𝑡𝑡−1+𝑡𝑙𝑛𝑡𝑡−1=(𝑡+2)𝑙𝑛𝑡𝑡−1，设𝑔(𝑥)=(𝑥+2)𝑙𝑛𝑥𝑥−

1(1<𝑥≤2)，则𝑔′(𝑥)=𝑥−3𝑙𝑛𝑥−2𝑥+1(𝑥−1)2(1<𝑥≤2)，设ℎ(𝑥)=𝑥−3𝑙𝑛𝑥−2𝑥+1(1<𝑥≤2)，则ℎ′(𝑥)=1−3𝑥+2𝑥2=(𝑥−1)(𝑥−2)𝑥2≤0

，∴ℎ(𝑥)在(1,2]单调递减，∴ℎ(𝑥)<ℎ(1)=0，从而𝑔′(𝑥)<0，∴𝑔(𝑥)在(1,2]单调递减，∴𝑔(𝑥)≥𝑔(2)=4𝑙𝑛2，∴2𝑥1+𝑥2=𝑔(𝑡)≥

4𝑙𝑛2，故2𝑥1+𝑥2的最小值为4𝑙𝑛2．故答案为：4𝑙𝑛2．16.√74【解析】设内层椭圆方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为𝑥2(𝑚𝑎)2+𝑦2(𝑚𝑏

)2=1(𝑚>1)，所以𝐴点坐标为(−𝑚𝑎,0)，𝐵点坐标为(0,𝑚𝑏)，设切线𝐴𝐶的方程为𝑦=𝑘1(𝑥+𝑚𝑎)，切线𝐵𝐷的方程为𝑦=𝑘2𝑥+𝑚𝑏，联立直线𝐴𝐶的方程与内层椭圆方程{𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1𝑦=𝑘1(𝑥+�

�𝑎)，(𝑘12𝑎2+𝑏2)𝑥2+2𝑚𝑎3𝑘12𝑥+𝑚2𝑘12𝑎4−𝑎2𝑏2=0，∵直线𝐴𝐶与椭圆相切，∴𝛥=(2𝑚𝑎3𝑘12)2−4(𝑘12𝑎2+𝑏2)(𝑚2𝑘12𝑎4−𝑎2𝑏2)=0，化简整理可得，𝑘12=𝑏2𝑎2

⋅1𝑚2−1，同理，联立直线𝐵𝐷的方程与内层椭圆方程{𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1𝑦=𝑘2𝑥+𝑚𝑏，可推出𝑘22=𝑏2𝑎2(𝑚2−1)，∴𝑘12𝑘22=𝑏2𝑎2⋅1𝑚2−1×𝑏2𝑎2(𝑚2−1)=𝑏4𝑎4，∵𝑘1𝑘2=−916，

即𝑏2𝑎2=916，∴𝑒2=𝑐2𝑎2=𝑎2−𝑏2𝑎2=1−𝑏2𝑎2=716，解得𝑒=√74．故答案为：√74．17.解：(1)证明：∵𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛+3𝑛，∴𝑎𝑛+13𝑛+1−𝑎𝑛3𝑛=3𝑎𝑛+3𝑛3𝑛+1−𝑎𝑛3�

�=13，即𝑎𝑛+13𝑛+1−𝑎𝑛3𝑛=13，又𝑎13=13，∴数列{𝑎𝑛3𝑛}是等差数列，由上可知，公差𝑑=13，其首项𝑎13=13，∴𝑎𝑛3𝑛=13+(𝑛−1)×13=𝑛3，解得𝑎

𝑛=𝑛⋅3𝑛−1．(2)𝑆𝑛=1×30+2×31+3×32+⋯+𝑛×3𝑛−1，①∴3𝑆𝑛=1×31+2×32+3×33+⋯+(𝑛−1)×3𝑛−1+𝑛×3𝑛，②①−②，得−2𝑆𝑛=1×30+1×31+1×32+⋯+1×

3𝑛−1−𝑛×3𝑛=1×(1−3𝑛)1−3−𝑛×3𝑛=(1−2𝑛)3𝑛−12，∴𝑆𝑛=(2𝑛−1)3𝑛+14．18.解：(1)∵𝑎cos𝐵−2𝑎cos𝐶=(2𝑐−𝑏)cos𝐴，∴sin𝐴co

s𝐵−2sin𝐴cos𝐶=(2sin𝐶−sin𝐵)cos𝐴⇒sin𝐴cos𝐵+cos𝐴sin𝐵=2sin𝐴cos𝐶+2cos𝐴sin𝐶⇒sin(𝐴+𝐵)=2sin(𝐴+𝐶)⇒sin

𝐶=2sin𝐵⇒𝑐=2𝑏，𝑐=√3𝑎⇒𝑏=√3𝑎2，∴cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=𝑎2+3𝑎2−34𝑎22𝑎⋅√3𝑎=13√324．(2)由(1)知𝑐=2𝑏，∵�

�=1，∴𝑐=2，设∠𝐵𝐴𝐷=𝜃，𝑆△𝐴𝐵𝐶=12⋅2⋅sin2𝜃=12.2⋅𝐴𝐷⋅sin𝜃+12⋅1⋅𝐴𝐷⋅sin𝜃⇒𝐴𝐷=43cos𝜃,𝜃∈(0,𝜋2)，∴𝐴𝐷∈(0,43)．19.解：(1)假设�

�0:数学成绩与语文成绩无关据表中数据计算得𝜒2=200(50×80−30×40)290×110×120×80≈16.498>6.635根据小概率值𝛼=0.010的𝜒2的独立性检验，我们推断𝐻0不成立，而认为数学成绩

与语文成绩有关．(2)𝐿(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴𝐵)=8030=83∴估计𝐿(𝐵|𝐴)的值为83．(3)按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀

的3人，随机变量𝑋的所有可能取值为0，1，2，3．𝑃(𝑋=0)=𝐶33𝐶83=156，𝑃(𝑋=1)=𝐶51𝐶32𝐶83=1556，𝑃(𝑋=2)=𝐶52𝐶31𝐶83=3056=1

528，𝑃(𝑋=3)=𝐶53𝐶83=1056=528∴𝑋的概率分布列为𝑋0123𝑃15615561528528∴数学期望𝐸(𝑋)=0×156+1×1556+2×1528+3×528=10556

=15820.(1)证明：以𝐴为坐标原点，分别以𝐴𝐵、𝐴𝐷、𝐴𝑃所在的直线为𝑥、𝑦、𝑧轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则𝐴(0,0,0)，𝐵(2,0,0)，𝐷(0,2,0)，𝑃(0,0,2)，又设𝐸(2,𝑡,0)，𝐹(1,𝑡

2,1)，∴𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,0)，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(1,𝑡2,1)，𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,0,2)，∴𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0，∴𝐵𝑃⊥𝐴𝐷，𝐵𝑃⊥𝐴𝐹，又𝐴

𝐷∩𝐴𝐹=𝐴，𝐴𝐷⊂平面𝐴𝐷𝐹，𝐴𝐹⊂平面𝐴𝐷𝐹，因此𝑃𝐵⊥平面𝐴𝐷𝐹．(2)由(1)平面𝐴𝐷𝐹的一个法向量为𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,0,2)，又𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,𝑡−2,0)，𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(0

,2,−2)，设平面𝐷𝐸𝑃的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{2𝑥+(𝑡−2)𝑦=02𝑦−2𝑧=0，不妨令𝑦=2，则𝑥=2−𝑡，𝑧=2，故平面𝐷𝐸𝑃的一个法向量为𝑛⃗⃗=(2−𝑡,2,2)，设平面𝐷𝐸𝑃与平面𝐴𝐷�

�所成的二面角为𝜃，则cos𝜃=|𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗||𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗|=|2𝑡|√8√𝑡2−4𝑡+12=√63，解得𝑡=4或𝑡=12，此时点𝐸在线段𝐵𝐶的延长上，所以，不存在这样的点�

�．21.解：(1)因为椭圆𝐸：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)过点为𝐴(−2,0)，𝐵(0,1)，所以有{4𝑎2=11𝑏2=1，解得{𝑎=2𝑏=1，∴椭圆𝐸的方程为𝑥24+𝑦2=1；(2)依题意过点𝑃(−2,1)的直线为𝑦−1=𝑘(�

�+2)，设𝐶(𝑥1,𝑦1)、𝐷(𝑥2,𝑦2)，不妨令−2<𝑥1<𝑥2≤2，由{𝑦−1=𝑘(𝑥+2)𝑥24+𝑦21=1，消去𝑦整理得(1+4𝑘2)𝑥2+(16𝑘2+8𝑘)𝑥+16

𝑘2+16𝑘=0，所以𝛥=(16𝑘2+8𝑘)2−4(1+4𝑘2)(16𝑘2+16𝑘)>0，解得𝑘<0，所以𝑥1+𝑥2=−16𝑘2+8𝑘1+4𝑘2，𝑥1⋅𝑥2=16𝑘2+16𝑘1+4𝑘2，直线𝐵𝐶的方程为𝑦−1=𝑦1−1𝑥1𝑥，令𝑦

=0，解得𝑥𝑀=𝑥11−𝑦1=𝑥1−𝑘(𝑥1+2)，直线𝐵𝐷的方程为𝑦−1=𝑦2−1𝑥2𝑥，令𝑦=0，解得𝑥𝑁=𝑥21−𝑦2=𝑥2−𝑘(𝑥2+2)，𝑥𝑀+𝑥𝑁=𝑥1−𝑘(𝑥1+2)+𝑥2−𝑘(𝑥2+2)=�

�1(𝑥2+2)+𝑥2(𝑥1+2)−𝑘(𝑥1+2)(𝑥2+2)=2𝑥1𝑥2+2(𝑥1+𝑥2)−𝑘[𝑥1𝑥2+2(𝑥1+𝑥2)+4]，因为𝑥1+𝑥2=−16𝑘2+8𝑘1+4𝑘2，𝑥1⋅𝑥2=16𝑘

2+16𝑘1+4𝑘2，所以𝑥𝑀+𝑥𝑁=2⋅16𝑘2+16𝑘1+4𝑘2+2(−16𝑘2+8𝑘1+4𝑘2)−𝑘[16𝑘2+16𝑘1+4𝑘2+2(−16𝑘2+8𝑘1+4𝑘2)+4]=16

𝑘−4𝑘=−4，因为−2<𝑥1<𝑥2≤2，所以𝑥𝑀−𝑥𝑁=𝑥1−𝑘(𝑥1+2)−𝑥2−𝑘(𝑥2+2)=𝑥1(𝑥2+2)−𝑥2(𝑥1+2)−𝑘(𝑥1+2)(𝑥2+2)=2

(𝑥1−𝑥2)−𝑘(𝑥1+2)(𝑥2+2)<0，即𝑥𝑀<𝑥𝑁，于是有(−2)−𝑥𝑀=𝑥𝑁−(−2)，即|𝐴𝑀|=|𝐴𝑁|⇒|𝐴𝑀||𝐴𝑁|=1．22.解：(1)𝑓(𝑥)=𝑎

𝑥+𝑙𝑛𝑥的定义域为(0,+∞)，且𝑓′(𝑥)=1𝑥−𝑎𝑥2=𝑥−𝑎𝑥2，当𝑎≤0时，𝑓′(𝑥)>0恒成立，𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，当𝑎>0时，令𝑓′(𝑥)>0，解得𝑥>𝑎，令𝑓′(𝑥)<0，解得0<𝑥<𝑎，故𝑓(𝑥)在(0,

𝑎)上单调递减，在(𝑎,+∞)上单调递增，综上：当𝑎≤0时，𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，当𝑎>0时，𝑓(𝑥)在(0,𝑎)上单调递减，在(𝑎,+∞)上单调递增；(2)证明：由(1)知：当𝑎≤0

时，𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，故𝑓(𝑥)至多有一个零点，不合要求，故𝑎>0，要想𝑓(𝑥)有两个不相同的零点𝑥1，𝑥2，则𝑓(𝑎)=1+𝑙𝑛𝑎<0，解得：0<𝑎<1𝑒，𝑎𝑥1

+𝑙𝑛𝑥1=0,𝑎𝑥2+𝑙𝑛𝑥2=0，故𝑎𝑥1+𝑎𝑥2=−𝑙𝑛𝑥1−𝑙𝑛𝑥2=−ln(𝑥1𝑥2)，要证𝑥1𝑓′(𝑥1)+𝑥2𝑓′(𝑥2)>2𝑙𝑛𝑎+2，即证𝑥1⋅𝑥1−𝑎𝑥12+𝑥

2⋅𝑥2−𝑎𝑥22=𝑥1−𝑎𝑥1+𝑥2−𝑎𝑥2=2+ln(𝑥1𝑥2)>2𝑙𝑛𝑎+2，即证：ln(𝑥1𝑥2)>2𝑙𝑛𝑎，因为𝑦=𝑙𝑛𝑥在(0,+∞)上单调递增，所以只需证𝑥1𝑥2>𝑎2，不妨设0<𝑥1<𝑥2

，𝑎𝑥1+𝑙𝑛𝑥1=0,𝑎𝑥2+𝑙𝑛𝑥2=0，两式相减得：𝑎𝑥1−𝑎𝑥2=𝑙𝑛𝑥2−𝑙𝑛𝑥1，变形为𝑥2−𝑥1𝑙𝑛𝑥2−𝑙𝑛𝑥1=𝑥1𝑥2𝑎，下面证明𝑥2−𝑥1𝑙𝑛𝑥2−𝑙𝑛𝑥1>√𝑥1

𝑥2在0<𝑥1<𝑥2上成立，只需证𝑥2−𝑥1√𝑥1𝑥2>𝑙𝑛𝑥2−𝑙𝑛𝑥1，即√𝑥2𝑥1−√𝑥1𝑥2>ln𝑥2𝑥1，令√𝑥2𝑥1=𝑡>1，即证𝑡−1𝑡>2𝑙𝑛𝑡，𝑡>1构造ℎ(𝑡)=𝑡−1𝑡

−2𝑙𝑛𝑡，𝑡>1，则ℎ′(𝑡)=1+1𝑡2−2𝑡=𝑡2−2𝑡+1𝑡2=(𝑡−1)2𝑡2>0恒成立，故ℎ(𝑡)=𝑡−1𝑡−2𝑙𝑛𝑡在𝑡>1上单调递增，故ℎ(𝑡)>ℎ(1)=1−1−2𝑙𝑛1=0，所以𝑡−1𝑡>2𝑙𝑛𝑡，𝑡>1，故𝑥2−�

�1𝑙𝑛𝑥2−𝑙𝑛𝑥1>√𝑥1𝑥2，即𝑥1𝑥2𝑎>√𝑥1𝑥2，所以√𝑥1𝑥2>𝑎，𝑥1𝑥2>𝑎2，证毕．