【文档说明】【精准解析】专题40空间点、直线、平面之间的位置关系-（文理通用）【高考】.docx，共(36)页，3.483 MB，由小赞的店铺上传

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专题40空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.基础知识融会贯通1．四个公理公理1：如

果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系

的分类共面直线平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：0，π2.3．

直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．【知识拓展】1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线

外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．重点

难点突破【题型一】平面基本性质的应用【典型例题】在下列命题中，不是公理的是（）A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内B．经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．垂直于同一条

直线的两个平面相互平行D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线【解答】解：在A中，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内，公理，故A错误；在B中，经过不在同一条直线上的三点，有且只

有一个平面，是公理，故B错误；在C中，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，是定理，不是公理，故C正确；在D中，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线是，是公理，故D错误．故选：C．【再练一题】如图，空间四边形ABCD中，E、F分

别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG：GC＝DH：HC＝1：2．（1）求证：E、F、G、H四点共面；（2）设FG与HE交于点P，求证：P、A、C三点共线．【解答】证明：（1）△ABD中，∵E、F为AD、AB中点，∴EF∥BD．△

CBD中，BG：GC＝DH：HC＝1：2，∴GH∥BD，∴EF∥GH（平行线公理），∴E、F、G、H四点共面．（2）∵FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE，∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，又平面ABC∩平面ADC＝A

C，∴P∈直线AC．∴P、A、C三点共线．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明

点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．【题型二】判断空间两直线的位置关系【典型例

题】直线a与直线b为两条异面直线，已知直线l∥a，那么直线l与直线b的位置关系为（）A．平行B．异面C．相交D．异面或相交【解答】解：假设l∥b，又l∥a，根据公理3可得a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故假设不

成立，所以l与b异面或相交．故选：D．【再练一题】A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．【解答】（1）证明

：用反证法．设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．（2）解：取CD的中点G，连接EG、FG，由于E、F分别是BC、AD的中点，则EG平行

且等于BD，FG平行且等于AC，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角．由AC⊥BD，AC＝BD，可得EG⊥GF，EG＝GF．故等腰Rt△EGF中，有∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为4

5°．思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往

利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．【题型三】求异面直线所成的角【典型例题】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD，AA1，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接BC1，在长方

体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AB∥A1B1，∴异面直线A1B1与AC1所成角即为∠BAC1，∵AB＝1，AD，AA1，∴AC1．∴cos∠BAC1．即异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为．故选：C．【再练一题】异面直线a，b所成的角为，直线a⊥c，则异面直线b

与c所成角的范围为（）A．[]B．[]C．[]D．[]【解答】解：在长方体中，对角线AC表示直线b，棱B1C1表示直线a，则a、b异面，且所成的角为，如图所示；在图中找出与a垂直的平面CDD1C1，显然当DD1为直线c时，异面直线b、c所成的角最大，为；当直线c过DD1、C

C1的中点E、F时，异面直线b、c所成的角最小，为；所以异面直线b与c所成角的范围是[，]．故选：A．思维升华用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三

角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．基础知识训练1．【上海市金山中学2018-2019学年高二5月月考】设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（）A．直线l不平行于直线mB．直线l

与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直【答案】C【解析】∵直线l与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l与平面α无公共点，又直线m在平面α上，∴直线l与直线m没有公共点，故选：C．2．【江苏省扬州市

扬州中学2018—2019学年度高一第二学期期末检测】若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（）A．平行B．异面C．相交D．以上皆有可能【答案】D【解析】若l=，,ac，,bd，位置关系如下图所示：若//al，//bl，则//ab，可知两条直线

可以平行由图象知，c与d相交，可知两条直线可以相交由图象知，b与c异面，可知两条直线可以异面本题正确选项：D3．【北京市昌平区2018-2019学年高一年级第二学期期末】设m，n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果//m，//n，那么//mn；②如果m

∥，m，n=，那么mn∥；③如果m⊥，m，那么⊥；④如果∥，m，//n，那么mn∥.其中正确的是()A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】B【解析】①如果//m，//n，那么m，n相交

、平行或异面直线，故①错误；②根据线面平行性质定理可知正确；③根据线面垂直判定定理可知正确；④如果∥，m，//n，那么m，n相交、平行或异面直线，故④错误；故选：B4．【福建省上杭县第一中学2018-2019学年高一5月月

考】圆心和圆上任意两点可确定的平面有（）A．0个B．1个C．2个D．1个或无数个【答案】D【解析】若圆心和圆上两点共线，则可确定无数个平面若圆上任意三点不共线，∴由不共线三点确定一个平面，得圆上任意三

点可确定的平面有且只有1个．故选：D．5．【天津市宝坻区2018-2019学年高一下学期期中考试】下列命题中正确的个数是（）①平面与平面相交，它们只有有限个公共点．②若直线l上有无数个点不在平面内，则//l．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互

相平行④已知平面，和异面直线a，b，满足a，//a，b，//b，则//．A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】在①中，平面与平面相交，它们有无数个公共点，故①错误；在②中，若直线l上有无数个点不在平面内，则l与平行或相交，

故②错误；在③中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异面，故③错误；在④中，已知平面，和异面直线a，b，满足a，//，b，//b，则由面面平行的判定定理得//，故④正确．故选：B．6．【黑龙江省大庆市大庆实验中学2

018-2019学年高一6月月考试】下列说法正确的是（）A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面C．若直线a，b共面，直线a，c共

面，则直线b，c共面D．依次首尾相接的四条线段必共面【答案】A【解析】A选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，A正确；B选项：若,,ABC三点共线，直线DE与直线AC异面，此时,,,,ABCDE不共面，B错误；C选项：,

ab共面，,ac共面，此时,bc可为异面直线，C错误；D选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，D错误.本题正确选项：A7．【江苏省扬州市扬州中学2018—2019学年度高一第二学期期末检测】如图，正方体1111ABCDABCD−中，异面直线AC和1BC所成

角的大小为（）A．3B．2C．23D．3或23【答案】A【解析】连接1AD，1CD11//BCAD1DAC即为异面直线AC与1BC所成角又11ADACCD==13DAC=即异面直线AC与1BC所成角为：3本题正确选项：A

8．【河北省张家口市桥西区第四中学2018-2019学年高二6月月考】设,为两个平面，则//的充要条件是（）A．内有无数条直线与β平行B．,垂直于同一平面C．，平行于同一条直线D．内有两条相交直线与平行【答案】D

【解析】A中，若无数条直线为无数条平行线，则无法得到//，可知A错误；B中，,垂直于同一个平面，此时与可以相交，可知B错误；C中，,平行于同一条直线，此时与可以相交，可知C错误；D中，由

面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是//的充分条件由面面平行性质定理知，若//，则内任意一条直线都与平行\内两条相交直线都与平行是//的必要条件即内有两条相交直线与平行是//的充要条件本题正确选项：D9．【福建省

宁德市六校2018-2019学年高一下学期期中联考】已知a、b是两条异面直线，//ca，那么c与b的位置关系（）A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直【答案】C【解析】a、b是两条异面直线，//ca，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．因为若//cb，因为//ca，由平

行公理得//ab，与a、b是两条异面直线矛盾．故选C．10．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)】如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点F是线段1BC上的动点，则下列说法错误．．的是（）A．当点F移动至1B

C中点时，直线1AF与平面1BDC所成角最大且为60B．无论点F在1BC上怎么移动，都有11AFBD⊥C．当点F移动至1BC中点时，才有1AF与1BD相交于一点，记为点E，且12AEEF=D．无论点F在1BC上怎么移动，异面直线1AF与

CD所成角都不可能是30【答案】A【解析】对于A，当点F移动到1BC的中点时，直线1AF与平面1BDC所成角由小到大再到小，如图1所示；且F为1BC的中点时最大角的余弦值为161163262OFAF==，最大角大于60，所以A错误；对于B，在正方

形中，1DB⊥面11ABC，又1AF面11ABC，所以11AFBD⊥，因此B正确；对于C，F为1BC的中点时，也是1BC的中点，它们共面于平面11ABCD，且必相交，设为E，连1AD和1BF，如图2，根据△1ADE∽△1FBE，可得1112AEDAE

FBF==，所以C正确；对于D，当点F从B运动到1C时，异面直线1AF与CD所成角由大到小再到大，且F为1BC的中点时最小角的正切值为2232123=，最小角大于30°，所以D正确；故选：A．11．【天津市和平区第一中学2018-2019

学年高一下学期期中】以下说法正确的有几个（）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A．0个B．1个C．2个

D．3个【答案】B【解析】①错误，如空间四边形确定一个三棱锥.②错误，直线可能和平面相交.③正确，根据公理二可判断③正确.④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有1个，故选B.1

2．【天津市和平区第一中学2018-2019学年高一下学期期中】设、、为平面，为m、n、l直线，则下列判断正确的是（）A．若⊥，l=，ml⊥，则m⊥B．若m=，⊥，⊥，则m⊥C．若⊥，⊥，m⊥，则m⊥D．若n⊥，n⊥，m⊥，则m⊥

【答案】D【解析】A选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上：m在平面内或者平行于，这个条件，才能判定m⊥.B选项不正确，因为m可能平行于.C选项不正确，因为当⊥时，//m或者m.D选项正确，根据垂直于

同一条直线的两个平面平行，得到//，直线m⊥，则可得到m⊥.综上所述，本小题选D.13．【上海市2018-2019学年高二下学期期末考试复习卷】分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___________。【答案】相交或异面

【解析】如下图所示：此时,mn的位置关系为：相交如下图所示：此时,mn的位置关系为：异面若,mn平行，则,mn与,ab的四个交点，四点共面；此时,ab共面，不符合异面直线的定义综上所述：,mn的位置关系为相交或异面本题正确结果；相交或异面14．【重庆市第八中学2018-2019学年高二下学期第二次

月考】在长方体1111ABCDABCD−中，122ABBCCC==，E是AB的中点，则异面直线DE与1DC所成角的余弦值为_____．【答案】105【解析】取1AA的中点F，连接EF，则EF11ABDC，∴DEF即为异面直线DE与1DC所成角或其补角，不妨设1222ABBCCC==

=，则在△DEF中，DE=2,5DFEF2==,∴在等腰三角形DEF中，可得cos21022DEF55522DE===,故答案为：105.15．【黑龙江大庆实验中学2018-2019学年高一6月月考试】下列说

法正确的是______.①平面的厚度是5cm；②经过一条直线和一个点确定一个平面；③两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；④经过三点确定一个平面.【答案】③【解析】对于①，由于平面是可以无限延伸的，故①说法错误.对于②，这个必须在直线外，故

②判断错误.对于③，由于三个交点各不相同，根据公理2可知，③说法正确.对于④，这三个点必须不在同一条直线上，故④判断错误.故本小题答案为：③.16．【广东省深圳市高级中学2018-2019学年高一下学期期中考试】如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，M

为11BC中点，连接11,ABDM，则异面直线1AB和1DM所成角的余弦值为_____．【答案】105【解析】如图，连接1,CDCM，由1111//,ADBCADBC=，可得四边形11ABCD为平行四边形，则11//ABCD，∴1CDM为

异面直线1AB和1DM所成角，由正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，M为11BC中点，得152DMMC==，12CD=．在1CMD中，由余弦定理可得，15521044cos55222CDM+−==．∴异面直线1AB和1DM所成角的余弦值为105．故答案为：10

5．17．【天津市滨海新区2019届高三毕业班质量监测】如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是矩形，226PAPBABBCPC=====，，，点E为AB的中点，AC与BD交于点O.（Ⅰ）求异面直线PC与AD所成角的余弦值

；（Ⅱ）求证：PCEABCD⊥平面平面；（Ⅲ）求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）33（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）66【解析】解：（Ⅰ）∵ABCD是矩形，∴ADBC∥∴PCB∠是异面直线成角在PBC中，262PBPCBC===，，∴在R

tPBC中，3cos3BCPCBPC==∴异面直线成角余弦值为33.（Ⅱ）∵2PAPBAB===，点E为AB的中点∴33PEABPEEC⊥==，，，又∵6PC=∴PEEC⊥又∵ABECEABCEABCD=，，面，∴PEABCD⊥面又∵PEPCE面∴PCEABCD⊥平面平面（Ⅲ）过点

A作AHEC⊥与EC的延长线交于点H，∵AHPCE⊥平面，PH为斜线PA在面PCE内的射影∴APH直线PA与平面PCE所成角在RtAPH中，623AHAP==，∴6sin6AHAPHAP==∴直线PA与平面PCE所成角的正弦值6618．【2019

年山西省太原市高三模拟试题（二)】如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，//,ADBCABAD⊥，222ADABBC===，PCD是正三角形，,PCACE⊥是PA的中点。（1）证明：AC

PD⊥；（2）求三棱锥PBDE−的体积。【答案】(1)见证明(2)612【解析】（1）证明：∵//,ADBCABAD⊥，∴090ABCBAD==，∵1ABBC==，∴045,2CADAC==，由余弦定理得：2222cos2CDACADA

CADCAD=+−=，∴2224ACCDAD+==，∴ACCD⊥，∵PCAC⊥，∴AC⊥平面PCD，∴ACPD⊥；（2）连接CE，由（1）得AC⊥平面PCD，2CD=，∵E是PA的中点，//ADBC，∴1122PBDE

PCDECPDECADPACDPVVVVV−−−−−====2113666412CDPSACCDAC===。19．【天津市和平区第一中学2018-2019学年高一下学期期中】如图，在几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，E为AB中点.（1）

求证：//AN平面MEC；（2）求证：ACBN⊥.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）连接BN（如图），使得BNCMH=，易证//EHANAN平面MEC，EH平面MEC，//AN平面MEC（2）ABCD

是菱形，ACBD⊥，平面ADNM⊥平面ABCD平面ADNM平面ABCDAD=，ADNM是矩形，NDAD⊥ND平面ADNM，ND⊥平面ABCD，ACND⊥BDNDD=，BD，ND平面NDB，AC⊥平面NDB，ACBN⊥20．【天津市和平区第一中

学2018-2019学年高一下学期期中】如图，四棱锥PABCD−的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，6AB=，5AP=，60BAD=.（1）求证：平面PAC⊥平面POE；（2）求直线PB与平面POE所成角的

正弦值；（3）若F是边DC的中点，求异面直线BF与PA所成角的正切值.【答案】（1）见解析；（2）312986；（3）2199【解析】（1）证明：ABCD是菱形，ACBD⊥，//OEBDOEAC⊥，PO⊥底面AB

CD，POAC⊥，OE，OP平面POEOEOPO=，AC⊥平面POE，AC平面PAC平面PAC⊥平面POE（2）过点B作BMOE⊥于M，易证POBM⊥，OE，OP平面POEOEOPO=，BM⊥平面POE，PM是PB在平面POE

上的射影BPM即为所求，在RtPMB中，332BM=，43PB=3129sin86BMBPMPB==（3）分别取AB，PB中点H，T，易证//DHBF，//THPADHT即为异面直线BF与PA所成角或其补角在DHT中，33DH=，52HT=，7

92DT=33cos10DHT=219tan9DHT=21．【安徽省安庆一中2018-2019学年高一第二学期期末考试】在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求

异面直线AB与CD所成角的正切值.【答案】（1）83π3；（2）7【解析】（1）由题意，得OB2=，PB4=，22POPBOB23=−=，所以圆锥的侧面积为Sπrl24=8π==，211Vπrhπ33==283223π3=；（2）取PO的中点E，连接DE，CE，则CDE

或其补角即为所求，因为DE⊥EO,DE⊥OC,,,EOOCEOCEOOCO=平面,所以DE⊥平面EOC，DEEC⊥，1DEOA12==，22CEOCOE=+()22237=+=，于是7tanCDE71==，即异面直线AB与CD所成角的正切值为7.22．【安徽省郎溪中学2018

-2019学高一下学期期末考试】如图，在四棱锥OABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，OA⊥底面ABCD，2OA=，M为OA的中点，N为BC的中点，60ABC=．()1证明：直线//MN平面OCD；()2求异面直线AB与MD所成

角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55.【解析】（1）证明：取OB的中点E，连接MENE，，在OBA中，E为OB，M为OA；//EMAB；又四边形ABCD为菱形，//ABCD；//EMCD；在OBC中，E为OB，N为BC中点，//ENOC；由于//EMAB，

//ENOC，MEMNE=，OCCDC=，,MEMN平面EMN，,OCOD平面OCD；平面//EMN平面OCD；MNEMN；//MN平面OCD（2）连接MC，AC，由于//ABCD，则异面直线AB与MD所成角即为相交线C

D与MD所成角，由M为OA，则112AMOA==，由四边形ABCD为边长为2的菱形，则2CD=，由于060ABC=，则2AC=;由OA⊥平面ABCD，则OAAD⊥，OAAC⊥，22145MDAMAD=+=+=；22145MCAMAC=+=+=在MCD

中，222222(5)2(5)5cos25252MDCDMCMDCMDCD+−+−===；所以异面直线AB与MD所成角的余弦值为55能力提升训练1．【云南省昆明第一中学2018-2019下学期期

中考试高一】设,mn为两条不同的直线，，，为三个不重合平面，则下列结论正确的是()A．若m，n∥，则mn∥B．若m⊥，,⊥则mC．若⊥，⊥，则D．若m⊥，mn∥，则n⊥【答案】D【解析】A选项，若m，n∥，则,mn可能平行、相交或异面；故A错；B选项

，若m⊥，⊥，则m或m，故B错；C选项，若⊥，⊥，因为，，为三个不重合平面，所以或⊥，故C错；D选项，若m⊥，mn∥，则n⊥，故D正确；故选D2．【上海市虹口区2018-2

019学年高二下学期数学期中统考】直线m⊥平面α，下面判断错误的是（）A．若直线n⊥m，则n∥αB．若直线n⊥α，则n∥mC．若直线n∥α，则n⊥mD．若直线n∥m，则n⊥α【答案】A【解析】由直线m⊥平面α，得：在A中，若直线n⊥

m，则由线面平行性质得n与α相交、平行或n⊂α，故A错误；在B中，若直线n⊥α，则由线面垂直的性质得n∥m，故B正确；在C中，若直线n∥α，则由线面垂直的性质得n⊥m，故C正确；在D中，若直线n∥m，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故D正确．故选

：A．3．【内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学2018-2019学年高一下学期期中考试】下列命题中错误的是（）A．若两个平面平行，则分别位于这两个平面的直线也互相平行B．平行于同一个平面的两个平面平行；C

．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面【答案】A【解析】A选项：在如下图所示的正方体中平面//ABCD平面1111DCBA，11AB平面1111D

CBA，D平面ABCD此时，11AB与BC异面，可知A错误；B选项：由面与面的位置关系可知，平行于同一平面的两个平面平行，B正确；C选项：三角形各边所在直线与一个平面平行，即三角形所在平面中有两条相交直线均平行于另一个平

面，可知两个平面平行，C正确；D选项：由面面平行的性质定理可知D正确.本题正确选项：A4．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】已知,mn是两条不同直线，,是两个不同平面，给出四个命题：①若m=，n

，nm⊥，则⊥；②若,mm⊥⊥，则；③若,,mnmn⊥⊥⊥，则⊥；④若,,mnmn，则.其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【答案】B【解析】①若m=，n，nm⊥，如图，则与不一定垂直，故①

为假命题；②若,mm⊥⊥，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则；故②为真命题；③若,,mnmn⊥⊥⊥，则⊥，故③为真命题；④若,,mnmn，如图，则与可能相交，故④为假命题．故选：B．5．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】在四棱

锥PABCD−中，所有侧棱都为42，底面是边长为26的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】由题可知O是正方形ABCD的中心，取N为

OC的中点，所以OPMN，则BMN是异面直线OP与BM所成的角.因为OP⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，因为在四棱锥PABCD−中，所有侧棱都为42，底面是边长为26的正方形，所以23OC=，所以321225OP=−=，因此5MN=，又在PBC中，

2223232245cos22328PBPCBCBPCPBPC+−+−===•，所以22252cos32824222208BMPBPMPBPMBPC=+−••=+−=，即25BM=，所以1cos2MNBMNMB==，则异面直线OP与BM所成

的角为60.故选C6．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝

90°，∴BD＝2a，∴∠BAD＝90°，取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝22a，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延长CO至点

E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，由题意得AE＝a，ED＝a，∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，∴异面直线AD与BC所成角的大

小为60°．故选：C．7．【2019年北京市清华附中高考数学二模】如图，三棱柱111ABCABC−中，侧棱垂直于底面，1111ABBC⊥，12AAAB==，1BC=，E为11AC中点．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面11ABC；（Ⅱ）求三棱锥1BECC−的体积；（Ⅲ）

设平面EAB与直线11BC交于点H，求线段1BH的长【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）113BECCV−=（Ⅲ）112BH=【解析】解：（Ⅰ）因为三棱柱111ABCABC−中，侧棱垂直于底面，所以1BB⊥平面111ABC．因为11BC平面111ABC，所以111BBBC⊥．又因为1111B

CAB⊥，1111ABBBB=，所以11BC⊥平面11AABB．因为1AB平面11AABB，所以111ABBC⊥．因为12AAAB==，所以四边形11AABB为菱形．所以11ABAB⊥．因为1111BCABB=，所以1AB⊥平面11ABC．（Ⅱ）由已知，1B

B⊥平面111ABC，11AB平面111ABC，所以111BBAB⊥．因为1111ABBC⊥，1111BCBBB=，所以11AB⊥平面11BBCC．又112ABAB==，故1A到平面11BBCC的距离为2．因为E为11AC中点，所以E点到平面11BBCC距离为1．所以

11111211323BECCEBCCVV−−===（Ⅲ）在三棱柱111ABCABC−中，因为E，H为平面EAB与平面111ABC的公共点，所以平面EAB平面111ABCEH=．因为平面ABC∥平面111ABC，ABÌ平面ABC，所以AB∥平面111ABC

．又平面111ABC平面EABEH=，所以EHAB．又11ABAB∥，所以11EHAB．因为E为11AC中点，所以H为11BC中点．所以1111122BHBC==8．【上海市2018-2019学年高二下学期期末考试复习卷】如图

，等高的正三棱锥P-ABC与圆锥SO的底面都在平面M上，且圆O过点A，又圆O的直径AD⊥BC，垂足为E，设圆锥SO的底面半径为1，圆锥体积为33。(1)求圆锥的侧面积；(2)求异面直线AB与SD所成角的大小；(3)若平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为3，求三棱锥的侧

棱PA与底面ABC所成角的大小。【答案】(1)2；(2)3arccos4；(3)3arctan2【解析】（1）设圆锥高为h，母线长为l由圆锥体积得：213133h=3h=132l=+=

圆锥的侧面积：2S=（2）作//DFAB交圆锥底面圆于点F，连接AF，SF则SDF即为异面直线AB与SD所成角由题意知：126ADFEABCAB===，AFDF⊥332DFAD==，又2SDSF==2222323cos4232SDF+−==3arccos4

SDF=即异面直线AB与SD所成角为：3arccos4（3）平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为33ABCOSS=3ABCS=又21sin323ABCSAB==2AB=，即ABC为边长为2的等边三角

形设Q为ABC的中心，连接PQ，则222341333AQAE==−=三棱锥PABC−为正三棱锥PQ⊥平面ABCPAQ即为侧棱PA与底面ABC所成角33tan2233PQPAQAQ===3arctan2PAQ=即侧棱PA与底面ABC所成角为：3arctan2

9．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)模拟】如图1，直角梯形ABCD中，ABCD∥，ABAD⊥，2262ABADDC===；如图2，将图1中DAC沿AC起，点D在平面ABC上的正投影G在ABC内

部，点E为AB的中点，连接,BDED，三棱锥DABC−的体积为122．（1）求证：DEAC⊥；（2）求点B到平面ACD的距离．【答案】（1）见解析；（2）42【解析】证明：（1）在直角梯形ABCD中，ABCD∥，2262ABADDC

===，在图1中作AB的中点E，在图1、图2中取AC的中点F，连结,,DFCEEF，则,DACEAC均为等腰直角三角形，所以ACDF⊥，ACEF⊥，又DFEFF=，故AC⊥面DEF，又DEÌ面DEF，∴D

EAC⊥．解：（2）∵DG⊥面ABC，GA面ABC，GC面ABC，∴,DGGADGGC⊥⊥，∵DADC=，∴GAGC=，∴G在AC的中垂线上，∴EG垂直平分AC，∵F为AC中点，∴,,EFG三点共线，由226

2ABADDC===，得ABC是等腰直角三角形，11661822ABCSACBC===，设B到平面ADC的距离为h，则由DABCBADCVV−−=，得1133ABCADCSDGSh=，∴点B到平面ACD的距离ABC16622242132322A

DCSDGhS===．10．【福建省宁德市六校2018-2019学年高一下学期期中联考】如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，11ABAB、分别为⊙O、⊙O1的直径，且1AA⊥平面PAB．（1）求证：1BPAP⊥；（2）若圆柱1O

O的体积122120VOAAOP＝，＝，＝，①求三棱锥A1﹣APB的体积．②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与1AB所成角的余弦值为25？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①23，②见解析【解析】（1）证明：∵

P在⊙O上，AB是⊙O的直径，APBP⊥，1AA⊥平面1PABAABP⊥，，又1APAAA＝，BP⊥平面1PAA，又1AP平面1PAA，故1BPAP⊥．（2）①由题意211412VOAAAAA＝＝＝，解得13AA＝，由2120OA

AOP＝，＝，得302BAPBP＝，＝，23,AP=，1223232PABS==∴三棱锥1AAPB﹣的体积1112332333PABVSAA===．②在AP上存在一点M，当M为AP

的中点时，使异面直线OM与1AB所成角的余弦值为25．证明：∵O、M分别为ABAP、的中点，则//OMBP，1ABP就是异面直线OM与1AB所成的角，11345AAABAB＝，＝，＝又1BPAP⊥，在1RtAPB中，11BP2cosAB5A

PB==．∴在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与1AB所成角的余弦值为25．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com