【文档说明】江苏省镇江市2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含答案.docx,共(10)页,593.060 KB,由小赞的店铺上传
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镇江市2020-2021学年高一下学期期中考试数学2021.04注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答
非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()2,1a=
−,()1,bm=,且ab⊥,那么实数m的值是()A.12B.12−C.-2D.22.若231aiii+=++,则实数a=()A.2B.3C.4D.53.已知tan3=−,tan1=,则()tan−的值为()A.-2B.12−C.2D.124.已知向量a,b满足2a=,1b=,223
ab+=,则向量a与b的夹角为()A.30B.60C.120D.1505.在ABC△中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,30B=,3a=,3c=,则sinsinabAB+=+()A.2B.12C.23D.326.在ABC△中,点P在线段AB上,且4BABP
=,若22cossinCPCACB=+,则cos2=()A.12−B.12C.14−D.147.今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年.“红星闪闪放光彩”,正五角星是一个非常优美的的几何图形,庄严美丽的
国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征,如图为一个正五角星图形,由一个正五边形的五条对角线连结而成,已知C,D为AB的两个黄金分割点,即512ACBDABAB−==.则cosDEC=()A.514+B.514−C
.512−D.512+8.▲表示一个整数,该整数使得等式34cos40sin40+=▲成立,这个整数▲为()A.-1B.1C.2D.3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选
对的得2分,有选错的得0分.9.已知复数3zi=+,则下列结论正确的是()A.在复平面内,z对应的点在第四象限B.10z=C.复数z和z满足方程26100xx−+=D.2106zi=+10.已知向量a,b,c是三个非
零向量,则下列结论正确的有()A.若//ab,则abab=B.若//ab,//bc,则//acC.若acbc=,则ab=D.若abab+=−,则ab⊥11.在ABC△中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且AB,则下列结论正确的是
()A.abB.ABACBABCbcacC.如果A为锐角,i为虚数单位,1cossinzAiB=+,2cossinzBiA=+,则12zzD.sinsinabAB−−12.在ABC△中,内角A
,B,C的对边分别为a,b,c,已知23a=,1sinsin4BC=,1tantan3BC=,D为边AC的中点,则下列结论正确的是()A.60A=B.若ABC△的周长为423+C.BD的长为7D.若M是BD中点,34AMCM=三、填空题:本题
共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上..........13.已知向量a,b是两个不共线的向量,且35OAab=+,47OBab=+,OCamb=+,若A,B,C三点共线,则实数m=__________.14.已知复数z对应的点在复平面第三象限内,
甲、乙、丙三人对复数z的陈述如下(i为虚数单位):甲:4zz+=−;乙:23zzi−=;丙:7zz=;丁:2zz=.在甲、乙、丙、丁四人陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数z=__________.15.已知正六边形ABCDEF的边长为
1,当点M满足__________时,32BFBM=.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况)16.窗,古时亦称为牅,它伴随着建筑的起源而出现,在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美
魅力的重要建筑构件.如图,是某古代建筑群的窗户设计图,窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形,它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成,则tanHAB=__________;AGDF的值为__________.四、解答题:本题共6小题,
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,为锐角,4sin5=,()tan2+=−.(1)求tan的值;(2)求()cos−的值.18.请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.①213bci+=(i为虚数单位),②ABC△的面积为
315,③6ABAC=−,在ABC△中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bc−=,1cos4A=−,__________.(1)求a;(2)在(1)的结论下,若点D为线段BC的一点且3BDDC=,求AD长.19.若ABC△是边长为2的正三角形.请在
ABC△内画一条线段EF,端点E,F都在ABC△的边上,并将正ABC△分成面积相等的两部分.(1)请给出线段EF的一种画法,并证明;(2)如果此时线段EF是所有画法中最短的,求此时该线段的长度;(3)请提出一个类似(2)的问题(不需要解决你提出的问题).20.如图
,正三角形ABC的边长为6,E,F分别是边AB,AC上的点,且AExAB=,AFyAC=,其中(),0,1xy,N为BC的中点.(1)若13y=,求BFAN;(2)设M为线段EF的中点,若1xy+=,求M
N的最小值.21.已知0,2,xR,函数()()222()coscossinfxxxx=++−+.(1)求函数()fx的奇偶性;(2)是否存在常数,使得对任意实数x,()2fxfx=−恒成立;如果存在,求出
所有这样的;如果不存在,请说明理由.22.如图,某湖有一半径为1百米的半圆形岸边,现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距2百米的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准
确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满足ABACBC==,设AOB=.(1)当3=,求四边形OACB的面积;(2)当为何值时,线段OC最长并求出此时的最大值.高一数学考试答案及评分标准一、单项选择题1-5:DCCBC6-
8:AAB二、多项选择题9.ABC10.BD11.ABC12.BCD三、填空题13.114.23i−−15.M为直线AD上任一点均可16.139;0四、解答题:17.解:(1)因为,为锐角,则cos0
,sin0,cos0,则23cos1sin5=−=,sin4tancos3==,而tan()tantantan()21tan()tan+−=+−==++.(2)由sinta
n2cos==,22sincos1+=得:2sin55=,5cos5=,则35425115cos()coscossinsin555525−=+=+=.18.解:(1)方案一:
选择条件①由22522bcbc+=−=,解得64bc==,则22212cos3616264644abcbcA=+−=+−−=,则8a=.方案二:选择条件②∵1cos4A=−,∴15sin4A=,又∵115sin31528ABCSbcAbc===△,∴24bc=,由
242bcbc=−=,解得64bc==,∴22212cos3616264644abcbcA=+−=+−−=,则8a=.方案三:选择条件③∵cos6bAABACc=−=,1cos4A=−;∴24bc=,
由242bcbc=−=,解得64bc==,∴22212cos3616264644abcbcA=+−=+−−=,则8a=.(2)在ABC△中,由余弦定理得:22211cos
216acbBac+−==,因为8a=,3BDDC=,则6BD=.在ABD△中,由余弦定理得:2222cos19ADABBDABBDB=+−=,则19AD=.19.解:(1)当E与A重合,F是BC中点时,线段EF将正ABC△分成面积相等的两部
分.证明:易证ABFACF△△,所以ABF△和ACF△的面积相等,此时线段EF将正ABC△分成面积相等的两部分.(此题答案不唯一,其它合理表述和解法类似给分)(2)线段EF的两端点都在ABC△的边上,不妨设点E在线段AB上,点
F在线段AC上.设AEm=,AFn=,∴13sin6024AEFSmnmn==△,由(1)知3ABCS=△,由12AEFABCSS=△△得2mn=.在AEF△中,由余弦定理得:222222cos60EFAEAFAEAFmnmnmn=+−=+−,(当
且仅当“2mn==”时取等号),故min2EF=,综上,当点E在线段AB上,点F在线段AC上,且22AEAFABAC==时,线段EF将正ABC△分成面积相等的两部分.(此题答案不唯一,其它合理表述和解法类似给分)(3)如:①在正ABC△内画一
条线段EF,端点E,F都在ABC△的边上,并将ABC△分成面积相等的两部分,求此时三角形的周长的最小值;在正ABC△内画一条线段EF,端点E,F都在ABC△的边上,并将ABC△分成的一个三角形和一个四边形,若它们的周长相等,求此时三角形的面积的最大值.(此题答案不唯一,其它合理表述和解法类
似给分)20.解:【法一(基底法)】(1)当13n=时,13BFAFABACAB=−=−,1()2ANABAC=+,111223BFANABACACAB=+−22111236ABABA
CAC=−−+18=−.(2)11()()22AMAEAFxAByAC=+=+,1()2ANABAC=+,则1112222xyxxMNANAMABACABAC−−−=−=+=+,则22222(1)424xxxxMNANAMABA
BACAC−−=−=++213324x=−+.当12xy==时,MN的最小值为332.【法二(坐标法)】以BC所在直线为x轴,其中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则()0,0N,()3,0B−,()0,33A,()3,0C,(1)由13AFAC=,得()1,23
F,则()0,33AN=−,()4,23BF=,18ANBF=−.(2)∵AExAB=,AFyAC=,∴(3,3333)(3,33)Exxxy−−=−,(3,3333)(3,33)Fyyyx−=,M为线段EF的中点,则333()
,22Mxy−+,则22927927()(21)4444yxxMN=−+=−+,当12xy==时,MN的最小值为332.21.解:(法一)(1)定义域是xR,222()cos()cos()sin()fxxxx−=−++−−+−222cos()cos()sin()xxxfx
=−+++=,∴函数()fx是偶函数.(2)∵()2fxfx=−,∴222222cos()cos()sinsin()sin()cosxxxxxx++−+=−+++,移项得:cos(22)cos(22)cos20xxx−++−=,展开得:cos2(2cos
21)0x−=,对于任意实数x上式恒成立,只有1cos22=.∵02,∴6=.(法二)1cos(22)1cos(22)1cos2()222xxxfx+++−−=++3cos2(2cos21)2
x+−=.(1)定义域是xR,∵3cos(2)(2cos21)3cos2(2cos21)()()22xxfxfx+−−+−−===,∴该函数在定义域内是偶函数.(2)由()2fxfx=−恒成立得:3cos2(2cos21)3cos2(2cos2
1)222xx+−−+−=3cos2(2cos21)2x−−=,化简可得:cos2(2cos21)0x−=对于任意实数x上式恒成立,则1cos22=,∵02,∴6=.22.解:(1)在OAB△中,由余弦定理得:2222cos14212cos33ABOAOBO
AOB=+−=+−=,于是四边形OACB的面积为213sin24AOBABCSSSOAOBAB=+=+△△133353122244=+=.(2)当0时在OAB△中,由余弦定理得2222cosABOAOBOAOB=+−14212cos54cos=+
−=−,∴54cosAB=−,∴54cosAC=−,在OAB△中,由正弦定理得sinsinABOBOAB=,即sinsinsin54cosOBOABAB==−,又OBOA,所以OAB为锐角,∴22coscos1sin54cosOABOAB−
=−=−,∴coscoscoscossinsin333OACOABOABOAB=+=−2cos3sin254cos254cos−=−−−,在OAC△中,由余弦定理得:2222cosOCOAACOACAOAC=+−2cos
3sin454cos2254cos254cos254cos−=+−−−−−−523sin2cos54sin6=+−=+−.则当23=时,OC的最大值为3.当0=时,由余弦定
理得:22222cos11211cos33OCOBBCOBBC=+−=+−=,此时,33OC=,当=时,1233COCACB=+,2214473CACACBCBCO=++=,此时,73OC=,综上,
当23=时,OC的最大值为3.