【文档说明】江苏省镇江市2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含答案.docx，共(10)页，593.060 KB，由小赞的店铺上传

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镇江市2020-2021学年高一下学期期中考试数学2021.04注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答

非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()2,1a=

−，()1,bm=，且ab⊥，那么实数m的值是（）A.12B.12−C.-2D.22.若231aiii+=++，则实数a=（）A.2B.3C.4D.53.已知tan3=−，tan1=，则()tan−的值为（）A.-2B.12−C.2D.124.已知向量a，b满足2a=，1b=，223

ab+=，则向量a与b的夹角为（）A.30B.60C.120D.1505.在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，30B=，3a=，3c=，则sinsinabAB+=+（）A.2B.12C.23D.326.在ABC△中，点P在线段AB上，且4BABP

=，若22cossinCPCACB=+，则cos2=（）A.12−B.12C.14−D.147.今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年.“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的的几何图形，庄严美丽的

国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知C，D为AB的两个黄金分割点，即512ACBDABAB−==.则cosDEC=（）A.514+B.514−C

.512−D.512+8.▲表示一个整数，该整数使得等式34cos40sin40+=▲成立，这个整数▲为（）A.-1B.1C.2D.3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选

对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数3zi=+，则下列结论正确的是（）A.在复平面内，z对应的点在第四象限B.10z=C.复数z和z满足方程26100xx−+=D.2106zi=+10.已知向量a，b，c是三个非

零向量，则下列结论正确的有（）A.若//ab，则abab=B.若//ab，//bc，则//acC.若acbc=，则ab=D.若abab+=−，则ab⊥11.在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AB，则下列结论正确的是

（）A.abB.ABACBABCbcacC.如果A为锐角，i为虚数单位，1cossinzAiB=+，2cossinzBiA=+，则12zzD.sinsinabAB−−12.在ABC△中，内角A

，B，C的对边分别为a，b，c，已知23a=，1sinsin4BC=，1tantan3BC=，D为边AC的中点，则下列结论正确的是（）A.60A=B.若ABC△的周长为423+C.BD的长为7D.若M是BD中点，34AMCM=三、填空题：本题

共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．.13.已知向量a，b是两个不共线的向量，且35OAab=+，47OBab=+，OCamb=+，若A，B，C三点共线，则实数m=__________.14.已知复数z对应的点在复平面第三象限内，

甲、乙、丙三人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：4zz+=−；乙：23zzi−=；丙：7zz=；丁：2zz=.在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z=__________.15.已知正六边形ABCDEF的边长为

1，当点M满足__________时，32BFBM=.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）16.窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美

魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则tanHAB=__________；AGDF的值为__________.四、解答题：本题共6小题，

共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，为锐角，4sin5=，()tan2+=−.（1）求tan的值；（2）求()cos−的值.18.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①213bci+=（i为虚数单位），②ABC△的面积为

315，③6ABAC=−，在ABC△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bc−=，1cos4A=−，__________.（1）求a；（2）在（1）的结论下，若点D为线段BC的一点且3BDDC=，求AD长.19.若ABC△是边长为2的正三角形.请在

ABC△内画一条线段EF，端点E，F都在ABC△的边上，并将正ABC△分成面积相等的两部分.（1）请给出线段EF的一种画法，并证明；（2）如果此时线段EF是所有画法中最短的，求此时该线段的长度；（3）请提出一个类似（2）的问题（不需要解决你提出的问题）.20.如图

，正三角形ABC的边长为6，E，F分别是边AB，AC上的点，且AExAB=，AFyAC=，其中(),0,1xy，N为BC的中点.（1）若13y=，求BFAN；（2）设M为线段EF的中点，若1xy+=，求M

N的最小值.21.已知0,2，xR，函数()()222()coscossinfxxxx=++−+.（1）求函数()fx的奇偶性；（2）是否存在常数，使得对任意实数x，()2fxfx=−恒成立；如果存在，求出

所有这样的；如果不存在，请说明理由.22.如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准

确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足ABACBC==，设AOB=.（1）当3=，求四边形OACB的面积；（2）当为何值时，线段OC最长并求出此时的最大值.高一数学考试答案及评分标准一、单项选择题1-5：DCCBC6-

8：AAB二、多项选择题9.ABC10.BD11.ABC12.BCD三、填空题13.114.23i−−15.M为直线AD上任一点均可16.139；0四、解答题：17.解：（1）因为，为锐角，则cos0

，sin0，cos0，则23cos1sin5=−=，sin4tancos3==，而tan()tantantan()21tan()tan+−=+−==++.（2）由sinta

n2cos==，22sincos1+=得：2sin55=，5cos5=，则35425115cos()coscossinsin555525−=+=+=.18.解：（1）方案一：

选择条件①由22522bcbc+=−=，解得64bc==，则22212cos3616264644abcbcA=+−=+−−=，则8a=.方案二：选择条件②∵1cos4A=−，∴15sin4A=，又∵115sin31528ABCSbcAbc===△，∴24bc=，由

242bcbc=−=，解得64bc==，∴22212cos3616264644abcbcA=+−=+−−=，则8a=.方案三：选择条件③∵cos6bAABACc=−=，1cos4A=−；∴24bc=，

由242bcbc=−=，解得64bc==，∴22212cos3616264644abcbcA=+−=+−−=，则8a=.（2）在ABC△中，由余弦定理得：22211cos

216acbBac+−==，因为8a=，3BDDC=，则6BD=.在ABD△中，由余弦定理得：2222cos19ADABBDABBDB=+−=，则19AD=.19.解：（1）当E与A重合，F是BC中点时，线段EF将正ABC△分成面积相等的两部

分.证明：易证ABFACF△△，所以ABF△和ACF△的面积相等，此时线段EF将正ABC△分成面积相等的两部分.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）（2）线段EF的两端点都在ABC△的边上，不妨设点E在线段AB上，点

F在线段AC上.设AEm=，AFn=，∴13sin6024AEFSmnmn==△，由（1）知3ABCS=△，由12AEFABCSS=△△得2mn=.在AEF△中，由余弦定理得：222222cos60EFAEAFAEAFmnmnmn=+−=+−，（当

且仅当“2mn==”时取等号），故min2EF=，综上，当点E在线段AB上，点F在线段AC上，且22AEAFABAC==时，线段EF将正ABC△分成面积相等的两部分.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）（3）如：①在正ABC△内画一

条线段EF，端点E，F都在ABC△的边上，并将ABC△分成面积相等的两部分，求此时三角形的周长的最小值；在正ABC△内画一条线段EF，端点E，F都在ABC△的边上，并将ABC△分成的一个三角形和一个四边形，若它们的周长相等，求此时三角形的面积的最大值.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类

似给分）20.解：【法一（基底法）】（1）当13n=时，13BFAFABACAB=−=−，1()2ANABAC=+，111223BFANABACACAB=+−22111236ABABA

CAC=−−+18=−.（2）11()()22AMAEAFxAByAC=+=+，1()2ANABAC=+，则1112222xyxxMNANAMABACABAC−−−=−=+=+，则22222(1)424xxxxMNANAMABA

BACAC−−=−=++213324x=−+.当12xy==时，MN的最小值为332.【法二（坐标法）】以BC所在直线为x轴，其中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则()0,0N，()3,0B−，()0,33A，()3,0C，（1）由13AFAC=，得()1,23

F，则()0,33AN=−，()4,23BF=，18ANBF=−.（2）∵AExAB=，AFyAC=，∴(3,3333)(3,33)Exxxy−−=−，(3,3333)(3,33)Fyyyx−=，M为线段EF的中点，则333()

,22Mxy−+，则22927927()(21)4444yxxMN=−+=−+，当12xy==时，MN的最小值为332.21.解：（法一）（1）定义域是xR，222()cos()cos()sin()fxxxx−=−++−−+−222cos()cos()sin()xxxfx

=−+++=，∴函数()fx是偶函数.（2）∵()2fxfx=−，∴222222cos()cos()sinsin()sin()cosxxxxxx++−+=−+++，移项得：cos(22)cos(22)cos20xxx−++−=，展开得：cos2(2cos

21)0x−=，对于任意实数x上式恒成立，只有1cos22=.∵02，∴6=.（法二）1cos(22)1cos(22)1cos2()222xxxfx+++−−=++3cos2(2cos21)2

x+−=.（1）定义域是xR，∵3cos(2)(2cos21)3cos2(2cos21)()()22xxfxfx+−−+−−===，∴该函数在定义域内是偶函数.（2）由()2fxfx=−恒成立得：3cos2(2cos21)3cos2(2cos2

1)222xx+−−+−=3cos2(2cos21)2x−−=，化简可得：cos2(2cos21)0x−=对于任意实数x上式恒成立，则1cos22=，∵02，∴6=.22.解：（1）在OAB△中，由余弦定理得：2222cos14212cos33ABOAOBO

AOB=+−=+−=，于是四边形OACB的面积为213sin24AOBABCSSSOAOBAB=+=+△△133353122244=+=.（2）当0时在OAB△中，由余弦定理得2222cosABOAOBOAOB=+−14212cos54cos=+

−=−，∴54cosAB=−，∴54cosAC=−，在OAB△中，由正弦定理得sinsinABOBOAB=，即sinsinsin54cosOBOABAB==−，又OBOA，所以OAB为锐角，∴22coscos1sin54cosOABOAB−

=−=−，∴coscoscoscossinsin333OACOABOABOAB=+=−2cos3sin254cos254cos−=−−−，在OAC△中，由余弦定理得：2222cosOCOAACOACAOAC=+−2cos

3sin454cos2254cos254cos254cos−=+−−−−−−523sin2cos54sin6=+−=+−.则当23=时，OC的最大值为3.当0=时，由余弦定

理得：22222cos11211cos33OCOBBCOBBC=+−=+−=，此时，33OC=，当=时，1233COCACB=+，2214473CACACBCBCO=++=，此时，73OC=，综上，

当23=时，OC的最大值为3.