【文档说明】天津市第八中学2020-2021学年高一下学期第一次统练数学试卷 含解析.doc，共(10)页，722.500 KB，由小赞的店铺上传

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第一次统一练习一､选择题(本大题共9小题，共36.0分)1.有关向量a和向量b，下列四个说法中：①若0a=，则0a=；②若ab=，则ab=或ab=−；③若//ab，则ab=；④若0a=，则0a−=.其中的正确有（）A.1B.2C.3D.4————B分析：由零向量的定

义、向量的模、共线向量的定义，即可得出结果.解答：由零向量的定义，可知①④正确；由向量的模定义，可知②不正确；由向量共线可知③不正确.故选：B2.给出下列向量等式：①0ABCABC++=；②0ABACBC−−=；③0ACBCAB

−−=其中正确的等式有（）A.0个B.1个C.2个D.3个————C分析：按照向量加法的定义逐项验证即可.解答：①0ABCABCABBCCAACCA++=++=+=,正确；②0ABACBC−−=错误，应为2ABACBCCBBCCBCBC

B−−=−=+=；③0ACBCABACABBCBCBC−−=−−−==正确.故选：C.3.如图，D是ABC的边AB的中点，则向量CD等于（）A.12BCBA−+B.12BCBA−−C.12BCBA−D.12BCBA+————A分析：由平面向量的基本定理，及向量的加减法，即可用基底表

示出CD.解答：因为D是ABC的边AB的中点，所以12CDCBBDBCBA=+=−+.故选：A.点拨：本题主要考查平面向量的基本定理，及加法和数乘，属于基础题.4.向量a=（1，2），b=（2，λ），c=（3，﹣1），且（ab+）∥c，

则实数λ＝（）A.3B.﹣3C.7D.﹣7————B分析：向量a，b，计算可得ab+，再由c和（ab+）∥c，代入向量平行的性质公式计算，即可求解.解答：根据题意,向量=a（1，2），=b（2，λ），则()=

32+ab+，，c=（3，﹣1），且（ab+）∥c,则有()()3132+0−−=，解可得=3−，故选：B.点拨：本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质，属于平面向量常考题型.5.若4m=，6n=，m与n的

夹角为45，则mn等于（）A.12B.122C.122−D.12−————B分析：利用平面向量数量积的定义可求得mn的值.解答：由平面向量数量积的定义可得2cos45461222mnmn===.

故选：B.6.在ABC中，若三内角满足222sinsin3sinsinsinABBCC=−+，则A=（）A.30°B.150°C.60°D.120°————A分析：利用正弦定理化简已知的等式，得到关于,ab及c的关系式，再利用余弦定理表示出cosA，由A为三角形的内角，利用特殊角的

三角函数值即可求出A的度数.解答：根据正弦定理2sinsinsinabcRABC===，化简222sinsin3sinsinsinABBCC=−+得：2223abbcc=−+，即2223bcabc+−=，根据余弦定理得：2223cos22bcaAbc+−==，又A为三角形的内角，30

A=，故选A.点拨：本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cosabcbcA=+−；（2）222cos2bcaAbc+−=，同时还要熟练掌握

运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.7.一艘船以40海里/小时的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的

北偏东30°，0.5小时后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东75，则灯塔S与B之间的距离是（）A5海里B.10海里C.52海里D.102海里————D分析：直接利用正弦定理即可求出.解答：如图所示，140202AB==,由于30BSA

=可解得：45BAS=，由正弦定理得：sin45sin30ABBS=,即20sin45sin30BS=，解得：102BS=.故选：D点拨：解三角形的应用题的解题思路：（1）画出符合题意的图形；（2）把有

关条件在图形中标出；（3）解三角形即可.8.在△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc,且sin:sin:sin3:5:7,ABC=则最大角为（）A.56B.6C.23D.3————C分析：根据正弦定理可得三边的比例关系；由大边对大角可知C最大，利用余弦定理求得余弦值，从

而求得角的大小.解答：sin:sin:sin3:5:7ABC=由正弦定理可得：::3:5:7abc=设3ak=，5bk=，7ck=c最大C为最大角2222222292549151cos2235302abckkkkCabkkk+−+−−====−()0,C23C

=本题正确选项：C点拨：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，涉及到三角形中大边对大角的关系，属于基础题.9.在ABC中，若60A=，1b=，ABC的面积3S=，则sinaA=（）A.2393B.2293C.2633D.33————

A分析：由三角形的面积公式、余弦定理即可得出结果.解答：由三角形的面积公式可得：13sin3424cSbcAc====由余弦定理可得：2111621413132aa=+−==所以13239sin332aA==

故选：A二､填空题(本大题共6小题，共24.0分)10.CDAMBCMB+++=___________.————AD分析：利用向量加法的三角形法则化简可得结果.解答：CDAMBCMBAMMBBCCDAD+++=+++=.故答案为：AD.11.已知平面向量(1,2)a=，

(2,)bm=−，且a//b，则23ab+＝．————(-4,-8)解答：由ab∥，然后根据平面向量共线（平行）的坐标表示建立等式即，求出，然后根据平面向量的坐标运算()232(1,2)3(2,4)4,8ab+=+−−=−−．12.向量()2,3a=r，()1,

2b=−r，则2ab−=___________.————17分析：求出2ab−rr的坐标，利用向量的模长公式可求得结果.解答：()()()22,321,24,1ab−=−−=−rr，因此，()2224117ab−=+−=.故答案为：17.

13.已知单位向量a与b的夹角为4，则2ba+=________________.————5分析：根据题意，先求出ab，再由向量模的计算公式，即可得出结果.解答：因为单位向量a与b的夹角为4，所以1==abrr，2cos42bbaa==，因此2222

221225aaabbb+=++=++=.故答案为：5.点拨：本题主要考查求向量的模，熟记向量模的计算公式即可，属于基础题型.14.在ABC中，若2sinsinsinsin()(n)siABABC+−=，则ABC的形状是________.————直角三

角形分析：由正弦定理的可得，222abc=+，结合勾股定理可判断三角形的形状．解答：解：2s()(sinsinsinii)snnABABC+−=，由正弦定理的可得2()()ababc+−=即222abc=+则ABC为直角三角形，故答案为：直角三角形．点拨：本题主要考察了三

角形的正弦定理及勾股定理的应用，属于基础题．15.设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若2,3sin5sinbcaAB+==，则角C=__________.————23分析：根据正弦定理到35ab=，75ca=，再利用余弦定理得到1cos2C=

−，得到答案.解答：3sin5sinAB=，则35ab=，2bca+=，故75ca=.根据余弦定理：22222294912525cos32225aaaabcCabaa+−+−===−，故23C=.故答案为：23.点拨：本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生

的计算能力.三､解答题(本大题共4小题，共40.0分)16.已知向量()1,0a=，()1,2b=−.（1）求2ab+的坐标；（2）求()aab−.————（1）()1,2；（2）2.分析：运用向量

的坐标运算法则计算即可.解答：（1）因为(1,0),(1,2)ab==−故22(1,0)(1,2)(2,0)(1,2)(1,2)ab+=+−=+−=（2）因为()2,2ab−=−所以()()()()1,02,212022aab−=−=+−=17.已知平面向量()1,ax=，

()()23,bxxxR=+−．（1）若ab⊥，求x的值；（2）若//abrr，求ab−rr.————（1）1−或3；（2）2或25.分析：（1）由平面向量垂直的坐标表示可得出关于x的等式，进而可求得实数x的值；（2）由平面向量共线的坐标表示求得x的值，可求得ab−的坐标，由此可求

得ab−rr.解答：（1）()1,ax=，()23,bxx=+−，且ab⊥，则2230abxx=+−=，整理得2230xx−−=，解得1x=−或3x=；（2）()1,ax=，()23,bxx=+−，且//abrr，

()23xxx−=+，即2240xx+=，解得0x=或2x=−.若0x=，则()1,0a=，()3,0b=，则()2,0ab−=−，此时2ab−=；若2x=−，则()1,2a=−r，()1,2b=−r，则()2,4ab−=−，此时()222425ab−=+−=.综上所述，2a

b−=或25.点拨：本题考查利用平面向量垂直求参数，同时也考查了利用平面向量共线的坐标表示求参数以及利用坐标计算平面向量的模，考查计算能力，属于基础题.18.在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB．（1

）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值————（1）B=60°（2）3,23ac==解答：（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真

理19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＝2bcosC+csinB．（Ⅰ）求tanB；（Ⅱ）若C4=，△ABC的面积为6，求BC．————（Ⅰ）tanB＝2；（Ⅱ）32分析：（I）利用正弦定理化

简已知条件，求得tanB的值.（II）由tanB的值求得,cossinBB的值，从而求得sinA的值，利用正弦定理以及三角形的面积公式列方程，由此求得a也即BC的值.解答：（Ⅰ）∵2a＝2bcosC+csinB，利用正弦

定理可得：2sinA＝2sinBcosC+sinCsinB，又sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，化为：2cosB＝sinB≠0，∴tanB＝2．（Ⅱ）∵tanB＝2，B∈（0，π），可得sinB25=，cosB15=．∴

sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC2212310221055=+=．∴absinAsinB=，可得：a3103221045bb==．又12absin4=6，可得b122a=．∴a321224a=，即218a=，解得BCa=＝32．点拨：本小题主要考

查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.