【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题7.3 复数的四则运算（重难点题型精讲） Word版含解析.docx，共(12)页，490.815 KB，由小赞的店铺上传

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专题7.3复数的四则运算（重难点题型精讲）1．复数的加法运算及其几何意义(1)复数的加法法则设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)复数的加法满足的运算律对任意,,∈C，有①交换律：+=+；

②结合律：(+)+=+(+).(3)复数加法的几何意义在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(

c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.2．复数的减法运算及其几何意义(1)复数的减法法则类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把

满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=

(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.(2)复数减法的几何意义两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复

数的差-对应的向量是-，即向量.如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.3．复数的乘法运算(1)复数的乘法法则设=a+bi

，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+=(ac-bd)+(ad+bc)i.可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中

把换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.(2)复数乘法的运算律对于任意,,∈C，有①交换律：=；②结合律：()=()；③分配律：(+)=+.在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=，=，=.4．复数的除法(

1)定义我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈

R，且c+di≠0).(1)复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.5．|z-z0|(z,z

0∈C)的几何意义设复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是(a,b)，(c,d)，则||=，又复数-=(a-c)+(b-d)i，则|-|=.故||=|-|，即|-|表示复数，在复平面内对应的点之间的距离.6．复数范围内实数系一元二次方程

的根若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根，=；当=0时，方程有两个相等的实根==-；当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复数.7．复数运算的常用技巧(1)复数常见运算小结论①；②

；③；④；⑤.(2)常用公式；；.【题型1复数的加、减运算】【方法点拨】两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实

部相加(减)，所有虚部相加(减).【例1】（2022秋·贵州毕节·高三阶段练习）已知𝑧1=1+i，𝑧2=2−2i，则𝑧1+2𝑧2=（）A．4B．5+3iC．4−3iD．5−3i【解题思路】根据复数加法法则，实部和虚部分别相加即可得出结果.【解答过程】由𝑧

1=1+i，𝑧2=2−2i得，𝑧1+2𝑧2=1+i+2×(2−2i)=5−3i，故选：D.【变式1-1】（2022秋·陕西延安·高三阶段练习）若𝑧−3+5i=8−2i，则𝑧等于（）A．5−3iB．11−7iC．8+7iD．8−7i【解题思路】设复数𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,�

�∈R)，利用复数的加减运算法则，解出a，b，即可得z.【解答过程】设𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈R)，则𝑧−3+5i=𝑎−3+(𝑏+5)i=8−2i，所以{𝑎−3=8𝑏+5=−2，得{𝑎=11𝑏=−7，所以𝑧=11−7i.故选：B.【变

式1-2】（2022春·广西桂林·高一期末）(1+i)+(−2+2i)=（）A．−1+3iB．1+iC．−1+iD．−1−i【解题思路】利用复数的加法运算直接计算作答.【解答过程】(1+i)+(−2+2i)=−1+3i.故选：A.【变式1-3】（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复

数𝑧满足2(𝑧+𝑧)+3(𝑧−𝑧)=2+3i，则𝑧=（）A．12+12iB．12−12iC．2+2iD．2−2i【解题思路】由复数的运算法则与复数相等的概念求解即可【解答过程】设𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈R)，则𝑧=𝑎−𝑏i，所以𝑧+𝑧=

(𝑎+𝑏i)+(𝑎−𝑏i)=2𝑎，𝑧−𝑧=(𝑎+𝑏i)−(𝑎−𝑏i)=2𝑏i，所以2(𝑧+𝑧)+3(𝑧−𝑧)=4𝑎+6𝑏i=2+3i，所以𝑎=12,𝑏=12,𝑧=12+12i.故

选：A.【题型2复数加、减法的几何意义的应用】【方法点拨】(1)向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.(2)利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.【例

2】（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若𝑧1=1,𝑧3=−2+i，则z2=（）A．1+iB．

1－iC．－1+iD．－1－i【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为𝑧1=1,𝑧3=−2+i，所以由复数加法的几何意义可得，𝑧2=𝑧1+𝑧3=1−2+i=−1+i.故选：C.【变式2-1】（2022

·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（）A．√5B．5C．2√5D．10【解题思路】根据复数减法的几何意义求出向量𝐴𝐶⃑⃑⃑

⃑⃑对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出．【解答过程】依题意，𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.故选：B．【变式2-2】（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2�

�,−2+𝑖,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）．A．3+𝑖B．3−𝑖C．1−3𝑖D．−1+3𝑖【解题思路】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．【解答过程】∵𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑＝𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑，∴𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑对应的复数为：1

+2𝑖−2+𝑖=−1+3𝑖，∴点𝐶对应的复数为−1+3𝑖．故选D．【变式2-3】（2022春·高一课时练习）如图，设向量𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑，𝑃𝑄⃑⃑⃑⃑⃑，𝑂𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑所对应的复数为z1，z2，z3，

那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【解题思路】由向量𝑃𝑄⃑⃑⃑⃑⃑+𝑄𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑，结合向量减法运算得𝑃𝑄⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑−𝑂𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑，再由复数的几何意义即可求解

.【解答过程】由题图可知，𝑃𝑄⃑⃑⃑⃑⃑+𝑄𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑，∴𝑃𝑄⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑−𝑂𝑄⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑，∴z1＋z2－z3＝0.故选：D.【题型3复数的乘除运算】【方法点拨

】(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成-1，并将实部、虚部分别合并.(2)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分

母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.【例3】（2023·辽宁·辽宁模拟预测）已知𝑧(1+i)=7+5i，则𝑧=（）A．6−iB．6+iC．3−2iD．12−i【解题思路】根据复数的四则运算和共轭复数的概念即可求

解.【解答过程】因为𝑧=7+5i1+i=(7+5i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−2i2=6−i，所以𝑧=6+i.故选：B.【变式3-1】（2023·湖北·校联考模拟预测）在复平面内，复数𝑧对应的点为(−1,1)

，则𝑧1+i=（）A．−1+iB．−1−iC．iD．1+i【解题思路】由复数𝑧对应的点的坐标得到𝑧=−1+i，利用复数除法法则计算出答案.【解答过程】由题意可知𝑧=−1+i，所以𝑧1+i=−1+i1+i=(−1+i)(1−i

)(1+i)(1−i)=2i2=i.故选：C.【变式3-2】（2022春·陕西榆林·高二期中）已知复数𝑧=−1+2i（i为虚数单位）的共轭复数为𝑧，则𝑧⋅i=（）A．-2-iB．-2+iC．2−iD．2+i【解题思路】先得到𝑧=−1−2i，从而利用复数乘法法

则计算出答案.【解答过程】由题意得：𝑧=−1−2i，故𝑧⋅i=(−1−2i)⋅i=2−i.故选：C.【变式3-3】（2022秋·河北唐山·高三阶段练习）已知复数𝑧满足𝑧̅−i=4+3ii，则𝑧=（）A．3+3iB．3−3iC．−3+3i

D．−3−3i【解题思路】根据复数的运算法则，以及共轭复数的定义进行求解即可.【解答过程】因为𝑧̅−i=4+3ii，所以𝑧̅=(4+3i)(−i)i⋅(−i)+i=3−4i+i=3−3i，则𝑧=3+3i.故选：A.【题型4虚数单位i的幂运算的

周期性】【方法点拨】根据虚数单位i的幂运算的周期性，进行求解即可.【例4】（2022·云南红河·校考模拟预测）已知i为虚数单位，则i20231−i=（）A．−12+12iB．12−12iC．12+12iD．1−i

【解题思路】利用复数的除法运算和乘方运算，进行化简、整理，即可得答案．【解答过程】i20231−i=i2020⋅i31−i=(i4)505⋅i31−i=−i1−i=−i(1+i)(1−i)(1+i)=12−12i

．故选：B．【变式4-1】（2022春·湖北十堰·高一阶段练习）i2022=（）A．−1B．1C．−iD．i【解题思路】根据i的周期性，计算即可得到结果.【解答过程】因为i=i,i2=−1,i3=−i,i4=1,i5=i则i2022=(i4)505⋅i2=−1故选:

A.【变式4-2】（2022·全国·高一假期作业）设i是虚数单位，则i+i2+i3+⋯+i2022的值为（）A．i+1B．i−1C．iD．0【解题思路】利用i𝑛的周期性求解，连续4项的和为0.【解答过程】i+i2+i3+i4=0，i

𝑛的取值周期为4，连续4项的和为0，所以i+i2+i3+⋯+i2022=i−1，故选:B.【变式4-3】(1+i1−i)2005=（）A．iB．−iC．22005D．−22005【解题思路】先利用复数除法

化简1+i1−i=i，再结合i的乘方的周期性，可得解.【解答过程】(1+i1−i)2005=[(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)]2005=(2i2)2005=i2005=i4×501+1=i.故选：A.【题型5解复数方程】【方法点拨】实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a+bi

(a,b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a-bi是该方程的另一根，据此进行求解即可.【例5】（2022·重庆江北·校考一模）已知复数1+i是关于𝑥的方程𝑥2+𝑚𝑥+2=0的一个根，则实数𝑚的值为（）A．−2B．2C．−4D．4【解题思路】根据1+i是关

于𝑥的方程𝑥2+𝑚𝑥+2=0的一个根，代入计算即可求解.【解答过程】因为1+i是关于𝑥的方程𝑥2+𝑚𝑥+2=0的一个根，所以(1+i)2+𝑚(1+i)+2=0，即𝑚+2+(𝑚+2)i=0，所以𝑚+2=0，解得：�

�=−2，故选：A.【变式5-1】（2022秋·宁夏石嘴山·高三期中）已知复数1+i（i为虚数单位）为实系数方程𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0的一根，则𝑝+𝑞=（）A．4B．2C．0D．−2【解题思路】将1+i代入方程中，根据复数相等

的充要条件即可求解.【解答过程】因为1+i是方程𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0的根，所以(1+i)2+𝑝(1+i)+𝑞=0⇒𝑝+𝑞+(2+𝑝)i=0，∵𝑝,𝑞∈R，∴𝑝+𝑞=0且2+𝑝=0，故选：C.【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知𝜔是方程𝑥2+

𝑥+1=0的虚数根，则1+𝜔+𝜔2+⋯+𝜔2023=（）A．0B．±1C．12±√32iD．−12±√32i【解题思路】由题设有𝜔2+𝜔+1=0且𝜔=−1±√3i2，将目标式化简为1+𝜔，即可得结果.【解答过程】由题设𝜔2+𝜔+1=0

，且𝜔=−1±√3i2，而1+𝜔+𝜔2+⋯+𝜔2023=(1+𝜔)+𝜔2(1+𝜔+𝜔2)+⋯+𝜔2021(1+𝜔+𝜔2)=1+𝜔，所以原式等于12±√32i.故选：C.【变式5-3】（2022秋·上海宝山·高二阶段练习）若1+

√2i是关于𝑥的实系数方程𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的一个复数根，则（）A．𝑏=2，𝑐=3B．𝑏=2，𝑐=−√3C．𝑏=−2，𝑐=−√3D．𝑏=−2，𝑐=3【解题思路】由一元二次方程求根公式即可建立方程组{−𝑏2=1𝑏2−4𝑐4=−2求解【

解答过程】方程的根为𝑥=−𝑏±√𝑏2−4𝑐2=−𝑏2±√𝑏2−4𝑐4，1+√2i为其中一个复数根，则有{−𝑏2=1𝑏2−4𝑐4=−2，解得{𝑏=−2𝑐=3.故选：D.【题型6四则运算下的复数概念】【方法点拨】先根据复数的

四则运算法则进行化简复数，再结合复数的有关概念，进行求解即可.【例6】（2022·江苏常州·校考模拟预测）已知复数𝑧是纯虚数，1+𝑧1+i是实数，则𝑧=（）A．－iB．iC．－2iD．2i【解题思路】由题意设𝑧=𝑏i(𝑏∈R)，代入1+𝑧1

+i中化简，使其虚部为零，可求出𝑏的值，从而可求出复数𝑧，进而可求得其共轭复数.【解答过程】由题意设𝑧=𝑏i(𝑏∈R)，则1+𝑧1+i=1+𝑏i1+i=(1+𝑏i)(1−i)(1−i)(1+i)=(1+𝑏)+(𝑏−1)i2，因为1+𝑧1

+i是实数，所以𝑏−1=0，得𝑏=1，所以𝑧=i，所以𝑧=−i，故选：A.【变式6-1】（2023秋·江西抚州·高三期末）已知复数𝑧满足(3+i)𝑧=4−2i，则复数𝑧=（）A．1−iB．1+iC．2+iD．2−i【解题思路】根据题意，由复数的运算即可得

到𝑧，再由共轭复数的定义即可得到结果.【解答过程】因为复数𝑧满足(3+i)𝑧=4−2i，则𝑧=4−2i3+i=(4−2i)(3−i)(3+i)(3−i)=10−10i10=1−i，所以𝑧=1+i，故选:B.【变式6-2】（2023秋·江苏扬州·高三期末）若i为虚数单位

，复数z满足𝑧(1+i)=|3+4i|−i，则z的实部为（）．A．−3B．3C．−2D．2【解题思路】通过条件计算出复数z的代数形式，即可得实部.【解答过程】𝑧(1+i)=|3+4i|−i=√32+42−i=5−i，则𝑧=5−i1+i=(5−i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−6i2=

2−3i，则z的实部为2.故选：D.【变式6-3】在复平面内，复数𝑧=2i−2i（）A．位于第一象限B．对应的点为(2,−2)C．|𝑧|=2D．是纯虚数【解题思路】根据复数的除法运算化简𝑧=4i，

根据复数的相关概念一一判断各选项，即得答案.【解答过程】由题意可得𝑧=2i−2i=2i−2ii2=2i+2i=4i，故复数𝑧=2i−2i对应的点为(0,4)，位于y轴正半轴上，故A,B错误；|𝑧|=√02+42=

4，C错误；𝑧=4i为纯虚数，D正确，故选：D.