【文档说明】【6】2023高考数学基础强化专题训练（六）（参考答案）.doc，共(24)页，7.522 MB，由小赞的店铺上传

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（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）12023高考数学基础强化专题训练（六）函数与导数1.（深圳市6校联盟2022—2023学年⾼三10⽉质量检测）2.（湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）函数()xxfxxeex=−−的大于0的零点为a，函

数()lnlngxxxxx=−−的大于1的零点为b，下列判断正确的是（提示：ln31.1）（）A.abe=B.lnabe=C.111ab+=D.23b【答案】AC【解析】【分析】根据题意可知()()0fxgx==，即可计算得出A，B答案.再将计算结果代入11ab+化简即可得出C.最后根据()

gx单调性即可判断出零点区间.【详解】根据题意可知=0,>0lnln=0,>1aaaeeaabbbbb−−−−，即=lnlnaaaeeabbbb−−−−将abe=带入等式，等式成立，故A正确.因abe=

，所以lnlnabea==，故B错误.11lnlnlnbbbbbb++=,因为lnln=0ln=ln+bbbbbbbb−−，所以ln1lnbbbb+=，故C正确.()1=lngxxx−在(1,3)先小于0，后大于0，故()gx在(1,3)先减后增，()1=1g−，

()3<0g，所以()gx在(1,3)没有零点，故D错误.（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）2故选:AC3.（辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）4.（深圳市宝安区202210月高三数学试卷）（参考答案

）2023高考数学基础强化专题训练（六）3高等数学背景下的导数压轴题文/刘蒋巍（根的存在性定理）：如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，且0)()(bfaf，那么在开区间),(ba内至少有一点，使0)(=

f问题1：设函数)ln()(mxxxf+−=，其中常数m为整数.（1）当m为何值时，0)(xf（2）当1m时，方程0)(=xf在],[2mememm−−−内有两个实数根.分析：解答本题第（2）问的实质是应用根的存在性定

理。（凸函数的性质）：设函数)(xf在闭区间],[ba上连续，在),(ba内具有一阶和二阶导数，如果0)(xf，那么)(xf在],[ba上的图像是严格下凸的；反之，如果0)(xf，那么)(xf在],[ba上的图像是严格上凸的。问题2：已知函数axexxxf−−+=11)(（1）设

0a，讨论)(xfy=的单调性；（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）4（2）若对任意)1,0(x，恒有1)(xf，求a的取值范围.分析：本题主要考察利用导数的方法判断函数的单调性、左端点求右极限的知识。在此基础上结合严格上凸函数图像的特性，根据求使不等式成立的条件，进而求出的

取值范围。（两个不等式）：（nm）其对数形式：2lnlnabababab+−−（0ab），又等价于：baababab+−−2lnln1（0ab）引申：当Nk时，kkkkkkkk1)1(1ln)1ln()1(211+−+++

+，则===−++nknknkkkkk1111]ln)1[ln(11，即：==++nknkknk111)1ln(11，不难发现调和级数是发散的。问题3：已知函数axexfx−=)(，其次0a，在函数)(xf的图像上取两定点))(,(11xfxA

，))(,(22xfxB（21xx），记直线AB的斜率为k，证明：存在),(210xxx，使kxf=)(恒成立.分析：,令,由不等式：（nm），可知：,因为21xx，所以，，,考虑到函数的连续性，由零点存在定理，命题得证！问题4：设函数2)(−−=axexfx，求

)(xf的单调区间。答案：（1）当0a时，函数)(xf在),(+−上递增；（2）当0a时，函数)(xf在),(ln+a上递增，在)ln,(a−上递减。请读者自作。（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）5☆关于cbxax

xmxf+++=2ln)(（0m）类型函数的压轴题设))(,(11xfxA，))(,(22xfxB（21xx）是函数cbxaxxmxf+++=2ln)(（0m）图像上任意两点，记直线AB的斜率为k，则bxxaxxxxmk+++−−=)(lnln121212；而函数)(xf在

212xxx+=处的导数bxxaxxmxxf++++=+)(2)2(121212，则0)]2([12+−xxfkm恒成立.问题5：已知函数xaaxxxf)2(ln)(2−+−=（1）设0a，证明：当ax10时，)1

()1(xafxaf−+（2）若函数)(xfy=的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：0)(0xf分析：（1）将1=m，xax−=11，xax+=12代入到0)]2([12+−xxfkm中，得：0)1()1()1()1()1(=−−+−−+afxaxaxa

fxaf，即：02)1()1(−−+xxafxaf，所以)1()1(xafxaf−+（2）将1=m，0=k，2210xxx+=代入到0)]2([12+−xxfkm中，得：0)(0xf问题6：设函数1ln)(−+=xxxf，证明：当1x时，)1(23)(−xxf分

析：231111111lnln1)1()(++++−−=−−xxxxxxfxf，从而)1(23)(−xxf引申：当211xx时，23111lnln)()(12211212121212++++−−=−−xxxxxxxxxxxxxfx

f拓展：当然，本题还可以使用拉格朗日中值定理求解。（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）6232111111lnln1)1()(21+=−−+−−=−−xxxxxfxf，其中x21,1问题7：设函数xaxxxfln1)(−−=，若)(xf的两个极

值点1x和2x，记过点))(,(11xfxA，))(,(22xfxB的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得ak−=2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。分析：222111)(xaxxxaxxf+−=−+=，0x，令1)(2+−=axxxg，42−=a，因为)(xf的两

个极值点1x和2x，所以方程0)(=xg在),0(+上有两个相异实根，则042−=a且0a，得：2a易得：121=xx，12121212211212lnln2lnln11)()(xxxxaxxxxaxxxxxfxfk−−−=−−−+=−−=若a

k−=2，则1lnln1212=−−xxxx，又因为11lnln211212=−−xxxxxx，所以11，矛盾！所以不存在符合条件的实数a.问题8：已知函数xxexf−=)(（+Rx），若21xx，且

)()(21xfxf=，证明：221+xx分析：xxxf−=ln)(ln，因为)()(21xfxf=，所以1lnln1212=−−xxxx又因为2112122lnlnxxxxxx+−−，所以221+xx☆常见的对数不等式：)1(21lnxxx−，（

10x）；)1(21lnxxx−，（1x）；1)1(2ln+−xxx，（10x）；1)1(2ln+−xxx，（1x）.构造函数1)1(2ln)(+−−=xxxxf（1x），显然0)1()1()1(41)(222+−=+−=xxxxxxf，（参考答案）2023高考数学基础强

化专题训练（六）7所以0)1()(=fxf，即：1)1(2ln+−xxx，（1x）不妨设021xx，令21xxx=，则1)1(2ln212121+−xxxxxx，即：2121212lnlnxxxxxx+−−问题9：已知函数mxxxf−=ln)(（Rx）若函数)(xf有两个不同的零

点1x，2x，求证：221exx分析：因为函数)(xf有两个不同的零点1x，2x，所以0lnln2211=−=−mxxmxx，则)(lnln2121xxmxx+=+，2121lnlnxxxxm−−=，所以，2)(lnlnlnln21212121

+−−=+xxxxxxxx，即221exx问题10：已知函数xxaaxxfln)21()(2−−+=（Ra）记函数)(xfy=的图像为曲线C，设点),(11yxA，),(22yxB是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N。试问：曲线C在点N处的切

线是否平行于直线AB？并说明理由。答案：不平行。请读者自作。问题11:若10x时，)3(11ln3xxkxx+−+恒成立，求k的最大值.命题背景：xx−+11ln的泰勒展开式为...)12...3(211ln123+++++=−++nx

xxxxn当10x时，)3(...)12...3(23123xxknxxxn+++++++则kxxnxxn+++++++3...)12...5(223125，23...)12...5(2lim31250−++++++→kxxnxxnx，即：20−k，2k（参考答案）202

3高考数学基础强化专题训练（六）8一类高考导数压轴题原创题（2023届）（1稿）问题1：已知定义在R上的函数)(xf，其导函数为)(xg,且满足1)()(2+xgxxf，求证：2)0()(xfxf−修正为：（2稿）问题1：已知定义在R上的函数)(xf，

其导函数为)(xg,且满足1)()(2+xgxxf，求证：2)]0()([2xfxfx−（1稿）问题2：已知定义在R上的函数)(xf，其导函数为)(xg,且满足)(21)]()([tanxfxfx

gx−−，求证：1)0(cos)(sin++xfxxfx修正为：（2稿）问题2：已知定义在R上的函数)(xf，其导函数为)(xg,且满足xxfxfxgxcos)](21[)]()([sin−−，求证：1)0(cos)(

sin++xfxxfx问题3：已知定义在R上的函数)(xf，其导函数为)(xg,且满足))]((21[)]()([)(xxxxeexfxgxfee−−+−+−，求证：]1)0([2)()()(−+−−−−xfeexfeexxxx注：以上3个问题为我们研究中发现的“副产品”

，有深刻的出题背景。供大家探究。说明：问题1，问题2的1稿有误，已在2稿修正。主要问题是1稿的结论两边不能同除以x；2稿的条件，两边不能同除以xcos。命题很难一步到位，难免会出错误。保留1稿，并说明修正的问题，也是科学的研究态度。（刘蒋巍提供）（参考答案）202

3高考数学基础强化专题训练（六）9三角函数1.(深圳市6校联盟2022—2023学年⾼三10⽉质量检测)2.(2022·江苏苏州期中)(本题满分12分)在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD＝4．(1)若D为A

B的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；(2)若BD＝2AD，求△ABC的面积．【考点】解三角形的综合应用【解析】（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）10解：(1)∵在等腰直角

三角形ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，CD＝4，∴CD＝DB＝4，∠CDB＝90°，CB＝42，…………………………………2分∵三角形CDE的面积为4，∴12CD·CEsin∠DCE＝4，∠DCE＝45°，即：12×4×CE×22＝

4，解得CE＝22，CB＝42．∴E为CB中点．………………………………………………………………4分(2)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BD＝2AD，∴→CD＝→CB＋→BD＝→CB＋23→BA＝→CB＋23(→CA－

→CB)＝23→CA＋13→CB，………8分∵CD＝4，将上式两边平方得16＝49CA2＋19CB2，解得CA2＝1445，故12CA2＝725∴△ABC的面积为725．……………………………………………………12分解析几何1.（成都七中2022-2023高三上半学期文数

试题）（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）112.（极点极线）已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，下顶点为A，直线AF1与椭圆的另一个交点为B，△ABF2的周长为8，直线AF1被圆O:x2+y2=b2截得的弦长为3.(

I)求椭圆C的方程；(II)若过点P(1,3)的动直线与圆相交于不同的两点C，D，在线段CD上取一点Q满足-λ，λ，λ≠0且λ≠±1.求证：点Q总在某定直线上。分析：（1）13422=+yx（2）QDQCPDPC==，所以P、Q关于圆O：32

2=+yx调和共轭。所以，点Q的轨迹是点P的极线33=+yx变式：把条件"动直线l与圆O相交于两个不同点C,D"改为"动直线l与椭圆相交于两个不同点C,D"，其他条件不变，求证:点Q在某定直线上。（参考答

案）2023高考数学基础强化专题训练（六）12分析：QDQCPDPC==，所以P、Q关于椭圆C调和共轭。所以，点Q的轨迹是点P的极线13341=+yx，44=+yx（变式题由刘蒋巍提供）排列组合1．(2022·江苏连云港期中)(多选题)已知数据x1，x2，…，x60的平均数为a

，方差为b，中位数为c，极差为d．由这组数据得到新数据y1，y2，…，y60，其中yi＝2xi＋1(i＝1，2，…，60)，则A．新数据的平均数是2a＋1B．新数据的方差是4bC．新数据的中位数是2cD．新数据的极差是2d【答案】ABD【考点】统计中平均数、方差、中位数、

极差的计算【解析】由题意可知，对于选项A，数据x1，x2，…，x60的平均数为a，则新数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x60＋1的平均数为2a＋1，故选项A正确；对于选项B，数据x1，x2，…，x60的方差为b，则新数据

y1，y2，…，y60的方差为4b，故选项B正确；对于选项C，数据x1，x2，…，x60的中位数为c，则新数据y1，y2，…，y60的中位数为2c＋1，故选项C错误；对于选项D，数据x1，x2，…，x60的极差为d，则新数据y1，y2，…，y60的极差为2d，故选项D正确；综上，答

案选ABD．2.(2022·江苏金陵中学期中)移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到2×2列联表如下∶35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付4050不使用移动支付40（参考答案）20

23高考数学基础强化专题训练（六）13合计100（1）将上2×2列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄

都低于35岁（含35岁）的人数为X，求X的分布列及期望.2(,)PKk0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001K0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：

22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++（其中n=a+b+c+d）【答案】（1）列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：125.【解析】【分析】（1）根据题设数据补全列联表，利用2K公式计算卡方

值，并与临界值比较即得解；（2）由题意，X服从超几何分布，计算概率，列出分布列，计算期望即可.【详解】（1）根据所给数据得到如下2×2列联表∶35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付401050不使用移动支付104050合计5050100根据公式可得22100(40401

010)362.70650505050K−==（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）14所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2）根据分层抽样知35岁以下

（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，则X的可能为1，2，3，12823108(1)120CCPXC===，211231056(2),120CCPXC===3831056(3)120CPXC===其分布列为X123P812056120561208565612()12312012

01205EX=++=统计概率1.(2022·江苏南通海安市期中)已知某校高三女生的身高X(单位：cm)近似地服从正态分布N(163，52)．若随机选择一名该校的女生，则P(X≤168)＝．注：

若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827【答案】0.84135【解析】【分析】根据正态曲线的对称性先求出P(163≤X≤168)的概率，由，可得答案.【详解】由题意可得正态分布N(163，52)中μ＝163，σ＝5，所以所

以（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）15故答案为：0.841352.(2022·江苏南通如东县期中)(本小题满分12分)已知(x2＋2x)m的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12．(1

)求m的值；(2)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；(3)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．【考点】二项式定理展开式的应用、概率求解【解析】(1)展开式的通项为Tr+1＝Crm2rx2m－5r2，∴展开式中第4项的系数为C3m23，倒数第4

项的系数为Cm－3m2m－3，∴C3m·23Cm－3m·2m－3＝12，即12m－6＝12，∴m＝7．(2)令x＝1，可得展开式中所有项的系数和为37＝2187，展开式中所有项的二项式系数和为27＝128．(3)展开式共有8项，由(1)可得当2m－5r2为整数，即r＝0，2，4，6时为有理项

，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为A44A45A88＝114．立体几何1.（湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，点E，F分别为棱，1BB上的动点，且满足

1DEBF=，则以下命题正确的有（）1DD（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）16A.三角形1AEF的面积始终保持不变B.直线1AC始终在平面1AEF内C.三棱锥11CAEF−的体积始终不变D.直

线1CA可能与平面1AEF垂直【答案】BC【解析】【分析】取特值计算判断A；证明点1,,,AECF共面判断B；利用等体积法推理判断C；利用反证法推理判断D作答.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，对于A，当F为1BB的中点时，点E必为1DD的中点，221111

125AEAFABBB==+=，而42EF=，1AEF底边EF上的高2211=()=232dAFEF−，11==462AEFSEFd，当点F与点B重合时，点E与点1D必重合，此时1AEF必为直角三角形，111=90

,=4,=42EAFAEAF，1AEF的面积为111=822AEAF，显然两种情况下1AEF的面积不同，A不正确；对于B，在棱1CC上取点G，使11CGDE=，连接1,BGEG，如图，（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）17因11//CCDD，则四边形11CDEG是平

行四边形，有11111111////,EGCDABEGCDAB==，四边形11BAEG是平行四边形，则有11//AEBG，因1DEBF=，于是得1CGBF=，而1//CGBF，即四边形1BFCG是平行四边形，则有11////CFBGAE，因此

点1,,,AECF共面，直线1AC始终在平面1AEF内，B正确；对于C，由选项B知，11////CFBGAE，11CFBGAE==，则四边形1AECF为平行四边形，11=AEFAFCSS，而三棱锥11CAEF−与三棱锥11CAFC−同高，因

此11111113111111111====()=3326CAEFCAFCACFCCFCVVVSABCCBCABAB−−−是定值，C正确；对于D，显然正方体1111ABCDABCD−的对角面11ACCA是矩形，且1>ACAA，因此1AC与1AC不垂直，若直线1AC

与某个位置的平面1AEF垂直，由B选项知，1AC平面1AEF，则必有11ACAC⊥，矛盾，于是得直线1AC不可能与平面1AEF垂直，D不正确.故选：BC2.（辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）（参考答案）20

23高考数学基础强化专题训练（六）18（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）19数列1.（湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）数列na满足1=2a，24a=−，且对任意正整数n，有2121nnnaaa++=−+，则na的最小值为（

）A.16−B.17−C.18−D.19−【答案】D【解析】【分析】构造法求1nnaa+−的通项公式，再用累加法求出na的通项公式即可求解.【详解】由2121nnnaaa++=−+得，2111nnnnaaaa

+++−=−+，即()()2111nnnnaaaa+++−−−=，所以数列1nnaa+−是以216aa−=−为首项，1为公差的等差数列，所以16(1)7nnaann+−=−+−=−，所以()()()21321(1)(68)6(5

)82nnnnaaaaaan−−−+−−+−++−=−+−++−=LL，（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）20所以21(1)(68)151422nnnnnaa−−+−−+−==，所以2215181159222nnnann−+==−+，对称轴

0157.52n==，所以当7n=或8时，na有最小值为19−.故选:D.2.（辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）213.（深圳市宝安

区202210月高三数学试卷）（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）22【二阶常系数线性齐次递推式】递推式nnnqapaa+=++12（p,q为常数，0q）是一种非常重要的递推关系，我们把

这样的递推式称为：二阶常系数线性齐次递推式。把对应于二阶常系数线性齐次递推关系nnnqapaa+=++12的方程qpxx+=2称为其特征方程，方程的根称为数列na的特征根。【定理】二阶常系数线性齐次递推关系nnnqapaa+=++12（p,q为

常数，0q），其特征方程为qpxx+=2（1）若特征方程有两个不相等的根,，其通项为nnnBAa+=，其中A，B是待定系数，由初始值来确定。（2）若特征方程有两个相等根,其通项为nnBnAa)(+=，其中A，B是待（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）23定系数，由初

始值来确定。【问题1】已知数列na满足31=a，62=a，nnnaaa3212+=++，求na的通项【问题2】已知数列na满足11=a，22=a，nnnaaa9612−=++，求na的通项【问题3】已知数列na满足10=a，41=a，61412−−=++nnnaaa，求n

a的通项。参考答案：问题1：4)1(331nnna−−=+问题2：nnna394−=问题3：2])32(41)32[(41nnna−++=【递推数列与不动点】利用不动点来求一类分式递推式的通项。【定义】方程xxf=)(的根称为函数)(xf的不动点.利用函数)(xf

的不动点，可将某些递推关系)(1−=nnafa所确定的数列转化为等比数列或等差数列，这种方法称为：不动点法。利用不动点我们可以解决dxcbxaxnnn++=+1（0c，0−bcad）类型的递推式问题。例题：函数32)(

2−−=xxxf，定义数列nx如下：21=x，1+nx是过两点)5,4(P，))(,(nnnxfxQ的直线nPQ与x轴交点的横坐标。求数列nx的通项公式。分析：易得：2341++=+nnnxxx，设234)(++=xxxf，则特征方程为：xxx=++234，化简得：0322=−−xx，它的

两根为：31=x，12−=x，那么21xx.利用“不动点法”法，有：（参考答案）2023高考数学基础强化专题训练（六）24数列+−13nnxx是等比数列，且首项是31−，公比为51，那么1)51()31(13−−=+−n

nnxx解得：153431+−=−nnx