【文档说明】十年（2015-2024）高考真题分项汇编 数学 专题24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题综合 Word版无答案.docx，共(23)页，1.559 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-19cc75cefc2ce613fd584f862ef78938.html

以下为本文档部分文字说明：

专题24圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1第二问求曲线方程（10年6考）2022·天津卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·天津卷2018·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2015·天津卷2015·安徽卷

1.熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及方程的求解，通常大题第一问考查方程求解2.掌握轨迹方程的求解，近年该考点多次考查3.熟练掌握直线方程的求解，会求斜率值或范围4.会弦长等距离的求解，会定值定点定直线的求解

及证明，该内容也是高考命题热点考点2求轨迹方程（10年5考）2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国新Ⅰ卷、2019·全国卷2017·全国卷、2015·湖北卷考点3求直线方程（10年8考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷、2022·全国甲卷、2021·天津卷2020·

天津卷、2018·江苏卷、2017·全国卷、2017·天津卷2015·江苏卷考点4求斜率值或范围（10年6考）2021·全国新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·全国乙卷、2019·天津卷2018·天津卷、2018·天津卷、

2017·天津卷、2017·山东卷2016·山东卷、2016·上海卷、2016·天津卷、2016·全国卷2016·上海卷、2016·天津卷、2015·天津卷、2015·北京卷考点5离心率求值或范围综合（10年7考）202

4·北京卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2020·全国卷2019·天津卷、2019·全国卷、2016·四川卷、2016·浙江卷2015·重庆卷、2015·重庆卷考点6弦长类求值或范围综合（10年6考）2022·浙江卷、2020·北京卷、2019·全国卷、2017·浙江卷20

16·北京卷、2016·全国卷、2015·四川卷、2015·山东卷考点7其他综合类求值或范围综合（10年5考）2024·上海卷、2024·北京卷、2020·北京卷、2020·浙江卷2019·全国卷、2016·

四川卷、2015·四川卷考点8定值定点定直线问题2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2022·全国乙卷2020·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2019·北京卷、2019·北京卷（10年7考）2017·全国卷、2017·北京卷、2017·全国卷、20

16·北京卷2016·北京卷、2015·陕西卷、2015·全国卷考点9其他证明综合（10年9考）2024·全国甲卷、2023·全国新Ⅰ卷、2023·北京卷、2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国新Ⅱ卷、2019·全国卷2018·北京卷

、2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷2017·北京卷、2017·全国卷、2016·四川卷、2016·四川卷2016·江苏卷、2016·全国卷、2016·四川卷、2015·湖南卷2015·全国卷、2015·福建卷考点10圆锥曲线与其

他知识点杂糅问题（10年3考）2024·全国新Ⅱ卷、2018·全国卷、2016·四川卷考点01第二问求曲线方程1．（2022·天津·高考真题）椭圆()222210xyabab+=的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足32BFAB=．(1)求

椭圆的离心率e；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若=OMON，且OMN的面积为3，求椭圆的标准方程．2．（2020·全国·高考真题）已知椭圆C1：22221x

yab+=(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1

与C2的标准方程.3．（2019·全国·高考真题）已知曲线2:,2xCyD=，为直线12y=−上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为,AB.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以50,2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求

该圆的方程.4．（2019·天津·高考真题）设椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知3||2||OAOB=（O为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和

直线l相切，圆心C在直线4x=上，且OCAP∥，求椭圆的方程.5．（2018·全国·高考真题）设抛物线24Cyx=：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，||8AB=．（1）求l的方

程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．6．（2017·全国·高考真题）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点()4,2P−，求直线l与圆M的方程.7．（2

017·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点为(,0)Fc−，右顶点为A，点E的坐标为(0,)c，EFA△的面积为22b.（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，32FQc=，延长线

段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PMQN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程.8．（2015·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)xyabab+=的上顶点为B

,左焦点为F,离心率为55,（Ⅰ）求直线BF的斜率;（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B）,过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与y轴交于点M,||=||PMMQl.（ⅰ）求的值;（ⅱ）若75||

sin9PMBQP=,求椭圆的方程.9．（2015·安徽·高考真题）设椭圆E的方程为()222210xyabab+=，点O为坐标原点，点A的坐标为()0a，，点B的坐标为()0b，，点M在线段AB上，满足2BMMA=，直线OM的斜率为510.（Ⅰ）求E的离心率

e；（Ⅱ）设点C的坐标为()0b−，，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程.考点02求轨迹方程1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点10,2的距离，记动点P的轨迹为W．(1)求W的方程；(2)

已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．2．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点()117,0F−、()21217,02FMFMF−=，，点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设

点T在直线12x=上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且TATBTPTQ=，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.3．（2019·全国·高考真题）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−1

2.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：PQG是直角三角形；（ii）求PQG面积的最大值.4．（2017·全国·高考真题）设O为坐标原点，

动点M在椭圆C22:12xy+=上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM=.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线3x=−上，且1OPPQ=.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.5．（2015·湖北·高考真题）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，

短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且1DNON==，3MN=．当栓子在滑槽AB内做往复运动时，带动绕O转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设动直线l与两定直线1:20lxy−=和2:20lxy+=分别交于,PQ两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．考点03求直线方程1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知(0,3)A和33,2P为椭圆

2222:1(0)xyCabab+=上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求l的方程．2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)xyabab+=的左右顶点分别为12,AA，右焦点为F，已知123,1A

FAF==．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线2AP交y轴于点Q，若三角形1APQ的面积是三角形2APF面积的二倍，求直线2AP的方程．3．（2022·全国甲卷·高考真题）设抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，点(),0Dp，

过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3MF=．(1)求C的方程；(2)设直线,MDND与C的另一个交点分别为A，B，记直线,MNAB的倾斜角分别为,．当−取得最大值时，求直线AB的方程．4．（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210xyabab+=

的右焦点为F，上顶点为B，离心率为255，且5BF=．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若//MPBF，求直线l的方程．5．（2020·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)xyabab+=

的一个顶点为(0,3)A−，右焦点为F，且||||OAOF=，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足3OCOF=，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．6．（2

018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)FF−，圆O的直径为12FF．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直

线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于,AB两点．若OAB的面积为267，求直线l的方程．7．（2017·全国·高考真题）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以

线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点()4,2P−，求直线l与圆M的方程.8．（2017·天津·高考真题）设椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)ypxp=的焦点，F

到抛物线的准线l的距离为12.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若APD△的面积为62，求直线AP的方程.9．（2015·江苏

·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()222210xyabab+=的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平

分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.考点04求斜率值或范围1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点()117,0F−、()21217,02FMFMF−=，，点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线12x=上，

过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且TATBTPTQ=，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.2．（2021·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=一个顶点(0,2)A−，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为45．（1）求椭圆E的方程；（2）

过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交3y=−交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．3．（2021·全国乙卷·高考真题）已

知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9PQQF=，求直线OQ斜率的最大值.4．（2019·天津·高考真题）设椭圆22221(

0)xyabab+=的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若||||O

NOF=（O为原点），且OPMN⊥，求直线PB的斜率.5．（2018·天津·高考真题）设椭圆22221xyab+=(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为(),0b，且62

FBAB=.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：(0)ykxk=与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若52sin4AQAOQPQ=(O为原点)，求k的值.6．（2018·天津·高考真题）设椭圆22221(0)xyabab+=的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为5

3，13AB=．（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)lykxk=与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若BPM△的面积是BPQV面积的2倍，求k的值．7．（2017·天津·高考真题）已知椭圆2

2221(0)xyabab+=的左焦点为(,0)Fc−，右顶点为A，点E的坐标为(0,)c，EFA△的面积为22b.（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，32FQc=，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PMQN，且直线PM与直

线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程.8．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：22221xyab+=()0ab的离心率为22，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如图，动直线l：132yk

x=−交椭圆E于,AB两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为2k，且1224kk=，M是线段OC延长线上一点，且:2:3MCAB=，M的半径为MC，,OSOT是M的两条切线，切点分别为,ST.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.9．（2016·山东·

高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的长轴长为4，焦距为22（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点(0,)(0)Mmm的直线交x轴与点N，交C于点,AP(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂

线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.（ⅰ）设直线,PMQM的斜率分别为12,kk，证明21kk为定值；（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值.10．（2016·上海·高考真题）双曲线2221(0)yxbb−=的左、右焦点分别为12FF、，直线l过

2F且与双曲线交于AB、两点.（1）若l的倾斜角为π2，1FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b=，若l的斜率存在，且11()0FAFBAB+=，求l的斜率.11．（2016·天津·高考真题）设椭圆22

21(3)3xyaa+=的右焦点为F，右顶点为A，已知113||||||eOFOAFA+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若B

FHF⊥，且MOAMAO，求直线的l斜率的取值范围.12．（2016·全国·高考真题）已知椭圆E:2213xyt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，A

MAN=时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2AMAN=时，求k的取值范围.13．（2016·上海·高考真题）双曲线2221(0)yxbb−=的左、右焦点分别为12,FF，直线l过2F且与双曲线交于,AB两点．（1）若

l的倾斜角为2，1FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设3b=，若l的斜率存在，且AB4=，求l的斜率．14．（2016·天津·高考真题）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭

圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且MOAMAO，求直线的斜率的取值范围.15．（2015·天津·高考真题）已知椭圆2222+=1(0)xyabab>>的左焦点

为(,0)Fc−,离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆222+4bxy=截得的线段的长为c，43|FM|=3.（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.16．（2015

·北京·高考真题）已知椭圆C:2233xy+=，过点()D1,0且不过点()2,1的直线与椭圆C交于，两点，直线与直线3x=交于点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若垂直于x轴，求直线

的斜率；（Ⅲ）试判断直线与直线D的位置关系，并说明理由．考点05离心率求值或范围综合1．（2024·北京·高考真题）已知椭圆E：()222210xyabab+=，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()()0,2tt

且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点,AB，过点A和()0,1C的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．(1)求椭圆E的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆22221(0)xyabab+=

的左右顶点分别为12,AA，右焦点为F，已知123,1AFAF==．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线2AP交y轴于点Q，若三角形1APQ的面积是三角形2APF面积的二倍，求直线2AP的方程．3．（2022·天津·

高考真题）椭圆()222210xyabab+=的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足32BFAB=．(1)求椭圆的离心率e；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若=OMON，且OMN的面积为3，求椭圆的标准方程

．4．（2020·全国·高考真题）已知椭圆C1：22221xyab+=(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB

|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.5．（2019·天津·高考真题）设椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知3||2||OAOB=（O为原点）.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线4x=上，且OCAP∥，求椭圆的方程.6．（2019·全国·高考真题）已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两个焦点，

P为C上一点，O为坐标原点．（1）若2POF为等边三角形，求C的离心率；（2)如果存在点P，使得12PFPF⊥，且12FPF△的面积等于16，求b的值和a的取值范围.7．（2016·四川·高考真题）已知数列{na}的首项为1，nS

为数列{na}的前n项和，11nnSqS+=+，其中q>0，*nN.（Ⅰ）若2322,,2aaa+成等差数列，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221nyxa−=的离心率为ne，且253e=，证明

：121433nnnneee−−+++.8．（2016·浙江·高考真题）如图，设椭圆2221xya+=（a＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（Ⅱ）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与

椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.9．（2015·重庆·高考真题）如图，椭圆()222210xyabab+=的左右焦点分别为12,FF，且过2F的直线交椭圆于,PQ两点，且1PQPF⊥.(1)若122PF=+，222PF=−，求椭圆的标准方程.(2)若1P

QPF=，且3443，试确定椭圆离心率的取值范围.10．（2015·重庆·高考真题）如图，椭圆()222210xyabab+=的左、右焦点分别为12,,FF过2F的直线交椭圆于,PQ两点，且1PQPF⊥（1）若1222,22PFPF=+=−，求椭圆

的标准方程（2）若1,PFPQ=求椭圆的离心率.e考点06弦长类求值或范围综合1．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆22112xy+=．设A，B是椭圆上异于(0,1)P的两点，且点0,21Q在线段AB上，直线,PAPB分别交直线132

yx=−+于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD的最小值．2．（2020·北京·高考真题）已知椭圆2222:1xyCab+=过点(2,1)A−−，且2ab=．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B−的直线l交椭圆C于点,MN,直线,MANA分别

交直线4x=−于点,PQ．求||||PBBQ的值．3．（2019·全国·高考真题）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3APPB=，求|AB|．4．（2017·浙江·高考真题）如图

，已知抛物线2xy=.点A1139-2424B，，，，抛物线上的点P（x,y）13-x22＜＜,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求·PAPQ的最大值5．（2016·北京·高考真题）已知椭圆C：

22221xyab+=（0ab）的离心率为32，(,0)Aa，(0,)Bb，(0,0)O，OAB的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：||||ANBM为定值

.6．（2016·全国·高考真题）（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：22(0)ypxp=于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.（Ⅰ）求OHON；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明

理由.7．（2015·四川·高考真题）如图，椭圆E：2222+1(0)xyabab=的离心率是22，过点P（0,1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是

否存在与点P不同的定点Q，使得QAPAQBPB=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.8．（2015·山东·高考真题）平面直角坐标系xoy中，已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，左、右焦点分别是12,FF，以1F为圆心以3为半径

的圆与以2F为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144+=xyEab，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm=+交椭圆E于,AB两点，射线PO交椭圆E于点Q.（i）求OQOP的

值；（ⅱ）求ABQ面积的最大值.考点07其他综合类求值或范围综合1．（2024·上海·高考真题）已知双曲线222Γ:1,(0),yxbb−=左右顶点分别为12,AA，过点()2,0M−的直线l交双曲线Γ于,PQ两点.(1)若离心率2e=时，求b的值．(2)若226,3bMAP

=△为等腰三角形时，且点P在第一象限，求点P的坐标．(3)连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若121ARAP=，求b的取值范围．2．（2024·北京·高考真题）已知椭圆E：()222210xyabab+=，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()()0,2tt

且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点,AB，过点A和()0,1C的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．(1)求椭圆E的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．3．（2020·北京·高考真题）已知椭圆2222:1xyCab+=过点(2,

1)A−−，且2ab=．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B−的直线l交椭圆C于点,MN,直线,MANA分别交直线4x=−于点,PQ．求||||PBBQ的值．4．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆221:12xCy+=，抛物线22:2(0)Cypxp=

，点A是椭圆1C与抛物线2C的交点，过点A的直线l交椭圆1C于点B，交抛物线2C于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若116=p，求抛物线2C的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．5．（2019

·全国·高考真题）已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若2POF为等边三角形，求C的离心率；（2)如果存在点P，使得12PFPF⊥，且12FPF△的面积等于16，求b的值和a的取值范围.6

．（2016·四川·高考真题）已知椭圆E：22221(0)xyabab+=的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：3yx=−+与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l平行于OT，

与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P，证明：存在常数，使得2||||||PTPAPB=，并求的值．7．（2015·四川·高考真题）椭圆2222:1xyEab+=（0ab）的离心率是22，点(0,1)P在短轴CD上，且1PCPD=−．（1）求椭圆E的方程；（2）设O为

坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于,AB两点，是否存在常数，使得OAOBPAPB+为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由考点08定值定点定直线问题1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为

坐标原点，左焦点为()25,0−，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为1A，2A，过点()4,0−的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线1MA与2NA交于点P．证明:点P在定直线上.2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆2222:

1(0)Cbbxaay+=的离心率是53，点()2,0A−在C上．(1)求C的方程；(2)过点()2,3−的直线交C于,PQ两点，直线,APAQ与y轴的交点分别为,MN，证明：线段MN的中点为定点．3．（2

022·全国乙卷·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过()30,2,,12AB−−两点．(1)求E的方程；(2)设过点()1,2P−的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH=．证明：直线HN过定点

．4．（2020·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为22，且过点()2,1A．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN⊥，ADMN⊥，D为垂足．证明：存在定点Q，使得DQ为定值．5．（2020·全国·高考真

题）已知A、B分别为椭圆E：2221xya+=（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，8AGGB=，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.6．（2019·北京·高考

真题）已知椭圆2222:1xyCab+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线:(1)lykxtt=+与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证

：直线l经过定点.7．（2019·北京·高考真题）已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1

分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．8．（2017·全国·高考真题）已知椭圆C：2222=1xyab+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C

的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.9．（2017·北京·高考真题）已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2

作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．10．（2017·全国·高考真题）设O为坐标原点，动点M在椭圆C22:1

2xy+=上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM=.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线3x=−上，且1OPPQ=.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.11．（2016·北京·高考真题）已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的离心率为32，(,

0)Aa，(0,)Bb，(0,0)O，OAB的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：||||ANBM为定值.12．（2016·北京·高考真题）已知椭圆2222:1xyCab+=过点()()2,0,0,

1AB两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．13．（2015·陕西·高考真题）如图，椭圆2222:1(0)xyEabab+=经过点(

0,1)A−，且离心率为22.(I)求椭圆E的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点,PQ（均异于点A），问：直线AP与AQ的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．14．（2015·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=

的离心率为22，点(2,2)在C上（1）求C的方程（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点,AB，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.考点09其他证明综合1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=

的右焦点为F，点31,2M在C上，且MFx⊥轴．(1)求C的方程；(2)过点()4,0P的直线交C于,AB两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQy⊥轴．2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点10,2

的距离，记动点P的轨迹为W．(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．3．（2023·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的离心

率为53，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，||4AC=．(1)求E的方程；(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线2y=−交于点N．求证：//MNCD．4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)xyCa

bab−=的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx=．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点()()1122,,,PxyQxy在C上，且1210,0xxy．过P且斜率为3−的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面

①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQAB∥；③||||MAMB=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆C的方程为22221(0)xyabab+=

，右焦点为(2,0)F，且离心率为63．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线222(0)xybx+=相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是||3MN=．6．（2019·全国·高考真题）已知点A(−2,0)，B(2

,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：PQG是直角三角形；（

ii）求PQG面积的最大值.7．（2018·北京·高考真题）已知抛物线C：2y=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围

；（Ⅱ）设O为原点，QMQO=，QNQO=，求证：11+为定值．8．（2018·全国·高考真题）已知斜率为k的直线l与椭圆22143xyC+=：交于A，B两点，线段AB的中点为()()10Mmm，．（1）

证明：12k−；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且0FPFAFB++=．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．9．（2018·全国·高考真题）设抛物线22Cyx=：，点()20A，，()20B

−，，过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN=．10．（2018·全国·高考真题）设椭圆22:12xCy+=的右焦点为F，过F的直线l与C交于,AB两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设

O为坐标原点，证明：OMAOMB=.11．（2017·北京·高考真题）已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN

于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．12．（2017·全国·高考真题）设O为坐标原点，动点M在椭圆C22:12xy+=上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM=.（1）求点P的轨迹方程

；（2）设点Q在直线3x=−上，且1OPPQ=.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.13．（2016·四川·高考真题）已知椭圆E：22221(0)xyabab+=的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：3yx=−+与椭圆E有且

只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P，证明：存在常数，使得2||||||PTPAPB=，并求的值．14．（

2016·四川·高考真题）已知数列{na}的首项为1，nS为数列{na}的前n项和，11nnSqS+=+，其中q>0，*nN.（Ⅰ）若2322,,2aaa+成等差数列，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221nyx

a−=的离心率为ne，且253e=，证明：121433nnnneee−−+++.15．（2016·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x−y−2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）.（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2,)pp−−；②求p的取值范围.16．（2016·全国·高考真题）已知A是椭圆E：22143xy+=的左顶点，斜率为()0kk的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA⊥.（Ⅰ）当AM

AN=时，求AMN的面积（Ⅱ）当2AMAN=时，证明：32k.17．（2016·四川·高考真题）已知椭圆E：22221xyab+=（a﹥b﹥0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1(3,)2P在椭圆E上.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交

于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.18．（2015·湖南·高考真题）已知抛物线21:4Cxy=的焦点也是椭圆22222:1(0)yxCabab+=的一个焦点，1C与2C的

公共弦的长为26.（1）求2C的方程；（2）过点的直线l与1C相交于，两点，与2C相交于，两点，且AC与BD同向（ⅰ）若ACBD=，求直线l的斜率（ⅱ）设1C在点处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕

点旋转时，MFD总是钝角三角形19．（2015·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，点(2,2)在C上（1）求C的方程（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点,AB，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与

直线l的斜率的乘积为定值.20．（2015·福建·高考真题）已知点F为抛物线2:2(0)Eypxp=的焦点，点(2,)Am在抛物线E上，且3AF=．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G−，

延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．考点10圆锥曲线与其他知识点杂糅问题1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线()22:0Cxymm−=，点()15,4P在C上，k

为常数，01k．按照如下方式依次构造点()2,3,...nPn=：过1nP−作斜率为k的直线与C的左支交于点1nQ−，令nP为1nQ−关于y轴的对称点，记nP的坐标为(),nnxy.(1)若12k=，求22,xy；(2)证明：数列nnxy−是公比为11kk+

−的等比数列；(3)设nS为12nnnPPP++的面积，证明：对任意正整数n，1nnSS+=.2．（2018·全国·高考真题）已知斜率为k的直线l与椭圆22143xyC+=：交于A，B两点，线段AB的中点为()()10Mmm，．（

1）证明：12k−；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且0FPFAFB++=．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．3．（2016·四川·高考真题）已知数列{na}的首项为1，nS为数列{na}的前n项和，11nnSqS+

=+，其中q>0，*nN.（Ⅰ）若2322,,2aaa+成等差数列，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221nyxa−=的离心率为ne，且253e=，证明：121433nnnneee−−+++.