【文档说明】新疆维吾尔自治区2021届高三年级第三次诊断性测试文科数学试卷 含解析.doc，共(19)页，989.000 KB，由小赞的店铺上传

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2021年新疆高考数学第三次诊断性试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分．）1．若集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|x≤3}B．{x|1＜x≤3}C．{x|x＞1}D．{x|x≤

1}2．在复平面内，复数z＝i（a﹣i）（a＞0），则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知x∈R，则“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如

图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C15．“二万五千里长征”是1934年10月

到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人（）A．720B．960C．1020D．16806．函数f（x）＝

2x+lnx﹣1的零点所在的区间为（）A．（）B．（）C．（）D．（）7．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝2，S9＝27，则S20＝（）A．95B．105C．115D．1258．下列函数中既是奇函数，又在（0，1）上单调递减的是（）A

．f（x）＝x+B．f（x）＝ex+C．f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）D．f（x）＝sinx+9．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，就是通过观测不同季

节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位．其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成（称一指），木板的高度从小到大依次成等差数列，最大的高约24厘米（称十二指），将木板立起，一手拿着木板，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，上边缘对着

所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，则sin2α约为（）A．B．C．D．10．已知A，B，C为球O的球面上三个点，球心O到平面ABC的距离为，∠BAC＝90°，则球O的体积为（）

A．B．24πC．D．48π11．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，且满足|MN|＝2|OF|，若△MNF的面积为a2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．312．设数列{an}的前n项和为Sn，an+1+an＝2n，S2n＝682，

则n的值为（）A．4B．5C．6D．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量＝（1，﹣2），＝（m，4），且（﹣）∥，则m＝．14．记x是[﹣3，3]上的随机数，则满足|x|≤1的概率为．15．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上

一点，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，F，B三点共线，且|AF|＝3．16．已知函数f（x）＝sin（ωx+）﹣（ω＞0）在区间[0，下述四个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②

f（x）在区间（0，π）上有且仅有2个极大值点；③f（x）在区间（0，）上单调递增；④ω的取值范围是[]．其中所有正确结论的编号是．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过

程或演算步骤.17．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝8（1）求AC；（2）若△ABC为锐角三角形，在BC的延长线上取一点D，使得∠BAD＝90°18．《国家学生体质健康标准》是促进学生体质健康发展、激励学生积极进行身体锻炼的教育手段．所选用的指标可以反映与身

体健康关系密切的身体成分、心血管系统功能、肌肉的力量和耐力、以及关节和肌肉的柔韧性等要素的基本状况．《国家学生体质健康标准》的实施使学生和社会能够对影响身体健康的主要因素有一个更加明确的认识和理解，引导人们去积极追求身体的健康状态

，实现学校体育的目标．身高体重指数（BMI）（BMI），在某年级全体学生中随机抽取的100名学生进行了体质健康检测，其中将测得的学生身高（单位：c），165），[165，…，[180，185]共五组后组号分组频数频率第1组[160，165）150.15第2组[165，170）①第3组[170

，175）0.30第4组175，180）20②第5组[180，185]100.10合计1001.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为了向学校国旗班补充新生力

量，学校决定在身高位于的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入下一项测试，最终从6位学生中随机抽取2位进行全面测试19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，D是AC的中点1与A1C1所

成角的正切值为．（1）证明：AB1∥平面BC1D；（2）求B1到平面ABC1的距离．20．已知点A，B分别为椭圆＝1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）的直线l与椭圆C交于P，当直线l与x轴垂直时，|PQ|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．

21．已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：4f（x）＞lnx+3．选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答

题卡上把所选题目的题号涂黑.22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），又以坐标原点O为极点，直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M、N两点，且|MN

|≥，求a的取值范围．选做题。23．设函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|．（1）求f（x）的最小值；（2）若存在x∈R，使得f（x）+ax﹣1＜0有解参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|x≤3}B．{x|1＜x≤3}C．{x|x＞1}D．{x|x≤1}解：∵A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝{x|x

≤3}，故选：D．2．在复平面内，复数z＝i（a﹣i）（a＞0），则z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝i（a﹣i）＝ai﹣i2＝1+ai，∴z对应的点的坐标为（2，a），又a＞0，∴z对应的点位于

第一象限．故选：A．3．已知x∈R，则“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由x2﹣3x+8＞0得x＞2或x＜﹣6，则“x＞2”是“x2﹣5x+2＞0”成立的充分不必要条件，故选：A．4．如图，在正

方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B4，A1D1都和直线EF为异面直线；B4C1和EF在同一平面内，且这两直线

不平行；∴直线B1C5和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．5．“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，某中学组织了“长征英雄事

迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人（）A．720B．960C．1020D．1680解：设该校高一年级学生人数为x人，则＝，解得x＝960．所以该校高一年级学生人数为960人．故选：B．6．函数f（x）＝2x+lnx

﹣1的零点所在的区间为（）A．（）B．（）C．（）D．（）解：f（x）＝2x+lnx﹣1是在（7，+∞）上的增函数．f（）＝﹣2＝，∵﹣6＜＝，∴f（﹣1﹣ln4＜0，又∵f（1）＝2+ln4﹣1＝1＞2，∴函数f（

x）的零点所在区间是（．故选：B．7．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝2，S9＝27，则S20＝（）A．95B．105C．115D．125解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3＝2，S2＝27，∴⇒a7＝1，d＝，∴S20＝20a1+d＝115．故选：C．8．

下列函数中既是奇函数，又在（0，1）上单调递减的是（）A．f（x）＝x+B．f（x）＝ex+C．f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）D．f（x）＝sinx+解：A：f（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵f′（x）＝4﹣，且当x∈（0，

，f′（x）＜0，1）时，∴f（x）在（0，）上单调递减，1）上单调递增．故A错；B：f（﹣x）＝e﹣x+＝+ex＝f（x），∴f（x）为偶函数，故B错；C：f（﹣x）＝In（1﹣x）﹣In（1+x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵f′（x）＝+

＞0，∴f（x）在（0，3）上单调递增，故C错；D：f（﹣x）＝sin（﹣x）+＝﹣sinx﹣，∴f（x）为奇函数，∵f′（x）＝cosx﹣＝＝（sin2x﹣sin2x﹣cos2x）＝﹣＜0，∴f（x）在（0，3）上单调递

减，故D对．故选：D．9．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位．其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成（称

一指），木板的高度从小到大依次成等差数列，最大的高约24厘米（称十二指），将木板立起，一手拿着木板，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若

在一次观测中，则sin2α约为（）A．B．C．D．解：由题意可得四指板高为8cm，则tanα＝＝，∵tanα＝，则cosα＝9sinα，∵sin2α+cos8α＝1，∴81cos2α+cos6α＝1，81sin2α+sin3α＝1，∴sinα＝，sin

2α＝4sinαcosα＝2×9sin8α＝，故选：D．10．已知A，B，C为球O的球面上三个点，球心O到平面ABC的距离为，∠BAC＝90°，则球O的体积为（）A．B．24πC．D．48π解：A，B，C为球O的球面上三个点，△ABC圆心在BC中点

上，∵∠OAB＝∠OAC＝60°，可得△OAC和△OAB是等边三角形，其边长为球的半径R，∴r＝，根据球心O到平面ABC的距离为，那么球的半径R＝，解得R＝，则球O的体积V＝．故选：C．11．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，且

满足|MN|＝2|OF|，若△MNF的面积为a2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3解：如图，由对称性可知，∵|MN|＝2|OF|，∴|OM|＝|ON|＝|OF|，∴以MN为直径的圆的方程为x2

+y2＝c2，设|MF|＝m，|NF|＝n．△MNF的面积S△MNF＝m•n＝a2，且m2+n4＝|MN|2＝4c6，联立，得，故（）2+（）2＝7c2，解得e＝（e＞4）．故选：A．12．设数列{an}的前n项和为Sn，an+1+an＝2

n，S2n＝682，则n的值为（）A．4B．5C．6D．7解：S2n＝（a1+a5）+（a3+a4）+⋯+（a6n﹣1+a2n）＝81+28+⋯+22n﹣2＝＝，由S2n＝682，得＝682．故选：B．二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量＝（1，﹣2），＝（m，4），且（﹣）∥，则m＝﹣2．解：根据题意，向量，﹣2），，4），则﹣＝（3﹣m，若（﹣）∥，解可得m＝﹣2，故答案为：﹣2．14．记x是[﹣3，3]

上的随机数，则满足|x|≤1的概率为．解：根据题意，|x|≤1即﹣1≤x≤2，则满足|x|≤1的概率P＝＝，故答案为：．15．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上一点，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，F，B三点共线，且|AF|＝

3﹣．解：抛物线C：y2＝2px（p＞7）的焦点为F（，0），因为A，F，B三点共线，所以AD⊥BD，由抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝|AB|，则∠ABD＝30°，所以F到准线的距离为p＝|BF|

sin30°＝，则抛物线的准线方程为x＝﹣．故答案为：﹣．16．已知函数f（x）＝sin（ωx+）﹣（ω＞0）在区间[0，下述四个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）上有且仅有2个极大值点；③

f（x）在区间（0，）上单调递增；④ω的取值范围是[]．其中所有正确结论的编号是①③．解：令f（x）＝sin（ωx+）﹣，得函数sin（ωx+（ω＞0）令g（x）＝sin（ωx+）（ω＞8），作图如下：∵函数f（x

）＝sin（ωx+）﹣，π]上有且仅有6个零点，∴直线y＝与g（x）＝sin（ωx+，π]上有且仅有3个交点，∵x∈[0，π]，∴≤ωx+（ω＞7），当x＝0时，g（0）＝sin＝，点A是两者的第一个交点，B、第三个交点，∴≤ωπ+＜，故④错误；由+＝，×+＝，可知f

（x）在区间（3，，故③正确；由图可知，g（x）＝sin（ωx+，π]上的图象一定经过A、B，曲线未必经过CD中间的最高点，∴①正确，②错误；综上所述，①③正确，故答案为：①③．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或

演算步骤.17．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝8（1）求AC；（2）若△ABC为锐角三角形，在BC的延长线上取一点D，使得∠BAD＝90°解：（1）∵△ABC中，∠A＝60°，BC＝7，∴由余弦定理可得：78＝82+AC2﹣2×8×AC×cos60°，可得：AC4﹣8AC+15＝0

，∴解得AC＝2，或3．（2）当AC＝3时，AC3+BC2﹣AB2＜7，∠ACB为钝角，当CA＝5时，cos∠ACB＝＝＝，∴cos∠ACD＝﹣，sin∠ACD＝，在△ACD中，sin∠ADC＝sin（∠CAD+∠ACD）＝）+×＝，∵＝⇒AD＝，

∴S△ACD＝•AC•AD•sin∠CAD＝×sin30°＝．18．《国家学生体质健康标准》是促进学生体质健康发展、激励学生积极进行身体锻炼的教育手段．所选用的指标可以反映与身体健康关系密切的身体成分、心血管系统功能、肌肉的力

量和耐力、以及关节和肌肉的柔韧性等要素的基本状况．《国家学生体质健康标准》的实施使学生和社会能够对影响身体健康的主要因素有一个更加明确的认识和理解，引导人们去积极追求身体的健康状态，实现学校体育的目标．身高体重指数（BMI）（BMI），在某年级全体学生中随机抽取的100名学生进行了体质健康检测

，其中将测得的学生身高（单位：c），165），[165，…，[180，185]共五组后组号分组频数频率第1组[160，165）150.15第2组[165，170）①第3组[170，175）0.30第4组17

5，180）20②第5组[180，185]100.10合计1001.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为了向学校国旗班补充新生力量，学校决定在身高位于的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入下一项测试，最终从6

位学生中随机抽取2位进行全面测试解：（1）第3组的频数为100×0.30＝30人，所以①处应填的数为25；频率分布直方图如图所示：（2）因为第7，4，5组共有60名同学，所以利用分层抽样在60名选手中抽取7名同学进入下一项测试，每组抽取的人数分别为3人，1人，故

最终从7位学生中随机抽取2位进行全面测试，抽到的2位学生在同一组的概率为．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，D是AC的中点1与A1C1所成角的正切值为．（1）证明：AB1∥平面BC1D；（

2）求B1到平面ABC1的距离．【解答】（1）证明：设BC1∩B1C＝E，连结DE，由直棱柱的性质可知，四边形BCC7B1是矩形，则E为B1C的中点，因为D是AC的中点，所以DE∥AB8，又AB1⊄平面BC1D，D

E⊂平面BC8D，所以AB1∥平面BC1D；（2）解：由异面直线AB8与A1C1所成角的正切值为，且AC∥A1C1，则有tan∠B5AC＝，连结B1D，在三棱柱ABC﹣A6B1C1中，AB7＝CB1，又D为AC的中点，所以B1D⊥AC，即tan∠B2AC＝，又AC＝6，则B1D＝，在Rt△

BB1D中，BD＝4B＝，所以，，设点B1到平面ABC3的距离为h，由等体积法，即，则，解得，故B1到平面ABC1的距离为．20．已知点A，B分别为椭圆＝1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）的直线l与椭圆C交于P，当直线l与x轴垂直时，|PQ|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AP，BQ

的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【解答】（1）解：将x＝﹣2代入椭圆的方程，可得，则有，因为当直线l与x轴垂直时，|PQ|＝，所以，又a2＝b2+4，解得a2＝9，b4＝5，所以椭圆的标准方程为；（2）证明

：由题意可知，直线l的斜率不为0，与椭圆联立可得2+9）y4﹣20my﹣25＝0，设P（x1，y5），Q（x2，y2），则①，由题意可知，A（﹣3，B（3，，所以②，由①可得，所以，代入②可得，，所以为定值．21．已知函

数f（x）＝．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：4f（x）＞lnx+3．解：（1），令f′（x）＞0，解得x＞1，解得x＜7或0＜x＜1，∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，6）和（0，单调递增区间为（1；（2）证明：要证3f（x）＞lnx+3

，即证，设，则，易知当0＜x＜6时，g′（x）＜0，当x＞2时，g（x）单调递增，∴g（x）≥g（2）＝e4；设，则，易知当时，h′（x）＞0，当时，h′（x）＜0，∴，∴g（x）＞h（x），即6f（x）＞lnx+3．选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则

按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），又以坐标原点O为极点，直线l的极坐标方程为（ρ∈R）．（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C

交于M、N两点，且|MN|≥，求a的取值范围．解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数）2+（y﹣7）2＝1，根据5﹣2aρcosθ﹣2ρsinθ+a4＝0．直线l的极坐标方程为（ρ∈R）转换为直角坐标方程为．（2）由于，即圆心（a的距离d，即，整理得．选做题。23．设函数f（x）＝|x﹣1|+|

2x+1|．（1）求f（x）的最小值；（2）若存在x∈R，使得f（x）+ax﹣1＜0有解解：（1）f（x）＝|x﹣1|+|2x+3|＝，作出函数f（x）的图象如图：由图可知，f（x）的最小值为；（2）由f（x）+ax﹣2＜0，得f（x）＜﹣ax+1，直线y＝﹣ax+2过点（0

，1），当﹣a＞2，即a＜0时，则﹣a+1＞3；当﹣a＜0，即a＞0时，则+1＞．综上，要使f（x）+ax﹣1＜0有解，﹣4）∪（1．