【文档说明】2021-2022高中数学人教A版选修2-1作业：3.2立体几何中的向量法 （系列二）含解析.docx，共(13)页，156.395 KB，由小赞的店铺上传

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课时作业25空间向量与空间角时间：45分钟分值：100分A学习达标一、选择题(每小题6分，共36分)1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝2π3，则l与α所成的角为()A.2π3B.π3C

.π6D.5π6图1解析：如图1所示，直线l与平面α所成的角θ＝2π3－π2＝π6.答案：C2．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝π3，则二面角A－BD－C的大小为()A.π3B.2π3C

.π3或2π3D.π6或π3图2解析：如图2所示，当二面角A－BD－C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝π3；当二面角A－BD－C为钝角时，它应等于π－〈n1，n2〉＝π－π3＝2π3.答案：C3．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2

AB，E是AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.1010B.15C.31010D.35图3解析：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图3，设AB＝a，则AD＝a，AA1＝2a.B(a，a,0)，C(0，a,0)，D1(0,0,2a)，

E(a,0，a)，BE→＝(0，－a，a)，CD1→＝(0，－a,2a)，∴cos〈BE→，CD1→〉＝BE→·CD1→|BE→||CD1→|＝a2＋2a22a·5a＝31010.答案：C4．已知三棱柱ABC－A

1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.34B.54C.74D.34图4解析：设BC的中点为O，连接AO，A1O，则由题意知A1O⊥平面ABC，AO⊥BC，以AO，

OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设侧棱长为2a，则OA1＝AA21－AO2＝4a2－3a2＝a，则A(－3a,0,0)，B(0，－a,0)，A1(0,0，a)．所以cos〈AB→，CC1→〉＝c

os〈AB→，AA1→〉＝AB→·AA1→|AB→|·|AA1→|＝3a，－a，0·3a，0，a3a2＋－a2·3a2＋a2＝3a22a·2a＝34.答案：D5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为()A.

62B.63C.64D.2图5解析：建系如图5，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，E(1，12，0)，F(0，12，1)，B1(1,1,1)．A1B1→＝(0,1,0)，A1E→＝(0，12，－1)，A1F→＝(－1，12，0)．设平面A1EF的一个法向量

为n＝(x，y，z)，则n·A1E→＝0n·A1F→＝0，即12y－z＝0－x＋y2＝0.令y＝2，则x＝1z＝1.∴n＝(1,2,1)，cos〈n，A1B1→〉＝26＝63.设A1B1与平面A1EF的夹角为θ，则sinθ＝cos〈n，A1B1→〉＝63，即所求线面角的

正弦值为63.答案：B图66．如图6所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为()A.36B.34C.33D.233图7解析：如图7，连结AC，AC∩BD＝O，连结OF，以O为原点，OB，OC，O

F所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝3，∴B32，0，0，F0，0，12，C0，12，0，D－32，0，0，结合图形可知，OC→＝0，12，0且OC→为面BOF的一个法向量，由BC→＝

－32，12，0，FB→＝32，0，－12，可求得面BCF的一个法向量n＝(1，3，3)．∴cos〈n，OC→〉＝217，sin〈n，OC→〉＝277，∴tan〈n，OC→〉＝233.答案：D二、填空题(每小题8分，共24分)7．

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是________．图8解析：以A为原点建立直角坐标系(如图8所示)，设B(2,0,0)，则E(1,0,0)，F(2,2,1)，C1(2,2,2)，A1(0,0,2

)，∴EF→＝(1,2,1)，A1C1→＝(2,2,0)，∴cos〈EF→，A1C1→〉＝EF→·A1C1→|EF→|·|A1C1→|＝1，2，1·2，2，06·22＝32，∴〈EF→，A1C1→〉＝30°.答案：30°图98．如图9所示，P是二面角α－AB－β棱上一点，分别在α，

β内引射线PM，PN，若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β大小为________．图10解析：如图10，过M在α内作MF⊥AB，过F在β内作FN⊥AB交PN于点N，连结MN.∵∠MPB＝∠NPB＝45°，∴△PMF≌△PNF.设PM＝1，则：MF＝NF＝22，P

M＝PN＝1，又∵∠MPN＝60°，∴MN＝PM＝PN＝1，∴MN2＝MF2＋NF2，∴∠MFN＝90°.答案：90°9．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：①AC⊥BD；②AB、CD所成角为60°；③△ADC为等边三角形；④AB

与平面BCD所成角为60°.其中真命题是________．(请将你认为是真命题的序号都填上)解析：如图11将正方形①取BD中点O，连结AO、CO，易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC；②如图11建立空间坐标系，设正方形边长为a，则A(22a,0,0)，B(0，－22a,

0)，故AB→＝(－22a，－22a,0)，C(0,0，22a)，D(0，22a,0)，故CD→＝(0，22a，－22a)，由两向量夹角公式得：cos〈CD→，AB→〉＝－12，故两异面直线所成的角为π3；图11③在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝22

a解得：AC＝2AO＝a，故三角形ADC为等边三角形．④易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得：∠ABO＝45°，故④错．答案：①②③三、解答题(共40分)图1210．(10分)如图12在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的

动点．(1)若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置；(2)求三棱锥C－DED1的体积．解：(1)以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．设E(1，t,0)(0≤t≤2)，则A(1,0,0)，D(0,0,0)，D

1(0,0,1)，C(0,2,0)，D1A→＝(1,0，－1)，CE→＝(1，t－2,0)，根据数量积的定义及已知得：∴1＋0×(t－2)＋0＝2×1＋t－22·cos60°，∴t＝1，∴E的位置是AB中点．(2)VC－DED

1＝VD1－DEC＝13×12×2×1×1＝13.图1311．(15分)(2011·课标全国高考)如图13，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)

若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD.从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)如图14，

以D为坐标原点，设AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，P(0,0,1)．图14AB→＝(－1，3，0)，PB→＝(0，

3，－1)，BC→＝(－1,0,0)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝0，n·PB→＝0.即－x＋3y＝0，3y－z＝0.因此可取n＝(3，1，3)．设平面PBC的法向

量为m，则m·PB→＝0，m·BC→＝0.可取m＝(0，－1，－3)．cos〈m，n〉＝－427＝－277.故二面角A－PB－C的余弦值为－277.B创新探索图1512．(15分)已知四棱锥P

－ABCD的底面ABCD是正方形，且PD⊥底面ABCD，其中PD＝AD＝a.(1)求二面角A－PB－D的大小；(2)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE.若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)方法一：连接AC，设AC交BD于点O，图16∵AC⊥BD，AC⊥PD

，BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，过O点在平面PBD内作OF⊥PB于点F，∵AO⊥PB且OF∩AO＝O，∴PB⊥平面AOF，AF⊂平面AOF，∴AF⊥PB.则∠OFA是二面角A－PB－D的平面角．由已知得AB⊥PA，PA＝2a，AB＝a，PB＝3a，∴AF＝

PA·ABPB＝63a，∴sin∠OFA＝AOAF＝32，∴∠OFA＝60°，∴二面角A－PB－D的大小为60°.方法二：建立如图17所示的空间直角坐标系，∵PD＝AD＝a且ABCD为正方形，图17∴D(0,0,0)，A(a,0,0)，B

(a，a,0)，P(0,0，a)，PD→＝(0,0，－a)，BD→＝(－a，－a,0)，PA→＝(a,0，－a)，AB→＝(0，a,0)，设平面PAB的法向量为m＝(xm，ym，zm)，则PA→·m＝0AB→·m＝0，即axm－azm＝0aym＝0，令xm＝1，则m＝(1,0,1

)．设平面PBD的法向量n＝(xn，yn，zn)，则PD→·n＝0BD→·n＝0，即－azn＝0－axn－ayn＝0，令xn＝1，则n＝(1，－1,0)，令m，n的夹角为θ，则cosθ＝m·n|m||n|＝12·2＝12，θ＝

60°，显然二面角A－PB－D的平面角为锐角，∴二面角A－PB－D的大小为60°.(2)假设在线段PB上存在一点E，使PC⊥平面ADE.则PC⊥DE，PC⊥AD.取PC中点H，连接EH、DH，∵PD＝A

D＝DC，且PD⊥DC，∴DH⊥PC，∴PC⊥平面DEH，∴PC⊥EH.∵PC⊥AD，AD∥BC，∴PC⊥BC.∴EH∥BC，∵H为PC中点，∴E为PB中点．即在线段PB上存在它的中点E，使PC⊥平面ADE.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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