【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练30 平面向量的数量积.docx，共(11)页，155.895 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。三十平面向量的数量积(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)如果向量a,b满足|𝑎|=1,|𝑏|=√2,且a

⊥(a-b),则a和b的夹角大小为()A.30°B.135°C.75°D.45°【解析】选D.由a⊥(a-b),则a·(a-b)=a2-a·b=|𝑎|2-|𝑎||𝑏|cos<a,b>=0,则1-1×√2cos<a,b>=0,得co

s<a,b>=√22,0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°.2.(5分)已知向量a,b满足|𝑎+𝑏|=5,|𝑎-𝑏|=4,则a·b=()A.9B.3C.6D.94【解析】选D.因为|𝑎+𝑏|=5,所以|𝑎+𝑏|2=25,即得a2+b2+2a·b=25,又

|𝑎-𝑏|=4,同理可得a2+b2-2a·b=16,两式相减得4a·b=9,即a·b=94.3.(5分)(2023·佛山模拟)向量a=(2,2√3)在向量b=(√3,1)上的投影向量是()A.(-3,√3)B.(3,√3)C.

(3,-√3)D.(-3,-√3)【解析】选B.因为a=(2,2√3),b=(√3,1),所以a·b=2×√3+2√3×1=4√3,|𝑏|=√(√3)2+12=2,所以向量a=(2,2√3)在向量b=(√3,1)上的投影向量为𝑎·𝑏|𝑏|·𝑏|

𝑏|=4√34(√3,1)=(3,√3).4.(5分)(2023·临沧模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,|𝑎+𝑏|=5√2,则|𝑏|=()A.5B.10C.√5D.√10【解析】选A.因为a=(2,1),所以|

a|=√5,又因为a·b=10,|𝑎+𝑏|=5√2,所以|𝑎+𝑏|2=50,即|a|2+2a·b+|b|2=50,解得|b|=5.5.(5分)(多选题)(2023·淮安模拟)已知a,b,c是平面内三个非零向量,则下列结论正确的是()A.若a·c=b·c,则a=bB.若|

𝑎+𝑏|=|𝑎-𝑏|,则a⊥bC.若a∥c,b∥c,则a∥bD.若a∥b,则a·b=|𝑎·𝑏|【解析】选BC.对于A,若a·c=b·c,则|𝑎||𝑐|cos<a,c>=|𝑏||𝑐|c

os<b,c>,则|𝑎|cos<a,c>=|𝑏|cos<b,c>,但cos<a,c>与cos<b,c>不一定相同,所以得不到|𝑎|=|𝑏|,无法得到a=b,故A错误;对于B,若|𝑎+𝑏|=|𝑎-𝑏|,平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·

b+b2,即a·b=0,所以a⊥b,故B正确;对于C,若a∥c,b∥c,则a∥b显然成立,故C正确;对于D,a·b=|𝑎||𝑏|cos<a,b>,|𝑎·𝑏|=|𝑎||𝑏||cos<𝑎,𝑏>|,若a∥b,则co

s<a,b>=±1,若cos<a,b>=-1,原式不成立,故D错误.6.(5分)(多选题)(2023·苏州模拟)如图,已知正六边形ABCDEF的边长为1,记𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=e,则()A.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=2(𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗)B.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·(𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+2𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2C.𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)=(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗在𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投

影向量为32e【解析】选BCD.正六边形ABCDEF的边长为1,对于A,连接CE交AD于O,则△ACE为正三角形,且O为CE的中点,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗,而AD=2,OD=EDsin30°=12,则A

O=32,|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|=3>|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|,所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗≠2(𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),A不正确;对于B,𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,∠BAF=120°,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·(𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+2𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)=2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=2×1×1×cos60°=1=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2,B

正确;对于C,𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则有𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,因此𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)=(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,C正确;对于D,𝐸

𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-e,<𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗>=150°,|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°=√3,向量𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗在𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为|𝐴

𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|cos<𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√3cos150°(-e)=32e,D正确.7.(5分)(2023·浦东模拟)已知A,B是圆心为C,半径为5的圆上的两点,且|𝐴𝐵|=√5

,则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=________.【解析】由题意,得圆C的半径为5,且|𝐴𝐵|=√5,由余弦定理知,cos∠ACB=52+52-(√5)22×5×5=910,所以𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗=-𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-|𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗||𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠ACB=-5×5×910=-452.答案:-4528.(5分)(2023·保山模拟)已知平面向量a,b的夹角为π3,且|�

�|=1,|𝑏|=2,则2a-b与b的夹角是__________.【解析】由平面向量a,b的夹角为π3,且|𝑎|=1,|𝑏|=2,可得(2a-b)·b=2a·b-b2=2×1×2cosπ3-4=-2,且|2𝑎-𝑏|=√4𝑎2+𝑏2-4𝑎·𝑏=√

4+4-4×1×2cosπ3=2,设向量2a-b与b的夹角为θ,所以cosθ=(2𝑎-𝑏)·𝑏|2𝑎-𝑏||𝑏|=-22×2=-12,因为θ∈[0,π],可得θ=2π3,即2a-b与b的夹角为2π3.答案:2π39.(10分)平面内三个向量a=(1,2),b=(-1,1),c

=(3,3).(1)若|𝑑|=2√5,且d与a方向相反,求d的坐标;(2)若(a+kc)⊥(a-2b),求a+kc在向量a上的投影向量的模.【解析】(1)设d=λa(λ<0),则d=λa=(λ,2λ),由|𝑑|=2√5可得√𝜆2+(2𝜆)2=2√5⇒λ=-2,所以d=(-2,-4);(2)

a+kc=(1+3k,2+3k),a-2b=(3,0),由题意得3(1+3k)=0⇒k=-13,所以a+kc=(0,1),所以a+kc在向量a上的投影向量的模为|(𝑎+𝑘𝑐)·𝑎||𝑎|=0×1+1×2√12+22=25√5.【加练备选】1.

(2023·大庆模拟)已知向量a,b满足|𝑎|=2,b=(1,1),a·b=-2,则sin<a+b,b>=()A.12B.√22C.√32D.1【解析】选D.由(a+b)·b=a·b+b2=-2+2=0,则cos<a+b,b>=(𝑎+𝑏)·𝑏|𝑎+𝑏||𝑏|=0,由<a+b,

b>∈[0,π],则<a+b,b>=π2,故sin<a+b,b>=1.2.(多选题)已知|𝑎|=|𝑏|=|𝑎+𝑏|=1,下述结论正确的是()A.|𝑎-𝑏|=√3B.(a+b)·b=12C.<a-b,

b>=π6D.(a-2b)·a=0【解析】选AB.因为|𝑎|=|𝑏|=|𝑎+𝑏|=1,所以|𝑎+𝑏|2=a2+2a·b+b2=1⇒a·b=-12⇒<a,b>=2π3.对于A项,|𝑎-𝑏|2=a2-2a·b+b2=3⇒|𝑎-𝑏|=√3,A正确;对于B项,(a+b)·

b=a·b+b2=12,B正确;对于C项,cos<a-b,b>=(𝑎-𝑏)·𝑏|𝑎-𝑏||𝑏|=𝑎·𝑏-𝑏2√3=-√32⇒<a-b,b>=5π6≠π6,故C错误;对于D项,(a-2b)·a

=a2-2a·b=2≠0,故D错误.【能力提升练】10.(5分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=()A.-6B.-5C.5D.6【解析】选C.c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>

,即9+3𝑡+165|𝑐|=3+𝑡|𝑐|,解得t=5.11.(5分)已知向量a=(2,1),b=(-3,1),下列说法不正确的是()A.与向量a方向相同的单位向量是(2√55,√55)B.(a+b)⊥aC.向量a在向量b上的投影向量是-√102aD.|𝑎+2𝑏

|=5【解析】选C.对于A,因为向量a=(2,1),b=(-3,1),所以与向量a共线且方向相同的单位向量为𝑎|𝑎|=(2,1)√22+12=(2√55,√55),故A正确,不符合题意;对于B,因为a=(2,1),b=(-3,

1),故a+b=(-1,2),所以(a+b)·a=-1×2+2=0,故(a+b)⊥a成立,故B正确,不符合题意;对于C,向量a在向量b上的投影向量是|𝑎|(𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|)·𝑏|𝑏|=2×(-3)+1×110·b=-1

2b,故C错误,符合题意;对于D,a+2b=(2,1)+2(-3,1)=(-4,3),故|𝑎+2𝑏|=√(-4)2+32=5,故D正确,不符合题意.12.(5分)(多选题)(2023·郑州模拟)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角形开

口,另一端是封闭的六角菱形的底,由三个相同的菱形组成,巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形ABCDEF,下列说法正确的是()A.𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐴

𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2D.𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗在𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为32𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗【解析】选CD.对A,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,显然由题图可得𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗与𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗为相反向量,故A错误;对B

,由图易得|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,直线AD平分∠EAC,且△ACE为正三角形,根据平行四边形法则有𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗,与𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗共线且同方向,易知△EDH,△AEH均为含π6角的直角三角形,故|𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗|

=√3|𝐷𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,|𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3|𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3|𝐷𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,则|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=4|𝐷𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,而2|𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=6|𝐷𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,故2|𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗

⃗⃗||𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=32,故𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=32𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,故B错误;对C,因为∠BCD=∠ABC=2π3,|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐷

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,所以∠BDC=∠DBC=π6,则∠ABD=π2,又因为AD∥BC,所以∠DAB=π3,|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|cosπ3=2|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2×

12=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2,故C正确;对D,连接AE,作CG垂直AB所在直线,垂足为G,记|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=m,由C选项可知EA⊥AB,所以𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗在𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为𝐴𝐺⃗⃗

⃗⃗⃗,易知在Rt△BCG中,∠CBG=π3,BC=m,所以BG=12m,所以|𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗|=32m,故𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=32𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,故D正确.13.(5分)(2023·宁德模拟)在平行四

边形ABCD中,已知𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=√2,|𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|=√6,则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=__________.【解析】设𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=b,由𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,可得𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=13a+b,𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=a+1

3b,又因为|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=√2,|𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|=√6,所以|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|2=(13𝑎+𝑏)2=19a2+b2+23a·b=2,|𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|2=(a+13b)2=a2+19b2+23a·b=6,两式相减得到89a2-89b2

=4,可得a2-b2=92,又由𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=a+b,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b-a,所以𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a+b)·(b-a)=b2-a2=-92.答案:-92【加练备选

】已知△OAB中,|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=1,|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-1,过点O作OD垂直AB于点D,点E满足𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗⃗·𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗的值为___

_______.【解析】𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=1×2×cos<𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>=2cos<𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>=-1,cos<𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>=-12,由于0≤<

𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>≤π,所以<𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>=2π3.|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√12+22-2×1×2×cos2π3=√7,S△OAB=12×√7×|𝑂

𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12×1×2×sin2π3,|𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3√7,由于𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以|𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=√3√7×13=1√21,|𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=√3√7×23=2√2

1,|𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=√12-(√3√7)2=2√7,|𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=√(2√7)2+(2√21)2=4√21,所以cos∠OEA=(1√21)2+(4√21)2-122×1√21×4√21=-12,所以𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗⃗·𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗

⃗=1√21×4√21×(-12)=-221.答案:-22114.(10分)(2023·滁州模拟)已知平面向量a,b是单位向量,且a⊥(a-2b).(1)求向量a,b的夹角;(2)若a-b=(12,-√32),向量c与向量a-b共线,且|c|=|a+

b|,求向量c.【解析】(1)因为a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=a2-2a·b=0,又因为a,b是单位向量,设a与b的夹角为θ,所以a·(a-2b)=a2-2a·b=1-2cosθ=0,解得cosθ=12,又θ∈[0,π],所

以θ=π3.(2)因为|c|=|a+b|,所以|c|2=|a+b|2=a2+b2+2a·b=3,即|c|=√3.设c=(x,y),则有|c|=√𝑥2+𝑦2=√3,因为向量c与向量a-b共线,所以-√32x=12y,解得y=-√3x,联立两式解得:{𝑥=√32𝑦=-32或{�

�=-√32𝑦=32,所以c为(√32,-32)或(-√32,32).15.(10分)(2023·苏州模拟)已知△ABC中,AB=2,AC=3,𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,Q是边AB(含

端点)上的动点.(1)若𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=25𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,O点为AP与CQ的交点,请用𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗表示𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗;(2)若点Q使得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗,求cos∠BAC的

取值范围.【解题指南】(1)由已知得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,再由A,O,P三点共线,令𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,由𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=25𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗得𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=5𝜆3𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,然后由C,O,Q三点共线,求出λ作答.(2)由(1)中信息,设𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=t𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(0≤t≤1),则𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=t𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,再由垂直关系的

向量表示及数量积的运算律,求出cos∠BAC,借助函数的单调性求解作答.【解析】(1)因为𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.又A,O,P三点共线,所以有λ∈R,𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=2𝜆

3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,又𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=52𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗,即有𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=5𝜆3𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,而C,O,Q三点共线,于是5𝜆3+𝜆3=1,解得λ=12,所以𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗+16𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗;(2)由(1)知,𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,而𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,设𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗

⃗=t𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(0≤t≤1),则𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=t𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,由𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗,得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=0,即(13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)·(t𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=0,整理得𝑡3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-13|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2+23t|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2-23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,即𝑡-23×6cos∠BAC-3+83t=0,于是cos∠BAC=3-83

𝑡2(𝑡-2)=-83(𝑡-2)-732(𝑡-2)=-43-76(𝑡-2),显然函数y=-43-76(𝑡-2)在[0,1]上单调递增,因此cos∠BAC=-43-76(𝑡-2)∈[-34,-16],所以cos∠BAC的取值范围为[-34,-16].【加练备选】如

图,设△ABC中的∠BAC,∠ABC,∠ACB所对的边是a,b,c,AD为∠BAC的平分线,已知AB=1,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=12,点E,F分

别为边AB,AC上的动点,线段EF交AD于点G,且△AEF的面积是△ABC面积的一半.(1)求边BC的长度;(2)设𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=k𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=μ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,当𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗

⃗·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=4528时,求k的值.【解题指南】(1)由𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=12,可得∠BAC=π3,过D分别作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于点M,N,由平行线分线段成比例可得�

�𝑀𝐴𝐵=34,𝐴𝑁𝐴𝐶=14,进而可得𝐵𝐷𝐷𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝑀𝐴𝑀=13,结合余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos∠BAC,即可得答案;(2)由△AEF的

面积是△ABC面积的一半,可得λμ=12①,由E,F,G三点共线,得k=23𝜇+𝜆,由𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=4528,得27𝜇-9𝜆12𝜇+4𝜆=4528②,由①②即可得答案.【解析】(1)由𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗|·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=12,得cos∠BAC=12,又因为∠BAC∈(0,π),所以∠BAC=π3.又因为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,过D分别作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于点M,N,所以

𝐴𝑀𝐴𝐵=34,𝐴𝑁𝐴𝐶=14,所以𝐵𝐷𝐷𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝑀𝐴𝑀=13,所以AC=b=3.又因为a2=b2+c2-2bccos∠BAC=7,所以BC=a=√7;(2)因为𝐴𝐺

⃗⃗⃗⃗⃗=k𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=μ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(0≤λ,μ,k≤1),△AEF的面积是△ABC面积的一半,所以12|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|sin∠B

AC=12×12|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|sin∠BAC,所以λμ=12①,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=1×3×cosπ3=32,由𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,得1𝑘�

�𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=34𝜆𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+14𝜇𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,又因为E,F,G三点共线,所以1𝑘=34𝜆+14𝜇,即k=23𝜇+𝜆,所以𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=k𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=34k𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14k𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

,又𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=μ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(34k𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14k𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)·(μ𝐴𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗-λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=34kμ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-34kλ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2+14kμ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2-14kλ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=27𝜇-9𝜆12𝜇+4𝜆,又因为𝐴𝐺⃗

⃗⃗⃗⃗·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=4528,所以27𝜇-9𝜆12𝜇+4𝜆=4528②,由①②解得λ=12,μ=1,所以k=47.【素养创新练】16.(5分)(多选题)定义空间两个非零向量的一种运算:ab=|𝑎|·|𝑏|·sin<a,b>,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有

()A.λ(ab)=(λa)bB.ab=baC.若ab=0,则a⊥bD.|𝒂⊗𝒃|≤|𝒂|·|𝒃|【解析】选BD.对于A,λ(ab)=λ|𝑎|·|𝑏|·sin<a,b>,(λa)b=|𝜆𝑎|·|𝑏|·sin<λa,b>,若a,b不共线,且λ为负数,则λ(ab)

=λ|𝑎|·|𝑏|·sin<a,b><0,而(λa)b=|𝜆𝑎|·|𝑏|·sin<λa,b>>0,此时λ(ab)≠(λa)b,故A错误;对于B,由定义知ab=|𝑎|·|𝑏|·sin<a,b>,ba=|𝑏|·|𝑎|·sin<a,b>,故B正确;对于C

,若ab=0,则sin<a,b>=0,a,b共线,故C错误;对于D,由定义知ab=|𝑎|·|𝑏|·sin<a,b>,又<a,b>∈[0,π],故|𝑎⊗𝑏|=|𝑎|·|𝑏|·sin<a,b>≤|𝑎|·|�

�|,当且仅当sin<a,b>=1时等号成立,故D正确.