【文档说明】第1讲：基本不等式（原卷版）-2022-2023学年高一数学上学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第一册）.docx，共(8)页，414.253 KB，由管理员店铺上传

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第1讲：基本不等式(重点题型方法与技巧)目录类型一：直接法类型二：凑配法类型三：分离法类型四：二次与二次（一次）商式（换元法）类型五：常数代换“1”的代换类型六：消元法类型七：对钩函数1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如

果0a，0b，2abab+，当且仅当ab=时，等号成立．②其中ab叫做正数a，b的几何平均数；2ab+叫做正数a，b的算数平均数．2、两个重要的不等式①222abab+（,abR）当且仅当ab=时，等号成立．②2()2abab+（,a

bR）当且仅当ab=时，等号成立．3、利用基本不等式求最值①已知x，y是正数，如果积xy等于定值P，那么当且仅当xy=时，和xy+有最小值2P；②已知x，y是正数，如果和xy+等于定值S，那么当且仅当xy=时，积xy有最大值24S；4、对钩函数：对钩函

数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：()bfxaxx=+（0,0ab）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.函数()bfxaxx=+（0,0ab）常考对钩函数()afxxx=+（0a）定义域(,0)(0

,)−+定义域(,0)(0,)−+值域(,2][2,)abab−−+值域(,2][2,)−−+奇偶性奇函数奇偶性奇函数单调性()bfxaxx=+在(,)ba−−，(,)ba+上单调递增；在(,0)ba−，(0,)ba单调递减单调性()afxxx=+在(,)a−−，(,)a+

上单调递增；在(,0)a−，(0,)a单调递减5、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.①凑：凑项，例：()1123xxaaaxaxaxa+=−+++=−−；凑系数，例：()()211212

1112212022282xxxxxxx+−−=−=；②拆：例：()224444224244822223xxxxxxxxx−+==++=−+++=−−−−；③除：例：()2221011xxxxx=++；④1的代入

：例：已知0,0,1abab+=，求11ab+的最小值.解析：1111()()24baabababab+=++=++.⑤整体解：例：已知a,b是正数，且3abab=++，求ab+的最小值.解析：22,322abababab++

++，即()()21304abab+−+−，解得()62abab++−舍去.类型一：直接法典型例题例题1．（2022·四川甘孜·高一期末）4(1)yxxx=+的最小值为（）A．2B．3C．4D．5例题2．（2

022·贵州遵义·三模（理））若0x，则1xx+的最大值为（）A．2−B．22−C．32−D．2同类题型演练1．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）若0x，则92xx++有（）A．最小值6B．最小值8C．最大值8D．最大值32．（2022·广东

·普宁市华美实验学校高一阶段练习）函数2(0)2xyxx=+的最小值是________.3．（2022·四川成都·高一期末（理））若0x，则4xx+的最小值为________________．类型二：凑配法典型例题例题1．（多选）（2022·

河北廊坊·高三阶段练习）已知1a，则221aa+−的取值可以是（）A．5B．6C．7D．8例题2．（2022·云南云南·高二阶段练习）已知0x，则4221xx++的最小值为__________.同类题型

演练1．（2022·广西柳州·高一期末）若2x−，则()12fxxx=++的最小值为___________.2．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一期末）已知2x，则42xx+−的最小值是______

．3．（2022·四川凉山·高一期末（文））若1x，则111xx+−−的最小值为______．类型三：分离法典型例题例题1．（2022·云南红河·高一期末）函数()210xxyxx++=的最小值是（）A

．2B．3C．4D．5例题2．（2022·辽宁抚顺·高二期末）已知0a，0b，1ab=，则226abab+++的最小值为（）A．2B．4C．22D．42例题3．（2022·吉林·长春市第五中学高二期末

）已知53x，求211xxyx++=−的最小值______________.同类题型演练1．（2022·辽宁丹东·高二期末）若1x，则函数221xyxx+=+−的最小值为（）A．4B．5C．7D．92．（2022·全国·高一课时练习）已知0x，比较两数的大小：(1

)(4)xxx++______9．3．（2022·福建省同安第一中学高一阶段练习）已知1x−，则函数27101xxyx++=+的最小值为___________.4．（2022·云南·峨山彝族自治县第一中学高一阶段练习）已知2x，2362xxyx++=−，当x取得_

_______时；y取得最小值为_________；类型四：二次与二次（一次）商式（换元法）典型例题例题1．（2022·天津·南开中学模拟预测）若实数x，y满足0xy，且4xy=，则()2xyxy−+的最大值为______.例题2．（2022·全国·高一专题练习

）函数25(2)2xxyxx+−=−的最小值为______．同类题型演练1．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）函数28(1)1xyxx+=−的最小值为___．2．（2022·内蒙古·鄂尔多斯市第一中学高

二阶段练习（理））设0x，则函数()()521xxyx++=+的最小值为（）A．10B．9C．8D．7类型五：常数代换“1”的代换典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知0a，0b，431ab+=，则13ba

+的最小值为（）A．13B．19C．21D．27例题2．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数x，y满足12+=yx，则4xy+的最小值是（）A．4B．92C．5D．9例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知,xy都是正数，且2xy+=，则4121xy+++的最小值为（）A．13

15B．2C．95D．3例题4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数0,0xy满足xyxy+=，则4xy+的最小值为（）A．8B．9C．7D．10例题5．（2022·云南丽江·高一期末）若正数a，b满足2abab+=，则2ab+的最小值为_______

____.同类题型演练1．（2022·全国·高一专题练习）已知0a，0b，32abab+=，则ab+的最小值为（）A．2B．3C．22+D．23+2．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设m，n为正数，且2mn+=，则4111mn+++的最小值为（）A．134B．

94C．74D．953．（2022·江苏·高三专题练习）已知0,0ab，且111ab+=，则4ab+的最小值是（）A．2B．6C．3D．94．（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足111xy+=，则4xy+最小值为______．5．

（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知0x，0y，26xy+=，则21xy+的最小值为__________．6．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）非负实数x，y满足260xyxy−−=，则2xy+的最

小值为______．类型六：消元法典型例题例题1．（2022·贵州遵义·高一期末）负实数x，y满足2xy+=−，则1xy-的最小值为（）A．0B．1−C．2−D．3−例题2．（2021·江苏·高一专题练习）已知()()1,1,112xyxy

−−=，则24xy+的最小值是（）A．14B．626+C．8D．426+同类题型演练1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足220aba+−=，则4ab+的最小值是（）A．2B．422−C．432−D．62．（

2021·湖南长沙市湖南师大附中高二月考）若正数,xy满足2310xxy+−=，则xy+的最小值是___________.类型七：对钩函数典型例题例题1．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）函数4(3)yxxx=+的最小值为（）A．133B．

2C．3D．4【错解】D4424yxxxx=+=故选：D（错解在于利用基本不等式求最值问题，要满足一正，二定，三相等，显然本例中，等号成立当且仅当4xx=，即2x=取不到.）例题2．（2022·全国·高一专题练习）求函数2254xyx+=+的

最值.同类题型演练1．（2021·福建·厦门双十中学高一期中）若3x，则91yxx=++的最小值是（）A．6B．5C．214D．32．（2021·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高一期中）已知6x，求42yxx=+−的最小值___________．