【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修一 3．3 幂函数 Word版含解析.docx，共(6)页，250.254 KB，由管理员店铺上传

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第三章函数的概念与性质3．3幂函数例证明幂函数()fxx=是增函数.证明：函数定义域是[0,)+.1x，2[0,)x+，且12xx，有()()1212fxfxxx−=−()()121212xxxxxx−+=+1212

xxxx−=+.因120xx−，120xx+，所以()()12fxfx，即幂函数()fxx=是增函数.练习1.已知幂函数yx=的图象过点(2,2)，试求出这个函数的解析式.【答案】12yx=【解析】【分析】直接带点

计算即可.【详解】由已知22=，得12=，即12yx=.2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）3(1.5)−，3(1.4)−；（2）11.5−，11.4−.【答案】（1）33(1.5)(1.4)−−；（2）111.51.4−−.【解析】【分析】（1）根据3()fxx=

的单调性比较大小；（2）根据1()gxx=在(,0)−上的单调性比较大小.【详解】解：（1）设3()fxx=，则()fx在R上为增函数.1.51.4−−，33(1.5)(1.4)−−.的为（2）设1(

)gxx=，则()gx在(,0)−上为减函数，1.51.40−−，111.51.4−−.【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用，属于基础题.3.根据单调性和奇偶性的定义证明函数3()fxx=的单调性和奇偶性.【答案】证明见解析.【解

析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断，利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.【详解】证明：3()fxx=的定义域为R.任取12,Rxx，且12xx，则()()()()33221212121122fxfxxxxxxxxx−=−=−++

()22121221324xxxxx=−++.12,Rxx，且12xx，120xx−，2212213024xxx++.()()120fxfx−，即()()12fxfx.3()fxx=在R上为增函数.又33()()()fxxx

fx−=−=−=−，3()fxx=为奇函数.【点睛】本题考查幂函数的单调性及奇偶性的证明，属于基础题.习题3．3复习巩固4.画出函数||yx=的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.【答案】图像见解析，偶函数，讨论见解析【解析】【分析】将绝对值去掉

，将函数解析式写出分段函数的形式，再根据幂函数的性质及图象画出函数图象，从而可以判断函数的奇偶性和单调性.【详解】解：,0,0xxyxxx==−…yx=的图象如图所示，设()||,fxyx==()f

x的定义域为R.()||||()fxxxfx−=−==，()||yfxx==为偶函数.当[0,)x+时，||yx=为增函数，证明如下：设任意的12,[0,)xx+，且12xx，则12121212

12xxyyxxxxxx−−=−=−=+.12,[0,)xx+，且1212,0,0xxxx，…1212120,0,0xxxxyy+−−即12yy.||yx=在[0,)+上为增函数.当(,0]x

−时，||yx=为减函数，证明如下：设任意的12,(,0]xx−，且12xx，则2112121212xxyyxxxxxx−−=−=−−−=−+−.12,(,0]xx−，且1212,0xxxx−+−，21120.0xxyy−−即12yy.||yx=在(,0]−

上是减函数.【点睛】本题考查分段函数及幂函数的图象及性质，属于中档题.综合运用5.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位：3/cms）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比.（1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式；（2）若气体

在半径为3cm的管道中，流量速率为3400/cms，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到31/cms）.【答案】（1）4vkr=；（2）440081vr=

；（3）33086/cms【解析】【分析】（1））设比例系数为k，由题意可得：4vkr=．（2）代入可得k．（3）利用（2）的表达式即可得出．【详解】解：（1）设比例系数为k，气体的流量速率v关于管道半径r的函数解析式为4vkr=.（2）将3r=与400v=代入4vkr=中，有44003k=

.解得40081k=，所以，气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式为440081vr=.（3）当=5r时，43400250000530868181/svcm==.所以，当气体81通过的管道半径为5cm时，该气体的流量速率约为33086/cms.【点睛】本题考查了正比例函数的解析式及

幂函数其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.试用描点法画出函数2()fxx−=的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.【答案】图像见解析，定义域：{|0}xx，值域：{|0}yy，讨论见解析，证明见解析【解析】【分析】函数221(

)fxxx−==，可得0x．可得定义域，20x，可得210x，可得值域；在求解奇偶性，并作出其大致图象，利用定义证明单调性即可；【详解】解：21()fxx=.列表：x…-3-2-1123…()fx…1914111419…描点，连线.图象如图所示.定义域：{|0}xx，值域：{|0

}yy.2()fxx−=在(,0)−上是增函数，在(0,)+上是减函数.证明如下：设任意的12,(,0)xx−，且12xx.则()()()()222121211222222212121211xxxxxxfxfxxxxxxx+−−−=−==.22121212210,0,0,0xxxxxx

xx+−.()()120fxfx−，即()()12fxfx，2()fxx−=在(,0)−上是增函数.设任意的12,(0,)xx+，且12xx，则()()()()2121122222121211xxxxfxfxxxxx+−−=−=.120xx

，222112210,0,0xxxxxx+−()()120fxfx−，即()()12fxfx.2()fxx−=在(0,)+上是减函数.22()()()fxxxfx−−−=−==2()fxx−=是偶函数.【点睛

】本题考查幂函数的图象及性质，单调性的证明，属于中档题．