【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修一 3.3 幂函数 Word版含解析.docx,共(6)页,250.254 KB,由管理员店铺上传
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第三章函数的概念与性质3.3幂函数例证明幂函数()fxx=是增函数.证明:函数定义域是[0,)+.1x,2[0,)x+,且12xx,有()()1212fxfxxx−=−()()121212xxxxxx−+=+12
12xxxx−=+.因120xx−,120xx+,所以()()12fxfx,即幂函数()fxx=是增函数.练习1.已知幂函数yx=的图象过点(2,2),试求出这个函数的解析式.【答案】12yx=【解析】【分析】直接带
点计算即可.【详解】由已知22=,得12=,即12yx=.2.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:(1)3(1.5)−,3(1.4)−;(2)11.5−,11.4−.【答案】(1)33(1.5)(1.
4)−−;(2)111.51.4−−.【解析】【分析】(1)根据3()fxx=的单调性比较大小;(2)根据1()gxx=在(,0)−上的单调性比较大小.【详解】解:(1)设3()fxx=,则()fx
在R上为增函数.1.51.4−−,33(1.5)(1.4)−−.的为(2)设1()gxx=,则()gx在(,0)−上为减函数,1.51.40−−,111.51.4−−.【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用,
属于基础题.3.根据单调性和奇偶性的定义证明函数3()fxx=的单调性和奇偶性.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断,利用定义法证明函数的单调性,按照:设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.【详解】证明:3()fxx=的定义域为R.任取12,R
xx,且12xx,则()()()()33221212121122fxfxxxxxxxxx−=−=−++()22121221324xxxxx=−++.12,Rxx,且12xx,120xx−,2212213024xxx++.()()120fxfx
−,即()()12fxfx.3()fxx=在R上为增函数.又33()()()fxxxfx−=−=−=−,3()fxx=为奇函数.【点睛】本题考查幂函数的单调性及奇偶性的证明,属于基础题.习题3.3复习巩固4.画出函数||yx=的
图象,并判断函数的奇偶性,讨论函数的单调性.【答案】图像见解析,偶函数,讨论见解析【解析】【分析】将绝对值去掉,将函数解析式写出分段函数的形式,再根据幂函数的性质及图象画出函数图象,从而可以判断函数的奇偶性和单调性.【详解】解:,0,0xxyxxx==−
…yx=的图象如图所示,设()||,fxyx==()fx的定义域为R.()||||()fxxxfx−=−==,()||yfxx==为偶函数.当[0,)x+时,||yx=为增函数,证明如下:设任意的12,[0,)xx+,且12xx,则1212121
212xxyyxxxxxx−−=−=−=+.12,[0,)xx+,且1212,0,0xxxx,…1212120,0,0xxxxyy+−−即12yy.||yx=在[0,)+上为增函数.当(,0]x−时,||yx=为减函数
,证明如下:设任意的12,(,0]xx−,且12xx,则2112121212xxyyxxxxxx−−=−=−−−=−+−.12,(,0]xx−,且1212,0xxxx−+−,21120.0xxyy−−即12yy.||yx=在(,0]−上是减
函数.【点睛】本题考查分段函数及幂函数的图象及性质,属于中档题.综合运用5.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率v,(单位:3/cms)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.(1)写出气体流量速率v,关于管道半径r的函数解析式;(2)若气体在半径为3
cm的管道中,流量速率为3400/cms,求该气体通过半径为r的管道时,其流量速率v的表达式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm,计算该气体的流量速率(精确到31/cms).【答案】(1)4vkr=;(2)440081
vr=;(3)33086/cms【解析】【分析】(1))设比例系数为k,由题意可得:4vkr=.(2)代入可得k.(3)利用(2)的表达式即可得出.【详解】解:(1)设比例系数为k,气体的流量速率v关于管道半径r的函数解析式为4v
kr=.(2)将3r=与400v=代入4vkr=中,有44003k=.解得40081k=,所以,气体通过半径为r的管道时,其流量速率v的表达式为440081vr=.(3)当=5r时,43400250000530868181/svcm==.
所以,当气体81通过的管道半径为5cm时,该气体的流量速率约为33086/cms.【点睛】本题考查了正比例函数的解析式及幂函数其应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6.试用描点法画出函数2()fxx−=的图象,求函数的定义域、值域;讨论函数的单调性、奇偶性,并
证明.【答案】图像见解析,定义域:{|0}xx,值域:{|0}yy,讨论见解析,证明见解析【解析】【分析】函数221()fxxx−==,可得0x.可得定义域,20x,可得210x,可得值域;在求解奇偶
性,并作出其大致图象,利用定义证明单调性即可;【详解】解:21()fxx=.列表:x…-3-2-1123…()fx…1914111419…描点,连线.图象如图所示.定义域:{|0}xx,值域:{|0}yy.2()fxx−=
在(,0)−上是增函数,在(0,)+上是减函数.证明如下:设任意的12,(,0)xx−,且12xx.则()()()()222121211222222212121211xxxxxxfxfxxxxxxx+−−−=−==.2212121221
0,0,0,0xxxxxxxx+−.()()120fxfx−,即()()12fxfx,2()fxx−=在(,0)−上是增函数.设任意的12,(0,)xx+,且12xx,则()()()()2121122222121211xxxxfxfxxxxx+
−−=−=.120xx,222112210,0,0xxxxxx+−()()120fxfx−,即()()12fxfx.2()fxx−=在(0,)+上是减函数.22()()()fxxxfx−−−=−==2()fxx−=是偶函数.【点睛】本题考查幂函数
的图象及性质,单调性的证明,属于中档题.