【文档说明】2021高考数学浙江专用一轮习题：专题8第59练向量法求解空间角和距离问题【高考】.docx，共(11)页，579.877 KB，由小赞的店铺上传

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1．若平面α1，α2垂直，则下列向量可以是这两个平面的法向量的是()A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2

，－2)2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD1所成角的余弦值为()A.26B.36C.56D.133．(2020·宁波市慈溪市三山高级中学等六校期末)空间中一

点A(－2,3,1)到平面xOy的距离为()A．2B．3C．1D.144.(2019·浙江省金华十校期末调研)如图，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝π2，∠ABC＝π4，BC＝BD＝1，AB＝2，则异面直线AB与CD所成角

的大小是()A.π2B.π3C.π4D.π65．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，CC1的中点，则直线A1E与平面B1D1F所成角的正弦值是()A.155B.1510C.55D.30106．如图，在长方体ABCD－A1B1

C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，点P为CC1的中点，则异面直线AP与C1D1所成角的正切值为()A.54B.34C.24D.147．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的法向量为a＝(2，－2,1)，已知P(－1,3,2)，则P到平面

OAB的距离等于()A．4B．2C．3D．18．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为()A．2B．3C．4D．59．

(2019·浙江省慈溪市六校期中)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)与点B(1，－3,1)，则|AB|＝________，若在z轴上有一点M满足|MA|＝|MB|，则点M的坐标为________．10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为

菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，PA＝2，则异面直线AC与PB所成角的余弦值为________．11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，在空间中到三条棱AB，CC1，A1D1所在直线距离相等的点的个数为()A．0B

．2C．3D．无数个12．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ的最大值为()A.43B.53C．2D.2

5913．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AB＝AC＝AA1，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成锐二面角为π6，当B1M最小时，∠AMB等于()A.5π

12B.π3C.π4D.π614．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为4的菱形，且∠BAD＝60°，点A1在底面的投影O是AC的中点，且A1O＝4，点C关于平面C1BD的对称点为P，则三棱锥P－ABD的体积是()A．4B．33C．43D．815．已知正方体ABCD－A1B1C

1D1的棱长为2，O是平面ABCD的中心，点P在棱C1D1上移动，则OP取最小值时，直线OP与对角面A1ACC1所成的线面角的正切值为________．16．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底

面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动点，则线段PQ长度的最小值为________．答案精析1．A2.A3.C4.B5.D6.A7.B8．C9.10(0,0，－3)10.37141

1．D[建立如图所示的空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为DB1→＝(1,1,1)，所以设P(a，a，a)，其中0≤a≤1.作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1

的距离．所以PF＝a2＋(1－a)2，同理点P到直线AB，CC1的距离也是a2＋(1－a)2.所以B1D上任一点与正方体ABCD－A1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离都相等，所以与

正方体ABCD－A1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选D.]12．B[如图所示，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A

(3,0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,4)，设点P(m,3，n)，则0≤m≤3,0≤n≤4，AP→＝(m－3,3，n)，BD1→＝(－3，－3,4)，因为AP⊥BD1，则AP→·BD1→＝－3(m－3)＋3×(－3)＋4n＝－3m＋4n＝0，得n

＝34m，因为平面BCC1B1的一个法向量为a＝(0,1,0)，所以sinθ＝|AP→·a||AP→|·|a|＝3(m－3)2＋9＋n2＝3(m－3)2＋9＋34m2＝32516m2－6m＋18，当m＝－－62×2516＝4825∈[0,3]时，

sinθ取最大值，此时，tanθ也取最大值，且(sinθ)max＝32516×48252－6×4825＋18＝534，此时，cosθ＝1－sin2θ＝334，因此，(tanθ)max＝534×343＝

53，故选B.]13．B[以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设|AB|＝|AC|＝|AA1|＝1，设CN＝b，BM＝a，则N(0,1，b)，M(1,0，a)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，AM→＝(1,0，a)，AN→＝(0,1

，b)，设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，则AM→·n＝x＋az＝0，AN→·n＝y＋bz＝0，取z＝1，得n＝(－a，－b,1)，又平面ABC的法向量为m＝(0,0,1)，∵平面AMN与平面ABC所成锐二面角为π6，∴cosπ6＝|m·n||m|·|n|＝1a2＋b2＋1

，解得3a2＋3b2＝1，∴当|B1M|最小时，b＝0，|BM|＝a＝33，∴tan∠AMB＝|AB||BM|＝133＝3，∴∠AMB＝π3.故选B.]14．C[因为平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为4的菱形，所以OA⊥OB，因为点A1在底面

的投影O是AC的中点，所以OA1⊥OB，OA1⊥OA，故以O点为原点，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则O(0,0,0)，A(23，0,0)，B(0,2，0)，C(－23，0,0)，A1(0,0,4)，C

1(－43，0,4)，D(0，－2,0)，则DC1→＝(－43，2,4)，DB→＝(0,4,0)，设平面C1BD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，故n1·DB→＝0，n1·DC1→＝0，即4y1＝0，－43x1＋2y1＋4z

1＝0，令x＝1，解得n1＝(1,0，3)，设点P(x2，y2，z2)，则CP→＝(x2＋23，y2，z2)，因为点C关于平面C1BD的对称点为P，所以CP→∥n1，所以CP→＝λn1，即(x2＋23，y2，z2)＝λ(1,0，3)，解得x2＝λ－23

，y2＝0，z2＝3λ，即P(λ－23，0，3λ)，又因为点C到平面C1BD的距离等于点P到平面C1BD的距离，所以|C1P→·n1||n1|＝|C1C→·n1||n1|，即|2λ－3|＝3，解得λ＝3或λ＝0，当λ＝0时，点P与点C重合，不符合题意，当λ＝3时，点P(－3，0,3)，显然

，平面ABD的法向量为n＝(0,0,1)，故点P到平面ABD的距离为|AP→·n||n|＝|0＋0＋3|1＝3，所以三棱锥P－ABD的体积为VP－ABD＝13×3×12×4×23＝43，故选C.]15.13解析由题意，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所

示的空间直角坐标系，则O(1,1,0)，设P(x,2,2)(0≤x≤2)．则|OP|＝(1－x)2＋(1－2)2＋(0－2)2＝(x－1)2＋5，所以当x＝1，即P为C1D1中点时，OP取最小值5，此时点P(1,2,2)，所以OP→＝(0,1,2)，又由BD⊥平面A1ACC1，

且BD→＝(－2,2,0)，即平面A1ACC1的一个法向量为BD→＝(－2,2,0)，设OP与平面A1ACC1所成的角为θ，由线面角的公式可得sinθ＝|cos〈OP→，BD→〉|＝|OP→·BD→||

OP→|·|BD→|＝2210＝110，因为θ∈0，π2，由三角函数的基本关系式，可得tanθ＝13.16.33434解析以B1为坐标原点，B1C1，B1A1所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则B1(0,0,0)，A(1,2,3)，C

(2,1,3)，D(2,2,3)，设B1Q→＝λB1D→，AP→＝μAC→，λ，μ∈[0,1]．则B1Q→＝(2λ，2λ，3λ)，B1P→＝B1A→＋AP→＝B1A→＋μAC→＝(1＋μ，2－μ，3)．所以QP→＝B1P→－B1Q→＝

(1＋μ－2λ，2－μ－2λ，3－3λ)，|QP→|2＝(1＋μ－2λ)2＋(2－μ－2λ)2＋(3－3λ)2＝17λ2－30λ＋2μ2－2μ＋14＝17λ－15172＋2μ－122＋934，当

λ＝1517且μ＝12时，|QP→|2取到最小值934，所以线段PQ长度的最小值为33434.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com