【文档说明】湖北省荆州市八县市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题（详解版）.docx，共(21)页，1.494 MB，由envi的店铺上传

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2021~2022学年度上学期期末质量检测高二数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自已的姓名､考试科目､准考证号填写在答题卡和试题卷规定的位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”

.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题处上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上

；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小

题给出的四个选项中只有一个1.直线12,ll的斜率是方程220xx−−=的两根，则1l与2l的位置关系是（）A.平行B.重合C.相交但不垂直D.垂直【答案】C【解析】【分析】由韦达定理可得方程的两根之积为2−，从而可知直线

1l、2l的斜率之积为2−，进而可判断两直线的位置关系【详解】设方程220xx−−=的两根为1x、2x，则122xx=−．直线1l、2l的斜率122kk=−，故1l与2l相交但不垂直．故选：C．2.抛物线24xy=的焦点是A.(1,0)−B.(1,0)C.(0,1)−D.(0

,1)【答案】D【解析】【分析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出p即得焦点坐标.【详解】焦点在y轴上，又2p=，故焦点坐标为()0,1，故选D.【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.3

.等差数列na中，已知376aa+=，则9S=（）A.36B.27C.18D.9【答案】B【解析】【分析】直接利用等差数列的求和公式及等差数列的性质求解.【详解】解：由题得91937999()()627222Saaaa=+=+==.故选：B4.以下四个命题中，正确的

是（）A.若1123OPOAOB=+，则,,PAB三点共线B.()abcabc=∣C.ABC为直角三角形的充要条件是0ABAC=D.若,,abc为空间的一个基底，则,,abbcca+++构成空间的另一

个基底【答案】D【解析】【分析】利用向量共线的推论可判断A，利用数量积的定义可判断B，利用充要条件的概念可判断C，利用基底的概念可判断D.【详解】对于A，若1123OPOAOB=+，11123+，所以,,PAB三点不共线，故A错误；对于B，因为()cos,abcabcab=

，故B错误；对于C，由0ABAC=可推出ABC为直角三角形，由ABC为直角三角形，推不出0ABAC=，所以ABC为直角三角形的充分不必要条件是0ABAC=，故C错误；对于D，若,,abc为空间的一个基底，则,,abc不共面，若

,,abbcca+++不能构成空间的一个基底，设()()()1abxbcxca+=++−+，整理可得()1=+−rrrcxaxb，即,,abc共面，与,,abc不共面矛盾，所以,,abbcca+++能构成空间的另一个基底，故D正确.故选：D.5.已知平面内

有一点()2,1,2A−，平面的一个法向量为()3,1,2=n，则下列四个点中在平面内的是（）A.()10,1,4PB.()21,3,1PC.()31,3,5P−D.()41,3,5P−−【答案】A【解析】【分析】设所求点的坐标为(),,Pxyz，由0nAP=，逐一验证选项即可．【详解

】设所求点的坐标为(),,Pxyz，则()2,1,2APxyz=−+−，因为平面的一个法向量为()3,1,2n=，所以，()()()321223290nAPxyzxyz=−+++−=++−=，对于选项A，3293012490xyz++−=++−=，对于选项B，3293132190x

yz++−=++−，对于选项C，3293132590xyz++−=−+−，对于选项D，()()3293132590xyz++−=−++−−．故选：A．6.已知点()()2,3,2,1AB−−，若直线():12lykx=--与线段AB没有公共点，则k的取值范围是（

）A.1,53−B.1,3−−C.()5,+D.()1,5,3−−+【答案】A【解析】【分析】分别求出,PBPAkk，即可得到答案.【详解】直线():12lykx=--经过定点()1,2P−.因为()()2,3,

2,1AB−−，所以()()()321215,21213PAPBkk−−−−−====−−−−,所以要使直线():12lykx=--与线段AB没有公共点，只需：PBPAkkk，即153k−.所以k的取值范围是1,53

−.故选：A7.已知数列na满足111,41nnnaaaa+==+，则满足129na的n的最大取值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】【分析】首先地推公式变形，得1114nnaa+−=，111a=，求得数列n

a的通项公式后，再解不等式.【详解】因为141nnnaaa+=+，两边取倒数，得1411nnnaaa++=，整理为：1114nnaa+−=，111a=，所以数列1na禳镲睚镲铪是首项为1，公差为4的等差数列，()111443

nnna=+−=−，143nan=−，因为129na，即114329n−，得4329n−，解得：18n，*nN,所以n的最大值是7.故选：B8.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命

题：平面内与两定点距离的比为常数(0kk且1)k的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆2222:1(0),,xyTabABab+=为椭圆T长轴的端点，,CD为椭圆T短轴的端点，E，F分别为椭圆T的左右焦点，动点M满足2,MEMABMF=面积的最大值为

46,MCD面积的最小值为2，则椭圆T的离心率为（）A.63B.33C.22D.32【答案】A【解析】【分析】由题可得动点M的轨迹方程222516()39ccxy−+=，可得1424623ac=，112223bc=，即求.【详解】设()

,Mxy，()(),0,,0EcFc−，由2MEMF=，可得()()22222xcyxcy++=−+=2，化简得222516()39ccxy−+=.∵△MAB面积的最大值为46,MCD面积的最小值为2，∴1424623

ac=，112223bc=，∴222213baac==−，即2223ca=，∴63e=．故选：A．二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有

选错的得0分.）9.已知事件,AB，且()()0.3,0.4PAPB==，则下列结论正确的是（）A.如果A与B互斥，那么()()0.7,0PABPAB==B.如果A与B相互独立，那么()()0.42,0.18PPABAB==C.如果AB，那么()()0.3,0.4PAB

PAB==D.如果A与B相互独立，那么()()0.7,0PABPAB==【答案】AB【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的定义，概率公式，分别判断选项.【详解】A选项：如果A与B互斥，那么()()()0.7PABPAPB

=+=，()0PAB=，故A选项正确；B选项：如果A与B相互独立，那么()()()()()()()110.70.60.42PABPAPBPAPB==−−==，()()()0.30.60.18PABPAPB===，故B正确；C选项：如果A

B，则()()0.4PABPB==，()()0.3PABPA==，故C错误；D选项：如果A与B相互独立，.()()()0.7PABPAPB=+=，()()()0.12PABPAPB==，故D错误故选：AB10.以下四个命题表述正确的是（）A.直线()()()13120

Rmxmym+−++=恒过定点()1,3B.圆224xy+=上有4个点到直线:20lxy−+=的距离都等于1C.圆22120C:xyx++=与圆222480C:xyxym+−−+=恰有一条公切线，则4m

=D.已知圆22:1Cxy+=，点P为直线20xy+−=上一动点，过点P向圆C引两条切线,PAPBAB､､为切点，则直线AB经过定点11,22【答案】AD【解析】【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于

半径差列式求得m判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D．【详解】由()()()13120Rmxmym+−++=，得()230xymxy−++−=，联立2030xyxy−+=−=，解得13xy==，直线()

()()13120Rmxmym+−++=恒过定点(1,3)，故A正确；圆心(0,0)到直线:20lxy−+=的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线:20lxy−+=的距离等于1，故B错误；两圆恰

有一条公切线，则两圆内切，曲线22120C:xyx++=化为标准式22(1)1xy++=，圆心()11,0C−，半径为1，曲线222480C:xyxym+−−+=化为标准式22(2)(4)200xym−+−

=−，圆心()22,4C，半径为20m−，∴圆心距为()222145201m++==−−，解得16m=−，故C错误；设点P坐标为(,)mn，则20mn+−=，以OP为直径的圆的方程为220xymxny+−−=，两圆的方程作差得直线AB的方程为：1mxny+=，消去n得，()210m

xyy−+−=，令0xy−=，210y−=，解得12x=，12y=，故直线AB经过定点11,22，故D正确．故选：AD.11.一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的34再落

下.设它第n次着地时，经过的总路程记为nS，则当3n时，下面说法正确的是（）A.700nSB.700nS的C.nS的最小值为7252D.nS的最小值为250【答案】BC【解析】【分析】由运动轨迹分析列出总路程nS关于n的表

达式，再由表达式分析数值特征即可.【详解】由题可知，第一次着地时，1100S=；第二次着地时，231002004S=+；第三次着地时，233310020020044S=++；……第n次着地后，213331002002002004

44nnS−=++++则211333310020010060014444nnnS−−=++++=+−，显然70

0nS，又nS是关于n的增函数，3n，故当3n=时，nS的最小值为52572510022+=；综上所述，BC正确故选：BC.12.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线22:1Cxyxy+=+就是其中之一（如图）.给出下列四个结论，其中正确结论是（）A.图形关于y轴对称B.曲线C恰好经过4

个整点（即横､纵坐标均为整数的点）C.曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2D.曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3【答案】ACD【解析】【分析】将x换成x−方程不变，得到图形关于y轴对称，根据对称性，分类讨论，逐一判定，即可

求解.【详解】对于A，将x换成x−方程不变，所以图形关于y轴对称，故A正确；对于B，当0x=时，代入可得21y=，解得1y=，即曲线经过点(0,1),(0,1)−，当0x时，方程变换为2210yxyx−+−=，由224(1)0xx=−−，解得230,3x，所以

x只能取整数1，当1x=时，20yy−=，解得0y=或1y=，即曲线经过(1,0),(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0),(1,1)−−，故曲线一共经过6个整点，故B错误；对于C，当0x时，由221xyxy+=+可得22

2212xyxyxy++−=，（当xy=时取等号），222xy+，222xy+，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2，故C正确；对于D，如图所示，在x轴上图形的面积

大于矩形ABCD的面积：1122S==，x轴下方的面积大于等腰三角形ABE的面积：212112S==，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故D正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了命题的真假判定及应用，以及曲线与方程的应

用，其中解答中合理利用图形的对称性，逐一判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图：二面角l−−等于135，,AB是棱l上两点，,ACBD分别在半平面､内，,,1,2A

ClBDlABACBD⊥⊥===，则CD的长等于__________.【答案】6【解析】【分析】由题意，二面角l−−等于135，根据CDCAABBD=++，结合向量的运算，即可求解.【详解】由题意，二面角l−−等于135，可得向量

,135ACBD=，,90ACAB=，,90ABBD=因为,,1,2AClBDlABACBD⊥⊥===，可得CDCAABBD=++,所以2()CDCAABBDCAABBD=++=++222222CAABBDCAABCABDABBD=+++++()2221120212cos

4506=+++++=.故答案为：614.已知定点()4,2A，动点MN､分别在直线yx=和0y=上运动，则AMN的周长取最小值时点N的坐标为__________.【答案】10,03【解析】【分析】作点()4,2A分别关于直线yx=和0y=的对称点，根据对称性即可求出三角

形周长的最小值，利用三点共线求出N的坐标.【详解】如图所示：定点()4,2A关于函数yx=对称点()24B，，关于x轴的对称点()42C−，，当BC与直线yx=和0y=的交点分别为,MN时，此时AMN的周长取最小值，且最小值为()22(24)42210BC=−++=．此时点(),0Nx的

坐标满足2044224x−−=−−−，解得103x=，即点10,03N.故答案为：10,03.15.已知12,FF是椭圆22163xy+=的两个焦点，,AB分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P在线段AB上，则12PFPF的最小值为___

_______.【答案】1−【解析】【分析】由题可设(),Pxy，则23,602yxx=+−，然后利用数量积坐标表示及二次函数的性质即得.【详解】由题可得()()123,0,3,0FF−，()()6,0,0,3AB−，设(),Pxy，因为点P在线段AB上，所以

，23,602yxx=+−的∴()()123,3,PFPFxyxy=+−22223363=61223xyxxx=+−+=+−，∴当63x=−时，12PFPF的最小值为1−.故

答案为：1−.16.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，下图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,5,12,22称为五边形数，则三角形数的第10项为__

________，五边形数的第n项为__________.【答案】①.55②.232nn−【解析】【分析】对于三角形数，根据图形寻找前后之间的关系，从而归纳出规律利用求和公式即得，对于五边形数根据图形寻找前后之间的关系，然后利用

累加法可得通项公式.【详解】由题可知三角形数的第1项为1，第2项为3=1+2，第3项为6=1+2+3，第4项为10=1+2+3+4，L，因此，第10项为()1011012310552+++++==；五边形数的第1项为11a=，第2项为25a=，第3项为312a=，第4项为422a

=，…，因此，131nnaan+−=+，所以当2n时，()()()121321nnnaaaaaaaa−=+−+−++−()()23131473222nnnnn−−=++++−==,当1n=时也适合，故232nnn

a−=，即五边形数的第n项为232nn−.故答案为：55；232nn−.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情

况，分别评定为,,,ABCD四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级,,ABC的概率分别是313,,4832.（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元

的概率.【答案】（1）78（2）316【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件()()1221ABAB，同样利用互斥事件和的概率，即可求解.【小问1详解】

设事件,,,ABCD分别表示“被评为等级,,,ABCD”，由题意，事件,,,ABCD两两互斥，所以()31311483232PD=−−−=，又AB=“不被罚款”，所以317()()()488PABPAPB=+=+=.因此“不被罚款”概率为78；【小问2详解】设事件,,,iiiiABCD表示

“第i单被评为等级,,,ABCD”，1,2i=，则“两单共获得的奖励为3元”即事件()()1221ABAB，且事件1221,ABAB彼此互斥，的又()()12213134832PABPAB===，所以()()()()122112213323

216PPABABPABPAB==+==.18.在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点()0,2A和()4,6,CAB所在直线的方程为320xy−+=.（1）求对角线BD所在直线的一般方程；（2）求AD所在直线的一般方程.【答案】（1）6

0xy+−=（2）360xy−+=【解析】【分析】（1）首先求AC的中点，再利用垂直关系求直线BD的斜率，即可求解；（2）首先求点B的坐标，再求直线BC的斜率，求得直线AD的斜率，利用点斜式直线方程，即可求解.【小问1详解】由()0,2A和()4,6C得：AC中点()2,4

M四边形ABCD为菱形621,40ACkBDAC−==⊥−，1BDk=−，且()2,4MBD中点，对角线BD所在直线方程为：()42yx−=−−，即：60xy+−=.【小问2详解】由60320xyxy+−=−+=，解得：()1,5B

，651413BCk−==−，//ADBC，13ADk=，为直线AD的方程为：132yx−=，即：360xy−+=.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，2,3ABAP==，直线PA垂直于平面,,ABCDEF分别为,

PAAB的中点，直线AC与DF相交于O点.（1）证明：OE与CD不垂直；（2）求二面角BPCD−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）413−.【解析】【分析】（1）以点A为坐标原点，AB、AD

、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出点O的坐标，计算得出0OECD，即可证得结论成立；或利用反证法；（2）利用空间向量法即求.【小问1详解】方法一：如图以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直

线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,2,0C、()0,2,0D、()0,0,3P、30,0,2E、()1,0,0F．设(),,0Ott，因为()1,,0FOtt=−，()1,2,0FD−=u

uur，因为//FOFD，所以112−=−tt，得23t=，即点22,,033O，因为223,,332OE=−−，()2,0,0CD=−，所以403=OECD，故OE与CD不垂直．方法二：假设OE与CD垂直，又直线PA⊥平面,ABCDCD平面AB

CD，所以PACD⊥.而PA与OE相交，所以CD⊥平面PAC又CA平面PAC，从而CDCA⊥又已知ABCD是正方形，所以CD与CA不垂直，这产生矛盾，所以假设不成立，即OE与CD不垂直得证.【小问2详解】设平面PBC的法向量为()11

1,,mxyz=r，又()()()0,2,0,0,0,3,2,0,0DPB，()2,2,0C因为()()2,0,3,0,2,0BPBC=−=，所以11123020BPmxzBCmy=−+===，令13x=，得()3,0,2m=r.设平面PCD的法向量为()222,,nxyz=r，因为

()()2,0,0,0,2,3CDPD=−=−，所以22220230CDnxPDnyz=−==−=，令23y=，得()0,3,2n=.因为4cos,13mnmnmn==.显然二面角BPCD−−为钝二面角，所以二面角BPCD−−的余弦值是413−.20.已

知直线:3100lxy++=，半径为10的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.（1）求圆C的方程；（2）过点()2,0M的直线与圆C交于,AB两点(A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求

出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22:10Cxy+=；（2）存在，()5,0.【解析】【分析】（1）设出圆心(),0Ca，根据圆心到直线距离等于半径列方程求出a的值可得圆心坐标，进而可得圆的

方程；（2）由题可设直线AB的方程为2xmy=+，与圆的方程联立，利用韦达定理及ANBNkk=−可得()50mt−=，即得.【小问1详解】由已知可设圆心(),0,(10)Caa−，则101010a+=，解得0a=或20a=−（舍）.所以圆22:10Cxy+=.【小问2详解】的由

题可设直线AB的方程为()()()11222,,0,,,,xmyNtAxyBxy=+，由22102xyxmy+==+，得到：()221460,Δ0mymy++−=显然成立，所以12122246,11myyyy

mm−−+==++.①若x轴平分ANB，则ANBNkk=−，所以：12120yyxtxt+=−−，整理得：()()1212220myytyy+−+=，将①代入整理得()50mt−=对任意的m恒成立，则5t=.∴存在点N为()5,0时，使

得x轴平分ANB.21.已知数列na满足222122naanann+++=+.（1）求数列na的通项公式；（2）设2nnba=，数列nb的前n项和为nS，证明：当2n时，42nSn−.【答案】（1）2nan=；（2）证明见解析.【解析】【分析】

（1）利用前n项和与na的关系即求；（2）由题知4nbnn=+()4411nnnn=−−+−，然后利用裂项相消法即证.【小问1详解】由222122naanann+++=+，可得()222*1212(1)(1)1N,2naanannnn−+++−=−+−，两

式相减可得()*2N,2nannn=，当1n=时，12a=，满足2nan=，所以2nan=.【小问2详解】∵242nnbannn===+，因为()44411nnnnnn=−−++−，所以当2n时，()()()242132142nSnnn

+−+−++−−=−.22.已知曲线C上任意一点(),Pxy满足方程2222(3)(3)2xyxy++−−+=，（1）求曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C在y轴左､右两侧的交点分别是,QP，且0OPOQ=，求22||OPOQ+的最小值.【答案】（1）221

2yx−=（2）8【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义即可得出答案；（2）可设直线OP的方程为()0ykxk=，则直线OQ的方程为1=−yxk，由2212yxykx−==，求得2OP，同理求得2OQ，从而可求得2211

||||OPOQ+的值，再结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】解：设()()123,0,3,0FF−，则2222(3)(3)2xyxy++−−+=，等价于12122PFPFFF−=，曲线C为以12,FF为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为23，故曲线C的方程为：2

212yx−=；【小问2详解】解：由题意可得直线OP的斜率存在且不为0，可设直线OP的方程为()0ykxk=，则直线OQ的方程为1=−yxk，由2212yxykx−==，得222222222xkk

yk=−=−，所以()2222221||2kOPxyk+=+=−，同理可得，()2222212121||1212kkOQkk++==−−，所以()()()22222222211111||||22121kkkOPOQkk−+−++===++，()

()22222222112222228||||OQOPOPOQOPOQOPOQOPOQ+=++=+++=，当且仅当2OPOQ==时取等号，所以当2OPOQ==时，22||OPOQ

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