【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修一 4．3 对数 Word版含解析.docx，共(16)页，443.233 KB，由小赞的店铺上传

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第四章指数函数与对数函数4.3对数例1把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）45625=；（2）61264−=；（3）15.733m=；（4）12log164=−；（5）lg0.012=−；（6）ln102.303=解：（1）5log625

4=；（2）21log664=−；（3）13log5.73m=；（4）41162−=；（5）2100.01−=；（6）2.303e10=.例2求下列各式中x的值：（1）642log3x=−；（2）log86x=；（

3）lg100x=；（4）2lnex−=.解：（1）因为642log3x=−，所以()2232331644416x−−−====.（2）因为log86x=，所以68x=.又0x，所以()11136268222x====..（3）因为

lg100x=，所以10100x=，21010x=，于是2x=.（4）因为2lnex−=，所以2lnex=−，2eex−=，于是2x=−.例3求下列各式的值：（1）5lg100；（2）()752log42

.解：（1）15512lg100lg100lg10055===；（2）()7575222log42log4log2=+227log45log2=+7251=+19=.例4用lnx，lny，lnz表示23lnxyz.解：()2233lnlnlnxyxyzz=−23

lnlnlnxyz=+−112lnlnln23xyz=+−.例5尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg4.81.5EM=+.2011年3月11

日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为1E和2E.由lg4.81.5EM=+，可得

1lg4.81.59.0E=+，2lg4.81.58.0E=+.于是，1122lglglgEEEE=−(4.81.59.0)(4.81.58.0)1.5=+−+=利用计算工具可得，1.5121032EE=.虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1

级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.4.3.1对数的概念练习1.把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：（1）328=；（2）3em=；（3）131273−=；（4）3log92=；（5）lg2.3n=；（6）31log48

1=−.【答案】（1）2log83=（2）ln3m=（3）2711log33=−（4）239=（5）2.310n=（6）41381−=【解析】.【分析】根据指数与对数的关系logxaaNNx==（0a且1a）计算可得；【小问1详解】解：因为328=，所以2log

83=；【小问2详解】解：因为3em=，所以ln3m=；【小问3详解】解：因为131273−=，所以2711log33=−；【小问4详解】解：因为3log92=，所以239=；【小问5详解】解：因为lg2.3n=，所以2.310n=；【小问6详解】解：因为31

log481=−，所以41381−=；2.求下列各式的值：（1）5log25；（2）0.4log1；（3）1lne；（4）lg0.001.【答案】（1）2（2）0（3）-1（4）-3【解析】【分析】利用对数的运算求解.【小问1详解】解：255log25log52==；【小问2详解】0.4lo

g10=；【小问3详解】11lnln1ee−==−；【小问4详解】3lg103−=−.3.求下列各式中x的值：（1）13log3x=−；（2）log494x=；（3）lg0.00001x=；（4）lnex=−.【答案】（1）27（2）7（3）5−（4）12

−【解析】【分析】根据指数与对数的关系logxaaNNx==（0a且1a）计算可得；【小问1详解】解：因为13log3x=−，所以31273x−==；【小问2详解】解：因为log494x=，所以449x=，所以7x=，因为0x且1x，所以7x=；【小问3详解】解：因为lg0

.00001x=，所以5100.0000110x−==，所以5x=−；【小问4详解】解：因为lnex=−，所以xee−=，即12xee−=，所以12x−=，所以12x=−4.3.2对数的运算练习4.求下列各式的值：（1）()23log279；（2）lg5lg2+；（3）1ln3ln

3+；（4）33log5log15−.【答案】（1）7（2）1（3）0（4）-1【解析】【分析】利用对数的运算求解.【小问1详解】解：()224333333log279loglog9loglog327

3347=+=+=+=；【小问2详解】()lg5lg2lg52lg101+===；【小问3详解】11ln3lnln3ln1033+===；【小问4详解】13333351log5log15logloglog31153−−====−.5.用lg,lg,lgxyz表示下列各式：（

1）lg()xyz；（2）2lgxyz；（3）3lgxyz；（4）2lgxyz.【答案】（1）lglglgxyz++；（2）lg2lglgxyz+−；（3）1lg3lglg2xyz+−；（4）1lg2lglg2xyz−−.【解析】【分析】（1）由对数运

算法则：lglglgabab=+，即可得出表达式；（2）由对数运算法则：lglglgabab=+和lglglgaabb=−，即可得出表达式；（3）由对数运算法则：lglglgabab=+和lglglgaabb=−，即可得出表达式；（4）由对数运算法则：lglglgabab=+和lglgl

gaabb=−，即可得出表达式；【详解】解：（1）()lglglglgxyzxyz++＝；（2）22lglg()lglg2lglgxyxyzxyzz=−=+−；（3）331lglg()lglg3lglg2xyxyzxyzz=−=+−；（4

）221lglglg()lg2lglg2xxyzxyzyz=−=−−.【点睛】本题主要考查对数的运算，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键，属于基础题型.6..化简下列各式：（1）2345log3log4log5l

og2；（2）()()48392log3log3log2log2++.【答案】（1）1；（2）52【解析】【分析】根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简即可得解.【详解】（1）根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简可得2345log

3log4log5log2lg3lg4lg5lg21lg2lg3lg4lg5==（2）根据对数的运算性质,化简可得()()48392log3log3log2log2++()()23232232log3log3log2log2

=++22331112log3log3log2log2232=++23532log3log262=235log3log22=55122==【点睛】本题考查了对数的运算性质及简单应用,换底公式的用法,属于基础题.习题4.3复习巩固

7.把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：（1）31x=；（2）146x=；（3）106x=；（4）25xe=；（5）5log27x=；（6）71log3x=；（7）lg0.3x=；（8）ln3x=.【答案】（1）31l

ogx=（2）41log6x=（3）lg6x=（4）ln25x=（5）527x=（6）173x=（7）100.3x=（8）3xe=【解析】【分析】（1）利用指数式与对数式的转化可得出结果；（2）利用指数式与对数式的转化可得出

结果；（3）利用指数式与对数式的转化可得出结果；（4）利用指数式与对数式的转化可得出结果；（5）利用指数式与对数式的转化可得出结果；（6）利用指数式与对数式的转化可得出结果；（7）利用指数式与对数式的转化可得出结果；（8）利用指数式与对数式的转化可得出结果.【小问1详解】解：因为31x=，

则31logx=.【小问2详解】解：因为146x=，则41log6x=.【小问3详解】解：因为106x=，则lg6x=.【小问4详解】解：因为25xe=，则ln25x=.【小问5详解】解：因为5log27x=，则527x=.【小问6详解】解：因为71log3x=，则

173x=.【小问7详解】解：因为lg0.3x=，则100.3x=.【小问8详解】解：因为ln3x=，则3xe=.8.使式子(21)log(2)xx−−有意义的x的取值范围是（）A.2xB.2xC

.122xD.122x,且1x【答案】D【解析】【分析】根据对数的定义得到不等式组解得.【详解】解：(21)log(2)xx−−20,210,211,xxx−−−解得21,21xxx，即122x且1x

.故选：D【点睛】本题考查对数的定义，属于基础题.9.对数lga与lgb互为相反数，则有（）A.0ab+=B.0ab−=C.1ab=D.1ab=【答案】C【解析】【分析】由题得lglg0ab+=，化简即可得答案.【详解】解：由已知得l

glg0ab+=，即()lg0ab=，则1ab=.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算性质，是基础题.10.求下列各式的值：（1）1log2log2aa+；（2）33log18log2−；（3）1lglg254−；（4）522log253log64−；（5）()22loglog1

6；（6）235log25log4log9.【答案】（1）0；（2）2；（3）2−；（4）14−；（5）2；（6）8【解析】【分析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.【详解】解：（1）11log2loglog2log102

2aaaa+===；（2）233333318log18log2loglog9log32log322−=====；（3）2111lglg25lglglg102lg1024425100−−====−=−；（4）2652522log2

53log642log53log2223641814−=−=−=−=−；（5）()()42222222loglog16loglog2log4log22====；（6）222235233log25log4log9log5log2log3=3258log

2log5log3=33333log5log38log2loglog52=38log3818===【点睛】本题考查对数的运算法则及对数的性质，换底公式的应用，属于中档题.11.求满足下列条件的x的值：（1）lnlnlnxab=+；（2）lg3lglgxnm=

−；（3）1logloglog2aaaxbc=−；（4）()234logloglog0x=.【答案】（1）xab=；（2）3nxm=；（3）bxc=；（4）64x=【解析】【分析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.【详解】解：（1）lnlnlnxab=+lnln

()xab=，xab=（2）33lglglglgnxnmm=−=，3nxm=（3）loglogloglogaaaabxbcc=−=，bxc=（4）()423logloglog0x=，()34logl

og1x=，4log3x=，3464x==【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质的应用，属于基础题.综合运用12.已知lg2,lg3ab==，求下列各式的值：（1）lg6；（2）3log4；（3）2log12；（4）3lg2.【答案】

（1）ab+；（2）2ab；（3）2ba+；（4）ba−【解析】【分析】利用对数的运算法则及对数的性质计算可得.【详解】lg2a=，lg3b=解：（1）lg6lg(23)lg2lg3ab==+=+.（2）3lg42lg22log4lg3lg3ab===（3）2lg

12lg(43)lg4lg32lg2lg3log122lg2lg2lg2lg2ba++=====+.（4）3lglg3lg22ba=−=−.【点睛】本题考查对数的运算法则及对数的性质的应用，属于基础题

.13.求满足下列条件的各式的值：（1）若3log41x=，求44xx−+的值；（2）若()3xfx=，求()3log2f的值.【答案】（1）103；（2）2【解析】【分析】（1）首先解方程求出x的值，再根据对数恒等式计算可得；（2）根据对数恒等式计

算可得.【详解】解：（1）3log41x=，341log3log4x==4441loglog3log33110444434333xx−−+=+=+=+=；（2）()3xfx=，()3log23log232f==.

【点睛】本题考查对数恒等式的应用logaNaN=（0a且1a），属于基础题.14.证明：（1）logloglog1abcbca=；（2）mloglognaanbbm=.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】利用换底公式及对

数的性质即可证明【详解】证明：（1）lglglglogloglog1lglglgbacbcabcaabc==.故logloglog=1bacbca.（2）loglogloglogloglogmnaaamanaabnbnbbamam===，mloglognaanbbm=【

点睛】本题考查换底公式及对数的性质的应用，属于基础题.15.某地GDP的年平均增长率为6.5%，按此增长率，多少年后该地GDP会翻两番？【答案】12【解析】【分析】设某地GDP今年为a，x年后GDP会翻两番，则由题知(16

.5%)2xaa+=，解得x的值即可.【详解】设某地GDP今年为a，x年后GDP会翻两番，则由题知(16.5%)2xaa+=，解得1.065log211.0067x=，故12年后GDP会翻两番拓广探索16.我们可以把365(11%)+看作每天的"进步”率都是1%，一年后是3651.

01；而把365(11%)−看作每天的“落后”率都是1%，一年后是3650.99.利用计算工具计算并回答下列问题：（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？【答案】（1）14

80.7倍（2）115天、230天、345天【解析】【分析】（1）根据所给条件，利用指数幂的性质变形，最后利用计算器计算可得.（2）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，分别利用计算器计算可得.【详解】解：（1）3653653651.011.011480.70.990.99=

.∴一年后“进步”的大约是“落后”的1480.7倍（2）由1.01100.99xx=得1.01100.99x=1000.9lg101log101151.011.01lglg0.990.99x===∴大约经过115天“进步”的是“落后”的10倍.由1.011000

.99xx=得1.012100,2301.010.99lg0.99xx==.∴大约经过230天“进步”的是“落后”的100倍.由1.0110000.99xx=得1.0110000.99x=解得33451.01lg0.99x=∴大约经过345天“进

步”的是“落后”的1000倍.【点睛】本题考查指数和对数的互化，计算器的应用，属于基础题.17.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定

为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？【答案】5【解析】【分析】设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，列不等式()100130%20

x−，即可解得.【详解】设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则()100130%20x−，∴0.70.2x，∴0.7lg0.20.7log0.24.67lg0.70.15x−=−，